टोंटी खोलकर फ्लास्क का रंग देखो। रंग बदलते ही ब्यूरेट का पाठ्यांक लिखो, फिर V₁M₁ = V₂M₂ से सांद्रता निकालो। अंत बिंदु के पास एक-एक बूँद डालो।
नियंत्रण
फ्लास्क का अम्ल (अम्ल : क्षार मोल-अनुपात)
सूचक
मापन
- फ्लास्क का pH
- 1.10
- मिलाया गया NaOH
- 0.00mL
- अंत बिंदु का पाठ्यांक
- —
- गणना की गई सांद्रता
- —
- असली सांद्रता
- 0.080M
- त्रुटि
- —
- अम्ल : क्षार
- 1 : 1
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- फ्लास्क में 25 mL अम्ल और सूचक है, ब्यूरेट में 0.10 M NaOH। टोंटी खोलो, दाएँ ग्राफ़ पर पीला बिंदु pH वक्र पर आगे बढ़ेगा।
- अंत बिंदु के पास संदेश बदलकर “बूँद-बूँद डालो” हो जाएगा। टोंटी बंद करके “एक बूँद डालो” दबाओ, ताकि रंग बदलने का ठीक क्षण पकड़ सको।
- रंग बदलते ही “अंत बिंदु का पाठ्यांक” और “गणना की गई सांद्रता” दिखेंगे। “असली सांद्रता” से मिलाकर अपनी त्रुटि देखो।
- अब सूचक बदलो, फिर अम्ल को H₂SO₄ कर दो। मोल-अनुपात 1 : 2 होने पर उसी सांद्रता के लिए दोगुना क्षार लगता है। जाँचकर देखो।
गिलास भरते-भरते
मान लो तुम्हें पता नहीं कि एक गिलास में कितना पानी आता है। एक-एक चम्मच डालते जाओ और गिनते जाओ। जिस चम्मच पर पानी छलक जाए, उसी से गिलास का आकार निकल आता है। गिलास अज्ञात है, चम्मच का माप ज्ञात, और छलकना संकेत।
रसायन में अनुमापन यही करता है। फ्लास्क का अम्ल अज्ञात है, ब्यूरेट के क्षार की सांद्रता ज्ञात है, और “छलकने” का संकेत सूचक का रंग देता है। कितने mL क्षार लगा, यह पढ़ लो तो अम्ल की सांद्रता निकल आती है।
सिमुलेशन में फ्लास्क में हमेशा 25 mL अम्ल रहता है। सांद्रता का स्लाइडर हिलाने पर तुल्यता बिंदु 20.0 mL से खिसक जाता है, फिर भी हर बार वही तरीक़ा उसे पकड़ लेता है।
अनुमापन के शब्द
परीक्षा में ये शब्द गड्डमड्ड हुए तो अंक कटते हैं, इसलिए एक बार साफ़ कर लो।
| शब्द | अर्थ | सिमुलेशन में |
|---|---|---|
| अनुमापक (टाइट्रेंट) | ब्यूरेट का ज्ञात सांद्रता वाला विलयन | NaOH, 0.10 M |
| विश्लेष्य (एनालाइट) | फ्लास्क का अज्ञात सांद्रता वाला विलयन | HCl या H₂SO₄ |
| ब्यूरेट | निशान लगी लंबी नली, नीचे टोंटी | 50 mL क्षमता |
| पिपेट | निश्चित आयतन नापकर फ्लास्क में डालने का उपकरण | 25 mL |
| सूचक | pH के अनुसार रंग बदलने वाला पदार्थ | फेनोल्फ्थेलीन, मेथिल ऑरेंज |
| तुल्यता बिंदु | अम्ल और क्षार ठीक बराबर मोल में मिले | गणना से मिला सैद्धांतिक बिंदु |
| अंत बिंदु | सूचक के रंग बदलने का क्षण, जो आँख से दिखता है | ब्यूरेट का पाठ्यांक |
| अनुमापांक (टाइटर) | अंत बिंदु तक लगा अनुमापक का आयतन | अंत बिंदु का पाठ्यांक |
ब्यूरेट से फ्लास्क तक, क़दम-दर-क़दम
प्रयोगशाला में सही नतीजे के लिए क़दम इसी क्रम में चलते हैं।
- ब्यूरेट को पहले थोड़े क्षार से धो लो, ताकि अंदर का पानी विलयन को पतला न करे।
- क्षार भरो और देखो कि टोंटी के नीचे की नोक में हवा का बुलबुला न रहे। बुलबुला रहा तो पाठ्यांक ग़लत आएगा।
- पिपेट से ठीक 25 mL अम्ल फ्लास्क में लो और सूचक की कुछ बूँदें डालो। फ्लास्क के नीचे सफ़ेद टाइल रखने से रंग-परिवर्तन साफ़ दिखता है।
- ब्यूरेट का शुरुआती पाठ्यांक लिखो। आँख को मेनिस्कस की ऊँचाई पर रखकर निचले मोड़ से पढ़ो।
- टोंटी खोलकर क्षार डालो और फ्लास्क घुमाते रहो। रंग टिकने लगे तो धीमे हो जाओ।
- अंत बिंदु के पास एक-एक बूँद डालो (एक बूँद लगभग 0.05 mL)। जो रंग टिक जाए उस पर रुको और अंतिम पाठ्यांक लिखो।
- अंतिम में से शुरुआती घटाओ तो अनुमापांक मिलता है। कम-से-कम तीन बार करो और 0.10 mL के भीतर वाले पाठ्यांकों का औसत लो।
सूचक: रंग क्यों बदलता है
सूचक ख़ुद एक दुर्बल अम्ल या क्षार होता है जिसके अणु और आयन का रंग अलग होता है। pH बदलने पर दोनों रूपों का अनुपात बदलता है, इसलिए रंग भी बदलता है। हर सूचक का एक छोटा pH परास होता है जिसमें यह बदलाव होता है।
फेनोल्फ्थेलीन का परास pH 8.2 से 10.0 है: इससे नीचे रंगहीन, ऊपर गुलाबी। मेथिल ऑरेंज का परास 3.1 से 4.4: नीचे लाल, ऊपर पीला, बीच में नारंगी। सिमुलेशन के ग्राफ़ की रंगीन पट्टी यही परास है।
| सूचक | अम्ल में रंग | क्षार में रंग | pH परास | किसके लिए ठीक |
|---|---|---|---|---|
| फेनोल्फ्थेलीन | रंगहीन | गुलाबी | 8.2 – 10.0 | प्रबल अम्ल-प्रबल क्षार, दुर्बल अम्ल-प्रबल क्षार |
| मेथिल ऑरेंज | लाल | पीला | 3.1 – 4.4 | प्रबल अम्ल-प्रबल क्षार, प्रबल अम्ल-दुर्बल क्षार |
pH वक्र: एक बूँद में छलाँग
25 mL, 0.10 M HCl को 0.10 M NaOH से अनुमापित करें तो तुल्यता बिंदु 25.0 mL पर आता है। लगभग पूरे समय pH धीरे-धीरे बढ़ता है, फिर उस बिंदु के पास अचानक सीधा ऊपर छलाँग लगाता है।
छलाँग कितनी बड़ी है? तुल्यता बिंदु से एक बूँद (0.05 mL) पहले pH 4.00 है, एक बूँद बाद 10.00। यानी एक ही बूँद के फ़ासले पर लगभग सात इकाई। इसी वजह से एक बूँद सूचक का रंग पूरा पलट देती है।
| मिलाया गया NaOH | pH |
|---|---|
| 0.0 mL | 1.00 |
| 10.0 mL | 1.37 |
| 20.0 mL | 1.95 |
| 24.0 mL | 2.69 |
| 24.9 mL | 3.70 |
| 25.0 mL | 7.00 |
| 25.1 mL | 10.30 |
| 26.0 mL | 11.29 |
| 30.0 mL | 11.96 |
| 40.0 mL | 12.36 |
सांद्रता निकालने का सूत्र
मोलरता यानी प्रति लीटर कितने मोल। आयतन गुणा मोलरता (mL हो तो मिलीमोल) से मात्रा मिलती है। तुल्यता बिंदु पर अम्ल के H⁺ के मोल और क्षार के OH⁻ के मोल बराबर होते हैं। सूत्र यहीं से निकलता है।
HCl और NaOH जैसी 1 : 1 अभिक्रिया में सूत्र सीधा है: V₁M₁ = V₂M₂। लेकिन H₂SO₄ का हर अणु दो H⁺ देता है, इसलिए 1 मोल अम्ल के लिए 2 मोल NaOH लगता है। तब मोल-अनुपात जोड़ना पड़ता है।
V₁M₁ = V₂M₂जब अम्ल : क्षार मोल-अनुपात 1 : 1 हो
Mₐ × Vₐ ÷ a = M_b × V_b ÷ ba : b = संतुलित समीकरण में अम्ल : क्षार के गुणांक
Mₐ = M_b × V_b ÷ (n × Vₐ)n = 1 मोल अम्ल के लिए लगने वाला क्षार (HCl में 1, H₂SO₄ में 2)
सांद्रता (g/L) = M × मोलर द्रव्यमानHCl 36.5, H₂SO₄ 98 g/mol
सिमुलेशन में खुद करके देखो
ये प्रयोग एक-एक करके करो, और हर बार पहले अनुमान लिख लो।
- प्रयोग 1: HCl, फेनोल्फ्थेलीन, 0.08 M लो और टोंटी खोलो। 20.0 mL के पास फ्लास्क गुलाबी होगा, और गणना की सांद्रता असली के बहुत क़रीब आएगी।
- प्रयोग 2: टोंटी पूरी खोलकर एक बार में डालो, फिर अंत बिंदु के पास बूँद-बूँद डालकर दोबारा करो। किस बार त्रुटि कम है?
- प्रयोग 3: सूचक मेथिल ऑरेंज कर दो। लाल से नारंगी-पीला तुल्यता बिंदु से ज़रा पहले हो जाता है, इसलिए गणना की सांद्रता थोड़ी कम आती है।
- प्रयोग 4: अम्ल H₂SO₄ कर दो, वही 0.08 M रखकर। अब तुल्यता बिंदु 40.0 mL है, ठीक दोगुना। यही 1 : 2 अनुपात है।
- प्रयोग 5: सांद्रता इतनी बढ़ाओ कि अंत बिंदु ब्यूरेट के बाहर चला जाए। पैमाने के अंत पर टोंटी अपने आप बंद हो जाती है, जैसे असली ब्यूरेट ख़ाली हो जाता है।
हल किए हुए सवाल
यहाँ की सारी संख्याएँ सिमुलेशन के अपने मॉडल से निकाली गई हैं, इसलिए स्क्रीन से मिलाकर देख सकते हो।
सवाल 1: 25 mL HCl के लिए 20.40 mL, 0.10 M NaOH लगा। HCl की सांद्रता क्या है?
सूत्र (1 : 1): M₁ = M₂V₂ ÷ V₁ = 0.10 × 20.40 ÷ 25 = 0.0816 M।
g/L में: 0.0816 × 36.5 = 2.98 g/L।
सवाल 2: 25 mL H₂SO₄ के लिए 18.50 mL, 0.10 M NaOH लगा। H₂SO₄ की सांद्रता क्या है?
अभिक्रिया: H₂SO₄ + 2NaOH → Na₂SO₄ + 2H₂O। 1 मोल अम्ल के लिए 2 मोल क्षार।
NaOH के मिलीमोल = 0.10 × 18.50। अम्ल उसका आधा है। इसलिए M = 0.10 × 18.50 ÷ (2 × 25) = 0.0370 M।
अनुपात लगाए बिना सीधे V₁M₁ = V₂M₂ में रखते तो 0.0740 M आता, दोगुना ग़लत। g/L में सही उत्तर 3.63 है।
सवाल 3: 25 mL, 0.06 M अम्ल को उदासीन करने में 0.10 M NaOH कितने mL लगेगा?
HCl के लिए: V = 0.06 × 25 ÷ 0.10 = 15.0 mL।
H₂SO₄ में अनुपात 1 : 2 है, इसलिए 30.0 mL। वही सांद्रता, दोगुना क्षार।
सवाल 4: 25 mL, 0.10 M HCl में 10 mL और 30 mL NaOH मिलाने पर pH क्या होगा?
10 mL: बचा H⁺ = (2.50 − 1.00) मिलीमोल ÷ 35 mL = 0.0429 M, इसलिए pH = 1.37।
30 mL: तुल्यता बिंदु (25.0 mL) पार हो चुका है। अतिरिक्त OH⁻ = 0.50 ÷ 55 M, जिससे pH = 11.96।
सवाल 5: मेथिल ऑरेंज से कितनी त्रुटि होती है?
मेथिल ऑरेंज pH 3.1–4.4 के बीच में बदलता है। 0.10 M HCl के लिए वह pH 24.91 mL पर आ जाता है, जबकि तुल्यता बिंदु 25.0 mL पर है।
त्रुटि लगभग 0.36 प्रतिशत है, जो ब्यूरेट के अपने पाठ्यांक की त्रुटि के भीतर है। फेनोल्फ्थेलीन इससे भी अच्छा है: 25.006 mL।
वे ग़लतियाँ जो सब करते हैं
परीक्षा और प्रयोगशाला में सबसे ज़्यादा अंक यहीं कटते हैं।
- मोल-अनुपात भूल जाना: H₂SO₄ या H₃PO₄ में सीधे V₁M₁ = V₂M₂ लिख देना।
- अंत बिंदु के बाद रुकना: गहरा गुलाबी मतलब अतिरिक्त क्षार, और सांद्रता ज़्यादा आती है।
- ब्यूरेट की नोक में बुलबुला छोड़ देना: पाठ्यांक ग़लत हो जाता है।
- पिपेट या ब्यूरेट न धोना: अंदर का पानी सांद्रता बदल देता है।
- मेनिस्कस ऊपर से पढ़ना: आँख सीध में रखकर निचला मोड़ पढ़ो।
- एक ही बार करके रुक जाना: कम-से-कम तीन पास-पास के पाठ्यांक चाहिए।
- ग़लत सूचक चुनना: दुर्बल अम्ल और दुर्बल क्षार में कोई सूचक तीखा अंत बिंदु नहीं देता।
असल ज़िंदगी में अनुमापन
यह तरीक़ा स्कूल की प्रयोगशाला से निकलकर कारख़ानों, अस्पतालों और खाने-पीने की दुकानों तक पहुँचा है।
- दवा कारख़ाने: गोली में सक्रिय पदार्थ कितना है, यह अनुमापन से जाँचा जाता है।
- खान-पान: सिरके में एसिटिक अम्ल का प्रतिशत, रस की अम्लता और दूध कितना खट्टा हुआ।
- पानी की जाँच: नदी या तालाब के पानी की क्षारीयता और कठोरता।
- खेती: मिट्टी की अम्लता नापकर तय होता है कि कितना चूना डालना है।
- सेहत: एंटासिड गोली पेट का कितना अम्ल उदासीन कर सकती है।
परीक्षा का कोना
पहले ख़ुद हल करो, फिर उत्तर मिलाओ।
- लघु प्रश्न: अनुमापन क्या है? अंत बिंदु और तुल्यता बिंदु में क्या अंतर है? ब्यूरेट और पिपेट क्यों धोते हैं?
- संख्यात्मक: 25 mL HCl के लिए 20.40 mL, 0.10 M NaOH लगा। मोलरता क्या है? उत्तर: 0.0816 M।
- संख्यात्मक: 25 mL H₂SO₄ के लिए 18.50 mL, 0.10 M NaOH लगा। उत्तर: 0.0370 M। अनुपात लगाया क्या?
- तर्क: दुर्बल अम्ल और प्रबल क्षार के अनुमापन में फेनोल्फ्थेलीन क्यों अच्छा है? तुल्यता पर विलयन क्षारीय होता है, pH 7 से ऊपर, जहाँ उसकी पट्टी है।
- चित्र: प्रबल अम्ल और प्रबल क्षार का pH वक्र बनाओ और तुल्यता बिंदु pH 7 पर दिखाओ।
दोहराव: एक नज़र में
परीक्षा से पहले की रात यह सूची पढ़ लो।
- अनुमापन में ज्ञात सांद्रता (अनुमापक) से अज्ञात सांद्रता (विश्लेष्य) निकाली जाती है।
- अंत बिंदु सूचक का रंग बदलना है; तुल्यता बिंदु बराबर मोल का सैद्धांतिक बिंदु है।
- 1 : 1 अभिक्रिया में V₁M₁ = V₂M₂, वरना मोल-अनुपात मिलाओ।
- प्रबल अम्ल-प्रबल क्षार में तुल्यता का pH 7 होता है, और वक्र वहाँ लगभग सीधा खड़ा होता है।
- सूचक का pH परास वक्र के खड़े हिस्से के भीतर होना चाहिए।
- अंत में बूँद-बूँद डालो, मेनिस्कस का निचला मोड़ पढ़ो, तीन बार दोहराओ।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अनुमापन क्या है?
अनुमापन एक मात्रात्मक विधि है जिसमें ज्ञात सांद्रता के विलयन को ब्यूरेट से बूँद-बूँद करके अज्ञात सांद्रता के विलयन में तब तक मिलाया जाता है जब तक अभिक्रिया ठीक पूरी न हो जाए। उस क्षण को सूचक का रंग बदलकर बताता है।
अंत बिंदु और तुल्यता बिंदु में क्या अंतर है?
तुल्यता बिंदु पर अम्ल और क्षार ठीक बराबर मोल में अभिक्रिया करते हैं, यह सैद्धांतिक बिंदु है। अंत बिंदु वह है जहाँ सूचक का रंग बदलता दिखता है। सही सूचक चुनने पर दोनों लगभग एक ही जगह पड़ते हैं।
V₁M₁ = V₂M₂ कब काम करता है?
जब अम्ल और क्षार 1 : 1 मोल-अनुपात में अभिक्रिया करें, जैसे HCl और NaOH। दूसरे अनुपात (H₂SO₄ और NaOH, 1 : 2) में संतुलित समीकरण के गुणांक से हर पक्ष को भाग देकर मोल मिलाने पड़ते हैं।
H₂SO₄ के अनुमापन में सांद्रता कैसे निकालूँ?
Mₐ = M_b × V_b ÷ (2 × Vₐ)। सिमुलेशन में 25 mL H₂SO₄ के लिए 18.50 mL, 0.10 M NaOH लगे तो सांद्रता 0.0370 M होती है।
कौन-सा सूचक कब लें?
प्रबल अम्ल और प्रबल क्षार में फेनोल्फ्थेलीन या मेथिल ऑरेंज दोनों चलते हैं। दुर्बल अम्ल और प्रबल क्षार में फेनोल्फ्थेलीन, प्रबल अम्ल और दुर्बल क्षार में मेथिल ऑरेंज। नियम यह है कि सूचक का परास वक्र के खड़े हिस्से के भीतर पड़े।
अंत बिंदु पार हो जाए तो क्या होगा?
फ्लास्क में अतिरिक्त क्षार हो जाता है, इसलिए अनुमापांक ज़्यादा आता है और गणना की सांद्रता असली से बड़ी निकलती है। इसी कारण अंत बिंदु के पास बूँद-बूँद डालते हैं।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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सापेक्ष वेग: रेलगाड़ियाँ और नदी पार करना
भौतिकी
केपलर के नियम और दीर्घवृत्ताकार कक्षा
भौतिकी
न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम, g और उपग्रह
भौतिकी
तार और नलियों में अप्रगामी तरंगें
भौतिकी
अनुनाद नली और ध्वनि की चाल
भौतिकी
विस्पंद: दो पास-पास के सुरों की धड़कन
भौतिकी
डॉप्लर प्रभाव: चलता स्रोत, चलता श्रोता और सोनिक बूम
भौतिकी
प्रिज़्म, प्रकाश का वर्ण-विक्षेपण और इंद्रधनुष
भौतिकी
किरख़ोफ़ के नियम: संधि नियम और लूप नियम
भौतिकी
व्हीटस्टोन सेतु और मीटर सेतु
भौतिकी
एकल झिरी से विवर्तन
भौतिकी
आँख के दोष और उनका निवारण
भौतिकी
प्रकाश का ध्रुवण: मैलस का नियम और ब्रूस्टर का नियम
भौतिकी
संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC समय स्थिरांक
भौतिकी
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ: छड़ चुंबक, धारावाही तार और परिनालिका
भौतिकी
एसी जनित्र
भौतिकी
ट्रांसफ़ॉर्मर
भौतिकी
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
भौतिकी
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
भौतिकी
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
भौतिकी
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
भौतिकी
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
भौतिकी
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
भौतिकी
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान
परागण और निषेचन
गणित
पाइथागोरस प्रमेय
गणित
त्रिकोणमितीय अनुपात और इकाई वृत्त
गणित
द्विघात समीकरण और द्विघात फलन का ग्राफ़
गणित
वृत्त के प्रमेय
गणित
ऊँचाई और दूरी: उन्नयन कोण और अवनमन कोण
गणित
प्रायिकता: प्रयोगसिद्ध बनाम सैद्धांतिक प्रायिकता
गणित
समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी
गणित
माध्य, माध्यिका और बहुलक
गणित
समुच्चय और वेन आरेख
गणित
रैखिक समीकरण युग्म और सरल रेखा का आलेख
गणित
sin, cos, tan के आलेख
गणित
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि और द्विघात समीकरण
गणित
वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
गणित
ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
गणित
समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
गणित
निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
गणित
शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
गणित
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
गणित
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
गणित
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
गणित
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
गणित
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
गणित
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
गणित
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
गणित