परमाणु खुद को कैसे सजाते हैं: तीन घनीय कोष्ठिकाएँ हाथ से घुमाओ

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

1. शुरू में FCC चुना है। चलाओ तो कोष्ठिका अपने आप धीरे घूमती है। कैनवास को खींचकर अपनी मर्ज़ी से घुमाओ; छोड़ दो तो फिर धीरे घूमने लगती है।
2. नीले परमाणु कोनों पर, हरे फलकों पर, नारंगी केंद्र में हैं। रीडआउट में प्रति कोष्ठिका परमाणु गिनो: हर कोना 1/8, फलक का परमाणु 1/2 और केंद्र वाला पूरा।
3. “छूते गोले” चुनो। परमाणु अपने असली आकार में फूल जाते हैं और लाल संपर्क रेखा पर ठीक छूते हैं। यही रेखा a और r का संबंध तय करती है।
4. SC, BCC और FCC बारी-बारी चुनो और समन्वय संख्या, a-r संबंध और संकुलन क्षमता की तुलना करो। हर संख्या परमाणुओं की स्थिति गिनकर निकाली गई है।
5. कोर a और मोलर द्रव्यमान M के स्लाइडर सरकाओ और घनत्व देखो: a बढ़ने पर घटता है, M बढ़ने पर बढ़ता है।

संतरों का ढेर और धातु का भीतरी भाग

फल वाला संतरे कैसे सजाता है? नीचे एक परत, उसके ऊपर की परत गड्ढों में टिकी। इस तरह कम से कम जगह में ज़्यादा से ज़्यादा संतरे आते हैं। धातु के परमाणु भी गोले जैसे हैं और वे यही सवाल हल कर रहे हैं: कितना सटाकर रखा जा सकता है?

क्रिस्टल में यह ढाँचा बार-बार दोहराया जाता है। उस ढाँचे का सबसे छोटा टुकड़ा, जिसे हर दिशा में दोहराने पर पूरा क्रिस्टल बन जाए, एकक कोष्ठिका है। यहाँ हम घन के आकार की तीन कोष्ठिकाएँ देखेंगे।

तांबा, सोना, लोहा या सोडियम के कई गुण, जैसे कठोरता, घनत्व और तार खिंच सकना, इस पर निर्भर हैं कि परमाणु कैसे सजे हैं। इसीलिए ठोस अवस्था के अध्याय में एकक कोष्ठिका इतनी अहम है।

एकक कोष्ठिका, कोर a और त्रिज्या r

घन की तीनों कोरें बराबर हैं, लंबाई a। परमाणु को गोला मानो, त्रिज्या r। जिस दिशा में परमाणु एक-दूसरे को छूते हैं, उसमें केंद्रों की दूरी ठीक 2r होती है। यही छूने की दिशा ज्यामिति से a को r से जोड़ती है।

एनिमेशन में छूने की रेखा लाल है। SC में वह कोर के साथ है, BCC में घन के विकर्ण के साथ (कोने से केंद्र होते हुए सामने वाले कोने तक), FCC में फलक के विकर्ण के साथ।

एनिमेशन कैसे पढ़ें

घन की बारह कोरें धूसर रेखाएँ हैं और गेंदें परमाणु। “गेंद और छड़ी” दृश्य में गेंदें छोटी हैं ताकि ढाँचा दिखे। “छूते गोले” में गेंदें असली त्रिज्या में हैं, इसलिए दिखता है कि कितनी जगह भरी है और कितनी खाली।

पास के परमाणु बड़े और दूर के थोड़े छोटे दिखते हैं, जिससे घुमाते समय गहराई समझ आती है। नीचे a और r का संबंध उसके संख्यात्मक गुणांक के साथ लिखा है।

रीडआउट की हर संख्या परमाणुओं की स्थिति से निकाली गई है। समन्वय संख्या एक परमाणु के सबसे नज़दीकी पड़ोसी गिनकर आती है; संकुलन क्षमता गोलों के आयतन और घन के आयतन का अनुपात है।

प्रति एकक कोष्ठिका परमाणु

कोने का परमाणु आठ कोष्ठिकाओं में बँटा होता है, इसलिए एक कोष्ठिका के भीतर उसका केवल 1/8 भाग पड़ता है। फलक का परमाणु दो कोष्ठिकाओं के बीच है, इसलिए 1/2 भीतर। केंद्र का परमाणु पूरा भीतर।

SC: 8 कोने × 1/8 = 1। BCC: 8 × 1/8 + 1 = 2। FCC: 8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4। इसी कारण एनिमेशन में कोने, फलक और केंद्र के परमाणु अलग रंग के हैं।

समन्वय संख्या: कितने पड़ोसी

एक परमाणु को छूने वाले परमाणुओं की संख्या उसकी समन्वय संख्या है। SC में 6 (आगे-पीछे, दाएँ-बाएँ, ऊपर-नीचे), BCC में 8, FCC में 12। ज़्यादा पड़ोसी यानी ज़्यादा सटा हुआ संकुलन।

परमाणु केवल इस कोष्ठिका का नहीं, पास की कोष्ठिकाओं का भी हिस्सा होता है। इसलिए गिनते समय पूरे क्रिस्टल की कल्पना करो, सिर्फ़ बनी हुई कोष्ठिका की नहीं।

कोर a और त्रिज्या r का संबंध

SC में परमाणु कोर के साथ छूते हैं, इसलिए a = 2r (गुणांक 2.00)। BCC में वे घन-विकर्ण के साथ छूते हैं, जिसकी लंबाई √3 a है और उसमें चार r हैं, इसलिए 4r = √3 a और a = 4r/√3 (गुणांक 2.31)। FCC में फलक-विकर्ण के साथ, √2 a लंबा और उसमें चार r, इसलिए a = 2√2 r (गुणांक 2.83)।

गुणांक जितना बड़ा, परमाणुओं की तुलना में कोष्ठिका उतनी खाली। इसीलिए SC सबसे ढीला है।

संकुलन क्षमता: कितनी जगह भरी है

संकुलन क्षमता = कोष्ठिका में परमाणुओं का आयतन ÷ कोष्ठिका का आयतन। हर परमाणु गोला है, आयतन (4/3)πr³, और कोष्ठिका का आयतन a³। इसलिए क्षमता = Z × (4/3)πr³ ÷ a³, और r को a में लिखने पर शुद्ध संख्या मिलती है।

गणना से SC 52.4%, BCC 68.0% और FCC 74.0% आता है। खाली जगह क्रमशः 47.6%, 32.0% और 26.0%। समान गोलों को FCC से ज़्यादा सटाकर नहीं सजाया जा सकता।

FCC घनिष्ठ संकुलन का एक रूप है, इसीलिए तांबा, चाँदी और सोने जैसी कई नरम, आसानी से ढलने वाली धातुएँ इसमें होती हैं।

कोष्ठिका से घनत्व

कोष्ठिका का द्रव्यमान = Z × (एक परमाणु का द्रव्यमान) = Z × M ÷ N_A, जहाँ N_A = 6.02 × 10²³ प्रति मोल। आयतन a³। घनत्व = द्रव्यमान ÷ आयतन, इसलिए ρ = ZM ÷ (N_A a³)। a पिकोमीटर में मिले तो पहले सेमी में बदलो: 1 pm = 10⁻¹⁰ cm।

उलटा भी चलता है: ρ ज्ञात हो तो a³ = ZM ÷ (ρ N_A)। यानी घनत्व मापकर क्रिस्टल की संरचना पहचानी जा सकती है।

हर कोष्ठिका के लिए एक पूरा उदाहरण

एक काल्पनिक धातु लो जिसके परमाणु की त्रिज्या 125 pm और मोलर द्रव्यमान 64 g/mol है। देखो तीनों सजावट में क्या-क्या बदलता है। नीचे की हर संख्या मॉडल ने खुद निकाली है।

खाली जगह: गोलों के बीच के छिद्र

गोलों को कितना भी सटाकर रखो, बीच में खाली जगह रहती ही है। FCC में खाली जगह 26.0% है। ये खाली जगहें बेतरतीब नहीं, नियमित छिद्र हैं और दो प्रकार के होते हैं। अष्टफलकीय छिद्र छह गोलों से घिरा होता है, चतुष्फलकीय छिद्र चार से।

FCC कोष्ठिका में 4 अष्टफलकीय और 8 चतुष्फलकीय छिद्र होते हैं, यानी प्रति परमाणु एक और दो। अष्टफलकीय छिद्र में समा सकने वाले सबसे बड़े गोले की त्रिज्या 0.414 × r और चतुष्फलकीय में 0.225 × r होती है। r = 125 pm पर ये 51.8 pm और 28.1 pm हैं।

इन छिद्रों में छोटे परमाणु या आयन बैठ सकते हैं। लोहे के जालक के छिद्रों में कार्बन बैठता है, इसीलिए इस्पात शुद्ध लोहे से कठोर होता है। आयनिक क्रिस्टल भी इसी तरह बनते हैं।

असल दुनिया में: धातुएँ और खाने का नमक

धातुओं का व्यवहार उनकी सजावट से मेल खाता है। FCC धातुओं (तांबा, ऐलुमिनियम, सोना) में परमाणुओं की परतें एक-दूसरे पर आसानी से फिसलती हैं, इसलिए ये नरम होती हैं और तार बन सकती हैं। BCC धातुएँ (सोडियम, पोटैशियम) कम सघन हैं, 68.0% बनाम 74.0%, इसलिए उनका घनत्व आम तौर पर कम होता है।

खाने के नमक NaCl के क्रिस्टल में क्लोराइड आयन FCC ढाँचे में बैठते हैं, इसलिए प्रति कोष्ठिका 4। सोडियम आयन अष्टफलकीय छिद्र भरते हैं और ऐसे छिद्र 4 हैं, तो सोडियम आयन भी 4। अनुपात 4 : 4 यानी 1 : 1, जो सूत्र NaCl है। हर आयन को विपरीत आवेश के छह आयन घेरते हैं, क्योंकि छिद्र अष्टफलकीय है।

इससे यह भी समझ आता है कि नमक के दाने घनाकार क्यों होते हैं: भीतर का सघन ढाँचा बाहर समतल फलकों के रूप में दिखता है, और कुचलने पर दाना समतल तलों के साथ टूटता है।

सिमुलेशन में खुद करके देखो

पहले अनुमान लिखो, फिर जाँचो।

• प्रयोग 1: FCC चुनो और दृश्य बदलो। लाल रेखा किस दिशा में है? जिन दो कोने के परमाणुओं को वह जोड़ती है, उनके बीच एक और परमाणु है क्या?
• प्रयोग 2: घुमाकर फलक के परमाणु गिनो। छह फलक, हर एक पर एक परमाणु, आधा भीतर। कुल कितना?
• प्रयोग 3: SC, BCC और FCC की संकुलन क्षमता साथ-साथ लिखकर क्रम लगाओ।
• प्रयोग 4: FCC में a को 250 से 600 pm करो। त्रिज्या का रीडआउट कैसे बदलता है? क्या अनुपात a ÷ r स्थिर रहता है?
• प्रयोग 5: M दोगुना करो। घनत्व कितने गुना होता है? अब M के बजाय a दोगुना करो। इस बार घनत्व कितने गुना?

हल किए हुए गणितीय सवाल

हर संख्या मॉडल की उसी गणना से आई है और सवालों की धातुएँ काल्पनिक हैं।

वे गलतियाँ जो सब करते हैं

हर साल इन्हीं पर अंक कटते हैं।

• कोने के परमाणु को पूरा 1 गिनना। वह आठ कोष्ठिकाओं में बँटा है, इसलिए 1/8।
• BCC में Z = 1 लेना। केंद्र का परमाणु जोड़ने पर 2 होता है।
• हर कोष्ठिका में a = 2r लगाना। यह केवल SC में सही है। BCC में 4r = √3 a और FCC में 4r = √2 a।
• a को पिकोमीटर में ही घनत्व सूत्र में डाल देना। सेमी पाने के लिए 10⁻¹⁰ से गुणा करो।
• संकुलन क्षमता और समन्वय संख्या को गड्डमड्ड करना। एक गिनती है, दूसरी आयतन का प्रतिशत।
• BCC और FCC का क्रम उलटना। FCC ज़्यादा सघन है: 74% बनाम 68%।

परीक्षा का कोना (कक्षा 12, JEE, NEET)

बिना देखे करो, फिर मिलाओ।

• SC, BCC और FCC में प्रति कोष्ठिका परमाणु और समन्वय संख्या लिखो।
• FCC में a और r का संबंध क्या है? r = 125 pm हो तो a कितना? उत्तर: 353.6 pm।
• FCC की संकुलन क्षमता कितनी है? उत्तर: 74.0%।
• एक BCC धातु में M = 50 और a = 300 pm है। घनत्व? उत्तर: 6.15 g/cm³।
• SC, BCC और FCC को संकुलन क्षमता के क्रम में लगाओ।

दोहराव: पूरा पेज एक मिनट में

परीक्षा से ठीक पहले इतना पढ़ लो।

• Z: SC 1, BCC 2, FCC 4। कोना 1/8, फलक 1/2, केंद्र 1।
• समन्वय संख्या: 6, 8, 12।
• a और r: SC a = 2r; BCC 4r = √3 a; FCC 4r = √2 a।
• संकुलन क्षमता: 52.4%, 68.0%, 74.0%।
• घनत्व ρ = ZM ÷ (N_A a³), a सेमी में।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न