बोर परमाणु मॉडल सिमुलेशन: ऊर्जा स्तर और स्पेक्ट्रम | Shikkha Web

e⁻ऊर्जा स्तरपराबैंगनीअवरक्त

गति

नियंत्रण

इलेक्ट्रॉन को किस कक्षा में भेजें, n

कक्षा या ऊर्जा स्तर पर क्लिक करके भी इलेक्ट्रॉन को कुदा सकते हैं।

मापन

इलेक्ट्रॉन की कक्षा, n: 1
कक्षा की त्रिज्या, rₙ = n²a₀: 0.053nm
ऊर्जा, Eₙ = −13.6 / n²: -13.60eV
कक्षीय चाल, vₙ: 2.19×10⁶ m/s
पिछली छलाँग: —
फोटॉन की ऊर्जा: —
तरंगदैर्ध्य, λ: —
श्रेणी: —
क्षेत्र: —

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

इलेक्ट्रॉन पहली कक्षा n = 1 में है, नाभिक के सबसे पास। नियंत्रण को “स्वचालित” पर रहने दो और उसे कक्षाओं की तय सूची में ऊपर-नीचे कूदते देखो, या “मेरी पसंद” पर आ जाओ।
बटनों से कोई ऊँची कक्षा चुनो, जैसे n = 3। किनारे से एक रंगीन फोटॉन उड़कर आता है, इलेक्ट्रॉन उसे सोख लेता है और बाहर की कक्षा में कूद जाता है। उस फोटॉन में ठीक 12.09 eV ऊर्जा होनी ही थी, न कम न ज़्यादा, क्योंकि n = 1 और n = 3 के बीच का अंतर यही है।
अब n = 2 चुनो। इलेक्ट्रॉन नीचे गिरता है और एक फोटॉन बाहर निकलता है। रीडिंग पढ़ो: उसमें 1.89 eV ऊर्जा है और तरंगदैर्घ्य 656.3 nm है, यानी बामर श्रेणी की लाल रेखा।
बाईं ओर ऊर्जा आरेख देखो। तीर आख़िरी छलाँग दिखाता है। चमकता हुआ स्तर वह है जहाँ इलेक्ट्रॉन अभी बैठा है। n बढ़ने पर स्तर पास-पास सिमटते जाते हैं और 0 eV के क़रीब पहुँचते हैं, जहाँ इलेक्ट्रॉन मुक्त हो जाता है।
नीचे की स्पेक्ट्रम पट्टी देखो। सफ़ेद निशान उस रेखा पर बैठा है जो तुम्हारी आख़िरी छलाँग से बनी। लाइमन रेखाएँ पराबैंगनी हैं, बामर की ज़्यादातर दिखाई देने वाली हैं, और पाशन की अवरक्त।
चित्र में किसी कक्षा पर या आरेख में किसी स्तर पर क्लिक करो तो इलेक्ट्रॉन सीधे वहीं पहुँच जाता है। n = 6 से n = 2 तक एक ही छलाँग में आओ, फिर दो-तीन छोटी छलाँगों में, और दोनों बार के फोटॉनों की तुलना करो।

वह पहेली जिसे बोर को सुलझाना था

1913 तक दो बातें आपस में मेल नहीं खाती थीं। रदरफ़ोर्ड दिखा चुके थे कि परमाणु एक नन्हा नाभिक है और इलेक्ट्रॉन उसके आसपास कहीं हैं। पर नाभिक के चारों ओर घूमता इलेक्ट्रॉन लगातार त्वरित होता रहता है, और त्वरित आवेश को ऊर्जा विकिरित करके सेकंड के नन्हे हिस्से में नाभिक में गिर जाना चाहिए। यानी परमाणु होने ही नहीं चाहिए, फिर भी हैं।

फिर प्रकाश की समस्या थी। चमकता हाइड्रोजन सिर्फ़ कुछ ख़ास तरंगदैर्घ्य छोड़ता है। अगर इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा कुछ भी हो सकती, तो गैस को सारे रंगों की एक चिकनी पट्टी में चमकना चाहिए था। प्रिज़्म उसे कुछ अलग-अलग रेखाओं में बाँट देता है।

बोर ने “क्यों” पूछना छोड़कर सीधे वे नियम रख दिए जो प्रयोग से मेल खाते हैं। उनका परमाणु तीन नियमों पर चलता है, और इन्हीं से हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम कमाल की सटीकता से निकल आता है।

बोर के तीन नियम

पूरा मॉडल तीन वाक्यों में।

इलेक्ट्रॉन सिर्फ़ कुछ ख़ास वृत्ताकार कक्षाओं में घूमता है, जिन्हें स्थायी कक्षाएँ कहते हैं, और इनमें रहते हुए वह विकिरण नहीं छोड़ता।
कोई कक्षा तभी मान्य है जब इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग h ÷ 2π का पूर्ण-संख्या n गुना हो। यही पूर्ण संख्या n = 1, 2, 3 आदि कक्षा का नाम बनती है।
इलेक्ट्रॉन विकिरण तभी उत्सर्जित या अवशोषित करता है जब वह दो कक्षाओं के बीच कूदता है। फोटॉन में ठीक दोनों ऊर्जाओं का अंतर होता है: hf = E(ऊँचा) − E(नीचा)।

कक्षाएँ: त्रिज्या n² के साथ बढ़ती है

मान्य कक्षाओं का हिसाब लगाओ तो एक सुंदर नतीजा मिलता है। n वीं कक्षा की त्रिज्या पहली कक्षा की त्रिज्या की n² गुना होती है। पहली कक्षा की इस त्रिज्या को बोर त्रिज्या कहते हैं, a₀ = 0.0529 nm। यानी दूसरी कक्षा पहली से चार गुना बड़ी है, तीसरी नौ गुना, और छठी छत्तीस गुना।

सिमुलेशन का परमाणु पैमाने के हिसाब से बना है। इसीलिए पहली कक्षा नाभिक से चिपका नन्हा घेरा है, जबकि छठी पूरी तस्वीर भर देती है: दोनों की त्रिज्या का अनुपात 36 है। बाहरी कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन धीमा भी चलता है। n वीं कक्षा में उसकी चाल पहली कक्षा की चाल 2.19 × 10⁶ m/s को n से भाग देने पर मिलती है।

rₙ = n² a₀a₀ = 0.0529 nm, बोर त्रिज्या

vₙ = v₁ ÷ nv₁ ≈ 2.19 × 10⁶ m/s

कक्षा n	त्रिज्या rₙ (nm)	चाल vₙ (×10⁶ m/s)	ऊर्जा Eₙ (eV)
1	0.0529	2.19	-13.60
2	0.212	1.10	-3.40
3	0.476	0.73	-1.51
4	0.846	0.55	-0.85
5	1.323	0.44	-0.54
6	1.904	0.37	-0.38

ऊर्जा स्तर: ऋणात्मक, और पास-पास सिमटते हुए

कक्षा n में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा Eₙ = −13.6 ÷ n² eV निकलती है। ऋण चिह्न मायने रखता है। शून्य ऊर्जा का मतलब है इलेक्ट्रॉन नाभिक से बहुत दूर, विराम में, मुक्त। नाभिक से बँधे इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा इससे कम होती है, इसलिए ऋणात्मक। जितना कसकर बँधा, उतना ज़्यादा ऋणात्मक।

मूल अवस्था (n = 1) में ऊर्जा -13.60 eV है। इलेक्ट्रॉन को पूरी तरह उखाड़ने के लिए 13.6 eV देनी पड़ती है। यही हाइड्रोजन की आयनन ऊर्जा है, और यह प्रयोग से अच्छी तरह मिलती है।

1 ÷ n² की वजह से n बढ़ने पर स्तर पास-पास आते जाते हैं। सिमुलेशन के बाएँ ऊर्जा आरेख में स्तर 4, 5 और 6 लगभग एक-दूसरे पर चढ़े हैं, 0 eV की रेखा से सटे हुए। बड़े अंतर नीचे हैं, इसीलिए सबसे ऊर्जावान फोटॉन उन छलाँगों से आते हैं जो n = 1 पर ख़त्म होती हैं।

Eₙ = −13.6 ÷ n² eVकक्षा n में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा

E(फोटॉन) = E(ऊँचा) − E(नीचा)किसी छलाँग के प्रकाश की ऊर्जा

छलाँग, फोटॉन और रंग

इलेक्ट्रॉन ऊँचे स्तर से नीचे गिरे तो ऊर्जा का अंतर एक फोटॉन बनकर निकल जाता है। ऊपर जाना इसका उलटा है: परमाणु फोटॉन तभी सोखता है जब उसकी ऊर्जा ठीक उस अंतर के बराबर हो। थोड़ी भी कम या ज़्यादा ऊर्जा वाला फोटॉन सीधा निकल जाता है। इसीलिए गैस वही रेखाएँ अवशोषित करती है जो वह उत्सर्जित करती है।

बड़ा अंतर यानी ज़्यादा ऊर्जा का फोटॉन और छोटा तरंगदैर्घ्य। संबंध है E = hc ÷ λ, जो काम की इकाइयों में λ (nm) = 1,239.84 ÷ E (eV) बन जाता है। n = 2 से n = 1 की छलाँग 10.20 eV छोड़ती है, इसलिए λ = 1,239.84 ÷ 10.20 = 121.5 nm, गहरी पराबैंगनी। n = 3 से n = 2 की छलाँग सिर्फ़ 1.89 eV छोड़ती है, इसलिए λ = 656.3 nm, यानी लाल रंग।

सिमुलेशन में फोटॉन का रंग उसके तरंगदैर्घ्य से तय होता है। दिखने वाला प्रकाश लगभग 380 nm (बैंगनी) से 750 nm (लाल) तक है। इस दायरे के बाहर के फोटॉन हमें दिखते ही नहीं, इसलिए सिमुलेशन पराबैंगनी को हल्के बैंगनी और अवरक्त को गुलाबी रंग में दिखाता है, ताकि तुम उन्हें देख सको।

रिडबर्ग सूत्र

बोर से कई साल पहले, वर्णक्रमदर्शी प्रयोगों में अंदाज़े और कोशिश से हाइड्रोजन रेखाओं के तरंगदैर्घ्य का एक सूत्र खोज चुके थे। बोर के मॉडल ने वही सूत्र शुरू से निकाल दिया, और यही उसे इतना विश्वसनीय बनाता है।

नीची कक्षा n₁ और ऊँची कक्षा n₂ के बीच की छलाँग के लिए तरंगदैर्घ्य का व्युत्क्रम R गुना (1/n₁² − 1/n₂²) होता है। रिडबर्ग नियतांक R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹ है।

1/λ = R (1/n₁² − 1/n₂²)n₂ > n₁, R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹

स्पेक्ट्रम श्रेणियाँ

जो सारी छलाँगें एक ही निचली कक्षा पर ख़त्म होती हैं, वे मिलकर एक श्रेणी बनाती हैं। हर श्रेणी का अपना खोजकर्ता है और स्पेक्ट्रम का अपना इलाक़ा। एक श्रेणी के भीतर रेखाएँ एक सीमा की ओर पास-पास सिमटती जाती हैं, क्योंकि ऊपर के स्तर सिमटे हुए हैं।

लाइमन: सबसे बड़े ऊर्जा अंतर, इसलिए सबसे छोटे तरंगदैर्घ्य। इनमें 121.5 nm, 102.6 nm और 97.2 nm शामिल हैं।
बामर: अकेली श्रेणी जिसकी रेखाएँ हमें दिखती हैं। Hα (3 → 2) 656.3 nm पर लाल है, Hβ (4 → 2) 486.2 nm पर नीला-हरा, Hγ (5 → 2) 434.1 nm पर बैंगनी और Hδ (6 → 2) 410.2 nm पर बैंगनी।
पाशन: छोटे अंतर, इसलिए अवरक्त में लंबे तरंगदैर्घ्य, जैसे 1,875.2 nm, 1,281.9 nm और 1,093.9 nm।

श्रेणी	n₁ (जहाँ ख़त्म)	पहली रेखा (nm)	श्रेणी सीमा (nm)	क्षेत्र
लाइमन	1	121.5	91.2	पराबैंगनी
बामर	2	656.3	364.6	ज़्यादातर दृश्य
पाशन	3	1,875.2	820.4	अवरक्त
ब्रैकेट	4	4,051.5	—	अवरक्त

हल किया उदाहरण 1: बामर की नीली-हरी रेखा

हाइड्रोजन का इलेक्ट्रॉन n = 4 से n = 2 में गिरे तो तरंगदैर्घ्य और फोटॉन की ऊर्जा निकालो।

चरण 1: रिडबर्ग सूत्र लगाओ

1/λ = R (1/2² − 1/4²) = 1.097 × 10⁷ × (1/4 − 1/16) = 2.0569 × 10⁶ m⁻¹।

1/λ = R (1/n₁² − 1/n₂²)

चरण 2: उलटो और बदलो

λ = 1 ÷ (2.0569 × 10⁶) m = 486.2 nm। यह नीली-हरी Hβ रेखा है।

चरण 3: फोटॉन की ऊर्जा

E = E₄ − E₂ = −13.6/16 − (−13.6/4) = 2.55 eV। E = hc ÷ λ से जाँचो: 1,239.84 ÷ 486.2 = 2.55 eV, और इस ऊर्जा से तरंगदैर्घ्य वापस 486.2 nm आता है। दो रास्ते, एक जवाब।

हल किया उदाहरण 2: फोटॉन का अवशोषण

मूल अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु एक फोटॉन सोखकर n = 3 में पहुँचता है। फोटॉन की ऊर्जा और तरंगदैर्घ्य क्या होनी चाहिए?

ज़रूरी ऊर्जा E₃ − E₁ = -1.51 − (-13.60) = 12.09 eV। तब λ = 1,239.84 ÷ 12.09 = 102.6 nm, जो पराबैंगनी है (यह लाइमन की 3 → 1 रेखा का उलटा रूप है)। 10 eV का फोटॉन कमज़ोर पड़ेगा और 13 eV का फोटॉन भी n = 3 पर नहीं रुकेगा; परमाणु ठीक वही अंतर स्वीकार करता है, जब तक फोटॉन इतना ऊर्जावान न हो कि उसे पूरा आयनित कर दे।

हल किया उदाहरण 3: n = 2 से आयनन

जो इलेक्ट्रॉन पहले से n = 2 में है, उसे मुक्त करने में कितनी ऊर्जा लगेगी? उस स्तर की ऊर्जा -3.40 eV है, इसलिए 0 eV तक पहुँचने के लिए 3.40 eV चाहिए। इसके फोटॉन का तरंगदैर्घ्य 1,239.84 ÷ 3.40 = 364.7 nm है, जो ठीक बामर श्रेणी की सीमा है।

मूल अवस्था से 13.6 eV चाहिए, यानी 91.2 nm का फोटॉन, जो लाइमन श्रेणी की सीमा है। ध्यान दो कि श्रेणी की सीमा असल में निचले स्तर की आयनन ऊर्जा ही है।

हल किया उदाहरण 4: एक परमाणु कितनी रेखाएँ बना सकता है?

इलेक्ट्रॉन n = 4 पर है। वह सीधे 3, 2 या 1 पर गिर सकता है, या रास्ते में रुक सकता है। अलग-अलग छलाँगों की संख्या n(n − 1) ÷ 2 होती है, जो n = 4 के लिए 6 है।

n = 5 से 10 संभव रेखाएँ हैं और n = 6 से 15।
असली गैस में बहुत से परमाणु एक साथ अलग-अलग स्तरों में होते हैं, इसलिए ये सारी रेखाएँ साथ दिखती हैं। एक परमाणु एक बार में सिर्फ़ एक छलाँग लगाता है।

छलाँग	तरंगदैर्घ्य (nm)
4 → 3	1,875.2
4 → 2	486.2
4 → 1	97.2
3 → 2	656.3
3 → 1	102.6
2 → 1	121.5

बोर मॉडल कहाँ ग़लत पड़ता है

यह मॉडल अंतिम उत्तर नहीं, एक पड़ाव है। यह हाइड्रोजन और हाइड्रोजन जैसे उन आयनों पर चलता है जिनमें एक ही इलेक्ट्रॉन हो। एक इलेक्ट्रॉन निकले हुए हीलियम He⁺ के लिए ऊर्जाएँ बस नाभिकीय आवेश के वर्ग से गुणा हो जाती हैं, इसलिए मूल अवस्था 54.4 eV है। दो या ज़्यादा इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं पर यह टूट जाता है।

यह भी नहीं समझा पाता कि कुछ वर्णक्रम रेखाएँ दूसरों से ज़्यादा चमकीली क्यों हैं, चुंबकीय क्षेत्र में रेखाएँ क्यों बँट जाती हैं, या घूमते इलेक्ट्रॉन को विकिरण क्यों नहीं छोड़ना चाहिए। आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी तीखी वृत्ताकार कक्षाओं की जगह प्रायिकता के धुँधले बादल रखती है, जिन्हें कक्षक कहते हैं। फिर भी ऊर्जा स्तर सही निकलते हैं, और स्पेक्ट्रम की पहली झलक के लिए बोर की सीढ़ी आज भी सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाली तस्वीर है।

आम ग़लतियाँ

हर साल इन्हीं से अंक कटते हैं।

ऋण चिह्न छोड़ देना। Eₙ ऋणात्मक है, और किसी छलाँग की ऊर्जा दो ऋणात्मक संख्याओं का अंतर होती है।
रिडबर्ग सूत्र में n₁ और n₂ की अदला-बदली करके ऋणात्मक तरंगदैर्घ्य पा लेना। छोटा n पहले आता है।
भूल जाना कि R की इकाई m⁻¹ है। अंत में मीटर को नैनोमीटर में बदलो।
सोचना कि अंतर से ऊपर की कोई भी ऊर्जा चल जाएगी। बँधे स्तरों के बीच की छलाँग के लिए ऊर्जा ठीक बराबर होनी चाहिए।
रेखाएँ ग़लत गिनना। एक इलेक्ट्रॉन एक बार में एक छलाँग लगाता है, पर गैस में सब साथ दिखती हैं।
यह कहना कि बामर की सारी रेखाएँ दिखती हैं। Hα से Hδ दिखती हैं, पर 364.6 nm पर श्रेणी की सीमा पराबैंगनी है।

दोहराने की सूची

परीक्षा से पहले इन्हें ज़ोर से बोलकर दोहराओ।

rₙ = n² a₀, a₀ = 0.0529 nm। vₙ = v₁ ÷ n।
Eₙ = −13.6 ÷ n² eV। मूल अवस्था -13.60 eV, आयनन ऊर्जा 13.6 eV।
फोटॉन की ऊर्जा = E(ऊँचा) − E(नीचा) = hf = hc ÷ λ। λ (nm) = 1,239.84 ÷ E (eV)।
1/λ = R (1/n₁² − 1/n₂²), R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹।
लाइमन (n₁ = 1) पराबैंगनी; बामर (2) दृश्य; पाशन (3) अवरक्त।
n से कुल n(n − 1) ÷ 2 संभव रेखाएँ बनती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

हाइड्रोजन की n वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा कितनी होती है?

Eₙ = −13.6 ÷ n² eV। n = 1 के लिए -13.60 eV, n = 2 के लिए -3.40 eV और n = 3 के लिए -1.51 eV। ऋण चिह्न बताता है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से बँधा है।

इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा ऋणात्मक क्यों होती है?

शून्य उस स्थिति को माना गया है जब इलेक्ट्रॉन अनंत दूरी पर विराम में हो। बँधे इलेक्ट्रॉन को दूर खींचने में ऊर्जा लगती है, इसलिए उसकी ऊर्जा शून्य से कम होती है। जितना ज़्यादा ऋणात्मक, उतना कसकर बँधा।

बोर त्रिज्या क्या है?

यह हाइड्रोजन की पहली कक्षा की त्रिज्या है, a₀ = 0.0529 nm। कक्षा n की त्रिज्या इसकी n² गुना होती है, जैसे n = 3 के लिए 0.476 nm।

हाइड्रोजन रेखा का तरंगदैर्घ्य कैसे निकालें?

1/λ = R (1/n₁² − 1/n₂²) लगाओ, R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹, जहाँ n₁ निचली कक्षा है। 3 → 2 के लिए 656.3 nm मिलता है, यानी लाल Hα रेखा। या ऊर्जा का अंतर निकालकर λ (nm) = 1,239.84 ÷ E (eV) लगा दो।

कौन सी श्रेणी दिखाई देती है?

बामर श्रेणी, जिसमें इलेक्ट्रॉन n = 2 पर ख़त्म होता है। इसकी रेखाएँ 656.3, 486.2, 434.1 और 410.2 nm पर हैं। लाइमन रेखाएँ पराबैंगनी हैं और पाशन रेखाएँ अवरक्त।

गैस वही तरंगदैर्घ्य क्यों सोखती है जो वह उत्सर्जित करती है?

क्योंकि स्तरों के बीच के ऊर्जा अंतर ऊपर जाते और नीचे आते, दोनों समय एक ही हैं। जो फोटॉन किसी अंतर से मेल खाता है, वह सोख लिया जाता है और इलेक्ट्रॉन को ऊपर उठा देता है; जो मेल नहीं खाता, वह सीधा निकल जाता है। इसीलिए सूर्य के प्रकाश की काली अवशोषण रेखाएँ प्रयोगशाला की चमकीली उत्सर्जन रेखाओं से मिलती हैं।

क्या इलेक्ट्रॉन सच में वृत्त में घूमता है?

नहीं। वृत्ताकार कक्षा एक मॉडल है। क्वांटम यांत्रिकी में इलेक्ट्रॉन का कोई तय पथ नहीं होता, बस नाभिक के चारों ओर प्रायिकता का एक बादल होता है। फिर भी बोर का मॉडल हाइड्रोजन के ऊर्जा स्तर सही देता है, इसीलिए यह आज भी पहली तस्वीर के रूप में पढ़ाया जाता है।

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हल किया उदाहरण 1: बामर की नीली-हरी रेखा

चरण 1: रिडबर्ग सूत्र लगाओ

चरण 2: उलटो और बदलो

चरण 3: फोटॉन की ऊर्जा

हल किया उदाहरण 2: फोटॉन का अवशोषण

हल किया उदाहरण 3: n = 2 से आयनन

हल किया उदाहरण 4: एक परमाणु कितनी रेखाएँ बना सकता है?

बोर मॉडल कहाँ ग़लत पड़ता है

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दोहराने की सूची

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

हाइड्रोजन की n वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा कितनी होती है?

इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा ऋणात्मक क्यों होती है?

बोर त्रिज्या क्या है?

हाइड्रोजन रेखा का तरंगदैर्घ्य कैसे निकालें?

कौन सी श्रेणी दिखाई देती है?

गैस वही तरंगदैर्घ्य क्यों सोखती है जो वह उत्सर्जित करती है?

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