सीमा: ε और δ का एक खेल

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

1. “फलन f(x)” में से एक फलन चुनिए। मोटा वक्र y = f(x) है। ऊर्ध्वाधर बिंदुदार रेखा बिंदु a है, जिसे ग्राफ़ पर खींचकर या “बिंदु a” स्लाइडर से हिलाया जा सकता है।
2. नारंगी क्षैतिज पट्टी ε पट्टी है: सीमा मान L से ε के भीतर की ऊँचाइयों की पट्टी। “ε” का मतलब है उत्तर में आप कितनी चूक सह सकते हैं। इसे “ε” स्लाइडर से बदलिए।
3. हरी ऊर्ध्वाधर पट्टी δ पट्टी है: a के आसपास x की सबसे चौड़ी वह पट्टी, जिसके भीतर (केवल x = a बिंदु को छोड़कर) वक्र नारंगी पट्टी में ही रहता है। “सबसे बड़ा δ जो चलता है” रीडिंग उसकी आधी चौड़ाई बताती है।
4. प्ले दबाइए। ε बार-बार घटता है और हरी पट्टी भी सँकरी होती जाती है। पूरी परिभाषा यहीं चल रही है: आप जो भी ε चुनें, एक δ मौजूद है।
5. “बाएँ पक्ष की सीमा” और “दाएँ पक्ष की सीमा” देखिए। दोनों बराबर हों तो सीमा मौजूद है और L के रूप में दिखती है। वक्र पर खोखला वृत्त बताता है कि वहाँ फलन का अपना कोई मान नहीं।
6. आख़िरी फलन, छलाँग, चुनिए। a को 0 पर रखिए। दोनों ओर अलग हैं, और ε 1 या उससे कम हो तो हरी पट्टी गायब होकर “कोई δ नहीं चलता” आता है।

“पास जाना” का असली मतलब क्या है?

मान लीजिए आप एक दुकान की ओर चल रहे हैं। पास आ रहे हैं, और पास। “पास जाना” सफ़र की बात है, पहुँचने की नहीं। सीमा फलन से यही पूछती है: x जब संख्या a की ओर बढ़ता है तो f(x) किस ऊँचाई की ओर बढ़ता है? a पर क्या होता है, यह हम पूछते ही नहीं, सिर्फ़ उसके आसपास।

यह भेद ज़रूरी है। (x² − 1)/(x − 1) लीजिए। x = 1 पर यह 0 ÷ 0 है, जिसका कोई अर्थ नहीं, इसलिए वहाँ फलन का कोई मान ही नहीं। पर बाकी हर x पर वह ठीक चलता है। सीमा हमें ऐसी जगह के बारे में भी काम की बात कहने देती है जहाँ फलन खुद जवाब नहीं देता।

ε–δ का खेल

किताबों में परिभाषा यूनानी अक्षरों में लिखी होती है और डरावनी लगती है। असल में यह दो लोगों का खेल है। आप संशयी हैं और एक सहनसीमा ε चुनते हैं, एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या: “मैं चाहता हूँ कि f(x), L से ε के भीतर रहे।” दूसरे खिलाड़ी को δ से जवाब देना है: “तो x को a से δ के भीतर रखिए, मैं वादा करता हूँ कि मिल जाएगा।”

आप कितना भी छोटा ε फेंकें, अगर दूसरा खिलाड़ी हर बार जवाब दे सके तो सीमा L है। एक भी ε ऐसा हो जिसके लिए कोई δ न चले तो दावा ग़लत है। सिमुलेशन में नारंगी पट्टी आपकी माँग है और हरी पट्टी उसका जवाब।

• 0 < |x − a| का मतलब है कि x, a के पास है पर a के बराबर नहीं। x = a बिंदु जानबूझकर छोड़ा गया है।
• |f(x) − L| < ε का मतलब है कि ऊँचाई नारंगी पट्टी के भीतर है।
• δ को ε पर निर्भर होने की छूट है। कसा हुआ ε आम तौर पर छोटा δ माँगता है।

सरल रेखा: δ बस ε को ढाल से भाग देना है

a = 1 पर f(x) = 2x − 1 से शुरू करें, यहाँ L = 1। x को δ हिलाने पर f(x) दुगुना हिलता है, यानी निर्गम की चूक 2δ है। 2δ को ε से नीचे रखने के लिए δ = ε/2 चाहिए। नीचे की सारणी सिमुलेशन की अपनी खोज से निकली है और मेल खाती है।

वक्र: x² नियम को थोड़ा मोड़ता है

अब a = 1 पर f(x) = x², L = 1। 1 के दाएँ वक्र बाएँ से ज़्यादा खड़ा है, इसलिए दोनों ओर अलग चौड़ाई देते हैं और सुरक्षित δ छोटा वाला है। सिमुलेशन में हरी पट्टी a के दोनों ओर बराबर है, कसे हुए पक्ष से नापी हुई।

• ε छोटा हो तो उसे दस गुना घटाने पर δ भी लगभग दस गुना घटता है। बिंदु के पास चिकना वक्र अपनी स्पर्श रेखा जैसा दिखता है, इसलिए फिर से δ ≈ ε / ढाल।
• अलग जगह पर वही ε अलग δ माँगता है। a = 2 पर ढाल 4 और L = 4 है, वहाँ ε = 0.5 के लिए δ = 0.1213।

छेद: सीमा है, मान नहीं

(x² − 1)/(x − 1) चुनिए। 1 को छोड़कर हर x के लिए यह x + 1 के बराबर है, इसलिए ग्राफ़ सरल रेखा y = x + 1 है, बस एक बिंदु गायब, खोखले वृत्त में दिखाया हुआ। x दोनों ओर से 1 के पास आए तो ऊँचाइयाँ 2 की ओर सिमटती हैं।

• f(1) अपरिभाषित है, फिर भी सीमा 2 है।
• यहाँ हरी पट्टी ε जितनी ही चौड़ी है, क्योंकि रेखा की ढाल 1 है। ε = 0.5, 0.1 और 0.01 के लिए सबसे बड़े δ हैं 0.5000, 0.1000, 0.0100।
• ऐसी दरार को हटाने योग्य असंतातत्य कहते हैं: f(1) = 2 मान लें तो छेद भर जाता है।

0 पर sin x / x: सबसे मशहूर सीमा

sin x / x चुनिए और a को 0 पर रखिए। x = 0 पर फिर 0 ÷ 0 है और वक्र पर खोखला वृत्त। फिर भी दोनों ओर के मान देखिए: सब 1 की ओर सिमट रहे हैं।

छलाँग: जब कोई δ नहीं चलता

छलाँग फलन चुनिए: हर ऋणात्मक x पर इसका मान -1 है और 0 से आगे 1। a को 0 पर रखिए। बाईं ओर से ऊँचाइयाँ -1 की ओर जाती हैं, दाईं ओर से 1 की ओर। दोनों एकपक्षीय सीमाएँ अलग हैं, इसलिए कोई एक L नहीं।

फिर भी सिमुलेशन बीच के मान 0 के आसपास पट्टी खींचता है ताकि आप कोशिश कर सकें। ε 1 या कम हो तो 0 के जितने भी पास रहें, वक्र पट्टी से बाहर झाँकता है, सारणी में भी यही है।

• ε = 0.5 और 0.9: δ = 0। कोई चौड़ाई नहीं बचाती, क्योंकि दोनों टुकड़े बीच के मान से पूरी एक इकाई दूर हैं।
• ε = 1.1: हर δ चलता है, क्योंकि पूरा वक्र 0 से 1.1 के भीतर है। इतनी ढीली माँग कुछ सिद्ध नहीं करती। सीमा को हर ε, छोटे वाले भी, पार करना होता है।
• छलाँग से दूर, जैसे a = 2 पर, दोनों पक्ष फिर मिलते हैं (दोनों 1) और सीमा मौजूद है।

बाएँ, दाएँ और सीमा कब मौजूद है

बाएँ पक्ष की सीमा केवल x < a लेती है और दाएँ पक्ष की केवल x > a। सामान्य सीमा तभी मौजूद होती है जब दोनों हों और बराबर हों। व्यवहार में सबसे तेज़ जाँच यही है: दोनों पक्ष निकालिए, मिलाइए।

सांतत्य ज़्यादा कड़ा दावा है। फलन a पर संतत है जब सीमा मौजूद हो, a पर फलन का मान हो और दोनों बराबर हों। छेद दूसरी शर्त तोड़ता है, छलाँग पहली, इसलिए सिमुलेशन के छेद और छलाँग दोनों फलन अपने विशेष बिंदु पर असंतत हैं।

सिमुलेशन में खुद करके देखिए

छह छोटे प्रयोग, एक-एक मिनट के।

• 2x − 1 चुनकर प्ले दबाइए। हरी पट्टी ठीक नारंगी की आधी चौड़ी रहती है।
• रोकिए, a को x² पर 2.5 जैसे बड़े मान तक खींचिए। क्या वही ε अब भी वही δ देता है?
• छेद वाला फलन चुनकर a को 1 पर खींचिए। खोखला वृत्त देखिए। अब a = 2: वृत्त भरा हुआ बिंदु बन गया।
• sin x / x चुनकर बड़ा ε = 1.5 दीजिए। हरी पट्टी विशाल है। ε घटाइए और 0 के आसपास सिमटते देखिए।
• छलाँग चुनिए, a = 0 और ε = 0.5 रखिए। “कोई δ नहीं चलता” आएगा। ε को 1 से ऊपर कीजिए। पट्टी लौट क्यों आती है?
• छलाँग पर a को 1 पर खींचिए। अब सीमा मौजूद है। 0 की छलाँग तक पहुँचने से पहले δ कितना चौड़ा हो सकता है?

हल किए हुए प्रश्न

छह आम प्रश्न। नीचे की हर संख्या सिमुलेशन के उसी कोड से निकाली गई है।

बचने वाली ग़लतियाँ

इनमें बार-बार अंक कटते हैं।

• सीमा को f(a) समझना। सीमा a पर क्या होता है, यह नहीं देखती; छेद और sin x / x में f(a) है ही नहीं।
• दोनों पक्ष अलग हों तब भी सीमा लिख देना। a पर फलन का नियम बदले तो दोनों पक्ष देखिए।
• पहले δ चुनना। परिभाषा में ε पहले आता है और उसी से δ निकलता है।
• ठीक उसी बिंदु पर शून्य होने वाला गुणनखंड काटकर भूल जाना कि मूल फलन वहाँ अब भी अपरिभाषित है।
• 0 ÷ 0 = 1 लिखना। 0 ÷ 0 निरर्थक है। यह गुणनखंड करने का संकेत है, उत्तर नहीं।

सीमा कहाँ काम आती है

हर अवकलज एक सीमा है (अंतर शून्य की ओर जाने पर छेदक की ढाल) और हर समाकल भी एक सीमा (पट्टियाँ पतली होने पर पतली पट्टियों का योग)। सीमा के बिना कलन नहीं।

इंजीनियर यही विचार सहनसीमा में इस्तेमाल करते हैं: पुर्ज़ा तय माप के ε के भीतर होना चाहिए, और सवाल है कि मशीन कितनी सही सेट हो, यानी δ। कंप्यूटर विज्ञान में अभिसरण में: उत्तर ε के भीतर आने में कितने चरण लगेंगे।

परीक्षा का कोना

उच्चतर गणित और प्रवेश परीक्षाओं के लिए याद रखिए।

• पहले मान रखकर देखिए। संख्या मिले तो वही सीमा है। 0/0 मिले तो गुणनखंड कीजिए, परिमेयीकरण कीजिए या मानक सीमा लगाइए।
• मानक सीमा lim (x → 0) sin x / x = 1 बार-बार काम आती है, x रेडियन में।
• सीमा न होना दिखाने के लिए दो अलग एकपक्षीय सीमाएँ, या अलग उत्तर देने वाले दो रास्ते निकालिए।
• औपचारिक ε–δ प्रमाण में |f(x) − L| < ε से उलटे चलकर देखिए कि |x − a| कितना होना चाहिए, फिर प्रमाण सीधा लिखिए।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न