एक बाधा डालें और दोनों वक्र देखें: वे बिखरते हैं, फिर दोबारा स्थिर हो जाते हैं। Q और Kc की तुलना बताती है कि अभिक्रिया किस ओर खिसकेगी।
नियंत्रण
साम्य में बाधा डालें
मापन
- तापमान
- 500K
- दाब
- 1atm
- साम्य स्थिरांक Kc
- 1.00
- अभी का Q
- 0.000
- खिसकने की दिशा
- अग्र दिशा में खिसक रहा है: और NH₃ बन रही है
- अग्र दर
- 0.540
- पश्च दर
- 0.000
- [N₂]
- 1.00mol/L
- [H₂]
- 3.00mol/L
- [NH₃]
- 0.00mol/L
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- शुरू में केवल N₂ और H₂ हैं। ऊपर के ग्राफ़ में नीली अग्र दर सबसे ऊँची है और लाल पश्च दर शून्य। चलने दें: नीली गिरती है, लाल चढ़ती है, फिर दोनों मिल जाती हैं। वही मिलन-बिंदु साम्य है। नीचे के ग्राफ़ में सांद्रताएँ समतल हो जाती हैं।
- साम्य आने पर दाईं ओर “अभी का Q” और “साम्य स्थिरांक Kc” मिलाएँ: दोनों लगभग बराबर हैं (1.00 और 1.00)।
- अब “अभिकारक जोड़ें (N₂)” दबाएँ। N₂ अचानक 1 मोल/लीटर बढ़ता है, Q घटता है, और ऊपर का संदेश बताता है कि अभिक्रिया अग्र दिशा में खिसक रही है।
- फिर ताप बढ़ाएँ, दाब बढ़ाएँ और उत्पाद हटाएँ। हर बार देखें कि कौन-सी रेखा उछली और मिश्रण किस ओर गया।
- किसी भी बाधा के बाद सांद्रताओं को समतल होने में समय लगता है। पहली बाधा के स्थिर होने से पहले दूसरी डालकर देखें कि क्या होता है।
नल भी खुला, छेद भी खुला: फिर भी पानी का स्तर स्थिर
एक बाल्टी सोचिए। ऊपर नल से हर मिनट एक लीटर पानी गिर रहा है और नीचे के छेद से ठीक एक लीटर निकल रहा है। क्या पानी का स्तर बदलेगा? नहीं, स्थिर रहेगा। फिर भी पानी रुका नहीं है, वह आ भी रहा है और जा भी रहा है।
रासायनिक साम्य बिलकुल ऐसा ही है। अभिक्रिया रुकती नहीं, दोनों दिशाओं में चलती रहती है। अभिकारक टूटकर उत्पाद बनते हैं और उत्पाद टूटकर अभिकारक। दोनों दरें बराबर हों तो बाहर से कुछ बदलता नहीं दिखता: रंग, दाब, सांद्रता सब स्थिर। इसीलिए इसे गतिक साम्य कहते हैं।
एक बात साफ़ कर लें। साम्य में सांद्रताएँ स्थिर होती हैं, बराबर नहीं। नल और छेद का प्रवाह बराबर है, पर बाल्टी में कितना पानी है, यह अलग बात है। सिमुलेशन में दोनों दरें मिल जाती हैं, पर N₂, H₂ और NH₃ की रेखाएँ अलग-अलग ऊँचाई पर टिकती हैं।
साम्य क्या है, शुरू से
कुछ अभिक्रियाएँ एकतरफ़ा होती हैं: कागज़ जलकर राख बनता है, राख से कागज़ नहीं लौटता। पर बहुत-सी अभिक्रियाएँ उत्क्रमणीय हैं, यानी अभिकारक से उत्पाद बनते हैं और उत्पाद से अभिकारक फिर बन जाते हैं। इसे ⇌ चिह्न से दिखाते हैं: N₂ + 3H₂ ⇌ 2NH₃।
ऐसी अभिक्रिया बंद पात्र में शुरू करें तो पहले केवल अग्र अभिक्रिया चलती है, क्योंकि उत्पाद नहीं है। जैसे-जैसे उत्पाद जमता है, पश्च दर बढ़ती है। अभिकारक घटने पर अग्र दर घटती है। आख़िर में दोनों दरें बराबर हो जाती हैं। यही साम्य है।
सिमुलेशन यही कहानी दिखाता है। शुरुआती मिश्रण में N₂ 1 और H₂ 3 मोल/लीटर है। 500 K पर साम्य में N₂ 0.46, H₂ 1.37 और NH₃ 1.09 मोल/लीटर रह जाते हैं, यानी शुरुआती नाइट्रोजन का लगभग 54 प्रतिशत अमोनिया बन चुका है।
ज़रूरी शब्द
परीक्षा में इन्हें सटीक लिखना आना चाहिए।
| शब्द | अर्थ | चिह्न या उदाहरण |
|---|---|---|
| उत्क्रमणीय अभिक्रिया | जो अभिक्रिया दोनों दिशाओं में चल सके | ⇌ |
| अग्र अभिक्रिया | अभिकारक से उत्पाद बनना | N₂ + 3H₂ → 2NH₃ |
| पश्च अभिक्रिया | उत्पाद से अभिकारक लौटना | 2NH₃ → N₂ + 3H₂ |
| गतिक साम्य | दोनों दरें बराबर, सांद्रताएँ स्थिर | अग्र दर = पश्च दर |
| साम्य स्थिरांक (Kc) | साम्य की सांद्रताओं का अनुपात, निश्चित ताप पर स्थिर | [NH₃]² ÷ ([N₂][H₂]³) |
| अभिक्रिया भागफल (Q) | किसी भी क्षण की सांद्रताओं से उसी सूत्र का मान | Q < Kc हो तो अग्र |
| ले शातेलिए का सिद्धांत | साम्य में बाधा डालने पर निकाय उस बाधा को कम करने की ओर खिसकता है | सांद्रता, ताप, दाब |
| उत्प्रेरक | दोनों दिशाओं की दर समान बढ़ाता है, Kc नहीं बदलता | हैबर प्रक्रिया में आयरन |
Kc और Q: साम्य का हिसाब
हर सांद्रता को उसके गुणांक की घात पर चढ़ाकर उत्पादों के गुणनफल को अभिकारकों के गुणनफल से भाग दें, Kc मिल जाता है। निश्चित ताप पर सांद्रताएँ कुछ भी हों, यह मान स्थिर रहता है। शुद्ध ठोस और शुद्ध द्रव को शामिल नहीं करते।
यह सूत्र क्यों? अग्र दर kf[N₂][H₂]³ है और पश्च दर kr[NH₃]²। साम्य में दोनों बराबर हैं, इसलिए kf ÷ kr = [NH₃]² ÷ ([N₂][H₂]³) = Kc। सिमुलेशन ठीक इसी पर चलता है: kr = kf ÷ Kc रखा गया है।
Q का सूत्र Kc जैसा ही है, पर उसमें अभी की सांद्रताएँ लगती हैं। Q और Kc की तुलना बताती है कि अभिक्रिया किस ओर जाएगी।
Kc = [NH₃]² ÷ ([N₂] × [H₂]³)घात = गुणांक
Q < Kc → अग्र (उत्पाद बढ़ेगा)उत्पाद अभी कम है
Q > Kc → पश्च (अभिकारक बढ़ेगा)उत्पाद ज़्यादा है
Q = Kc → साम्यकोई खिसकाव नहीं
Kp = Kc × (RT)^Δnगैसों के लिए; यहाँ Δn = −2
ले शातेलिए का सिद्धांत: धक्का देने पर क्या होता है
स्प्रिंग को दबाकर छोड़ें तो वह आपको वापस धकेलती है। साम्य भी ऐसा ही है। उसमें बाधा डालें तो निकाय उस बाधा का असर घटाने की ओर खिसक जाता है। फ्रांसीसी रसायनज्ञ हेनरी ले शातेलिए ने यह सिद्धांत दिया।
सिमुलेशन की चार बाधाओं के चार अलग असर हैं। तालिका में सब साथ-साथ हैं।
| बाधा | किस ओर खिसकता है | कारण | क्या Kc बदलता है? |
|---|---|---|---|
| अभिकारक जोड़ना (N₂) | अग्र | निकाय बढ़ा हुआ N₂ खपाता है; Q, Kc से कम हो जाता है | नहीं |
| उत्पाद हटाना (NH₃) | अग्र | निकाय घटी हुई NH₃ की भरपाई करता है; Q घटता है | नहीं |
| ताप बढ़ाना | पश्च (ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया में) | निकाय ऊष्मा सोखना चाहता है | हाँ, Kc घटता है |
| दाब बढ़ाना | अग्र (गैस के मोल घटते हैं: 4 → 2) | निकाय मोल घटाकर दाब कम करता है | नहीं |
| उत्प्रेरक डालना | किसी ओर नहीं | दोनों दरें बराबर बढ़ती हैं | नहीं |
ताप: Kc बदलने वाली अकेली चीज़
हैबर अभिक्रिया में ΔH = −92 kJ है, यानी वह ऊष्मा छोड़ती है। ताप बढ़ाने पर निकाय वह ऊष्मा सोखने के लिए उलटी दिशा में चलता है। वान्ट हॉफ़ समीकरण से हर ताप पर Kc निकलता है, और सिमुलेशन हर चरण में 50 K बदलता है।
500 K से 550 K जाने पर Kc 1.00 से घटकर 0.134 रह जाता है, यानी पुराने मान का 0.13 गुना। पूरा विस्तार देखें:
| ताप | Kc | साम्य पर [NH₃] (मोल/लीटर) | N₂ का रूपांतरण |
|---|---|---|---|
| 400 K | 253 | 1.71 | 86% |
| 450 K | 11.7 | 1.43 | 72% |
| 500 K | 1.00 | 1.09 | 54% |
| 550 K | 0.134 | 0.75 | 37% |
| 600 K | 0.025 | 0.48 | 24% |
| 650 K | 0.006 | 0.29 | 15% |
सिमुलेशन में खुद करके देखें
ये प्रयोग एक-एक करके करें और हर बार पहले अनुमान लिख लें।
- प्रयोग 1: कुछ न करें, बस चलने दें। दरें मिलती हैं और [NH₃] 1.09 मोल/लीटर पर टिकता है। रीडिंग में Q और Kc 1.00 और 1.00 हैं।
- प्रयोग 2: साम्य पर “अभिकारक जोड़ें” दबाएँ। Q 0.314 हो जाता है, जो Kc से कम है, इसलिए अग्र दिशा। नए साम्य में [NH₃] बढ़कर 1.29 हो जाता है।
- प्रयोग 3: “आधा उत्पाद हटाएँ” दबाएँ। NH₃ 1.09 से घटकर 0.54 होती है और Q 0.250। नया साम्य [NH₃] को फिर 0.72 पर लौटा देता है।
- प्रयोग 4: “दाब बढ़ाएँ” दबाएँ। सारी सांद्रताएँ एक साथ दोगुनी हो जाती हैं और Q अचानक अपने मान का 0.25 गुना, यानी 0.250 हो जाता है। खिसकाव अग्र है क्योंकि 4 मोल गैस 2 मोल बन जाती है।
- प्रयोग 5: “तापमान बढ़ाएँ” दबाएँ। Kc घटता है, इसलिए Q > Kc हो जाता है और NH₃ टूटने लगती है। दोनों दरें एक साथ उछलती हैं, इसलिए साम्य पहले से जल्दी आता है।
हल किए गए संख्यात्मक प्रश्न
यहाँ की सारी संख्याएँ सिमुलेशन के अपने मॉडल से ली गई हैं, इसलिए आप उन्हें स्क्रीन से मिला सकते हैं।
प्रश्न 1: सिमुलेशन में 500 K पर Kc जाँचें
साम्य पर [N₂] = 0.46, [H₂] = 1.37, [NH₃] = 1.09 मोल/लीटर। Kc = 1.09² ÷ (0.46 × 1.37³) = 1.00। मॉडल का Kc 1.00 है। दोनों मिलते हैं।
प्रश्न 2: 1 मोल/लीटर N₂ मिलाने पर साम्य किस ओर खिसकेगा?
मिलाने के बाद Q = 0.314। चूँकि Q < Kc (1.00), अभिक्रिया अग्र दिशा में चलेगी। नए साम्य में [NH₃] = 1.29 और [N₂] = 1.36।
प्रश्न 3: दाब दोगुना करने पर Q कितने गुना हो जाता है?
सारी सांद्रताएँ दोगुनी हों तो अंश 2² = 4 गुना और हर 2 × 2³ = 16 गुना होता है, इसलिए Q बनता है 4 ÷ 16 = एक चौथाई, यानी 0.25 गुना। Q = 0.250 < Kc, अतः अग्र। नए साम्य में [NH₃] = 2.59।
मूल पात्र के हिसाब से मोल देखें: NH₃ पहले 1.09 मोल थी और दबाने के बाद साम्य में 1.29 मोल है। ज़्यादा दाब, ज़्यादा अमोनिया।
प्रश्न 4: H₂ + I₂ ⇌ 2HI, Kc = 50
H₂ और I₂ को 1 मोल/लीटर से शुरू करें। x मोल/लीटर अभिक्रिया करे तो [H₂] = [I₂] = 1 − x और [HI] = 2x। Kc = (2x)² ÷ (1 − x)² = 50। दोनों ओर वर्गमूल लेने पर 2x ÷ (1 − x) = √50, इसलिए x = 0.780।
अतः [HI] = 1.56 और [H₂] = [I₂] = 0.220 मोल/लीटर।
प्रश्न 5: T = 500 K पर Kp कितना है?
Δn = 2 − (1 + 3) = −2। RT = 0.0821 × 500 = 41.1। Kp = Kc × (RT)⁻² = 1.00 ÷ 41.1² = 0.001 (atm⁻², मॉडल की इकाइयों में)।
वे भूलें जो सब करते हैं
परीक्षा में सबसे ज़्यादा अंक इन्हीं पर कटते हैं।
- साम्य में सांद्रताओं को बराबर मान लेना: स्थिर का अर्थ बराबर नहीं है।
- यह मान लेना कि अभिक्रिया रुक गई: दोनों दरें बराबर हैं, कोई शून्य नहीं।
- दाब बदलने पर Kc बदल जाने का सोचना: केवल ताप Kc बदलता है।
- उत्प्रेरक से उपज बढ़ने का सोचना: वह केवल साम्य जल्दी पहुँचाता है।
- सांद्रता को गुणांक की घात पर न चढ़ाना: 3H₂ हो तो [H₂]³ लिखना है।
- Kc के व्यंजक में ठोस रख देना: शुद्ध ठोस और द्रव शामिल नहीं होते।
वास्तविक जीवन में साम्य
यह सिद्धांत कारखानों से लेकर हमारे शरीर तक फैला है।
- उर्वरक संयंत्र: हैबर प्रक्रिया हवा की नाइट्रोजन और हाइड्रोजन से अमोनिया बनाती है, फिर यूरिया। संयंत्र ऊँचा दाब और उत्प्रेरक लगाते हैं, और बनी अमोनिया लगातार हटाकर साम्य को आगे बढ़ाते रहते हैं।
- सोडा पेय: बोतल बंद रहने तक CO₂ गैस और घुली CO₂ साम्य में रहती हैं। ढक्कन खोलने पर दाब घटता है, साम्य खिसकता है और गैस बुलबुले बनकर निकलती है।
- रक्त में ऑक्सीजन: हीमोग्लोबिन का ऑक्सीजन से जुड़ना उत्क्रमणीय है। फेफड़ों में ऑक्सीजन ज़्यादा है तो जुड़ती है; ऊतकों में कम है तो छूटती है।
- गर्म पानी में चीनी: घुली और अघुली चीनी साम्य में रहती हैं। गर्म करने पर और चीनी घुलती है, क्योंकि घुलना ऊष्मा सोखता है।
- रंग बदलने वाले प्रयोग: कुछ आयनों के विलयन गर्म-ठंडा करने पर रंग बदलते हैं, जो साम्य खिसकने का सीधा प्रमाण है।
परीक्षा कोना (CBSE और NCERT, कक्षा 11)
पहले खुद हल करें, फिर उत्तर मिलाएँ।
- लघु उत्तरीय: गतिक साम्य की परिभाषा दें। ले शातेलिए का सिद्धांत लिखें। उत्प्रेरक साम्य पर क्या असर डालता है?
- संख्यात्मक: साम्य पर N₂ 0.5, H₂ 1.5 और NH₃ 0.4 मोल/लीटर है। Kc निकालें। उत्तर: 0.095।
- इन्हीं आँकड़ों से पश्च अभिक्रिया का Kc = 1 ÷ Kc = 10.5।
- समीकरण को आधा करके ½N₂ + 3⁄2H₂ ⇌ NH₃ लिखें तो नया Kc, Kc का वर्गमूल होगा, यानी 0.308।
- एक मिश्रण में N₂ = H₂ = NH₃ = 1 मोल/लीटर है, तो Q = 1.00। Kc = 1.00 हो तो अभिक्रिया किस ओर जाएगी? Q कम हो तो अग्र, ज़्यादा हो तो पश्च।
दोहराव: एक नज़र में
परीक्षा से एक रात पहले यह सूची पढ़ लें।
- साम्य पर दोनों दरें बराबर होती हैं, पर अभिक्रिया रुकती नहीं।
- Kc = उत्पादों की सांद्रता (गुणांक की घात) ÷ अभिकारकों की सांद्रता (गुणांक की घात)।
- Q < Kc: अग्र। Q > Kc: पश्च। Q = Kc: साम्य।
- अभिकारक जोड़ना या उत्पाद हटाना: अग्र। उलटा करने पर: पश्च।
- दाब बढ़ने पर कम गैस-मोल की ओर; ताप बढ़ने पर ऊष्माशोषी दिशा में खिसकता है।
- केवल ताप Kc बदलता है; उत्प्रेरक केवल साम्य जल्दी पहुँचाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
रासायनिक साम्य किसे कहते हैं?
उत्क्रमणीय अभिक्रिया में जब अग्र अभिक्रिया की दर और पश्च अभिक्रिया की दर बराबर हो जाती है, तब अभिकारकों और उत्पादों की सांद्रता नहीं बदलती। इस अवस्था को रासायनिक साम्य कहते हैं। यह गतिक है, क्योंकि दोनों अभिक्रियाएँ चलती रहती हैं।
साम्य स्थिरांक Kc कैसे निकालते हैं?
साम्य की सांद्रताएँ लेकर हर एक को उसके गुणांक की घात पर चढ़ाएँ और उत्पादों के गुणनफल को अभिकारकों के गुणनफल से भाग दें। N₂ + 3H₂ ⇌ 2NH₃ के लिए यह [NH₃]² ÷ ([N₂][H₂]³) है। सिमुलेशन के साम्य में इसका मान 1.00 है।
ले शातेलिए का सिद्धांत क्या है?
साम्य में स्थित निकाय की सांद्रता, दाब या ताप बदलने पर निकाय उस परिवर्तन का प्रभाव घटाने की दिशा में खिसककर नए साम्य पर पहुँचता है।
Q और Kc में क्या अंतर है?
दोनों का सूत्र एक है। Kc में साम्य की सांद्रताएँ लगती हैं और Q में अभी की। Q < Kc हो तो अभिक्रिया अग्र चलती है, Q > Kc हो तो पश्च, और बराबर हों तो निकाय साम्य पर है।
दाब बढ़ाने पर साम्य किस ओर खिसकता है?
उस ओर जहाँ गैस के मोल कम हों। हैबर अभिक्रिया में 4 मोल गैस 2 मोल बनती है, इसलिए दाब बढ़ाने से अमोनिया को लाभ होता है। Kc नहीं बदलता।
ताप बढ़ाने पर क्या होता है?
ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया में ताप बढ़ाने से साम्य पश्च दिशा में खिसकता है और Kc घटता है। सिमुलेशन में 500 K से 550 K जाने पर Kc 1.00 से 0.134 हो जाता है।
क्या उत्प्रेरक साम्य बदलता है?
नहीं। उत्प्रेरक अग्र और पश्च दोनों अभिक्रियाओं को बराबर तेज़ करता है, इसलिए साम्य की स्थिति और Kc वही रहते हैं। वह केवल निकाय को साम्य तक जल्दी पहुँचाता है।
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निस्यंदन, सरल व प्रभाजी आसवन, पेपर क्रोमैटोग्राफी और क्रिस्टलन को चलते देखो। Rf की गणना, क्वथनांक के समतल भाग और क्रिस्टल की प्राप्ति खुद निकालो।
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क्रिस्टल जालक: SC, BCC और FCC एकक कोष्ठिका, संकुलन क्षमता और घनत्व
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भौतिकी
कार्य, ऊर्जा और शक्ति
भौतिकी
आनत तल
भौतिकी
एकसमान वृत्तीय गति
भौतिकी
अनुप्रस्थ और अनुदैर्घ्य तरंग
भौतिकी
उत्तोलक और आघूर्ण
भौतिकी
द्रव्यमान केंद्र
भौतिकी
कमानी-द्रव्यमान की सरल आवर्त गति
भौतिकी
सदिशों का योग: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम
भौतिकी
सापेक्ष वेग: रेलगाड़ियाँ और नदी पार करना
भौतिकी
केपलर के नियम और दीर्घवृत्ताकार कक्षा
भौतिकी
न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम, g और उपग्रह
भौतिकी
तार और नलियों में अप्रगामी तरंगें
भौतिकी
अनुनाद नली और ध्वनि की चाल
भौतिकी
विस्पंद: दो पास-पास के सुरों की धड़कन
भौतिकी
डॉप्लर प्रभाव: चलता स्रोत, चलता श्रोता और सोनिक बूम
भौतिकी
प्रिज़्म, प्रकाश का वर्ण-विक्षेपण और इंद्रधनुष
भौतिकी
किरख़ोफ़ के नियम: संधि नियम और लूप नियम
भौतिकी
व्हीटस्टोन सेतु और मीटर सेतु
भौतिकी
एकल झिरी से विवर्तन
भौतिकी
आँख के दोष और उनका निवारण
भौतिकी
प्रकाश का ध्रुवण: मैलस का नियम और ब्रूस्टर का नियम
भौतिकी
संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC समय स्थिरांक
भौतिकी
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ: छड़ चुंबक, धारावाही तार और परिनालिका
भौतिकी
एसी जनित्र
भौतिकी
ट्रांसफ़ॉर्मर
भौतिकी
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
भौतिकी
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
भौतिकी
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
भौतिकी
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
भौतिकी
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
भौतिकी
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
भौतिकी
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान
परागण और निषेचन
गणित
पाइथागोरस प्रमेय
गणित
त्रिकोणमितीय अनुपात और इकाई वृत्त
गणित
द्विघात समीकरण और द्विघात फलन का ग्राफ़
गणित
वृत्त के प्रमेय
गणित
ऊँचाई और दूरी: उन्नयन कोण और अवनमन कोण
गणित
प्रायिकता: प्रयोगसिद्ध बनाम सैद्धांतिक प्रायिकता
गणित
समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी
गणित
माध्य, माध्यिका और बहुलक
गणित
समुच्चय और वेन आरेख
गणित
रैखिक समीकरण युग्म और सरल रेखा का आलेख
गणित
sin, cos, tan के आलेख
गणित
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि और द्विघात समीकरण
गणित
वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
गणित
ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
गणित
समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
गणित
निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
गणित
शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
गणित
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
गणित
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
गणित
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
गणित
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
गणित
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
गणित
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
गणित
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
गणित