सदिश योग: त्रिभुज व समांतर चतुर्भुज नियम सिमुलेशन | Shikkha Web

Q: सदिश जोड़ने पर परिमाण सीधे क्यों नहीं जुड़ते?

क्योंकि सदिश की दिशा भी होती है, और दिशाएँ अलग हों तो एक का असर दूसरे को आंशिक रूप से काट देता है। परिमाण सीधे तभी जुड़ते हैं जब दोनों एक ही दिशा में हों। बाकी सब स्थितियों में R = √(A² + B² + 2AB cosθ), जो कभी A + B से बड़ा नहीं होता।

Q: क्या त्रिभुज नियम और समांतर चतुर्भुज नियम के उत्तर अलग होते हैं?

नहीं, दोनों एक ही चित्र हैं। समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए चतुर्भुज का विकर्ण और त्रिभुज की तीसरी भुजा एक ही तीर है। अंतर केवल इतना है कि खींचना कहाँ से शुरू करते हैं।

Q: परिणामी शून्य कब होता है?

जब दो सदिशों का परिमाण बराबर हो और वे ठीक विपरीत दिशाओं में हों, यानी θ = 180° और A = B। 120° के अंतर पर तीन बराबर सदिश भी पूरी तरह एक-दूसरे को काट देते हैं।

Q: नदी पार करने में न्यूनतम समय और न्यूनतम दूरी के उत्तर अलग क्यों हैं?

समय केवल पार की दिशा की चाल पर निर्भर करता है, इसलिए न्यूनतम समय में मुँह सीधा सामने रहता है, पर तब धारा नाव को नीचे बहा देती है। ठीक सामने उतरने के लिए मुँह धारा के विरुद्ध झुकाना पड़ता है, जिससे पार की चाल घटती है और समय बढ़ता है।

Q: धारा नाव से तेज़ हो तो क्या ठीक सामने उतरा जा सकता है?

नहीं। ठीक सामने उतरने के लिए sinφ = u ÷ v चाहिए, और u ≥ v होने पर यह अनुपात 1 या उससे अधिक हो जाता है, जो किसी कोण से संभव नहीं। तब केवल बहाव को कम से कम किया जा सकता है।

Q: आपेक्षिक वेग क्या है?

किसी वस्तु का दूसरी गतिशील वस्तु से देखा गया वेग आपेक्षिक वेग है। देखी जा रही वस्तु के वेग में से देखने वाले का वेग सदिश के रूप में घटाया जाता है। इसीलिए सीधी गिरती बारिश चलती बस से तिरछी दिखती है।

Q: सूखा रहने के लिए छाता किस कोण पर पकड़ें?

आगे की ओर, जिधर से बारिश आती दिखती है, ऊर्ध्वाधर से θ कोण पर, जहाँ tan θ = आपकी चाल ÷ बारिश की चाल। खड़े रहने पर θ = 0° है, और जितना तेज़ चलेंगे उतना अधिक झुकाना पड़ेगा।

तीर का सिरा खींचकर परिमाण और दिशा बदलें

सदिश Aसदिश Bपरिणामी Rघटक

गति

नियंत्रण

दृश्य चुनें

योग का नियम

सदिश A का परिमाण3.0 N

सदिश B का परिमाण4.0 N

A और B के बीच कोण, θ90 °

A की दिशा (x-अक्ष से)20 °

परिणामी के घटक दिखाएँ

मापन

परिणामी का परिमाण, R: 5.00N
परिणामी की दिशा, α (A से): 53.1°
x-घटक, Rx: 1.45N
y-घटक, Ry: 4.78N
सिर्फ़ परिमाण जोड़ें, A + B: 7.00N
बीच का कोण, θ: 90°

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

“दो सदिशों का योग” दृश्य में शुरुआत में A = 3 N और B = 4 N हैं, बीच में 90°। परिणामी R = 5.00 N है। यह जाना-पहचाना 3-4-5 है।
कैनवास पर तीर का सिरा खींचकर परिमाण और दिशा बदलें, या स्लाइडर चलाएँ। त्रिभुज नियम और समांतर चतुर्भुज नियम बारी-बारी से चुनें: परिणामी वही रहता है।
दोनों सदिशों के बीच का कोण 0° से 180° तक घुमाकर देखें कि R कैसे बदलता है, और “सिर्फ़ परिमाण जोड़ें” वाले मान से तुलना करें।
“नदी पार करती नाव” दृश्य में नाव का रुख़ घुमाएँ। बहाव, पार करने का समय और परिणामी चाल पढ़ें, फिर “न्यूनतम मार्ग वाला रुख़ लें” चालू करें।
“बारिश और छाता” दृश्य में चलने की चाल बढ़ाएँ। जाँचें कि सूखा रखने वाला झुकाव tan θ = व्यक्ति की चाल ÷ बारिश की चाल से मिलता है।

नाव सीधी क्यों नहीं जाती?

नदी के एक किनारे पर खड़े होकर नाव का मुँह ठीक सामने वाले घाट की ओर करके चप्पू चलाएँ तो क्या होता है? नाव उस घाट पर नहीं पहुँचती, धारा के साथ थोड़ी दूर नीचे जाकर लगती है। मल्लाह यह जानता है, इसलिए वह शुरू से ही नाव का मुँह थोड़ा ऊपर की ओर रखता है।

बारिश में भी यही होता है। बूँदें सीधी नीचे गिरती हैं, फिर भी साइकिल पर या चलते समय लगता है कि बारिश सामने से टकरा रही है। छाता सीधा पकड़ें तो चेहरा भीग जाता है।

दोनों किस्सों में एक ही बात है: एक चीज़ पर दो अलग गतियाँ या बल एक साथ काम कर रहे हैं और उनकी दिशाएँ अलग हैं। तब संख्याएँ सीधे जोड़ देना काफ़ी नहीं। 3 और 4 का योग हमेशा 7 नहीं होता, कभी 5, कभी 1, कभी 6.08। क्यों, यही इस पाठ में समझेंगे।

शुरू से: अदिश और सदिश

कुछ राशियों के लिए सिर्फ़ संख्या और मात्रक काफ़ी हैं। “मेरा द्रव्यमान 50 kg है”, “कमरे का तापमान 30°C है”, “सड़क 2 km लंबी है”। ये अदिश राशियाँ हैं। 2 kg और 3 kg हमेशा 5 kg ही होते हैं।

कुछ राशियों में दिशा भी बतानी पड़ती है। “मैं 5 km चला” अधूरी ख़बर है, क्योंकि पता नहीं कहाँ पहुँचा। “उत्तर की ओर 5 km” कहने से जगह तय हो जाती है। वेग, बल, विस्थापन और त्वरण ऐसी ही राशियाँ हैं। इन्हें सदिश राशियाँ कहते हैं।

सदिश को हम तीर से दिखाते हैं। तीर की लंबाई परिमाण बताती है और तीर का सिरा दिशा। पुस्तकों में सदिश मोटे अक्षरों में या ऊपर तीर लगाकर लिखा जाता है; यहाँ हम सादे A, B और R लिखेंगे, और केवल परिमाण के लिए |A|।

अदिश राशि	सदिश राशि	अंतर कहाँ है
दूरी	विस्थापन	दूरी पथ की लंबाई है; विस्थापन शुरू से अंत तक की सीधी रेखा और दिशा
चाल	वेग	वेग = चाल + दिशा
द्रव्यमान	भार (बल)	भार हमेशा नीचे की ओर
कार्य, ऊर्जा	बल	बल दिशा के साथ बदलता है, ऊर्जा नहीं
तापमान	त्वरण	त्वरण उस ओर जिस ओर वेग बदल रहा हो

ये शब्द ज़रूर आने चाहिए

इस अध्याय के प्रश्नों में नीचे के शब्द बार-बार आते हैं। अर्थ के साथ मिलाकर याद रखें।

शब्द	सरल अर्थ	कहाँ दिखता है
सदिश	परिमाण और दिशा दोनों वाली राशि	वेग, बल, विस्थापन
अदिश	केवल परिमाण वाली राशि	द्रव्यमान, समय, तापमान
परिणामी	कई सदिशों के बराबर असर वाला एक ही सदिश	दो रस्सियों का मिला-जुला खिंचाव
घटक	सदिश को अक्षों के अनुदिश तोड़ने पर मिले हिस्से	ढलान पर खिंचाव के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर हिस्से
त्रिभुज नियम	एक तीर के सिरे पर दूसरे की पूँछ रखना	चलने के दो चरणों का विस्थापन
समांतर चतुर्भुज नियम	दोनों को एक बिंदु से खींचकर चतुर्भुज पूरा करना	एक ही गाँठ पर बँधी दो रस्सियाँ
आपेक्षिक वेग	एक वस्तु का दूसरी वस्तु से देखा गया वेग	चलती बस से देखी गई बारिश
मात्रक सदिश	परिमाण 1 वाला सदिश, केवल दिशा बताता है	अक्ष के अनुदिश दिशा

त्रिभुज नियम: सिरे पर पूँछ

मान लीजिए आप पूर्व में 3 m चले, फिर मुड़कर उत्तर में 4 m। शुरुआत से अब आप कितनी दूर और किस दिशा में हैं? पहला तीर खींचिए, उसके सिरे पर दूसरे की पूँछ रखिए। शुरू से अंतिम सिरे तक तीसरा तीर खींचिए। वही परिणामी है।

यही त्रिभुज नियम है। यदि दो सदिशों को एक ही क्रम में किसी त्रिभुज की दो भुजाओं से निरूपित किया जाए, तो उसकी तीसरी भुजा, उलटे क्रम में, उनके परिणामी को परिमाण और दिशा में बताती है।

सिमुलेशन की शुरुआती स्थिति में A और B के बीच 90° है, इसलिए त्रिभुज समकोण है: 3, 4 और कर्ण 5.00। पाइथागोरस भी यही कहता है।

क्या फ़र्क पड़ता है कि पहले A रखें या B? नहीं पड़ता। सदिश योग क्रम नहीं देखता: A + B = B + A। सिमुलेशन में दोनों तीर उलटकर रखें, परिणामी उसी बिंदु पर पहुँचेगा।

R = A + Bपरिणामी सदिश, किसी भी क्रम में

A + B = B + Aक्रमविनिमय नियम

समांतर चतुर्भुज नियम: दो पूँछ, एक बिंदु

दो लोग मिलकर एक भारी बोरा खींच रहे हैं, दोनों की रस्सियाँ एक ही गाँठ से बँधी हैं। दोनों खिंचाव ऐसे बल हैं जिनकी पूँछ एक बिंदु पर है। यहाँ तीर पर तीर रखना बेढंगा लगता है, इसलिए समांतर चतुर्भुज नियम।

A और B को एक ही बिंदु से खींचिए। फिर समांतर चतुर्भुज पूरा कीजिए: A के सिरे से B के समांतर रेखा, B के सिरे से A के समांतर रेखा। जहाँ ये मिलें, वह कोना है। शुरुआती बिंदु से उस कोने तक का विकर्ण ही परिणामी है।

समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए A के सिरे से खींची गई B की प्रतिलिपि दरअसल त्रिभुज नियम ही है। दोनों नियम एक ही चित्र हैं, बस खींचने का ढंग अलग। सिमुलेशन में नियम बदलकर देखें, R नहीं हिलता।

परिणामी का परिमाण और दिशा

चित्र से अंदाज़ा मिल जाता है। संख्या चाहिए तो अक्ष A के अनुदिश लें। B को दो हिस्सों में तोड़ें: A के अनुदिश B cosθ और उसके लंबवत B sinθ। तब परिणामी का A के अनुदिश हिस्सा A + B cosθ और लंबवत हिस्सा B sinθ है।

ये दोनों हिस्से एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और R उसका कर्ण। इसलिए R² = (A + B cosθ)² + (B sinθ)²। कोष्ठक खोलकर sin²θ + cos²θ = 1 लगाएँ तो उलझन कट जाती है और प्रसिद्ध सूत्र बचता है।

दिशा के लिए समकोण त्रिभुज की स्पर्शज्या लें: सम्मुख ÷ आसन्न। α, R और A के बीच का कोण है। यूनानी अक्षर यहाँ केवल नाम है।

R² = (A + B cosθ)² + (B sinθ)²दोनों हिस्सों पर पाइथागोरस

R = √(A² + B² + 2AB cosθ)परिणामी का परिमाण, θ = A और B के बीच का कोण

tan α = B sinθ ÷ (A + B cosθ)R, A के साथ α कोण बनाता है

कोण बदलने पर परिणामी कैसे बदलता है

3 N और 4 N लें और θ को खोलें। तालिका की संख्याएँ कोड में निकाली गई हैं; सिमुलेशन में परिमाण 3 और 4 रखकर कोण स्लाइडर घुमाएँ और मिलाएँ।

दो चरम स्थितियाँ याद रखने लायक हैं। θ = 0° पर तीर एक ही दिशा में हैं और R सबसे बड़ा, A + B। θ = 180° पर वे विपरीत हैं और R सबसे छोटा, अंतर। बाकी हर कोण पर R इनके बीच में रहता है। शुरुआती स्थिति में 3 + 4 = 7 होने पर भी R केवल 5.00 है, क्योंकि कोण 90° है।

θ = 0°: एक ही दिशा, परिमाण सीधे जुड़ते हैं।
θ = 90°: समकोण, R = √(A² + B²)।
θ = 180°: विपरीत दिशा, परिमाण घटते हैं।
A = B हो तो R = 2A cos(θ/2) और परिणामी कोण को समद्विभाजित करता है।

θ (डिग्री)	cosθ	R (N)	α (डिग्री)
0	1.00	7.00	0.0
60	0.50	6.08	34.7
90	0.00	5.00	53.1
120	-0.50	3.61	73.9
180	-1.00	1.00	180.0

घटक: एक सदिश के दो हिस्से

उलटा काम भी होता है। तिरछे सदिश को दो अक्षों के अनुदिश तोड़ा जा सकता है। ढलान पर गाड़ी खींचते समय आपके खिंचाव का एक हिस्सा गाड़ी को आगे बढ़ाता है और दूसरा उसे ऊपर उठाना चाहता है। यही हिस्से घटक हैं।

x-अक्ष से θ कोण पर लगे बल F का x-घटक F cosθ और y-घटक F sinθ होता है। दोनों परस्पर लंबवत हैं, इसलिए पाइथागोरस से फिर F मिल जाता है।

“परिणामी के घटक दिखाएँ” चालू हो तो हरी रेखाएँ Rx और Ry दिखाती हैं। शुरुआत में Rx = 1.45 N और Ry = 4.78 N। A और B के घटक अलग-अलग जोड़ने पर भी यही संख्याएँ मिलती हैं। कठिन प्रश्न इसी तरह आसान होते हैं: हर सदिश को तोड़ें, x में x और y में y जोड़ें, अंत में एक बार पाइथागोरस।

Fx = F cosθx-अक्ष के अनुदिश घटक

Fy = F sinθy-अक्ष के अनुदिश घटक

F = √(Fx² + Fy²)घटकों से फिर मूल मान

Rx = Ax + Bx, Ry = Ay + Byपरिणामी के घटक = घटकों के योग

नदी में नाव: दो वेग एक साथ

नाव शांत पानी में v वेग से चल सकती है। पर पानी खुद u वेग से बह रहा है। किनारे से देखने पर नाव का असली वेग दोनों का सदिश योग है।

नाव का मुँह सीधे सामने रखें तो नाव का वेग और धारा का वेग परस्पर लंबवत होते हैं और परिणामी √(v² + u²) है। पार करने का समय केवल पार की दिशा वाले घटक पर निर्भर करता है; धारा उसमें कुछ नहीं जोड़ती। वह बस नाव को नीचे की ओर बहा ले जाती है। 100 m चौड़ी नदी, v = 5 m/s और u = 3 m/s पर समय 20.0 s और बहाव 60.0 m है।

अब दो सवाल हैं और दोनों के उत्तर अलग। सबसे कम समय चाहिए तो मुँह सीधा सामने। सबसे कम दूरी, यानी ठीक सामने वाले बिंदु पर उतरना चाहिए, तो मुँह धारा के विरुद्ध झुकाना होगा।

शर्त है कि धारा की दिशा में नेट वेग शून्य हो: नाव के वेग का धारा-विरुद्ध घटक धारा को काट दे, v sinφ = u, यानी sinφ = u ÷ v। यदि u ≥ v हो तो दायाँ पक्ष 1 या उससे बड़ा हो जाता है और हल नहीं मिलता। धारा नाव से तेज़ हो तो ठीक सामने उतरना असंभव है, चाहे जैसे चलाएँ।

एक और बात: न्यूनतम समय वाला मार्ग और न्यूनतम दूरी वाला मार्ग एक नहीं होते। छोटा मार्ग लेने पर समय अधिक लगता है।

vx = u − v sinφधारा की दिशा में नेट वेग (φ = धारा के विरुद्ध झुकाव)

vy = v cosφनदी पार की दिशा में वेग

t = d ÷ (v cosφ)चौड़ाई d हो तो पार करने का समय

sinφ = u ÷ vठीक सामने उतरने की शर्त, केवल u < v पर संभव

बारिश और छाता: आपेक्षिक वेग

बारिश v वेग से सीधी नीचे गिर रही है। आप u वेग से आगे चल रहे हैं। आपको बारिश किस वेग से आती दिखेगी? किसी वस्तु का दूसरी वस्तु से देखा गया वेग आपेक्षिक वेग कहलाता है। नियम: जिसे देख रहे हैं उसके वेग में से देखने वाले का वेग घटा दें।

यानी बारिश का आपेक्षिक वेग = बारिश का वेग − आपका वेग। घटाने का मतलब −u जोड़ना है, जो आपके चलने की उलटी दिशा में एक तीर है। नीचे वाले तीर में पीछे वाला तीर जुड़ने पर बारिश आपकी ओर तिरछी आती है।

छाता उसी ओर पकड़ें जिधर से बारिश आती दिखती है: ऊर्ध्वाधर से आगे की ओर θ झुकाव, जहाँ tan θ = आपकी चाल ÷ बारिश की चाल। शुरुआत में 4 m/s की बारिश और 3 m/s की चाल से tan θ = 0.75, θ = 36.9° और आपेक्षिक वेग 5.00 m/s।

एक दिलचस्प बात: तेज़ चलें तो बारिश आपको और तेज़ और ज़्यादा तिरछी लगती है, जबकि आसमान में कुछ नहीं बदला। “चलने वाले की नज़र से देखें” चालू करें तो बूँदें सचमुच झुक जाती हैं।

v(आपेक्षिक) = v(बारिश) − v(व्यक्ति)सदिश घटाव

tan θ = v(व्यक्ति) ÷ v(बारिश)छाते का झुकाव ऊर्ध्वाधर से

|v(आपेक्षिक)| = √(v(बारिश)² + v(व्यक्ति)²)दोनों वेग परस्पर लंबवत हैं

सिमुलेशन में करके देखें

हर प्रयोग एक मिनट का है। एक बार करके देखेंगे तो सूत्र नहीं भूलेंगे।

प्रयोग 1: पहले दृश्य में B को धीरे-धीरे घुमाकर θ = 0° करें। क्या R दोनों परिमाणों का योग हुआ? अब θ को 180° तक खोलें। R कितना घटा?
प्रयोग 2: A = B करें और θ = 120° रखें। R कितना है? यह A के बराबर क्यों है, सोचें।
प्रयोग 3: समांतर चतुर्भुज नियम चुनकर देखें कि विकर्ण R पर बैठता है या नहीं। फिर त्रिभुज नियम पर लौटें।
प्रयोग 4: घटक चालू रखकर A घुमाएँ और पता करें कि Rx या Ry का चिह्न कब बदलता है।
प्रयोग 5: नदी दृश्य में धारा 0 करके रुख़ घुमाएँ। बहाव कितना है? फिर धारा बढ़ाकर दोबारा चलाएँ।
प्रयोग 6: नाव 3 m/s और धारा 4 m/s रखें। न्यूनतम मार्ग वाला रुख़ डैश क्यों दिखा रहा है?
प्रयोग 7: बारिश दृश्य में स्वचालित झुकाव बंद करें। स्लाइडर से छाता तब तक झुकाएँ जब तक “सूखा” न आ जाए, कोण लिख लें और tan θ से मिलाएँ।

हल किए हुए प्रश्न

हर संख्या कोड में निकाली गई है। पहले कॉपी में खुद करें, फिर नीचे के चरण देखें।

प्रश्न 1: 3 N और 4 N समकोण पर

3 N और 4 N के दो बल एक बिंदु पर 90° कोण बनाकर लगे हैं। परिणामी का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।

R = √(3² + 4² + 2 × 3 × 4 × cos 90°) = 5.00 N, क्योंकि cos 90° = 0। दिशा: tan α = 4 sin 90° ÷ (3 + 4 cos 90°) = 4 ÷ 3, इसलिए α = 53.1°, 3 N वाले बल से।

प्रश्न 2: 10 N और 6 N, 60° पर

10 N और 6 N के बलों के बीच 60° है। परिणामी ज्ञात कीजिए।

A + B cosθ = 10 + 6 × 0.50 = 13.00। B sinθ = 6 × 0.866 = 5.20। R² = 13.00² + 5.20² = 196, अतः R = 14.00 N। tan α = 5.20 ÷ 13.00, α = 21.8°। कोण छोटा है, इसलिए R सीधे योग के काफ़ी पास है।

प्रश्न 3: बराबर दो बल 120° पर

8 N के दो बराबर बलों के बीच 120° कोण है। परिणामी क्या होगा?

R = 2P cos(θ/2) = 2 × 8 × cos 60° = 2 × 8 × 0.50 = 8.00 N। चौंकाने वाली बात: परिणामी हर बल के बराबर है। वह दोनों के ठीक बीच, 60° पर है। 120° के अंतर पर तीन बराबर बल एक-दूसरे को पूरी तरह काट देते हैं, यही संतुलन की कुंजी है।

प्रश्न 4: स्लेज को खींचना

एक स्लेज को 50 N बल से भूमि से 30° ऊपर खींचा जा रहा है। बल के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक ज्ञात कीजिए।

Fx = 50 cos 30° = 43.30 N और Fy = 50 sin 30° = 25.00 N। स्लेज को आगे केवल 43.30 N चलाता है। बाकी 25.00 N उसका थोड़ा भार उठा देता है।

प्रश्न 5: नदी पार करना

100 m चौड़ी नदी की धारा 3 m/s से बह रही है। शांत जल में नाव की चाल 5 m/s है। (क) मुँह सीधा सामने रखने पर परिणामी चाल, समय और बहाव ज्ञात कीजिए। (ख) ठीक सामने उतरने के लिए किस कोण पर रुख़ रखें और समय कितना लगेगा?

(क) परिणामी चाल √(5² + 3²) = 5.83 m/s। पार की चाल 5 m/s, अतः समय 100 ÷ 5 = 20.0 s। बहाव 3 × 20.0 = 60.0 m। मार्ग सीधे से 31.0° के कोण पर है।

(ख) sinφ = 3 ÷ 5 = 0.60, इसलिए φ = 36.9° धारा के विरुद्ध। पार की चाल √(5² − 3²) = 4.00 m/s, अतः समय 100 ÷ 4.00 = 25.0 s। समय बढ़ा, पर बहाव बिल्कुल नहीं।

प्रश्न 6: बारिश में चलना

बारिश 4 m/s से सीधी गिर रही है और एक व्यक्ति 3 m/s से चल रहा है। बारिश का आपेक्षिक वेग क्या होगा और छाता ऊर्ध्वाधर से किस कोण पर पकड़ना चाहिए?

आपेक्षिक चाल √(4² + 3²) = 5.00 m/s। tan θ = 3 ÷ 4 = 0.75, अतः θ = 36.9°, आगे की ओर झुका हुआ।

प्रश्न 7: उलटी दिशा से हल

एक साइकिल सवार 6 m/s से जा रहा है और उसे बारिश ऊर्ध्वाधर से 30° पर आती दिखती है। बारिश की वास्तविक चाल क्या है?

tan 30° = 0.577 = 6 ÷ v(बारिश), अतः v(बारिश) = 6 ÷ 0.577 = 10.39 m/s। जाँच: आपेक्षिक चाल √(10.39² + 6²) = 12.00 m/s।

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं

कॉपियों में वही कुछ गलतियाँ बार-बार मिलती हैं। सूची पढ़कर अपनी गलतियाँ पहचानें।

परिमाणों को सीधे जोड़ना। 3 N और 4 N का योग 7 N तभी है जब दोनों एक दिशा में हों, वरना R छोटा होता है।
θ को गड़बड़ा देना। θ वह कोण है जो दोनों सदिशों की पूँछ एक बिंदु पर रखने पर बनता है। त्रिभुज का भीतरी कोण 180° − θ होता है।
tan α के हर में सिर्फ़ A लिखना। हर में A + B cosθ ही आएगा।
नदी के प्रश्न में चौड़ाई को परिणामी चाल से भाग देना। समय में केवल पार की दिशा का घटक लगता है।
आपेक्षिक वेग में चिह्न की भूल। देखने वाले का वेग घटाया जाता है, यानी उसका उलटा जोड़ा जाता है।
कोण निकालते समय कैलकुलेटर को रेडियन मोड में छोड़ देना।
यह भूल जाना कि परिणामी का मात्रक वही है जो जोड़े जा रहे सदिशों का है।

रोज़मर्रा में सदिश योग

एक बार पहचानना आ जाए तो हर जगह दिखता है। कुछ नमूने:

हवाई जहाज़ और हवा: पायलट एक ओर मुँह करता है, हवा दूसरी ओर धकेलती है, इसलिए रुख़ पहले से झुकाना पड़ता है।
नाव और स्टीमर: व्यस्त नदी पार कराने वाला माँझी यही जोड़ बिना कैलकुलेटर करता है।
रस्साकशी: दो टीमें, दो बल सदिश, और एक परिणामी जो जीत तय करता है।
पेड़ पर झूला: दोनों रस्सियों का मिला हुआ खिंचाव झूले के भार को संतुलित रखता है।
घूमती फुटबॉल: पैर का धक्का और बगल की हवा मिलकर टेढ़ा मार्ग बनाते हैं।
चक्रवात का मार्ग: हवा का वेग और समुद्री धारा मिलकर वास्तविक पथ तय करते हैं।

परीक्षा का कोना: CBSE / NCERT कक्षा 11

अध्याय 3 (समतल में गति) के प्रश्न अक्सर नदी, बारिश या बलों के परिणामी की कहानी में आते हैं। एक नमूना देखें।

नमूना प्रश्न

एक व्यक्ति 12 m/s की चाल से गिरती बारिश में 5 m/s से चल रहा है। एक नाव शांत जल में 4 m/s की चाल से चल सकती है और 120 m चौड़ी नदी की धारा 3 m/s है।

(क) सदिश राशि की परिभाषा लिखिए। (1 अंक)

(ख) बारिश का आपेक्षिक वेग और छाते का झुकाव ज्ञात कीजिए। (3 अंक) उत्तर: √(12² + 5²) = 13.00 m/s, tan θ = 5 ÷ 12, θ = 22.6°।

(ग) नाव को ठीक सामने उतरने के लिए किस कोण पर रखें और समय कितना लगेगा? सीधे मुँह रखने पर समय और बहाव क्या होंगे? (4 अंक) उत्तर: φ = 48.6°, पार की चाल 2.65 m/s, समय 45.4 s। सीधे मुँह पर समय 30.0 s और बहाव 90.0 m।

उत्तर कैसे लिखें

पहले शर्त लिखें: धारा की दिशा में नेट वेग शून्य। फिर सूत्र, प्रतिस्थापन और मात्रक। अंत में दोनों समयों की तुलना की एक पंक्ति जोड़ें: ठीक सामने उतरने में समय अधिक लगता है क्योंकि पार की चाल घट जाती है।

अभ्यास: (1) 5 N और 12 N के बल समकोण पर हों तो परिणामी 13.00 N, A से 67.4° पर। (2) 6 N और 8 N समकोण पर: 10.00 N। (3) 10 N के दो बल 60° पर: 17.32 N। (4) बारिश 6 m/s और व्यक्ति 8 m/s: आपेक्षिक चाल 10.00 m/s, कोण 53.1°।

तेज़ दोहराव

परीक्षा से एक रात पहले ये पंक्तियाँ एक नज़र में देख लें।

सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, अदिश में केवल परिमाण।
त्रिभुज नियम: सिरे पर पूँछ। समांतर चतुर्भुज नियम: एक बिंदु पर दो पूँछ। परिणामी एक ही।
R = √(A² + B² + 2AB cosθ) और tan α = B sinθ ÷ (A + B cosθ)।
θ = 0° पर R अधिकतम और θ = 180° पर न्यूनतम।
घटक: F cosθ और F sinθ। परिणामी के घटक = घटकों के योग।
नदी: समय = चौड़ाई ÷ पार की चाल। ठीक सामने उतरने के लिए sinφ = u ÷ v।
बारिश: tan θ = व्यक्ति की चाल ÷ बारिश की चाल, आपेक्षिक वेग = बारिश का वेग − व्यक्ति का वेग।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सदिश जोड़ने पर परिमाण सीधे क्यों नहीं जुड़ते?

क्योंकि सदिश की दिशा भी होती है, और दिशाएँ अलग हों तो एक का असर दूसरे को आंशिक रूप से काट देता है। परिमाण सीधे तभी जुड़ते हैं जब दोनों एक ही दिशा में हों। बाकी सब स्थितियों में R = √(A² + B² + 2AB cosθ), जो कभी A + B से बड़ा नहीं होता।

क्या त्रिभुज नियम और समांतर चतुर्भुज नियम के उत्तर अलग होते हैं?

नहीं, दोनों एक ही चित्र हैं। समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए चतुर्भुज का विकर्ण और त्रिभुज की तीसरी भुजा एक ही तीर है। अंतर केवल इतना है कि खींचना कहाँ से शुरू करते हैं।

परिणामी शून्य कब होता है?

जब दो सदिशों का परिमाण बराबर हो और वे ठीक विपरीत दिशाओं में हों, यानी θ = 180° और A = B। 120° के अंतर पर तीन बराबर सदिश भी पूरी तरह एक-दूसरे को काट देते हैं।

नदी पार करने में न्यूनतम समय और न्यूनतम दूरी के उत्तर अलग क्यों हैं?

समय केवल पार की दिशा की चाल पर निर्भर करता है, इसलिए न्यूनतम समय में मुँह सीधा सामने रहता है, पर तब धारा नाव को नीचे बहा देती है। ठीक सामने उतरने के लिए मुँह धारा के विरुद्ध झुकाना पड़ता है, जिससे पार की चाल घटती है और समय बढ़ता है।

धारा नाव से तेज़ हो तो क्या ठीक सामने उतरा जा सकता है?

नहीं। ठीक सामने उतरने के लिए sinφ = u ÷ v चाहिए, और u ≥ v होने पर यह अनुपात 1 या उससे अधिक हो जाता है, जो किसी कोण से संभव नहीं। तब केवल बहाव को कम से कम किया जा सकता है।

आपेक्षिक वेग क्या है?

किसी वस्तु का दूसरी गतिशील वस्तु से देखा गया वेग आपेक्षिक वेग है। देखी जा रही वस्तु के वेग में से देखने वाले का वेग सदिश के रूप में घटाया जाता है। इसीलिए सीधी गिरती बारिश चलती बस से तिरछी दिखती है।

सूखा रहने के लिए छाता किस कोण पर पकड़ें?

आगे की ओर, जिधर से बारिश आती दिखती है, ऊर्ध्वाधर से θ कोण पर, जहाँ tan θ = आपकी चाल ÷ बारिश की चाल। खड़े रहने पर θ = 0° है, और जितना तेज़ चलेंगे उतना अधिक झुकाना पड़ेगा।

इस विषय पर और पढ़ाई

एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।

भौतिकी के और एनिमेशन

कक्षा 10 · 12

अन्य विषयों के एनिमेशन

रसायन विज्ञान

दो तीर जोड़ें तो क्या मिलता है? परिणामी का खेल

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

नाव सीधी क्यों नहीं जाती?

शुरू से: अदिश और सदिश

ये शब्द ज़रूर आने चाहिए

त्रिभुज नियम: सिरे पर पूँछ

समांतर चतुर्भुज नियम: दो पूँछ, एक बिंदु

परिणामी का परिमाण और दिशा

कोण बदलने पर परिणामी कैसे बदलता है

घटक: एक सदिश के दो हिस्से

नदी में नाव: दो वेग एक साथ

बारिश और छाता: आपेक्षिक वेग

सिमुलेशन में करके देखें

हल किए हुए प्रश्न

प्रश्न 1: 3 N और 4 N समकोण पर

प्रश्न 2: 10 N और 6 N, 60° पर

प्रश्न 3: बराबर दो बल 120° पर

प्रश्न 4: स्लेज को खींचना

प्रश्न 5: नदी पार करना

प्रश्न 6: बारिश में चलना

प्रश्न 7: उलटी दिशा से हल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं

रोज़मर्रा में सदिश योग

परीक्षा का कोना: CBSE / NCERT कक्षा 11

नमूना प्रश्न

उत्तर कैसे लिखें

तेज़ दोहराव

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सदिश जोड़ने पर परिमाण सीधे क्यों नहीं जुड़ते?

क्या त्रिभुज नियम और समांतर चतुर्भुज नियम के उत्तर अलग होते हैं?

परिणामी शून्य कब होता है?

नदी पार करने में न्यूनतम समय और न्यूनतम दूरी के उत्तर अलग क्यों हैं?

धारा नाव से तेज़ हो तो क्या ठीक सामने उतरा जा सकता है?

आपेक्षिक वेग क्या है?

सूखा रहने के लिए छाता किस कोण पर पकड़ें?

इस विषय पर और पढ़ाई

HSC Physics: syllabus and preparation

Class 9-10 Physics textbook

Jahangirnagar University mathematical and physical sciences unit

SSC Physics: syllabus and preparation

Engineering admission test preparation

Dhaka University science unit admission 2026-27

Composition: The Uses of Electricity

প্রতিবেদন: বিজ্ঞান মেলা (बांग्ला में)

Paragraph: Science in Everyday Life

SSC suggestions

HSC suggestions

University admission guide

SSC syllabus

HSC syllabus

Study in Germany

Digital SAT Math guide

Scholarships to study abroad

IELTS vocabulary: science and research

GPA calculator

Civil engineer resume example

भौतिकी के और एनिमेशन

प्रकाश का अपवर्तन

ओम का नियम

प्रक्षेप्य गति

सरल लोलक

विद्युत क्षेत्र

तरंगों का व्यतिकरण

मुक्त पतन

लेंस द्वारा प्रतिबिंब

न्यूटन के गति के नियम

गोलीय दर्पण किरण आरेख

विद्युत चुंबकीय प्रेरण

संवेग संरक्षण और संघट्ट

कार्य, ऊर्जा और शक्ति

आनत तल

एकसमान वृत्तीय गति

अनुप्रस्थ और अनुदैर्घ्य तरंग

उत्तोलक और आघूर्ण

द्रव्यमान केंद्र

कमानी-द्रव्यमान की सरल आवर्त गति

सापेक्ष वेग: रेलगाड़ियाँ और नदी पार करना

केपलर के नियम और दीर्घवृत्ताकार कक्षा

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम, g और उपग्रह

तार और नलियों में अप्रगामी तरंगें