प्लस और माइनस बटन से गुणांक बदलें। जिस तत्व के दोनों दंड बराबर नहीं हैं, उसे ठीक करें, फिर बाकी जाँचें। सारे दंड हरे हों तो समीकरण संतुलित है।
नियंत्रण
अभिक्रिया चुनें
जल बनना
गुणांक बदलें
मापन
- स्थिति
- अभी संतुलित नहीं
- गुणांकों का योग
- 3
- परमाणु H
- 2 : 2
- परमाणु O
- 2 : 1
- बाईं ओर का द्रव्यमान
- 34.0u
- दाईं ओर का द्रव्यमान
- 18.0u
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- “अभिक्रिया चुनें” में पहले H₂ + O₂ → H₂O लें। हर गुणांक 1 है, और नीचे के दंडों में ऑक्सीजन बाईं ओर 2 और दाईं ओर 1 दिखती है, इसलिए वह पंक्ति असंतुलित है।
- जिस तत्व के दोनों दंड बराबर नहीं हैं, उसके लिए एक गुणांक बदलें। प्लस दबाने पर उस अणु की एक और प्रति बनती है और दंड बढ़ता है। एक बार में एक ही गुणांक बदलें।
- एक तत्व मिल जाए तो बाकी फिर से जाँचें। एक बदलाव से कई तत्वों की गिनती बदल सकती है, इसलिए संतुलन एक चक्र है, सीधी रेखा नहीं।
- सारी पंक्तियाँ हरी हों तो स्थिति “संतुलित” दिखेगी। “संतुलित है, पर और सरल हो सकता है” दिखे तो सभी गुणांकों को एक ही संख्या से भाग दें।
- अटक जाएँ तो “उत्तर दिखाएँ” दबाएँ, फिर रीसेट करके खुद करें। पाँचों अभिक्रियाएँ एक-एक करके पूरी करें।
साइकिल बनाने में क्या-क्या लगता है, गिनकर देखें
मान लीजिए आप साइकिल बना रहे हैं। एक साइकिल में 1 फ्रेम, 2 पहिये, 1 सीट और 2 पैडल लगते हैं। दुकानदार से “एक पहिया और एक फ्रेम” माँगेंगे तो वह पूछेगा, दूसरा पहिया कहाँ है? साइकिल के लिए पहिया दो बार गिनना पड़ता है।
रासायनिक समीकरण भी ऐसा ही हिसाब है। अभिक्रिया में परमाणु नए ढंग से जुड़ते हैं, जैसे साइकिल के पुर्ज़े जुड़कर कुछ नया बनाते हैं। पर कोई पुर्ज़ा आसमान से नहीं आता और न गायब होता है। अभिक्रिया से पहले जितने परमाणु थे, बाद में भी उतने ही रहेंगे।
समीकरण लिखते समय हम अक्सर केवल सूत्र रख देते हैं, जैसे H₂ + O₂ → H₂O। इसे ढाँचा समीकरण कहते हैं। इसमें ऑक्सीजन बाईं ओर दो और दाईं ओर एक है, मानो एक परमाणु जादू से गायब हो गया। गुणांक लगाकर यह कमी दूर करना ही संतुलन है।
समीकरण संतुलित क्यों होना चाहिए
इसके पीछे द्रव्यमान संरक्षण का नियम है। फ्रांसीसी वैज्ञानिक लेवोज़िए ने बंद पात्रों में अभिक्रिया से पहले और बाद में वज़न नापकर दिखाया कि कुल द्रव्यमान नहीं बदलता। संक्षेप में: रासायनिक अभिक्रिया में द्रव्यमान न बनता है न नष्ट होता है।
द्रव्यमान नहीं बदलता तो परमाणुओं की संख्या भी नहीं बदल सकती, क्योंकि द्रव्यमान परमाणुओं से ही आता है। इसलिए बाईं ओर किसी तत्व के जितने परमाणु हों, दाईं ओर भी उतने ही होने चाहिए। एक तत्व भी बराबर न हो तो समीकरण अधूरा है।
एक और फ़ायदा है। गुणांक बताते हैं कि पदार्थ किस अनुपात में अभिक्रिया करते हैं। यह अनुपात जाने बिना कारखाने में कितना कच्चा माल लगेगा, इसका हिसाब नहीं लगाया जा सकता।
ज़रूरी शब्द
संतुलन में सबसे ज़्यादा गड़बड़ी गुणांक और सबस्क्रिप्ट को लेकर होती है। यह तालिका एक बार ध्यान से पढ़ लें।
| शब्द | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| अभिकारक | तीर के बाईं ओर के पदार्थ, जो अभिक्रिया करते हैं | H₂, O₂ |
| उत्पाद | तीर के दाईं ओर के पदार्थ, जो बनते हैं | H₂O |
| गुणांक | सूत्र के आगे की संख्या: उस अणु की कितनी प्रतियाँ | 2H₂ यानी 2 अणु |
| सबस्क्रिप्ट | सूत्र के भीतर की छोटी संख्या: एक अणु में कितने परमाणु | H₂O में H का 2 |
| ढाँचा समीकरण | सूत्र लिखे हैं, गुणांक अभी नहीं | H₂ + O₂ → H₂O |
| संतुलित समीकरण | हर तत्व के परमाणु दोनों ओर बराबर | 2H₂ + O₂ → 2H₂O |
संतुलन की विधि: पाँच चरण
कोई सूत्र रटना नहीं पड़ता। हर समीकरण इसी क्रम से सध जाता है। इसे हिट-एंड-ट्रायल विधि कहते हैं, पर नियम मानें तो बहुत कम कोशिशों में काम हो जाता है।
चरण
हर बार इसी क्रम में चलें।
- 1. ढाँचा समीकरण लिखें और दोनों ओर हर तत्व के परमाणु गिनें।
- 2. जो तत्व हर पक्ष में सबसे कम सूत्रों में आया हो, उसे पहले लें। ऑक्सीजन और हाइड्रोजन अक्सर कई सूत्रों में होते हैं, इसलिए उन्हें अंत में रखें।
- 3. कम पड़ने वाले पक्ष के सूत्र के आगे गुणांक रखकर तत्व को बराबर करें। दोनों संख्याओं का ल.स.प. लेना सबसे आसान रहता है।
- 4. एक गुणांक बदलने से दूसरे तत्वों की गिनती बदलती है, इसलिए सबको दोबारा गिनें।
- 5. अंत में देखें कि सभी गुणांकों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड तो नहीं। हो तो भाग देकर सबसे छोटी पूर्ण संख्याओं तक आएँ।
पाँच समीकरण, एक-एक चरण में
ये वही पाँच अभिक्रियाएँ हैं जो सिमुलेशन में मिलती हैं। नीचे की गिनतियाँ उसके दंडों से हूबहू मिलेंगी।
अभिक्रिया 1: जल बनना, H₂ + O₂ → H₂O
शुरू में हाइड्रोजन 2 : 2 और ऑक्सीजन 2 : 1 है। ऑक्सीजन दाईं ओर कम है, इसलिए H₂O के आगे 2 रखें। अब ऑक्सीजन बराबर हो गई, पर हाइड्रोजन बाईं ओर 2 और दाईं ओर 4 है।
हाइड्रोजन के लिए H₂ के आगे 2 रखें। परिणाम: 2H₂ + O₂ → 2H₂O। हाइड्रोजन 4 : 4, ऑक्सीजन 2 : 2।
| तत्व | बाएँ | दाएँ | मेल |
|---|---|---|---|
| H | 4 | 4 | ✓ |
| O | 2 | 2 | ✓ |
अभिक्रिया 2: मीथेन का जलना, CH₄ + O₂ → CO₂ + H₂O
कार्बन 1 : 1 पहले से बराबर है। हाइड्रोजन बाएँ 4 और दाएँ 2 है, इसलिए H₂O के आगे 2। अब दाईं ओर ऑक्सीजन CO₂ के 2 और जल के 2 मिलाकर 4 है।
O₂ के आगे 2 रखने से बाईं ओर 4 ऑक्सीजन परमाणु हो गए। हो गया: CH₄ + 2O₂ → CO₂ + 2H₂O। यही बायोगैस या प्राकृतिक गैस के जलने का समीकरण है।
| तत्व | बाएँ | दाएँ | मेल |
|---|---|---|---|
| C | 1 | 1 | ✓ |
| H | 4 | 4 | ✓ |
| O | 4 | 4 | ✓ |
अभिक्रिया 3: लोहे में जंग, Fe + O₂ → Fe₂O₃
ऑक्सीजन बाएँ 2 और दाएँ 3 है। सम और विषम संख्या मिलाने के लिए ल.स.प. 6 लें: O₂ के आगे 3 और Fe₂O₃ के आगे 2। दोनों ओर 6 ऑक्सीजन परमाणु हो गए।
अब दाईं ओर 4 आयरन परमाणु हैं और बाईं ओर 1, इसलिए Fe के आगे 4: 4Fe + 3O₂ → 2Fe₂O₃। इससे यह भी समझ आता है कि जंग लगा लोहा भारी क्यों हो जाता है: धातु हवा से ऑक्सीजन खींच लेती है।
| तत्व | बाएँ | दाएँ | मेल |
|---|---|---|---|
| Fe | 4 | 4 | ✓ |
| O | 6 | 6 | ✓ |
अभिक्रिया 4: ऐलुमिनियम और अम्ल, Al + HCl → AlCl₃ + H₂
क्लोरीन बाएँ 1 और दाएँ 3 है। HCl के आगे 3 रखने से क्लोरीन बराबर होती है, पर हाइड्रोजन 3 बनाम 2 रह जाती है। 3 और 2 का ल.स.प. 6 है।
इसलिए HCl को 6 और H₂ को 3 मिलता है। 6 क्लोरीन परमाणुओं के लिए AlCl₃ के आगे 2 चाहिए, जिससे 2 ऐलुमिनियम परमाणु बनते हैं, तो Al के आगे 2: 2Al + 6HCl → 2AlCl₃ + 3H₂।
| तत्व | बाएँ | दाएँ | मेल |
|---|---|---|---|
| Al | 2 | 2 | ✓ |
| H | 6 | 6 | ✓ |
| Cl | 6 | 6 | ✓ |
अभिक्रिया 5: रसोई गैस (प्रोपेन) का जलना, C₃H₈ + O₂ → CO₂ + H₂O
चरण दर चरण: 3 कार्बन परमाणु हैं, तो CO₂ के आगे 3। 8 हाइड्रोजन हैं, तो H₂O के आगे 4। अब दाईं ओर 10 ऑक्सीजन परमाणु हैं, इसलिए O₂ के आगे 5।
C₃H₈ + 5O₂ → 3CO₂ + 4H₂O। ऑक्सीजन सबसे अंत में इसलिए मिलाई, क्योंकि वह दाईं ओर दो सूत्रों में है; पहले मिलाते तो बार-बार दोबारा करना पड़ता।
| तत्व | बाएँ | दाएँ | मेल |
|---|---|---|---|
| C | 3 | 3 | ✓ |
| H | 8 | 8 | ✓ |
| O | 10 | 10 | ✓ |
क्या द्रव्यमान सचमुच बराबर रहता है? जाँचें
परमाणु बराबर हैं तो द्रव्यमान भी बराबर होना चाहिए। पाठ्यपुस्तक के परमाणु द्रव्यमान (H = 1, C = 12, O = 16, Al = 27, Cl = 35.5, Fe = 56) से इसे सिद्ध किया जा सकता है।
| अभिक्रिया | गुणांकों का योग | बाईं ओर का द्रव्यमान (u) | दाईं ओर का द्रव्यमान (u) |
|---|---|---|---|
| जल बनना | 5 | 36 | 36 |
| मीथेन का जलना | 6 | 80 | 80 |
| लोहे में जंग | 9 | 320 | 320 |
| ऐलुमिनियम और अम्ल | 13 | 273 | 273 |
| प्रोपेन (रसोई गैस) का जलना | 13 | 204 | 204 |
सिमुलेशन में खुद करके देखें
ये प्रयोग एक के बाद एक करें, बात हाथ बैठ जाएगी।
- प्रयोग 1: जल बनना चुनकर ऑक्सीजन देखें। शुरू में 2 : 1। H₂O को 2 करें। क्या पंक्ति हरी हुई? हाइड्रोजन की पंक्ति का क्या हुआ?
- प्रयोग 2: जानबूझकर सभी गुणांक दोगुने करें। सब पंक्तियाँ हरी रहेंगी, फिर भी स्थिति “संतुलित है, पर और सरल हो सकता है” दिखेगी। संतुलित समीकरण में भी सबसे छोटी पूर्ण संख्याएँ ही रखी जाती हैं।
- प्रयोग 3: जंग चुनें और पहले ऑक्सीजन मिलाएँ। देखें कि 3 और 2 रखने पर आयरन क्यों नहीं मिलता, फिर Fe का गुणांक तय करें।
- प्रयोग 4: प्रोपेन चुनें और ऑक्सीजन सबसे अंत में मिलाएँ। फिर पहले मिलाकर देखें और गिनें कि कितनी बार दोबारा करना पड़ा।
- प्रयोग 5: हर समीकरण संतुलित करके “बाईं ओर का द्रव्यमान” और “दाईं ओर का द्रव्यमान” साथ-साथ देखें। वे हमेशा बराबर हैं!
वे भूलें जो सब करते हैं
परीक्षा में सबसे ज़्यादा अंक इन्हीं की वजह से कटते हैं।
- सबस्क्रिप्ट बदलकर मिलान करना: H₂O को H₂O₂ करना दूसरा पदार्थ लिखना है।
- यह भूल जाना कि गुणांक सूत्र के हर परमाणु को गुणा करता है, केवल पहले को नहीं।
- एक तत्व मिलते ही रुक जाना: नया गुणांक पहले मिलाए तत्व को बिगाड़ सकता है।
- गुणांक 1 लिखना: “1H₂O” लिखना ज़रूरी नहीं, खाली छोड़ना ही 1 का संकेत है।
- उभयनिष्ठ गुणनखंड न देखना: 4H₂ + 2O₂ → 4H₂O सही है, पर सरलतम रूप 2H₂ + O₂ → 2H₂O है।
वास्तविक जीवन में संतुलित समीकरण
संतुलित समीकरण केवल किताबी अभ्यास नहीं; रसोई और कारखाने, दोनों इस पर चलते हैं।
- रसोई गैस: C₃H₈ + 5O₂ → 3CO₂ + 4H₂O से पता चलता है कि एक प्रोपेन अणु को 5 ऑक्सीजन अणु चाहिए। बंद कमरे में ऑक्सीजन घटे तो दहन अधूरा रह जाता है और जहरीली कार्बन मोनोऑक्साइड बनती है।
- उर्वरक संयंत्र: यूरिया बनाने के हर चरण का आकार गुणांकों से तय होता है, इसलिए अमोनिया के टन अंदाज़े से नहीं, गणित से मँगाए जाते हैं।
- इंजन: ईंधन और हवा का अनुपात दहन समीकरण से तय होता है।
- जंग: लोहे का समीकरण बताता है कि रंगा हुआ इस्पात क्यों टिकता है, क्योंकि रंग ऑक्सीजन को धातु तक पहुँचने नहीं देता।
- दवा: एक बैच में कौन-सा घटक कितना डालना है, यह गुणांकों के अनुसार चलता है।
परीक्षा कोना (CBSE और NCERT, कक्षा 10)
इस अध्याय में प्रश्न लगभग हमेशा “संतुलित करें” या परिभाषा के होते हैं। नीचे के तीन खुद करके उत्तर मिलाएँ।
- लघु उत्तरीय: द्रव्यमान संरक्षण का नियम लिखें। गुणांक और सबस्क्रिप्ट में क्या अंतर है?
- तरकीब: इथेन के लिए पहले 3.5 अणु O₂ आते हैं, यानी भिन्न। पूरे समीकरण को 2 से गुणा करें तो सब गुणांक पूर्ण संख्याएँ बन जाते हैं।
- दीर्घ उत्तर में अंतिम समीकरण के साथ परमाणु-गिनती की तालिका भी बनाएँ; विधि के भी अंक मिलते हैं।
| ढाँचा समीकरण | संतुलित समीकरण | जाँच |
|---|---|---|
| Fe + H₂O → Fe₃O₄ + H₂ | 3Fe + 4H₂O → Fe₃O₄ + 4H₂ | Fe 3, O 4, H 8 : 8 |
| Na + H₂O → NaOH + H₂ | 2Na + 2H₂O → 2NaOH + H₂ | Na 2, O 2, H 4 : 4 |
| C₂H₆ + O₂ → CO₂ + H₂O | 2C₂H₆ + 7O₂ → 4CO₂ + 6H₂O | C 4, H 12, O 14 : 14 |
दोहराव: एक नज़र में
परीक्षा से एक रात पहले यह सूची पढ़ लें।
- परमाणु न बनते हैं न नष्ट होते हैं, इसलिए हर तत्व के परमाणु दोनों ओर बराबर होते हैं।
- केवल गुणांक बदलें, सबस्क्रिप्ट नहीं।
- जो तत्व सबसे कम सूत्रों में हो उसे पहले मिलाएँ; ऑक्सीजन और हाइड्रोजन अंत में।
- हर बदलाव के बाद सभी तत्व दोबारा गिनें।
- अंत में गुणांकों को सबसे छोटी पूर्ण संख्याओं तक लाएँ।
- गुणांक मोल अनुपात भी हैं: 2H₂ + O₂ → 2H₂O का अर्थ 2 मोल H₂ और 1 मोल O₂ से 2 मोल जल।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
रासायनिक समीकरण संतुलित करने का क्या अर्थ है?
अभिकारकों और उत्पादों के आगे ऐसे गुणांक रखना कि तीर के दोनों ओर हर तत्व के परमाणु बराबर हों। H₂ + O₂ → H₂O को संतुलित करने पर 2H₂ + O₂ → 2H₂O मिलता है।
रासायनिक समीकरण को संतुलित क्यों करना पड़ता है?
द्रव्यमान संरक्षण के नियम के अनुसार अभिक्रिया में परमाणु न बनते हैं न नष्ट होते हैं। असंतुलित समीकरण इस नियम के विरुद्ध है, और गुणांक से मोल अनुपात भी मिलता है जो गणनाओं में चाहिए।
गुणांक और सबस्क्रिप्ट में क्या अंतर है?
गुणांक सूत्र के आगे होता है और बताता है कि कितने अणु या सूत्र इकाइयाँ हैं। सबस्क्रिप्ट सूत्र के भीतर होता है और बताता है कि एक अणु में किसी तत्व के कितने परमाणु हैं। संतुलन में केवल गुणांक बदले जाते हैं।
समीकरण संतुलित करने का सबसे आसान तरीका क्या है?
दोनों ओर परमाणु गिनें, सबसे कम सूत्रों वाले तत्व से शुरू करें, ऑक्सीजन और हाइड्रोजन अंत में रखें, हर बदलाव के बाद फिर गिनें और अंत में सबसे छोटी पूर्ण संख्याओं तक आएँ। C₃H₈ + 5O₂ → 3CO₂ + 4H₂O इसी तरह संतुलित होता है।
क्या गुणांक भिन्न हो सकता है?
हल के बीच में हाँ, जैसे इथेन के लिए 3.5 अणु O₂। पर अंतिम समीकरण में गुणांक पूर्ण संख्याएँ होते हैं (आधा अणु नहीं होता), इसलिए पूरे समीकरण को गुणा करके भिन्न हटा दें।
सभी गुणांक दोगुने कर दें तो क्या समीकरण गलत है?
परमाणु फिर भी बराबर रहते हैं, इसलिए रसायन की दृष्टि से गलत नहीं, पर परिपाटी सबसे छोटी पूर्ण संख्याओं की है। कई परीक्षाओं में ऐसे उत्तर पर अंक कटते हैं।
अभिक्रिया में द्रव्यमान बराबर क्यों रहता है?
क्योंकि परमाणु केवल नए ढंग से सजते हैं, खोते नहीं, और हर परमाणु का द्रव्यमान निश्चित है। ऊपर की तालिका में पाँचों अभिक्रियाओं के बाएँ और दाएँ पक्ष के द्रव्यमान हूबहू बराबर हैं।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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कक्षा 12
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विस्पंद: दो पास-पास के सुरों की धड़कन
भौतिकी
डॉप्लर प्रभाव: चलता स्रोत, चलता श्रोता और सोनिक बूम
भौतिकी
प्रिज़्म, प्रकाश का वर्ण-विक्षेपण और इंद्रधनुष
भौतिकी
किरख़ोफ़ के नियम: संधि नियम और लूप नियम
भौतिकी
व्हीटस्टोन सेतु और मीटर सेतु
भौतिकी
एकल झिरी से विवर्तन
भौतिकी
आँख के दोष और उनका निवारण
भौतिकी
प्रकाश का ध्रुवण: मैलस का नियम और ब्रूस्टर का नियम
भौतिकी
संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC समय स्थिरांक
भौतिकी
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ: छड़ चुंबक, धारावाही तार और परिनालिका
भौतिकी
एसी जनित्र
भौतिकी
ट्रांसफ़ॉर्मर
भौतिकी
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
भौतिकी
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
भौतिकी
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
भौतिकी
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
भौतिकी
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
भौतिकी
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
भौतिकी
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान
परागण और निषेचन
गणित
पाइथागोरस प्रमेय
गणित
त्रिकोणमितीय अनुपात और इकाई वृत्त
गणित
द्विघात समीकरण और द्विघात फलन का ग्राफ़
गणित
वृत्त के प्रमेय
गणित
ऊँचाई और दूरी: उन्नयन कोण और अवनमन कोण
गणित
प्रायिकता: प्रयोगसिद्ध बनाम सैद्धांतिक प्रायिकता
गणित
समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी
गणित
माध्य, माध्यिका और बहुलक
गणित
समुच्चय और वेन आरेख
गणित
रैखिक समीकरण युग्म और सरल रेखा का आलेख
गणित
sin, cos, tan के आलेख
गणित
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि और द्विघात समीकरण
गणित
वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
गणित
ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
गणित
समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
गणित
निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
गणित
शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
गणित
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
गणित
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
गणित
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
गणित
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
गणित
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
गणित
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
गणित
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
गणित