संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC सिमुलेशन | Shikkha Web

संधारित्र का वोल्टेजपरिपथ की धारासूत्र से बना वक्रप्लेटों पर आवेश

गति

नियंत्रण

बैटरी का विद्युत वाहक बल, E12.0 V

प्रतिरोध, R10 kΩ

धारिता, C100 µF

स्विच

मापन

समय स्थिरांक, τ = RC: 1.00s
स्विच दबाने के बाद समय: 0.00s
संधारित्र का वोल्टेज: 0.00V
परिपथ की धारा: 1.20mA
प्लेट पर आवेश, Q = CV: 0.00µC
संचित ऊर्जा, ½CV²: 0.00µJ

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

डिफ़ॉल्ट मानों से शुरू करो: 12 V की बैटरी, 10 kΩ का प्रतिरोध और 100 µF का संधारित्र। स्विच “आवेशित हो रहा है” पर है। रीडिंग में समय स्थिरांक τ = 1 s दिख रहा है।
ऊपर का ग्राफ़ देखो। संधारित्र का वोल्टेज पहले तेज़ी से चढ़ता है, फिर चपटा होकर 12 V वाली हरी बिंदीदार रेखा की ओर बढ़ता है। तार पर नारंगी बिंदु शुरू में तेज़ भागते हैं और धारा घटने के साथ धीमे पड़ते जाते हैं।
दोनों ग्राफ़ पर 1τ वाला निशान देखो। वोल्टेज अपने अंतिम मान का 63.2% यानी 7.59 V पहुँच चुका है, जबकि धारा गिरकर शुरुआती 1.20 mA की 36.8% रह गई है।
प्रतिरोध वाला स्लाइडर बढ़ाओ। समय स्थिरांक बढ़ता है, इसलिए सब कुछ धीमे होता है, पर अंतिम वोल्टेज वही रहता है। अब धारिता का स्लाइडर बढ़ाओ: वैसी ही सुस्ती दिखेगी, साथ में रीडिंग में आवेश भी ज़्यादा मिलेगा।
संधारित्र लगभग भर जाए तो स्विच को “विसर्जित हो रहा है” पर पलटो। बैटरी कट जाती है, प्लेटें अपना आवेश प्रतिरोध से होकर वापस धकेलती हैं, धारा उलट जाती है और दोनों वक्र चरघातांकी रूप से गिरने लगते हैं।
चलते-चलते E बदल दो। ग्राफ़ वहीं से फिर शुरू होते हैं जहाँ संधारित्र उस पल खड़ा है, और वोल्टेज नए लक्ष्य की ओर चल पड़ता है। ऊर्जा की रीडिंग को कॉपी में ½CV² से मिलाकर देखो।

संधारित्र आवेश जमा करता है, प्रतिरोध बहाव रोकता है

संधारित्र दो धातु की प्लेटें होती हैं, बीच में थोड़ी दूरी के साथ। बैटरी आवेश धकेलती है तो एक प्लेट पर धन आवेश जमा होता है और दूसरी पर उतना ही ऋण आवेश। प्लेटों पर जितना ज़्यादा आवेश, उनके बीच विभवांतर उतना ज़्यादा। आवेश और विभवांतर का अनुपात हर संधारित्र के लिए एक तय संख्या होती है, जिसे उसकी धारिता C कहते हैं।

अगर संधारित्र को सीधे बैटरी से जोड़ दो तो वह लगभग उसी पल भर जाएगा। रास्ते में प्रतिरोध लगा दो तो बात बदल जाती है। प्रतिरोध धारा को सीमित करता है, इसलिए आवेश धीरे-धीरे पहुँचता है। इस जोड़ी को RC परिपथ कहते हैं, और इसकी रफ़्तार सिर्फ़ दो संख्याओं, R और C, से तय होती है।

RC परिपथ हर जगह हैं: फ़ोन की स्क्रीन के मद्धम होने से पहले की देरी, कैमरे की फ़्लैश, पावर सप्लाई की स्मूथिंग, इंडिकेटर का टिमटिमाना और अनगिनत गैजेट के टाइमर। यही एक तस्वीर इन सबको समझा देती है।

Q = C Vप्लेट पर आवेश = धारिता × विभवांतर

U = ½ C V²प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र में संचित ऊर्जा

आवेशन धीमा क्यों पड़ता जाता है

हर पल प्रतिरोध पर लगे विभवांतर को देखो। शुरू में संधारित्र खाली है, उसका वोल्टेज शून्य है, इसलिए बैटरी का पूरा विद्युत वाहक बल E प्रतिरोध पर गिरता है। ओम के नियम से शुरुआती धारा E ÷ R। डिफ़ॉल्ट मानों पर 12 ÷ 10 = 1.20 mA (वोल्ट को किलो-ओम से भाग दो तो मिलीएम्पियर मिलता है)।

जैसे-जैसे आवेश जमा होता है, संधारित्र का अपना वोल्टेज V बन जाता है जो बैटरी का विरोध करता है। प्रतिरोध के लिए अब सिर्फ़ E − V बचता है। उसी प्रतिरोध पर कम विभवांतर का मतलब कम धारा। यानी संधारित्र जितना भरता जाता है, उतना ही धीमा भरता है।

जब भरने की रफ़्तार इस बात के अनुपात में हो कि अभी कितनी जगह बची है, तो हमेशा चरघातांकी वक्र बनता है। चाय का ठंडा होना, छेद वाली बाल्टी का खाली होना, रेडियोधर्मी नमूने का क्षय, सब इसी आकार के हैं।

आवेशन के सूत्र

ऊपर वाली बात को ठीक-ठीक हल करो तो दो छोटे सूत्र मिलते हैं। पहला संधारित्र के सिरों का वोल्टेज देता है, दूसरा परिपथ की धारा। दोनों में संख्या e ≈ 2.718 है और t स्विच बंद करने के बाद का समय।

V(t) = E (1 − e^(−t/RC))आवेशन के दौरान संधारित्र का वोल्टेज

I(t) = (E/R) e^(−t/RC)आवेशन के दौरान धारा: शुरू में सबसे ज़्यादा

Q(t) = C E (1 − e^(−t/RC))प्लेट पर आवेश

t = 0 पर चरघातांकी पद 1 है, इसलिए V = 0 और I = E ÷ R। पहले क्षण में संधारित्र सादे तार जैसा बर्ताव करता है।
t बहुत बड़ा हो तो चरघातांकी पद मिट जाता है, इसलिए V → E और I → 0। पूरी तरह भरा संधारित्र स्थिर धारा को रोक देता है, टूटे तार की तरह।
सीमित समय में वोल्टेज E को ठीक-ठीक कभी नहीं छूता। व्यवहार में कुछ समय स्थिरांक बाद अंतर इतना छोटा रह जाता है कि नापा नहीं जा सकता।

समय स्थिरांक τ = RC

चरघातांकी के अंदर RC की जोड़ी आती है। इसकी इकाई समय की है, इसलिए इसे अपना प्रतीक दिया गया: τ = RC, यानी समय स्थिरांक। यही एक संख्या बताती है कि परिपथ तेज़ है या सुस्त।

सिमुलेशन के अपने मानों से इकाई जाँचो। R = 10 kΩ = 10,000 Ω और C = 100 µF = 0.0001 F। तब τ = 10,000 × 0.0001 = 1 s। किसी और चीज़ को बदलने की ज़रूरत नहीं। आम नियम: किलो-ओम × माइक्रोफ़ैरड = मिलीसेकंड। यहाँ 10 × 100 = 1,000 ms।

आवेशन के सूत्र में t = τ रखो तो चरघातांकी e⁻¹ = 0.368 हो जाता है। इसलिए एक समय स्थिरांक बाद संधारित्र E की ओर 63.2% रास्ता तय कर चुका होता है, और धारा शुरुआती मान की 36.8% रह जाती है। यह तथ्य याद रखो। यह हर R, हर C और हर E के लिए सही है।

τ = R Cओम × फ़ैरड = सेकंड

V(τ) = 0.632 Eएक समय स्थिरांक बाद: 63.2% आवेशित

I(τ) = 0.368 I₀एक समय स्थिरांक बाद: शुरुआती धारा की 36.8%

कितने समय स्थिरांक में संधारित्र “भरा” माना जाए?

वक्र E के पास पहुँचता ही रहता है, पहुँचता नहीं, इसलिए इंजीनियर समय स्थिरांक को पैमाना बनाते हैं। नीचे की सारणी डिफ़ॉल्ट परिपथ के लिए आवेशन का स्तर और वोल्टेज देती है, जहाँ E = 12 V।

समय	कितना आवेशित	संधारित्र का वोल्टेज (V)	धारा (mA)
1τ	63.2%	7.59	0.44
2τ	86.5%	10.38	0.16
3τ	95.0%	11.40	0.06
4τ	98.2%	11.78	0.02
5τ	99.3%	11.92	0.01

विसर्जन: वही वक्र, बस ढलान उतरती हुई

स्विच को “विसर्जित हो रहा है” पर पलटो तो बैटरी तस्वीर से बाहर हो जाती है। अब संधारित्र खुद छोटी बैटरी की तरह अपना आवेश प्रतिरोध से होकर वापस धकेलता है। अगर वह V₀ से शुरू हुआ, तो वोल्टेज और धारा दोनों उसी τ के साथ चरघातांकी रूप से घटते हैं।

धारा आवेशन के उलट दिशा में बहती है, इसलिए सिमुलेशन में धारा का ग्राफ़ शून्य रेखा से नीचे चला जाता है। परिमाण उसी गुणक से घटता है। एक समय स्थिरांक बाद संधारित्र अपना 63.2% वोल्टेज खो चुका है और 36.8% बचा है।

V(t) = V₀ e^(−t/RC)विसर्जन के दौरान संधारित्र का वोल्टेज

I(t) = −(V₀/R) e^(−t/RC)ऋण चिह्न: धारा उलटी

संचित ऊर्जा, और बाक़ी ऊर्जा कहाँ गई

आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा U = ½ C V² होती है। डिफ़ॉल्ट परिपथ को 12 V तक पूरा भरो तो ½ × 100 µF × 12² = 7,200 µJ, यानी 7.20 mJ। प्लेट पर आवेश Q = CV = 100 × 12 = 1,200 µC।

पर बैटरी को पूरा आवेश Q विभवांतर E के पार धकेलना पड़ा था, इसलिए उसने Q × E = C E² = 14.40 mJ ऊर्जा दी। इसमें से सिर्फ़ आधी संचित हुई। बाक़ी आधी, 7.20 mJ, रास्ते में प्रतिरोध में ऊष्मा बनकर निकल गई।

ज़्यादातर विद्यार्थी यह देखकर चौंकते हैं, क्योंकि यह R पर निर्भर ही नहीं करता। बड़ा प्रतिरोध संधारित्र को धीमे भरेगा, पर कुल बर्बाद ऊर्जा ठीक उतनी ही रहेगी। सिमुलेशन में R के अलग-अलग मान रखकर अंतिम ऊर्जा की रीडिंग मिलाओ: वह कभी नहीं बदलती।

U(stored) = ½ C E²अंत में संधारित्र में

W(battery) = C E²बैटरी ने कुल इतना दिया

heat in R = ½ C E²बाक़ी आधी, R चाहे जो हो

हल किया उदाहरण 1: दिए वोल्टेज तक पहुँचने का समय

9 V की सप्लाई 47 kΩ से होकर 470 µF के संधारित्र को आवेशित करती है। संधारित्र को 6 V तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?

चरण 1: समय स्थिरांक

τ = RC = 47 kΩ × 470 µF = 22.09 s।

चरण 2: आवेशन के सूत्र को पलटो

V = E(1 − e^(−t/τ)) से शुरू करो। तब V/E = 1 − e^(−t/τ), इसलिए e^(−t/τ) = 1 − V/E, और दोनों तरफ़ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर t = −τ ln(1 − V/E)।

t = −τ ln(1 − V/E)

चरण 3: संख्याएँ रखो

V/E = 6 ÷ 9 = 0.67। तब ln(1 ÷ (1 − 0.67)) = 1.099, इसलिए t = 22.09 × 1.099 = 24.27 s। झटपट जाँच: 3τ यानी 66.27 s पर करीब 95% आवेशन होता, तो E के दो-तिहाई तक एक τ से थोड़ा ज़्यादा समय में पहुँचना ठीक बैठता है।

हल किया उदाहरण 2: एक विसर्जन

एक संधारित्र 12 V तक आवेशित है, फिर 10 kΩ से होकर विसर्जित होता है, C = 100 µF, इसलिए τ = 1 s। दो सवाल।

2 s बाद वोल्टेज कितना होगा? यहाँ t/τ = 2.00, इसलिए V = 12 × e^(−2.00) = 1.62 V।

गिरकर 1 V होने में कितना समय लगेगा? V = V₀ e^(−t/τ) से t = τ ln(V₀/V) = 1 × ln(12) = 1 × 2.485 = 2.48 s।

शुरुआती धारा 12 ÷ 10 = 1.20 mA है। तीन समय स्थिरांक बाद वह 1.20 × e⁻³ = 0.06 mA रह जाती है, शुरुआत का सिर्फ़ 5%।

हल किया उदाहरण 3: कैमरे की फ़्लैश वाला संधारित्र

कैमरा-फ़्लैश जैसा 1,000 µF का संधारित्र 24 V तक आवेशित है। प्लेट पर आवेश 1,000 µF × 24 V = 24.00 mC। ऊर्जा ½ × 1,000 µF × 24² = 288 mJ, यानी 0.288 J।

इतनी ऊर्जा से 100 g का एक सेब 29 cm ऊपर उठाया जा सकता है। सुनने में कम लगती है, पर यह एक सेकंड के हज़ारवें हिस्से या उससे भी कम में निकलती है, इसलिए शक्ति बहुत बड़ी होती है। इसीलिए फ़्लैश इतनी तेज़ चमकती है और छोटे धमाकों के लिए संधारित्र सही औज़ार है।

परीक्षा के लिए आसान तरकीबें

ये शॉर्टकट बहुविकल्पीय प्रश्नों और आंकिक सवालों में समय बचाते हैं।

1τ बाद: 63.2% आवेशित। 2τ बाद: 86.5%। 3τ बाद: 95.0%। 5τ बाद: 99.3%।
50% तक पहुँचने में 0.693 τ = 0.69 s लगता है। 90% तक 2.303 τ = 2.30 s। 99% तक 4.605 τ = 4.61 s।
शुरुआती धारा E ÷ R है, C चाहे जो हो। अंतिम वोल्टेज E है, R चाहे जो हो।
R दोगुना करो या C दोगुना करो, τ दोगुना हो जाता है। अंतिम आवेश सिर्फ़ C और E पर निर्भर है।
t = 0 पर वोल्टेज वक्र की ढलान E ÷ τ है। अगर संधारित्र उसी शुरुआती रफ़्तार से भरता रहता तो ठीक एक τ में E तक पहुँच जाता। शुरू में खींची स्पर्श रेखा अंतिम मान वाली रेखा को t = τ पर काटती है।
संधारित्र का वोल्टेज छलाँग नहीं लगा सकता। प्रतिरोध से बहती धारा लगा सकती है।

आम ग़लतियाँ

ये चार सबसे ज़्यादा अंक कटवाती हैं।

यह मान लेना कि t = τ पर संधारित्र भर गया। एक समय स्थिरांक पर वह सिर्फ़ 63% आवेशित होता है।
इकाइयाँ मिलाना। ओम के साथ फ़ैरड लो, या किलो-ओम के साथ माइक्रोफ़ैरड (और उत्तर मिलीसेकंड में पढ़ो)। किलो-ओम के साथ फ़ैरड कभी नहीं।
यह कहना कि बैटरी की सारी ऊर्जा संधारित्र में चली जाती है। ठीक आधी प्रतिरोध में ऊष्मा बन जाती है।
विसर्जन धारा का चिह्न भूल जाना। वह आवेशन की धारा के उलट दिशा में चलती है, भले ही उसी तरह घटती हो।

दोहराने की सूची

परीक्षा से पहले इन्हें ज़ोर से बोलकर दोहराओ।

τ = RC, सेकंड में, जब R ओम में और C फ़ैरड में हो।
आवेशन: V = E(1 − e^(−t/RC)) और I = (E/R) e^(−t/RC)।
विसर्जन: V = V₀ e^(−t/RC), धारा उलटी।
t = τ पर: 63.2% आवेशित, धारा घटकर 36.8%।
संचित ऊर्जा ½CV²। बैटरी CE² देती है, आधी R में ऊष्मा बनकर खो जाती है।
t = 0 पर संधारित्र तार जैसा है, और पूरा भरने पर खुले अंतराल जैसा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

RC परिपथ का समय स्थिरांक क्या होता है?

यह τ = RC है, यानी प्रतिरोध और धारिता का गुणनफल। एक समय स्थिरांक बाद आवेशित होता संधारित्र बैटरी वोल्टेज के 63.2% तक पहुँच जाता है, और विसर्जित होता संधारित्र अपने शुरुआती वोल्टेज का 36.8% रह जाता है। R = 10 kΩ और C = 100 µF के लिए τ = 1 s।

संधारित्र बैटरी के वोल्टेज तक ठीक-ठीक क्यों नहीं पहुँचता?

उसे भरने वाली धारा उस वोल्टेज के अनुपात में होती है जो अभी बचा है। अंतर घटता है तो धारा भी घटती है, इसलिए हर बराबर समय में संधारित्र अंतर का उतना ही अंश पाटता है और अंतर कभी ठीक शून्य नहीं होता। 5τ बाद वह अंतिम मान के 1% के भीतर आ जाता है, जो हर असली काम के लिए काफ़ी है।

संधारित्र को पूरा आवेशित होने में कितना समय लगता है?

सिद्धांत में अनंत, व्यवहार में लगभग 5τ। डिफ़ॉल्ट परिपथ में 1 × 5 सेकंड बाद वोल्टेज 12 V में से 11.92 V होता है, यानी 99.3% आवेशन।

संधारित्र में कितनी ऊर्जा संचित होती है?

U = ½CV²। 12 V पर 100 µF के लिए यह 7,200 µJ है। बैटरी इसकी दोगुनी ऊर्जा देती है, और बाक़ी आधी प्रतिरोध में ऊष्मा बनकर निकल जाती है, चाहे प्रतिरोध का मान कुछ भी हो।

स्विच बंद करने के ठीक उसी पल धारा कितनी होती है?

E ÷ R, क्योंकि खाली संधारित्र का कोई वोल्टेज नहीं होता और वह तार जैसा काम करता है। डिफ़ॉल्ट परिपथ में यह 1.20 mA है।

क्या विसर्जन वक्र में भी वही समय स्थिरांक लगता है?

हाँ। आवेशन और विसर्जन दोनों में τ = RC लगता है, क्योंकि प्रतिरोध और संधारित्र वही हैं। बस शुरुआती और अंतिम वोल्टेज अलग होते हैं।

स्लाइडर खिसकाने पर वक्र फिर से क्यों शुरू हो जाते हैं?

सूत्र मानकर चलते हैं कि स्विच दबाने के पल से E, R और C तय हैं। जब तुम कोई मान बदलते हो, तो सिमुलेशन उस पल संधारित्र में जो वोल्टेज है, वहीं से नया वक्र शुरू करता है, ताकि तस्वीर हमेशा किसी ऐसे सूत्र से मेल खाए जिसे तुम कॉपी में लिख सको।

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आवेशन धीमा क्यों पड़ता जाता है

आवेशन के सूत्र

समय स्थिरांक τ = RC

कितने समय स्थिरांक में संधारित्र “भरा” माना जाए?

विसर्जन: वही वक्र, बस ढलान उतरती हुई

संचित ऊर्जा, और बाक़ी ऊर्जा कहाँ गई

हल किया उदाहरण 1: दिए वोल्टेज तक पहुँचने का समय

चरण 1: समय स्थिरांक

चरण 2: आवेशन के सूत्र को पलटो

चरण 3: संख्याएँ रखो

हल किया उदाहरण 2: एक विसर्जन

हल किया उदाहरण 3: कैमरे की फ़्लैश वाला संधारित्र

परीक्षा के लिए आसान तरकीबें

आम ग़लतियाँ

दोहराने की सूची

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

RC परिपथ का समय स्थिरांक क्या होता है?

संधारित्र बैटरी के वोल्टेज तक ठीक-ठीक क्यों नहीं पहुँचता?

संधारित्र को पूरा आवेशित होने में कितना समय लगता है?

संधारित्र में कितनी ऊर्जा संचित होती है?

स्विच बंद करने के ठीक उसी पल धारा कितनी होती है?

क्या विसर्जन वक्र में भी वही समय स्थिरांक लगता है?

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