नियंत्रण
क्या देखना है
मापन
- स्केल गुणक, k
- 1.5
- DE ÷ AB
- 1.500
- EF ÷ BC
- 1.500
- FD ÷ CA
- 1.500
- परिमाप का अनुपात
- 1.500
- ABC का क्षेत्रफल
- 12.99सेमी²
- DEF का क्षेत्रफल
- 29.23सेमी²
- क्षेत्रफल का अनुपात
- 2.250
- ∠A = ∠D
- 60.0°
- ∠B = ∠E
- 51.1°
- ∠C = ∠F
- 68.9°
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- “स्केल और अनुपात” मोड से शुरू करें। नीला त्रिभुज ABC स्थिर है और DEF उसी की k गुना बड़ी प्रतिलिपि है (शुरू में k = 1.50)। Play दबाइए और देखिए कि प्रतिलिपि उसी माप से बढ़कर अपने अंतिम माप तक पहुँचती है, जबकि हर संगत कोण के चिह्न वैसे ही रहते हैं।
- “स्केल गुणक” स्लाइडर को 0.5 से 3 के बीच खींचिए। 1 से कम पर प्रतिलिपि छोटी होती है, 1 पर वही त्रिभुज, 1 से ज़्यादा पर बड़ी। रीडिंग में तीनों भुजाओं का अनुपात k के बराबर है। परिमाप का अनुपात भी k है, पर क्षेत्रफल का अनुपात k² है।
- “कोण A” बदलिए। इससे पूरा परिवार बदल जाता है: शुरुआती त्रिभुज अलग, प्रतिलिपि भी अलग। फिर भी ABC और DEF के कोण जोड़ी-जोड़ी में बराबर रहते हैं, ठीक वही जो “समरूप” शब्द वादा करता है।
- “समरूपता के नियम” मोड में जाकर SSS, SAS या AA चुनिए। बाईं ओर एक आधार त्रिभुज है। दाईं ओर स्लाइडर से अपना त्रिभुज बनाइए; सिमुलेशन पूर्णांकों के सटीक हिसाब से बता देगा कि दोनों समरूप हैं या नहीं।
- हर नियम को तोड़कर देखिए। SSS में एक भुजा 1 बदलते ही तीनों अनुपात नहीं मिलते। SAS में दोनों अनुपात बराबर रखकर कोण को थोड़ा हिलाइए। AA में एक कोण बदलने पर तीसरा कोण भी साथ खिसकता है।
- अंत में “छाया से ऊँचाई” देखिए। सूर्य को नीचे लाइए, दोनों छायाएँ साथ-साथ लंबी होती हैं। दोनों छायाओं का अनुपात नहीं बदलता, इसलिए व्यक्ति की ऊँचाई और दोनों छायाओं से मिली पेड़ की ऊँचाई भी वही रहती है।
फ़ोटो ज़ूम करने पर भी आकृति नहीं बदलती
फ़ोन में कोई फ़ोटो खोलकर उसे 150% ज़ूम कीजिए। सब कुछ बड़ा हो जाता है, पर किसी का चेहरा लंबा या चौड़ा नहीं हो जाता। पीछे की मीनार सामने के दरवाज़े की तुलना में उतनी ही ऊँची रहती है जितनी पहले थी। समरूप आकृतियों का पूरा विचार यही है: ऐसा सटीक बड़ा या छोटा करना जो अनुपात नहीं बिगाड़ता। ज़ूम की हुई फ़ोटो छापें तो हर लंबाई पहले से 1.50 गुना होगी और कागज़ 2.25 गुना लगेगा।
त्रिभुज इस गुण वाली सबसे सरल आकृतियाँ हैं, और समरूप त्रिभुज स्कूल ज्यामिति के सबसे काम के औज़ारों में से एक हैं। सर्वेक्षक इनसे पहाड़ों की ऊँचाई नापते हैं, वास्तुकार नक्शे घटाते-बढ़ाते हैं, और आपकी आँखें भी इन्हें इस्तेमाल करती हैं: दूर की गाड़ी छोटी दिखती है क्योंकि उसके ऊपरी और निचले सिरे से आँख तक बना त्रिभुज पास की गाड़ी के त्रिभुज की ही छोटी प्रतिलिपि है।
“समरूप” का असली मतलब
दो त्रिभुज ABC और DEF समरूप तब होते हैं जब दो बातें एक साथ सच हों। पहली, कोण जोड़ियों में बराबर हों: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E और ∠C = ∠F। दूसरी, संगत भुजाओं का अनुपात एक ही हो: DE ÷ AB = EF ÷ BC = FD ÷ CA। यही साझा अनुपात स्केल गुणक k है। हम ABC ~ DEF लिखते हैं, और अक्षरों का क्रम मायने रखता है क्योंकि वही बताता है कि कौन-सा शीर्ष किससे मिलता है।
बराबर कोणों के सामने वाली भुजाओं को संगत भुजाएँ कहते हैं। सिमुलेशन में संगत शीर्ष A और D, B और E, C और F हैं, इसलिए AB से DE, BC से EF और CA से FD मिलता है। भुजाएँ हमेशा कोण देखकर मिलाइए, चित्र में कैसी दिखती हैं यह देखकर नहीं, क्योंकि समरूप त्रिभुज घुमा या पलटा हुआ हो सकता है।
सर्वांगसम त्रिभुज वह विशेष स्थिति है जहाँ k = 1: आकृति भी एक, माप भी एक। सर्वांगसम त्रिभुज निश्चित रूप से समरूप होते हैं, पर समरूप त्रिभुज लगभग कभी सर्वांगसम नहीं होते।
| प्रश्न | सर्वांगसम त्रिभुज | समरूप त्रिभुज |
|---|---|---|
| आकृति | एक | एक |
| माप | एक | अलग हो सकता है |
| संगत कोण | बराबर | बराबर |
| संगत भुजाएँ | बराबर (k = 1) | अनुपात k |
| चिह्न | ≅ | ~ |
| क्षेत्रफल | बराबर | अनुपात k² |
स्केल गुणक और k, k, k² का नियम
समरूप त्रिभुजों की हर बात एक संख्या पर टिकी है: स्केल गुणक k। अगर DEF, ABC से k गुना बड़ा है, तो DEF की हर भुजा ABC की संगत भुजा की k गुना है। तीनों भुजाएँ जोड़ें तो परिमाप भी k गुना होता है, क्योंकि परिमाप तीन लंबाइयों का योग है और हर एक k गुना हुई।
क्षेत्रफल अलग है। क्षेत्रफल समतल जगह नापता है, जिसकी दो दिशाएँ हैं; इसलिए लंबाई और चौड़ाई दोनों k गुना होती हैं और क्षेत्रफल में k × k का गुणक आ जाता है। सिमुलेशन की रीडिंग में क्षेत्रफल का अनुपात हमेशा ठीक k² पर रुकता है।
DE ÷ AB = EF ÷ BC = FD ÷ CA = kहर भुजा का अनुपात
DEF का परिमाप ÷ ABC का परिमाप = kलंबाई k गुना
DEF का क्षेत्रफल ÷ ABC का क्षेत्रफल = k²क्षेत्रफल k² गुना
| k | भुजाएँ (3-4-5 त्रिभुज को स्केल करने पर) | परिमाप | क्षेत्रफल | k² |
|---|---|---|---|---|
| 0.50 | 1.50, 2, 2.50 | 6 | 1.50 | 0.25 |
| 1 | 3, 4, 5 | 12 | 6 | 1 |
| 2 | 6, 8, 10 | 24 | 24 | 4 |
| 3 | 9, 12, 15 | 36 | 54 | 9 |
| 4 | 12, 16, 20 | 48 | 96 | 16 |
तीन नियम: सब कुछ जाँचने की ज़रूरत नहीं
परिभाषा तीन जोड़ी कोण और तीन अनुपात मिलाने को कहती है। यह बहुत मेहनत है। सौभाग्य से त्रिभुज की आकृति इतनी कठोर है कि कुछ तथ्य ही बाकी सब तय कर देते हैं। तीन नियम काफ़ी हैं, और परीक्षा में यही पूछे जाते हैं।
AA: दो कोण बराबर
अगर एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप हैं। तीसरे कोण भी बराबर होने को बाध्य हैं, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। सिमुलेशन के आधार त्रिभुज के कोण 50°, 60° और 70° हैं। D = 50° और E = 60° वाला त्रिभुज समरूप है, भुजाएँ चाहे जितनी लंबी हों।
∠A = ∠D और ∠B = ∠E ⇒ ABC ~ DEFAA नियम
SSS: तीनों भुजाएँ समानुपाती
अगर तीनों भुजाओं के अनुपात बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप हैं। आधार त्रिभुज की भुजाएँ 4, 6 और 8 हैं। जिस त्रिभुज की भुजाएँ 4k, 6k और 8k हों, वह इसके समरूप है। सबसे छोटी को सबसे छोटी से, बीच वाली को बीच वाली से और सबसे बड़ी को सबसे बड़ी से मिलाइए।
DE ÷ AB = EF ÷ BC = FD ÷ CA ⇒ ABC ~ DEFSSS नियम
SAS: दो भुजाएँ समानुपाती और उनके बीच का कोण बराबर
दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण लीजिए। आधार त्रिभुज में भुजाएँ 4 और 6 हैं और बीच का कोण 50° है। आपके त्रिभुज में दोनों भुजाओं का अनुपात वही हो और बीच का कोण भी 50° हो, तो त्रिभुज समरूप हैं। कोण ठीक उन्हीं दो भुजाओं के बीच का होना चाहिए, कोई और कोण नहीं।
DE ÷ AB = DF ÷ AC और ∠A = ∠D ⇒ ABC ~ DEFSAS नियम
सिमुलेशन में खुद आज़माइए
पाँच छोटे प्रयोग नियमों को हाथ से महसूस कराते हैं। सिर्फ़ पढ़िए मत, स्लाइडर हिलाइए।
- “स्केल और अनुपात” में k = 2.50 कीजिए। क्षेत्रफल का अनुपात 6.25 है, यानी 2.50 × 2.50। अब k = 3 करें तो वह 9 हो जाता है।
- k = 1 कीजिए। प्रतिलिपि ठीक उसी माप पर बैठती है, यानी त्रिभुज सर्वांगसम हैं। यही “k = 1” विशेष स्थिति है।
- “समरूपता के नियम” में SSS चुनकर d, e, f को 8, 12, 16 कीजिए। निष्कर्ष आएगा समरूप, k = 2। f को 15 कर दें तो निष्कर्ष पलट जाएगा।
- SAS चुनकर d और e को 4 और 6 के समानुपाती कीजिए, जैसे 8 और 12। बीच का कोण ठीक 50° हो तभी समरूप है। 51° करते ही नहीं मिलता।
- AA चुनिए। D = 50° और E = 60° पर त्रिभुज समरूप है। D = 60° और E = 50° पर भी समरूप है, बस घूम गया है, क्योंकि वही तीन कोण अलग क्रम में आए हैं।
संगतता को सही ढंग से लिखना
समरूपता के सवालों में ज़्यादातर अंक गलत भुजाएँ मिलाने से कटते हैं। एक सुरक्षित तरीका अपनाइए। पहले बराबर कोण ढूँढिए। फिर शीर्षों को मिलते क्रम में समरूपता लिखिए, जैसे A = D, B = E, C = F हो तो ABC ~ DEF। अंत में अक्षर देखकर अनुपात लिखिए: AB ÷ DE = BC ÷ EF = CA ÷ FD।
चित्र अलग दिखे तो एक त्रिभुज को कागज़ पर इस तरह दोबारा बनाइए कि दोनों की दिशा एक हो जाए। घुमाने या पलटने पर भी समरूप त्रिभुज समरूप ही रहता है, इसलिए इसमें कोई नुकसान नहीं, उलटे संगत भुजाएँ आँखों के सामने पास-पास आ जाती हैं।
- सबसे लंबी भुजा हमेशा सबसे लंबी से मिलती है, सबसे छोटी सबसे छोटी से।
- भुजा अपने सामने के कोण से बँधी होती है, इसलिए बराबर कोण से संगत भुजाएँ मिल जाती हैं।
- अनुपात “छोटा त्रिभुज ÷ बड़ा त्रिभुज” या उलटा लिख सकते हैं, पर हर भिन्न में दिशा एक ही रखिए।
त्रिभुज के अंदर समांतर रेखा
त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर DE खींचिए, जहाँ D, AB पर और E, AC पर है। छोटे त्रिभुज ADE और बड़े त्रिभुज ABC में कोण A उभयनिष्ठ है, और समांतर रेखाओं से ∠ADE = ∠ABC तथा ∠AED = ∠ACB मिलता है। यह AA है, इसलिए ADE ~ ABC।
यही सरल चित्र आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) है: त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। इसका प्रमाण वही समरूपता है जो आप पहले देख चुके हैं।
AD ÷ DB = AE ÷ ECकटी हुई भुजाएँ समानुपाती
DE ÷ BC = AD ÷ ABसमांतर भुजा भी उसी अनुपात में
छाया से ऊँचा पेड़ नापना
पेड़ पर चढ़कर फ़ीता लेकर कोई नापना नहीं चाहता। इसके बजाय धूप वाले दिन पेड़ के पास खड़े हो जाइए। सूर्य की किरणें लगभग समांतर होती हैं, इसलिए पेड़ और आप पर एक ही कोण से धूप पड़ती है। पेड़ और उसकी छाया एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, और आप तथा आपकी छाया दूसरा, जिसके कोण वही हैं। AA से दोनों त्रिभुज समरूप हैं।
इसलिए ऊँचाई ÷ छाया का अनुपात दोनों के लिए एक है। अपनी ऊँचाई, अपनी छाया और पेड़ की छाया नापिए, और समानुपात से पेड़ की ऊँचाई निकल आती है। सिमुलेशन में “छाया से ऊँचाई” मोड में सूर्य खिसकाइए: छायाएँ लंबी होती हैं, पर दोनों छायाओं का अनुपात और पेड़ की ऊँचाई का अनुमान नहीं हिलता।
पेड़ की ऊँचाई ÷ पेड़ की छाया = व्यक्ति की ऊँचाई ÷ व्यक्ति की छायासमरूप समकोण त्रिभुज
पेड़ की ऊँचाई = व्यक्ति की ऊँचाई × (पेड़ की छाया ÷ व्यक्ति की छाया)
हल किए हुए प्रश्न
नीचे की हर संख्या उन्हीं सूत्रों से निकाली गई है जो सिमुलेशन इस्तेमाल करता है।
प्रश्न 1: 4-5-6 त्रिभुज को 2.50 गुना करना
नई भुजाएँ 4 × 2.50 = 10, 5 × 2.50 = 12.50 और 6 × 2.50 = 15 हैं। परिमाप 15 से 37.50 हो जाता है, यानी 2.50 गुना। क्षेत्रफल 9.92 से 62.01 होता है, यानी 6.25 गुना, क्योंकि 2.50 × 2.50 = 6.25।
प्रश्न 2: क्षेत्रफल 18 और 50
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 18 वर्ग सेमी और 50 वर्ग सेमी हैं। क्षेत्रफलों का अनुपात 50 ÷ 18 = 2.78 है, जो k² है। इसलिए k = √2.78 = 1.67। छोटे त्रिभुज की 6 सेमी भुजा की संगत भुजा बड़े में 6 × 1.67 = 10 सेमी है।
प्रश्न 3: दो जोड़ियों पर SSS
त्रिभुज 1 की भुजाएँ 3, 5, 7 और त्रिभुज 2 की भुजाएँ 9, 15, 21 हैं। अनुपात 3, 3, 3 हैं। तीनों बराबर हैं, इसलिए SSS से समरूप, k = 3।
त्रिभुज 3 की भुजाएँ 4, 6, 9 और त्रिभुज 4 की भुजाएँ 6, 9, 13 हैं। अनुपात 1.500, 1.500, 1.444 हैं। तीसरा अलग है, इसलिए देखने में पास होते हुए भी ये समरूप नहीं हैं।
प्रश्न 4: छूटा कोण निकालकर AA जाँचना
त्रिभुज ABC में A = 40° और B = 65° है, इसलिए C = 180° − 105° = 75°। त्रिभुज DEF में D = 40° और F = 75° है, इसलिए E = 180° − 115° = 65°। कोण जोड़ियों में बराबर हैं, इसलिए AA से ABC ~ DEF।
प्रश्न 5: छाया से पेड़ की ऊँचाई
1.50 मीटर लंबे व्यक्ति की छाया 2.40 मीटर है। उसी समय पेड़ की छाया 16 मीटर है। छायाओं का अनुपात 16 ÷ 2.40 = 6.67 है। इसलिए पेड़ की ऊँचाई 1.50 × 6.67 = 10 मीटर।
प्रश्न 6: इमारत और खंभा
3 मीटर के खंभे की छाया 5 मीटर है, और उसी समय इमारत की छाया 40 मीटर है। इमारत की ऊँचाई 3 ÷ 5 × 40 = 24 मीटर।
प्रश्न 7: त्रिभुज के अंदर समांतर रेखा
त्रिभुज ABC में DE ∥ BC है, AD = 4, DB = 6 और AE = 3। AD ÷ DB = AE ÷ EC से EC = 3 × 6 ÷ 4 = 4.50। साथ ही AB = 10, इसलिए DE ÷ BC = 4 ÷ 10 = 0.40। BC = 15 हो तो DE = 6।
प्रश्न 8: स्केल मॉडल
एक इमारत का मॉडल 1 : 200 के पैमाने पर बना है, इसलिए k = 200। मॉडल की 12 सेमी ऊँचाई असल में 12 × 200 = 24 मीटर है। मॉडल का 30 वर्ग सेमी फ़र्श असल में 30 × 40,000 वर्ग सेमी = 120 वर्ग मीटर है, क्योंकि क्षेत्रफल k² गुना होता है।
आम गलतियाँ
ये गलतियाँ हर परीक्षा में अंक कटवाती हैं। कॉपी जमा करने से पहले जाँच लीजिए।
- पन्ने पर स्थिति देखकर भुजाएँ मिलाना, जबकि मिलानी हैं सामने के कोण देखकर। ज़रूरत हो तो चित्र दोबारा बनाइए।
- क्षेत्रफल के अनुपात को भुजाओं का अनुपात समझ लेना। क्षेत्रफल 9 : 25 के अनुपात में हों तो भुजाएँ 3 : 5 में होती हैं, 9 : 25 में नहीं।
- SSS में सिर्फ़ दो अनुपात मिलाना। तीनों मिलने चाहिए।
- SAS में चुनी हुई दो भुजाओं के बीच का कोण न लेकर कोई और कोण लेना।
- सिर्फ़ कोण बराबर होने पर सर्वांगसम मान लेना। कोण बराबर हों तो समरूपता मिलती है; सर्वांगसम के लिए कम से कम एक भुजा भी बराबर चाहिए।
असल ज़िंदगी में समरूप त्रिभुज
नक्शा बनाने वाले समरूपता पर टिके हैं: नक्शा ज़मीन की छोटी प्रतिलिपि है, जिसका स्केल गुणक शायद 1 : 50,000 हो। दूरियाँ 50,000 गुना और क्षेत्रफल 50,000 × 50,000 गुना होते हैं। वास्तुकार के नक्शे और गाड़ी, हवाई जहाज़, इमारत के मॉडल सब k से बनते हैं।
फ़ोटोग्राफ़र क्रॉप और रीसाइज़ करते समय इसे इस्तेमाल करते हैं। चित्रकार ग्रिड की मदद से छोटा स्केच दीवार पर बड़ा करते हैं। सर्वेक्षक नदी पार किए बिना उसकी चौड़ाई नापते हैं: अपने किनारे पर एक छोटा त्रिभुज बनाते हैं जो नदी को छूते बड़े त्रिभुज के समरूप होता है।
वीडियो गेम में दूर की चीज़ों का छोटा हो जाना भी इन्हीं त्रिभुजों से होता है। जहाँ भी माप बदलने पर आकृति बचाए रखनी हो, वहाँ समरूप त्रिभुज मौजूद हैं।
परीक्षा का कोना
कक्षा 8 से 10 के समरूप त्रिभुज के प्रश्न ज़्यादातर पाँच प्रकार के होते हैं। लिखना शुरू करने से पहले प्रकार पहचान लीजिए।
- दो त्रिभुजों को समरूप सिद्ध करना: दो बराबर कोण जोड़ी (AA) या तीन समानुपाती भुजाएँ (SSS) ढूँढिए।
- छूटी भुजा ज्ञात करना: अक्षर मिलाकर समानुपात लिखिए और आड़ा गुणा कीजिए।
- क्षेत्रफल और परिमाप: क्षेत्रफल के लिए अनुपात का वर्ग, परिमाप के लिए सीधा अनुपात।
- त्रिभुज में समांतर रेखा: AD ÷ DB = AE ÷ EC और DE ÷ BC = AD ÷ AB का प्रयोग कीजिए।
- ऊँचाई और छाया: ऊँचाई और छाया का समानुपात बनाइए।
पुनरावृत्ति सार
इस पन्ने से कुछ और याद न रहे तो ये पंक्तियाँ याद रखिए।
ABC ~ DEF ⇒ ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
DE ÷ AB = EF ÷ BC = FD ÷ CA = k
परिमाप का अनुपात = k
क्षेत्रफल का अनुपात = k²
AA · SSS · SASतीन नियम
- k = 1 हो तो त्रिभुज सर्वांगसम।
- भुजाएँ उनके सामने के कोणों से मिलाइए।
- एक ही समय की छायाएँ समरूप समकोण त्रिभुज बनाती हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
समरूप त्रिभुज किसे कहते हैं?
जिन दो त्रिभुजों की आकृति एक हो, यानी संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाओं का अनुपात एक ही हो, वे समरूप हैं। एक दूसरे का बड़ा या छोटा रूप होता है। साझा अनुपात स्केल गुणक k है।
समरूप और सर्वांगसम त्रिभुजों में क्या अंतर है?
सर्वांगसम त्रिभुजों की आकृति और माप दोनों एक होते हैं, इसलिए k = 1। समरूप त्रिभुजों की आकृति एक पर माप अलग हो सकता है। हर सर्वांगसम जोड़ी समरूप है, पर हर समरूप जोड़ी सर्वांगसम नहीं।
समरूप त्रिभुजों के नियम क्या हैं?
AA: दो कोण बराबर। SSS: तीनों भुजाओं का अनुपात बराबर। SAS: दो भुजाओं का अनुपात बराबर और बीच का कोण बराबर। इनमें से कोई एक काफ़ी है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होता है?
क्षेत्रफलों का अनुपात स्केल गुणक का वर्ग, k², होता है। भुजाएँ 2 : 3 के अनुपात में हों तो क्षेत्रफल 4 : 9 में होते हैं। परिमाप लंबाई है, इसलिए उसका अनुपात सीधा k है।
छाया से पेड़ की ऊँचाई कैसे निकालें?
एक ही समय पर अपनी ऊँचाई, अपनी छाया और पेड़ की छाया नापिए। दोनों समकोण त्रिभुज समरूप हैं, इसलिए पेड़ की ऊँचाई ÷ पेड़ की छाया = आपकी ऊँचाई ÷ आपकी छाया। इससे पेड़ की ऊँचाई निकालिए।
क्या AAA समरूपता का सही नियम है?
हाँ, पर वह दरअसल AA ही है। दो कोण बराबर हों तो तीसरा अपने आप बराबर हो जाता है क्योंकि कोणों का योग 180° है, इसलिए दो जोड़ियाँ काफ़ी हैं।
क्या समरूप त्रिभुजों की दिशा एक होनी चाहिए?
नहीं। समरूप त्रिभुज घुमा या पलटा हुआ हो सकता है। ज़रूरी यह है कि कोण और भुजाओं के अनुपात सही क्रम में मिलें, इसीलिए शीर्ष मिलाकर ABC ~ DEF लिखा जाता है।
क्या सिमुलेशन नियमों को सिद्ध करता है?
यह आपको अपनी संख्याओं से नियम जाँचने देता है। SSS, SAS और AA का फ़ैसला पूर्णांकों के सटीक हिसाब से होता है, इसलिए लगभग मेल को कभी मेल नहीं माना जाता। प्रमाण पाठ्यपुस्तक की सर्वांगसमता और समांतर रेखा प्रमेय से आते हैं।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
Textbook
Class 9-10 Mathematics textbook
SSC
SSC Mathematics: syllabus and preparation
SSC
SSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
HSC
HSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
Textbook
Class 9-10 Higher Mathematics textbook
Admission
Engineering admission test preparation
Admission
Jahangirnagar University mathematical and physical sciences unit
English
Paragraph: Artificial Intelligence
Bangla
রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা (बांग्ला में)
SSC
SSC suggestions
HSC
HSC suggestions
Admission
University admission guide
SSC
SSC syllabus
HSC
HSC syllabus
Test prep
GRE Quantitative Reasoning guide
Test prep
Digital SAT Math guide
Scholarship
Scholarships to study abroad
Tool
Compound interest calculator
Career
Data scientist resume example
Career
Cover letter examples
गणित के और एनिमेशन
कक्षा 7 · 10
पाइथागोरस प्रमेय
पाइथागोरस प्रमेय क्या है, सूत्र कर्ण² = आधार² + लंब², प्रमाण, विलोम, पाइथागोरस त्रिक और हल सहित 10 उदाहरण: त्रिभुज खींचकर खुद देखें।
कक्षा 10 · 11
त्रिकोणमितीय अनुपात और इकाई वृत्त
त्रिकोणमितीय अनुपात क्या है, sin cos tan के मान 0° से 360° तक, मानक कोणों की तालिका, चतुर्थांश के चिह्न और सूत्र: इकाई वृत्त पर बिंदु घुमाकर खुद देखें, हल सहित।
कक्षा 10 · 11
द्विघात समीकरण और द्विघात फलन का ग्राफ़
द्विघात समीकरण क्या है, गुणनखंड और पूर्ण वर्ग विधि, द्विघाती सूत्र, विविक्तकर से मूलों की प्रकृति, शीर्ष और परवलय का ग्राफ़: एनिमेशन में खुद बदलकर देखें।
कक्षा 9 · 10
वृत्त के प्रमेय
वृत्त के सभी प्रमेय: केंद्र पर कोण, एक ही वृत्तखंड के कोण, अर्धवृत्त में कोण, चक्रीय चतुर्भुज, जीवा और स्पर्श रेखा। उपपत्ति, हल उदाहरण और इंटरैक्टिव चित्र।
कक्षा 10
ऊँचाई और दूरी: उन्नयन कोण और अवनमन कोण
उन्नयन कोण और अवनमन कोण का मतलब क्या है, ऊँचाई-दूरी का सूत्र कैसे काम करता है, और बिना नापे मीनार की ऊँचाई दो बार का कोण देखकर कैसे निकाली जाती है — इंटरैक्टिव सिमुलेशन और हल सहित।
कक्षा 10 · 11
प्रायिकता: प्रयोगसिद्ध बनाम सैद्धांतिक प्रायिकता
प्रायिकता किसे कहते हैं, प्रतिदर्श समष्टि और सूत्र P(E) = n(E)/n(S) कैसे काम करता है, और बार-बार उछालने पर प्रयोगसिद्ध दर सैद्धांतिक प्रायिकता के कितने पास आ जाती है — सिक्के, पासे और रंगीन गेंदों के इंटरैक्टिव सिमुलेशन में।
कक्षा 10 · 11
समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी
समांतर श्रेढ़ी और गुणोत्तर श्रेढ़ी के n-वें पद व योग के सूत्र, गाउस की जोड़ी तकनीक और अनंत श्रेढ़ी के सूत्र a/(1−r) को बार-चार्ट एनिमेशन में स्वयं बदलकर समझें, हल किए गए उदाहरणों के साथ।
कक्षा 9 · 10
माध्य, माध्यिका और बहुलक
माध्य, माध्यिका और बहुलक निकालने के सूत्र, अपवाद (आउटलायर) मिलने पर माध्यिका क्यों नहीं बदलती जबकि माध्य बहुत बदल जाता है, और वर्गीकृत आँकड़ों की माध्यिका-बहुलक सूत्र: संख्या रेखा पर बिंदु खींचकर स्वयं देखें, हल किए गए उदाहरणों के साथ।
कक्षा 11
समुच्चय और वेन आरेख
सम्मिलन, सर्वनिष्ठ, अंतर और पूरक को वेन आरेख में रंगकर देखें, संख्याएँ रखें, n(A ∪ B) सूत्र जाँचें और डी मॉर्गन के नियम परखें, हल किए प्रश्नों के साथ।
कक्षा 9 · 10
रैखिक समीकरण युग्म और सरल रेखा का आलेख
सरल रेखा का ढाल, अंतःखंड और कोण एनिमेशन में देखें। दो रैखिक समीकरणों का आलेख खींचकर हल निकालें और अनुपात से संगत-असंगत पहचानें, कक्षा 10 के अनुसार।
कक्षा 11
sin, cos, tan के आलेख
स्लाइडर से y = A sin(Bx + C) + D बनाएँ: आयाम, आवर्तकाल, कला विस्थापन, परिसर और tan के अनंतस्पर्शी खुद देखें। त्रिकोणमितीय फलन के आलेख, हल सहित।
कक्षा 10
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि और द्विघात समीकरण
टाइलों से पूर्ण वर्ग बनाने की विधि देखें, द्विघात समीकरण के मूल और शीर्ष निकालें और जानें कि सूत्र क्यों काम करता है। मुफ़्त सिमुलेशन, हल किए उदाहरणों सहित।
कक्षा 10
वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
वृत्त को टुकड़ों में काटकर आयत बनाओ और देखो कि क्षेत्रफल πr² कैसे बनता है। परिधि, पाई, त्रिज्यखंड, चाप और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त इंटरैक्टिव सिमुलेशन।
कक्षा 8 · 10
ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
छह ठोसों को 3D में घुमाइए, जाल खोलकर देखिए और शंकु का पानी बेलन में उड़ेलकर समझिए कि वह ठीक तीन बार में क्यों भरता है। सूत्रों और हल किए प्रश्नों के साथ निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 10
निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
ग्रिड पर बिंदु खींचकर देखें कि दूरी सूत्र, मध्य-बिंदु, ढाल और विभाजन सूत्र कैसे बदलते हैं। लंब समद्विभाजक बिंदुपथ और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त निर्देशांक ज्यामिति सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
द्वि-शंकु के आर-पार तल को झुकाइए और देखिए वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय कैसे बनता है। मानक समीकरण, नाभि और उत्केंद्रता के साथ मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 10 · 11
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
x², |x|, √x, sin x या 2^x चुनिए और a, b, h, k के स्लाइडर खींचिए। देखिए ग्राफ़ कैसे खिसकता, खिंचता, सिकुड़ता और पलटता है, पीछे फीके मूल ग्राफ़ के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 11 · 12
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
x², x³, sin x, eˣ या 1/x पर बिंदु P खींचिए और अंतर h को शून्य की ओर घटाइए। देखिए छेदक कैसे स्पर्श रेखा बनती है और उसकी ढाल अवकलज, नीचे अवकलज का ग्राफ़ भी। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
x², x³, sin x, eˣ या √x के नीचे के क्षेत्रफल को 100 तक पट्टियों में बाँटिए और बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु व समलंब योग की तुलना सटीक समाकलन से कीजिए। त्रुटि घटते देखिए। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
ε–δ परिभाषा से सीमा को आँखों से देखिए। फलन चुनिए, ε घटाइए और δ पट्टी को सिकुड़ते देखिए। बाएँ-दाएँ सीमा, छेद, sin x / x और छलाँग, जहाँ कोई δ नहीं चलता। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
दो त्रिविमीय सदिशों को खींचकर घुमाइए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, डॉट गुणन छाया और कोण बनकर, क्रॉस गुणन लंब तीर बनकर दिखेगा, जिसकी लंबाई क्षेत्रफल है। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
2×2 आव्यूह बदलकर देखिए कि जाली, इकाई वर्ग और एक F-आकृति कैसे चलते हैं। î और ĵ कहाँ जाते हैं, सारणिक कैसे चिह्नित क्षेत्रफल है, और व्युत्क्रम। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
आर्गंड तल पर दो सम्मिश्र संख्याएँ खींचिए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, गुणनफल घुमाव और खिंचाव बनकर, संयुग्मी, घात सर्पिल बनकर और इकाई के मूल दिखेंगे। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 12
बाइनरी संख्या पद्धति: स्थानीय मान, रूपांतरण और जोड़
बिट पलटिए और देखिए दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल व हेक्स साथ बदलते हैं। 2 से भाग, 3-4 बिट के समूह और कैरी वाला बाइनरी जोड़, हल किए उदाहरणों के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन।
अन्य विषयों के एनिमेशन
भौतिकी
प्रकाश का अपवर्तन
भौतिकी
ओम का नियम
भौतिकी
प्रक्षेप्य गति
भौतिकी
सरल लोलक
भौतिकी
विद्युत क्षेत्र
भौतिकी
तरंगों का व्यतिकरण
भौतिकी
मुक्त पतन
भौतिकी
लेंस द्वारा प्रतिबिंब
भौतिकी
न्यूटन के गति के नियम
भौतिकी
गोलीय दर्पण किरण आरेख
भौतिकी
विद्युत चुंबकीय प्रेरण
भौतिकी
संवेग संरक्षण और संघट्ट
भौतिकी
कार्य, ऊर्जा और शक्ति
भौतिकी
आनत तल
भौतिकी
एकसमान वृत्तीय गति
भौतिकी
अनुप्रस्थ और अनुदैर्घ्य तरंग
भौतिकी
उत्तोलक और आघूर्ण
भौतिकी
द्रव्यमान केंद्र
भौतिकी
कमानी-द्रव्यमान की सरल आवर्त गति
भौतिकी
सदिशों का योग: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम
भौतिकी
सापेक्ष वेग: रेलगाड़ियाँ और नदी पार करना
भौतिकी
केपलर के नियम और दीर्घवृत्ताकार कक्षा
भौतिकी
न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम, g और उपग्रह
भौतिकी
तार और नलियों में अप्रगामी तरंगें
भौतिकी
अनुनाद नली और ध्वनि की चाल
भौतिकी
विस्पंद: दो पास-पास के सुरों की धड़कन
भौतिकी
डॉप्लर प्रभाव: चलता स्रोत, चलता श्रोता और सोनिक बूम
भौतिकी
प्रिज़्म, प्रकाश का वर्ण-विक्षेपण और इंद्रधनुष
भौतिकी
किरख़ोफ़ के नियम: संधि नियम और लूप नियम
भौतिकी
व्हीटस्टोन सेतु और मीटर सेतु
भौतिकी
एकल झिरी से विवर्तन
भौतिकी
आँख के दोष और उनका निवारण
भौतिकी
प्रकाश का ध्रुवण: मैलस का नियम और ब्रूस्टर का नियम
भौतिकी
संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC समय स्थिरांक
भौतिकी
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ: छड़ चुंबक, धारावाही तार और परिनालिका
भौतिकी
एसी जनित्र
भौतिकी
ट्रांसफ़ॉर्मर
भौतिकी
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
भौतिकी
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
भौतिकी
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
भौतिकी
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
भौतिकी
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
भौतिकी
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
भौतिकी
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
रसायन विज्ञान
परमाणु की संरचना
रसायन विज्ञान
अम्ल, क्षारक और pH मान
रसायन विज्ञान
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास
रसायन विज्ञान
गैस नियम: बॉयल, चार्ल्स, गे-लुसाक, आवोगाद्रो और PV = nRT
रसायन विज्ञान
आयनिक बंध कैसे बनता है
रसायन विज्ञान
वैद्युत अपघटन और फैराडे के नियम
रसायन विज्ञान
सहसंयोजक बंध
रसायन विज्ञान
आवर्त सारणी की आवर्तिता
रसायन विज्ञान
अभिक्रिया की दर और संघट्ट सिद्धांत
रसायन विज्ञान
द्रव्य की अवस्थाएँ: ठोस, द्रव, गैस और तापन वक्र
रसायन विज्ञान
परमाणु कक्षक: s, p, d के आकार, क्वांटम संख्याएँ और नोड
रसायन विज्ञान
आणविक आकृतियाँ और VSEPR सिद्धांत: आबंध युग्म, एकाकी युग्म और कोण
रसायन विज्ञान
मोल अवधारणा: मोलर द्रव्यमान, आवोगाद्रो संख्या और मोलर आयतन
रसायन विज्ञान
विसरण और निःस्राव: ग्राहम का नियम
रसायन विज्ञान
रासायनिक समीकरण संतुलन: विधि, उदाहरण और अभ्यास
रसायन विज्ञान
रासायनिक साम्य: साम्य स्थिरांक Kc और ले शातेलिए का सिद्धांत
रसायन विज्ञान
अनुमापन: ब्यूरेट और सूचक से अज्ञात सांद्रता निकालना
रसायन विज्ञान
गैल्वेनिक सेल: डेनियल सेल, EMF और नर्स्ट समीकरण
रसायन विज्ञान
ऑक्सीकरण-अपचयन अभिक्रियाएँ: ऑक्सीकरण संख्या, इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण और अर्ध-अभिक्रिया
रसायन विज्ञान
हाइड्रोकार्बन: ऐल्केन, ऐल्कीन, ऐल्काइन और संरचनात्मक समावयवी 3D में
रसायन विज्ञान
प्रकार्यात्मक समूह: ऐल्कोहॉल, ऐल्डिहाइड, कीटोन, अम्ल, एस्टर और ऐमीन
रसायन विज्ञान
बहुलकीकरण: योगात्मक और संघनन बहुलक, पॉलिथीन और नायलॉन
रसायन विज्ञान
मिश्रण अलग करने की विधियाँ: निस्यंदन, आसवन, क्रोमैटोग्राफी, क्रिस्टलन
रसायन विज्ञान
क्रिस्टल जालक: SC, BCC और FCC एकक कोष्ठिका, संकुलन क्षमता और घनत्व
रसायन विज्ञान
रेडियोएक्टिवता: अल्फ़ा, बीटा, गामा क्षय और अर्ध-आयु
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान