प्रेक्षक को खींचें, या दूरी और कोण के लिए स्लाइडर उपयोग करें
नियंत्रण
स्थिति
लक्ष्य
मापन
- क्षैतिज दूरी, d
- 20m
- कोण, θ
- 30°
- tan θ
- 0.5774
- प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई
- 1.5m
- परिकलित ऊँचाई, H
- 13.05m
- दृष्टि रेखा की लंबाई
- 23.09m
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- शुरुआत "उन्नयन कोण" मोड में डिफ़ॉल्ट मानों पर होती है: दूरी 20 मी, कोण 30°, आँख की ऊँचाई 1.5 मी — नीचे परिकलित ऊँचाई H देखें।
- प्रेक्षक को खींचकर दूरी बदलें, या स्लाइडर उपयोग करें। Play दबाने पर कोण अपने-आप 10° से 80° के बीच घूमेगा — देखें H कैसे बदलता है।
- लक्ष्य को मीनार, पेड़ और इमारत में बदलें — तस्वीर बदलती है, गणित नहीं।
- "अवनमन कोण" मोड में जाएँ: अब प्रेक्षक ऊपर है, नाव नीचे। नाव खींचें और "एकांतर कोण" चालू करके देखें कि नाव से मापा गया उन्नयन कोण ठीक θ के बराबर ही रहता है।
- "दो बार अवलोकन" मोड में α, β और x बदलें और देखें मीनार की परिकलित ऊँचाई H कैसे बदलती है — यहाँ मीनार की असली ऊँचाई कभी सीधे नहीं दी जाती, सिर्फ दो कोण और चली गई दूरी से निकाली जाती है।
- माप पैनल के आँकड़े अपने कैलकुलेटर से मिलाकर देखें — परीक्षा की कॉपी में यही तरीका लिखना होता है।
जिस पेड़ को कभी किसी ने नापा नहीं
स्कूल के गेट के पास एक बहुत ऊँचा पेड़ है, जिसे आज तक किसी ने नहीं नापा — इतनी लंबी सीढ़ी किसी के पास नहीं, और तने के इर्द-गिर्द फीता लपेटने से भी कुछ पता नहीं चलता। फिर भी तुम पूरे भरोसे के साथ उसकी ऊँचाई बता सकते हो — सिर्फ मोबाइल के कोण-मापक ऐप और ज़मीन पर नापी गई एक सीधी दूरी से। यही तरकीब इस अध्याय में सीखनी है।
लगभग 600 ईसा पूर्व, यूनानी गणितज्ञ थेल्स ने मिस्र के महान पिरामिड की ऊँचाई बिना छुए ही नाप ली थी — बस इतना इंतज़ार किया कि जब उनकी अपनी परछाईं ठीक उनकी अपनी ऊँचाई जितनी लंबी हो गई, उसी पल पिरामिड की परछाईं नाप ली। आज की भाषा में यह समरूप त्रिभुजों की तरकीब थी; अब हम वही काम tan के अनुपात से सीधे कर लेते हैं।
जहाज़ का कप्तान प्रकाश स्तंभ की जानी-पहचानी ऊँचाई देखकर अपनी दूरी का अंदाज़ा लगाता है, विमान उतारते समय पायलट अपनी ऊँचाई और अवनमन कोण मिलाकर देखता है, और सड़क बनाने से पहले सर्वेक्षक पहाड़ी की ऊँचाई नापता है — तीनों एक ही त्रिभुज पढ़ रहे हैं। ऊपर के सिमुलेशन में खुद खींचकर देखो, संख्याएँ साथ-साथ कैसे बदलती हैं।
शुरुआत से: दृष्टि रेखा, उन्नयन कोण और अवनमन कोण
प्रेक्षक की आँख से जिस वस्तु को देखा जा रहा है, उस तक खींची गई सीधी रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं। जब यह रेखा आँख की ऊँचाई पर बनी क्षैतिज रेखा से ऊपर की ओर झुकी हो — क्योंकि वस्तु प्रेक्षक से ऊँची है — तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच के कोण को उन्नयन कोण कहते हैं।
जब वस्तु प्रेक्षक से नीचे हो (जैसे ऊँचे प्रकाश स्तंभ से नीचे समुद्र में तैरती नाव), तो दृष्टि रेखा उसी क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर झुकती है, और उस कोण को अवनमन कोण कहते हैं। दोनों ही स्थितियों में कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से मापा जाता है, किसी और रेखा से नहीं — यही सबसे आम परीक्षा-भूल है।
एक खूबसूरत तथ्य: A से B का उन्नयन कोण हमेशा B से A के अवनमन कोण के बराबर होता है। A और B, दोनों जगह की क्षैतिज रेखाएँ आपस में समांतर हैं, और दृष्टि रेखा एक तिर्यक रेखा की तरह दोनों को काटती है — इसलिए एकांतर कोण के नियम से दोनों कोण हमेशा बराबर रहते हैं।
ज़मीन हमेशा क्षैतिज होती है और मीनार या चट्टान हमेशा ऊर्ध्वाधर, इसलिए दोनों जहाँ मिलते हैं वहाँ हमेशा एक समकोण बनता है। इसी वजह से "ऊँचाई पता करो" वाला हर सवाल दरअसल एक समकोण त्रिभुज का सवाल है, और वहाँ sin-cos-tan तीनों काम आते हैं।
सूत्रों से पहले, ज़रूरी शब्दावली
एक झलक में शब्दावली — परीक्षा के "परिभाषा लिखो" सवाल यहीं से आते हैं।
| शब्द | चिह्न | सरल भाषा में अर्थ | इकाई |
|---|---|---|---|
| दृष्टि रेखा | — | प्रेक्षक की आँख से देखी जा रही वस्तु तक खींची गई सीधी रेखा | m |
| क्षैतिज रेखा | — | आँख की ऊँचाई पर ज़मीन के समांतर काल्पनिक रेखा, जहाँ से कोण मापा जाता है | — |
| उन्नयन कोण | θ | वस्तु ऊपर होने पर क्षैतिज रेखा से ऊपर की ओर झुका हुआ कोण | ° |
| अवनमन कोण | θ | वस्तु नीचे होने पर क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर झुका हुआ कोण | ° |
| लंब | H | कोण के सामने वाली भुजा — यहाँ ऊँचाई H | m |
| आधार | d | कोण से सटी भुजा — यहाँ क्षैतिज दूरी d | m |
| कर्ण | — | समकोण के सामने वाली भुजा — यहाँ दृष्टि रेखा स्वयं | m |
| आँख की ऊँचाई | e | ज़मीन पर खड़े प्रेक्षक की आँख तक की ऊँचाई; न दी हो तो प्रेक्षक को एक बिंदु मान लिया जाता है | m |
सूत्र, और दो बार अवलोकन की व्युत्पत्ति
समकोण त्रिभुज में कोण θ के लिए tan θ = लंब ÷ आधार। उन्नयन कोण में लंब है (H − आँख की ऊँचाई) और आधार है d, इसलिए नीचे का सूत्र बनता है।
tan θ = (H − e) / dउन्नयन कोण: H देखी गई ऊँचाई, e आँख की ऊँचाई, d दूरी
H = e + d·tan θसीधे ऊँचाई निकालने का रूप — माप पैनल यही सूत्र चलाता है
d = H / tan θअवनमन कोण: मीनार की ज्ञात ऊँचाई H से नाव की दूरी d
दो बार अवलोकन: बिना जाने भी मीनार की ऊँचाई
मान लो मीनार की ऊँचाई H अज्ञात है। दूर वाले बिंदु A से उन्नयन कोण α है; वहाँ से x मीटर पास आकर बिंदु B से कोण β हो जाता है (β हमेशा α से बड़ा होता है, क्योंकि पास आने पर सिर और ऊपर उठाना पड़ता है)।
A से क्षैतिज दूरी d₁ = H·cot α, और B से दूरी d₂ = H·cot β। चूँकि A और B के बीच की दूरी ही x है, इसलिए d₁ − d₂ = x, यानी H(cot α − cot β) = x।
इससे H = x ÷ (cot α − cot β) मिलता है। इसे tan में भी लिखा जा सकता है: H = x·tan α·tan β ÷ (tan β − tan α) — दोनों एक ही सूत्र के दो रूप हैं।
H = x / (cot α − cot β) = x·tan α·tan β / (tan β − tan α)
सिमुलेशन में यह करके देखो
नीचे के हल किए गए सवालों तक पहुँचने से पहले इन सबको सिमुलेशन में खुद करके देखो — फिर संख्याएँ अजनबी नहीं लगेंगी।
1. प्रेक्षक को खींचकर दूरी बदलो
उन्नयन कोण मोड में प्रेक्षक को बाएँ-दाएँ खींचो। कोण स्लाइडर स्थिर रखने पर, दूरी बढ़ने के साथ परिकलित ऊँचाई H भी बढ़ेगी। यहाँ असली वस्तु की ऊँचाई नहीं बदल रही — बदल रहा है "कितनी दूर से, किस कोण पर देखने से कितनी ऊँचाई निकलती है" वाला रिश्ता। असली सवाल में d और θ दोनों नापी गई जानकारी होती हैं, H अज्ञात राशि।
2. लक्ष्य बदलो
मीनार, पेड़ और इमारत के बीच बदलो — तस्वीर बदलती है पर त्रिभुज और सूत्र नहीं बदलते। गणित को वस्तु की आकृति से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता, सिर्फ उसकी ऊँचाई और दूरी मायने रखती है।
3. अवनमन कोण में एकांतर कोण जाँचो
"एकांतर कोण" चालू रखो। प्रकाश स्तंभ की चोटी से नाव की ओर अवनमन कोण, और नाव से चोटी की ओर उन्नयन कोण — दोनों चाप हमेशा बराबर नापे जाएँगे, चाहे नाव को कितनी भी दूरी पर खींचो।
4. दो बार अवलोकन में α, β, x बदलो
β को α से छोटा सेट करना संभव ही नहीं है — स्लाइडर की सीमा यही सुनिश्चित करती है, क्योंकि पास आने पर कोण सिर्फ बढ़ता है, घटता कभी नहीं। समान α और β पर बड़ा x एक लंबी मीनार साबित करता है।
5. हाथ से हिसाब मिलाओ
माप पैनल से tan θ का मान लो, अपने कैलकुलेटर में डिग्री मोड में डालो, और H = e + d·tan θ निकालो। मिल जाए तो यही तरीका परीक्षा की कॉपी में लिखना है।
हल किए गए सवाल
नौ सवाल — उन्नयन कोण, अवनमन कोण और दो बार अवलोकन से तीन-तीन, और अंत में एक पतंग वाला बोनस सवाल। हर संख्या इसी पेज के कोड से निकाली गई है, हाथ से टाइप नहीं की गई।
सवाल 1 (उन्नयन कोण, सिमुलेशन का डिफ़ॉल्ट): d = 20 मी, θ = 30°, आँख की ऊँचाई 1.5 मी
tan 30° = 0.5774। आँख की ऊँचाई से ऊपर का हिस्सा = d·tan θ = 20 × 0.5774 = 11.55 मी।
कुल ऊँचाई H = आँख की ऊँचाई + यह हिस्सा = 1.5 + 11.55 = 13.05 मीटर — पेज खुलते ही माप पैनल में यही संख्या दिखती है।
सवाल 2 (उन्नयन कोण, मानक 45° कोण): d = 15 मी, θ = 45°
45° पर tan ठीक 1 होता है, इसलिए प्रेक्षक को बिंदु मानकर H = d × tan 45° = 15 × 1 = 15 मीटर। यही कोण परीक्षा में सबसे ज़्यादा आता है क्योंकि इसे कैलकुलेटर के बिना भी हल किया जा सकता है।
सवाल 3 (उन्नयन कोण, मानक 60° कोण): d = 12 मी, θ = 60°, आँख की ऊँचाई 1.6 मी
tan 60° = √3 ≈ 1.732। H = 1.6 + 12 × 1.732 = 22.38 मीटर। सवाल 2 से तुलना करो — एक जैसी दूरी पर 60° का कोण 45° से कहीं ज़्यादा ऊँचाई दिखाता है।
सवाल 4 (उल्टा सवाल — परछाईं): एक खंभा 6 मी ऊँचा है, सूर्य का उन्नयन कोण 30° है; परछाईं की लंबाई निकालो
अब H पता है, d नहीं। d = H ÷ tan θ = 6 ÷ 0.5774 = 10.39 मीटर। यहीं सबसे ज़्यादा गलती होती है — पहले लिख लो कौन सी राशि H है और कौन सी d, फिर सूत्र में डालो।
सवाल 5 (अवनमन कोण, प्रकाश स्तंभ): ऊँचाई 50 मी, नाव का अवनमन कोण 30°; नाव की दूरी निकालो
d = H ÷ tan θ = 50 ÷ 0.5774 = 86.60 मीटर। सूत्र वही है — बस तस्वीर उल्टी है, इस बार प्रेक्षक ऊपर है।
सवाल 6 (अवनमन कोण, दो बार नापा): एक ही 75 मी ऊँचे प्रकाश स्तंभ से नाव का अवनमन कोण पहले 45°, फिर बाद में 30°; नाव कितनी दूर गई?
पहली दूरी d₁ = 75 ÷ tan 45° = 75 ÷ 1 = 75 मी। दूसरी दूरी d₂ = 75 ÷ tan 30° = 75 ÷ 0.577 ≈ 129.90 मी।
नाव d₂ − d₁ = 129.90 − 75 ≈ 54.90 मीटर गई। यह असल में दो बार अवलोकन वाला ही सवाल है, बस इस बार H पता है और x अज्ञात है।
सवाल 7 (दो बार अवलोकन, सिमुलेशन का डिफ़ॉल्ट): α = 30°, β = 60°, x = 20 मी
cot 30° ≈ 1.732, cot 60° ≈ 0.577। H = 20 ÷ (1.732 − 0.577) = 20 ÷ 1.155 ≈ 17.32 मीटर।
d₁ = H·cot 30° ≈ 30 मी (A से), d₂ = H·cot 60° ≈ 10 मी (B से) — इनका अंतर ठीक 20 मीटर है, जो x से मेल खाता है।
सवाल 8 (दो बार अवलोकन, दूसरी जोड़ी कोण): α = 30°, β = 45°, x = 40 मी
cot 30° ≈ 1.732, cot 45° = 1। H = 40 ÷ (1.732 − 1) = 40 ÷ 0.732 ≈ 54.64 मीटर।
जाँच: d₁ ≈ 94.64 मी, d₂ ≈ 54.64 मी, इनका अंतर ठीक 40 मीटर है — मेल खाने पर हिसाब सही है।
बोनस सवाल 9 (पतंग): डोर 100 मी लंबी है और ज़मीन से 60° का कोण बनाती है; पतंग की ऊँचाई और क्षैतिज दूरी निकालो
यहाँ डोर खुद कर्ण है, इसलिए इस बार tan नहीं, sin और cos चाहिए।
ऊँचाई = डोर × sin θ = 100 × sin 60° ≈ 86.60 मीटर। क्षैतिज दूरी = डोर × cos θ = 100 × cos 60° = 50 मीटर।
आम गलतियाँ
इस अध्याय में ज़्यादातर नंबर समझ की कमी से नहीं, छोटी लापरवाहियों से कटते हैं। परीक्षा से पहले एक बार इस सूची पर नज़र डालो।
- कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से मापा जाता है — वस्तु की दिशा वाली रेखा से नहीं। बिना चित्र बनाए सीधे सूत्र में डालने पर यही गलती सबसे ज़्यादा होती है।
- उन्नयन कोण और अवनमन कोण को गड्डमड्ड कर देना: वस्तु ऊपर हो तो उन्नयन, नीचे हो तो अवनमन — दोनों छोटे चित्र में एक जैसे दिखते हैं।
- आँख की ऊँचाई जोड़ना भूल जाना (या जहाँ दी ही नहीं गई वहाँ बेवजह जोड़ देना) — न दी हो तो प्रेक्षक को बिंदु मानना ही नियम है।
- कैलकुलेटर को रेडियन मोड में छोड़कर डिग्री का मान डालना — जवाब पूरी तरह गलत आता है, पर दिखने में एक सामान्य संख्या जैसा ही लगता है।
- उल्टे सवाल में (H पता है, d नहीं) गुणा की जगह भाग करना भूल जाना, या इसका उल्टा।
- दो बार अवलोकन में d₁ − d₂ की जगह सीधे दोनों कर्णों (दृष्टि रेखाओं) को घटा देना — चली गई दूरी x हमेशा ज़मीन के साथ-साथ होती है, दृष्टि रेखा के साथ नहीं।
- अवनमन कोण में एकांतर कोण की बराबरी भूलकर दो अलग अज्ञात कोण मानकर उलझ जाना, जबकि दोनों असल में एक ही कोण हैं।
रोज़मर्रा में इस्तेमाल
ऊँचाई-दूरी का यह हिसाब सिर्फ परीक्षा की कॉपी तक सीमित नहीं — कई पेशों में यह रोज़ का औज़ार है।
- सर्वेक्षण और सिविल इंजीनियरिंग: थियोडोलाइट असल में एक कोण-मापक यंत्र है, जिससे सड़क या इमारत बनने से पहले ज़मीन की ऊँच-नीच नापी जाती है।
- नौवहन: नाविक प्रकाश स्तंभ की जानी-पहचानी ऊँचाई और उसे देखने के कोण से अपनी नाव की दूरी का अंदाज़ा लगाते हैं।
- विमानन: उतरते समय पायलट रनवे से अपनी ऊँचाई और अवनमन कोण मिलाकर देखता है कि उतरने का रास्ता सही है या नहीं।
- वानिकी: क्लिनोमीटर से पेड़ पर चढ़े बिना उसकी ऊँचाई नापी जाती है — बिल्कुल इस सिमुलेशन के पेड़ की तरह।
- वास्तुकला: किसी इमारत की परछाईं साल के किस समय कहाँ तक पड़ेगी, यह सूर्य के उन्नयन कोण से पहले ही अनुमानित कर लिया जाता है।
- रक्षा और खोज-बचाव कार्य: रडार या निगरानी चौकी से किसी लक्ष्य की दूरी सिर्फ नापे गए कोण से निकाल ली जाती है।
परीक्षा कॉर्नर
CBSE बोर्ड (कक्षा 10, "त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग") में आमतौर पर सीधे सवाल (कोण और दूरी देकर ऊँचाई पूछना), उल्टे सवाल (ऊँचाई देकर दूरी या कोण पूछना) और दो बार अवलोकन वाला लंबा, ज़्यादा अंकों का सवाल — तीनों तरह के सवाल आते हैं।
JEE और NEET जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं में यह अध्याय सीधे कम आता है, पर त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाओं की जो पकड़ यहाँ बनती है, वही आगे त्रिकोणमिति के भारी सवालों में काम आती है — इसलिए इसे सिर्फ़ बोर्ड परीक्षा का अध्याय मानकर हल्के में मत लो।
पूरे अंक पाने के लिए तीन चीज़ें कॉपी में ज़रूर होनी चाहिए: एक लेबल लगा हुआ चित्र (कोण, दूरी और ऊँचाई चिह्नित), सही सूत्र, और आखिरी हिसाब दिखाना — सिर्फ़ जवाब लिख देने से विधि के अंक कट जाते हैं, भले ही संख्या सही हो।
एक नज़र में रिवीज़न
परीक्षा से ठीक पहले यह टेबल एक बार देख लो।
| स्थिति | ज्ञात राशियाँ | अज्ञात राशि | सूत्र |
|---|---|---|---|
| उन्नयन कोण | d, θ, आँख की ऊँचाई e | ऊँचाई H | H = e + d·tan θ |
| अवनमन कोण (ऊँचाई ज्ञात) | H, θ | दूरी d | d = H / tan θ |
| परछाईं / उल्टा सवाल | H, θ | दूरी d | d = H / tan θ |
| दो बार अवलोकन | α, β, x | ऊँचाई H | H = x / (cot α − cot β) |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
उन्नयन कोण और अवनमन कोण में क्या फ़र्क़ है?
दोनों आँख की ऊँचाई पर बनी क्षैतिज रेखा से मापे जाते हैं। वस्तु प्रेक्षक से ऊपर हो तो ऊपर की ओर झुका कोण उन्नयन कोण कहलाता है, नीचे हो तो नीचे की ओर झुका कोण अवनमन कोण।
दृष्टि रेखा किसे कहते हैं?
प्रेक्षक की आँख से देखी जा रही वस्तु तक खींची गई काल्पनिक सीधी रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं। यही समकोण त्रिभुज का कर्ण होती है।
आँख की ऊँचाई क्यों जोड़नी पड़ती है?
ज़मीन पर खड़े व्यक्ति की आँखें ज़मीन से थोड़ी ऊपर होती हैं (आमतौर पर 1.5-1.6 मी), और कोण उसी आँख की ऊँचाई से मापा जाता है, ज़मीन से नहीं। इसलिए वस्तु की पूरी ऊँचाई पाने के लिए d·tan θ में आँख की ऊँचाई जोड़नी पड़ती है। सवाल में न दी हो तो प्रेक्षक को ज़मीन पर एक बिंदु मान लिया जाता है।
हमेशा tan ही क्यों इस्तेमाल होता है, sin या cos क्यों नहीं?
क्योंकि ज़्यादातर सवालों में जो दो भुजाएँ शामिल होती हैं (ऊँचाई और क्षैतिज दूरी) वे लंब और आधार हैं, और tan θ = लंब ÷ आधार यही जोड़ता है। जहाँ कर्ण दिया गया हो (जैसे पतंग की डोर), वहाँ sin और cos काम आते हैं।
दो बार अवलोकन में β हमेशा α से बड़ा क्यों होता है?
किसी ऊँची वस्तु के पास जाने पर उसकी चोटी देखने के लिए सिर और ऊपर उठाना पड़ता है, इसलिए कोण सिर्फ़ बढ़ता है। दूर वाले बिंदु का कोण α हमेशा पास वाले बिंदु के कोण β से छोटा या बराबर होगा।
क्या A से B का उन्नयन कोण हमेशा B से A के अवनमन कोण के बराबर होता है?
हाँ। A और B, दोनों जगह की क्षैतिज रेखाएँ आपस में समांतर हैं, और दृष्टि रेखा एक तिर्यक रेखा की तरह दोनों को काटती है — इसलिए एकांतर कोण के नियम से दोनों कोण हमेशा बराबर रहते हैं।
इन सवालों के लिए कैलकुलेटर किस मोड में रखना चाहिए?
डिग्री (DEG) मोड में। रेडियन मोड में डिग्री का मान डालने पर जवाब पूरी तरह गलत आता है, लेकिन देखने में एक सामान्य संख्या जैसा ही लगता है, इसलिए गलती पकड़ में नहीं आती।
tan 30°, tan 45° और tan 60° का मान क्या है?
tan 30° = 1/√3 ≈ 0.577, tan 45° = 1, और tan 60° = √3 ≈ 1.732। ये तीन मान याद हों तो ज़्यादातर परीक्षा के सवाल बिना कैलकुलेटर के ही हल हो जाते हैं।
सिमुलेशन में मीनार की ऊँचाई सीधे क्यों नहीं बदल सकते?
क्योंकि असली सवाल में मीनार की ऊँचाई ही अज्ञात राशि होती है (उन्नयन कोण और दो बार अवलोकन मोड में) या पहले से दी गई एक स्थिर संख्या (अवनमन कोण मोड में) — सिमुलेशन तुम्हें बिल्कुल वैसे ही दूरी और कोण से ऊँचाई निकालना सिखाता है, जैसे असली सवाल में करना पड़ता है।
क्या दो बार अवलोकन में चली गई दूरी x हमेशा सीधी रेखा में होनी चाहिए?
हाँ, x को ज़मीन के साथ-साथ, मीनार के आधार की सीध में चली गई सीधी दूरी माना जाता है। टेढ़े-मेढ़े रास्ते से चलने पर या आधार की सीध में न चलने पर यह सूत्र सीधे लागू नहीं होता।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
SSC
SSC Mathematics: syllabus and preparation
Textbook
Class 9-10 Mathematics textbook
SSC
SSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
HSC
HSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
Textbook
Class 9-10 Higher Mathematics textbook
Admission
Engineering admission test preparation
Admission
Jahangirnagar University mathematical and physical sciences unit
English
Paragraph: Artificial Intelligence
Bangla
রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা (बांग्ला में)
SSC
SSC suggestions
HSC
HSC suggestions
Admission
University admission guide
SSC
SSC syllabus
HSC
HSC syllabus
Test prep
GRE Quantitative Reasoning guide
Test prep
Digital SAT Math guide
Scholarship
Scholarships to study abroad
Tool
Compound interest calculator
Career
Data scientist resume example
Career
Cover letter examples
गणित के और एनिमेशन
कक्षा 7 · 10
पाइथागोरस प्रमेय
पाइथागोरस प्रमेय क्या है, सूत्र कर्ण² = आधार² + लंब², प्रमाण, विलोम, पाइथागोरस त्रिक और हल सहित 10 उदाहरण: त्रिभुज खींचकर खुद देखें।
कक्षा 10 · 11
त्रिकोणमितीय अनुपात और इकाई वृत्त
त्रिकोणमितीय अनुपात क्या है, sin cos tan के मान 0° से 360° तक, मानक कोणों की तालिका, चतुर्थांश के चिह्न और सूत्र: इकाई वृत्त पर बिंदु घुमाकर खुद देखें, हल सहित।
कक्षा 10 · 11
द्विघात समीकरण और द्विघात फलन का ग्राफ़
द्विघात समीकरण क्या है, गुणनखंड और पूर्ण वर्ग विधि, द्विघाती सूत्र, विविक्तकर से मूलों की प्रकृति, शीर्ष और परवलय का ग्राफ़: एनिमेशन में खुद बदलकर देखें।
कक्षा 9 · 10
वृत्त के प्रमेय
वृत्त के सभी प्रमेय: केंद्र पर कोण, एक ही वृत्तखंड के कोण, अर्धवृत्त में कोण, चक्रीय चतुर्भुज, जीवा और स्पर्श रेखा। उपपत्ति, हल उदाहरण और इंटरैक्टिव चित्र।
कक्षा 10 · 11
प्रायिकता: प्रयोगसिद्ध बनाम सैद्धांतिक प्रायिकता
प्रायिकता किसे कहते हैं, प्रतिदर्श समष्टि और सूत्र P(E) = n(E)/n(S) कैसे काम करता है, और बार-बार उछालने पर प्रयोगसिद्ध दर सैद्धांतिक प्रायिकता के कितने पास आ जाती है — सिक्के, पासे और रंगीन गेंदों के इंटरैक्टिव सिमुलेशन में।
कक्षा 10 · 11
समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी
समांतर श्रेढ़ी और गुणोत्तर श्रेढ़ी के n-वें पद व योग के सूत्र, गाउस की जोड़ी तकनीक और अनंत श्रेढ़ी के सूत्र a/(1−r) को बार-चार्ट एनिमेशन में स्वयं बदलकर समझें, हल किए गए उदाहरणों के साथ।
कक्षा 9 · 10
माध्य, माध्यिका और बहुलक
माध्य, माध्यिका और बहुलक निकालने के सूत्र, अपवाद (आउटलायर) मिलने पर माध्यिका क्यों नहीं बदलती जबकि माध्य बहुत बदल जाता है, और वर्गीकृत आँकड़ों की माध्यिका-बहुलक सूत्र: संख्या रेखा पर बिंदु खींचकर स्वयं देखें, हल किए गए उदाहरणों के साथ।
कक्षा 11
समुच्चय और वेन आरेख
सम्मिलन, सर्वनिष्ठ, अंतर और पूरक को वेन आरेख में रंगकर देखें, संख्याएँ रखें, n(A ∪ B) सूत्र जाँचें और डी मॉर्गन के नियम परखें, हल किए प्रश्नों के साथ।
कक्षा 9 · 10
रैखिक समीकरण युग्म और सरल रेखा का आलेख
सरल रेखा का ढाल, अंतःखंड और कोण एनिमेशन में देखें। दो रैखिक समीकरणों का आलेख खींचकर हल निकालें और अनुपात से संगत-असंगत पहचानें, कक्षा 10 के अनुसार।
कक्षा 11
sin, cos, tan के आलेख
स्लाइडर से y = A sin(Bx + C) + D बनाएँ: आयाम, आवर्तकाल, कला विस्थापन, परिसर और tan के अनंतस्पर्शी खुद देखें। त्रिकोणमितीय फलन के आलेख, हल सहित।
कक्षा 10
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि और द्विघात समीकरण
टाइलों से पूर्ण वर्ग बनाने की विधि देखें, द्विघात समीकरण के मूल और शीर्ष निकालें और जानें कि सूत्र क्यों काम करता है। मुफ़्त सिमुलेशन, हल किए उदाहरणों सहित।
कक्षा 10
वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
वृत्त को टुकड़ों में काटकर आयत बनाओ और देखो कि क्षेत्रफल πr² कैसे बनता है। परिधि, पाई, त्रिज्यखंड, चाप और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त इंटरैक्टिव सिमुलेशन।
कक्षा 8 · 10
ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
छह ठोसों को 3D में घुमाइए, जाल खोलकर देखिए और शंकु का पानी बेलन में उड़ेलकर समझिए कि वह ठीक तीन बार में क्यों भरता है। सूत्रों और हल किए प्रश्नों के साथ निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 10
समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
स्लाइडर से त्रिभुज को बड़ा-छोटा करें और देखें कि कोण बराबर रहते हैं, भुजाओं का अनुपात k रहता है और क्षेत्रफल k² गुना होता है। AA, SSS, SAS नियमों और छाया के सवालों वाला मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 10
निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
ग्रिड पर बिंदु खींचकर देखें कि दूरी सूत्र, मध्य-बिंदु, ढाल और विभाजन सूत्र कैसे बदलते हैं। लंब समद्विभाजक बिंदुपथ और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त निर्देशांक ज्यामिति सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
द्वि-शंकु के आर-पार तल को झुकाइए और देखिए वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय कैसे बनता है। मानक समीकरण, नाभि और उत्केंद्रता के साथ मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 10 · 11
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
x², |x|, √x, sin x या 2^x चुनिए और a, b, h, k के स्लाइडर खींचिए। देखिए ग्राफ़ कैसे खिसकता, खिंचता, सिकुड़ता और पलटता है, पीछे फीके मूल ग्राफ़ के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 11 · 12
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
x², x³, sin x, eˣ या 1/x पर बिंदु P खींचिए और अंतर h को शून्य की ओर घटाइए। देखिए छेदक कैसे स्पर्श रेखा बनती है और उसकी ढाल अवकलज, नीचे अवकलज का ग्राफ़ भी। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
x², x³, sin x, eˣ या √x के नीचे के क्षेत्रफल को 100 तक पट्टियों में बाँटिए और बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु व समलंब योग की तुलना सटीक समाकलन से कीजिए। त्रुटि घटते देखिए। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
ε–δ परिभाषा से सीमा को आँखों से देखिए। फलन चुनिए, ε घटाइए और δ पट्टी को सिकुड़ते देखिए। बाएँ-दाएँ सीमा, छेद, sin x / x और छलाँग, जहाँ कोई δ नहीं चलता। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
दो त्रिविमीय सदिशों को खींचकर घुमाइए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, डॉट गुणन छाया और कोण बनकर, क्रॉस गुणन लंब तीर बनकर दिखेगा, जिसकी लंबाई क्षेत्रफल है। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
2×2 आव्यूह बदलकर देखिए कि जाली, इकाई वर्ग और एक F-आकृति कैसे चलते हैं। î और ĵ कहाँ जाते हैं, सारणिक कैसे चिह्नित क्षेत्रफल है, और व्युत्क्रम। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
आर्गंड तल पर दो सम्मिश्र संख्याएँ खींचिए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, गुणनफल घुमाव और खिंचाव बनकर, संयुग्मी, घात सर्पिल बनकर और इकाई के मूल दिखेंगे। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 12
बाइनरी संख्या पद्धति: स्थानीय मान, रूपांतरण और जोड़
बिट पलटिए और देखिए दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल व हेक्स साथ बदलते हैं। 2 से भाग, 3-4 बिट के समूह और कैरी वाला बाइनरी जोड़, हल किए उदाहरणों के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन।
अन्य विषयों के एनिमेशन
भौतिकी
प्रकाश का अपवर्तन
भौतिकी
ओम का नियम
भौतिकी
प्रक्षेप्य गति
भौतिकी
सरल लोलक
भौतिकी
विद्युत क्षेत्र
भौतिकी
तरंगों का व्यतिकरण
भौतिकी
मुक्त पतन
भौतिकी
लेंस द्वारा प्रतिबिंब
भौतिकी
न्यूटन के गति के नियम
भौतिकी
गोलीय दर्पण किरण आरेख
भौतिकी
विद्युत चुंबकीय प्रेरण
भौतिकी
संवेग संरक्षण और संघट्ट
भौतिकी
कार्य, ऊर्जा और शक्ति
भौतिकी
आनत तल
भौतिकी
एकसमान वृत्तीय गति
भौतिकी
अनुप्रस्थ और अनुदैर्घ्य तरंग
भौतिकी
उत्तोलक और आघूर्ण
भौतिकी
द्रव्यमान केंद्र
भौतिकी
कमानी-द्रव्यमान की सरल आवर्त गति
भौतिकी
सदिशों का योग: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम
भौतिकी
सापेक्ष वेग: रेलगाड़ियाँ और नदी पार करना
भौतिकी
केपलर के नियम और दीर्घवृत्ताकार कक्षा
भौतिकी
न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम, g और उपग्रह
भौतिकी
तार और नलियों में अप्रगामी तरंगें
भौतिकी
अनुनाद नली और ध्वनि की चाल
भौतिकी
विस्पंद: दो पास-पास के सुरों की धड़कन
भौतिकी
डॉप्लर प्रभाव: चलता स्रोत, चलता श्रोता और सोनिक बूम
भौतिकी
प्रिज़्म, प्रकाश का वर्ण-विक्षेपण और इंद्रधनुष
भौतिकी
किरख़ोफ़ के नियम: संधि नियम और लूप नियम
भौतिकी
व्हीटस्टोन सेतु और मीटर सेतु
भौतिकी
एकल झिरी से विवर्तन
भौतिकी
आँख के दोष और उनका निवारण
भौतिकी
प्रकाश का ध्रुवण: मैलस का नियम और ब्रूस्टर का नियम
भौतिकी
संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC समय स्थिरांक
भौतिकी
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ: छड़ चुंबक, धारावाही तार और परिनालिका
भौतिकी
एसी जनित्र
भौतिकी
ट्रांसफ़ॉर्मर
भौतिकी
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
भौतिकी
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
भौतिकी
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
भौतिकी
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
भौतिकी
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
भौतिकी
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
भौतिकी
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
रसायन विज्ञान
परमाणु की संरचना
रसायन विज्ञान
अम्ल, क्षारक और pH मान
रसायन विज्ञान
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास
रसायन विज्ञान
गैस नियम: बॉयल, चार्ल्स, गे-लुसाक, आवोगाद्रो और PV = nRT
रसायन विज्ञान
आयनिक बंध कैसे बनता है
रसायन विज्ञान
वैद्युत अपघटन और फैराडे के नियम
रसायन विज्ञान
सहसंयोजक बंध
रसायन विज्ञान
आवर्त सारणी की आवर्तिता
रसायन विज्ञान
अभिक्रिया की दर और संघट्ट सिद्धांत
रसायन विज्ञान
द्रव्य की अवस्थाएँ: ठोस, द्रव, गैस और तापन वक्र
रसायन विज्ञान
परमाणु कक्षक: s, p, d के आकार, क्वांटम संख्याएँ और नोड
रसायन विज्ञान
आणविक आकृतियाँ और VSEPR सिद्धांत: आबंध युग्म, एकाकी युग्म और कोण
रसायन विज्ञान
मोल अवधारणा: मोलर द्रव्यमान, आवोगाद्रो संख्या और मोलर आयतन
रसायन विज्ञान
विसरण और निःस्राव: ग्राहम का नियम
रसायन विज्ञान
रासायनिक समीकरण संतुलन: विधि, उदाहरण और अभ्यास
रसायन विज्ञान
रासायनिक साम्य: साम्य स्थिरांक Kc और ले शातेलिए का सिद्धांत
रसायन विज्ञान
अनुमापन: ब्यूरेट और सूचक से अज्ञात सांद्रता निकालना
रसायन विज्ञान
गैल्वेनिक सेल: डेनियल सेल, EMF और नर्स्ट समीकरण
रसायन विज्ञान
ऑक्सीकरण-अपचयन अभिक्रियाएँ: ऑक्सीकरण संख्या, इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण और अर्ध-अभिक्रिया
रसायन विज्ञान
हाइड्रोकार्बन: ऐल्केन, ऐल्कीन, ऐल्काइन और संरचनात्मक समावयवी 3D में
रसायन विज्ञान
प्रकार्यात्मक समूह: ऐल्कोहॉल, ऐल्डिहाइड, कीटोन, अम्ल, एस्टर और ऐमीन
रसायन विज्ञान
बहुलकीकरण: योगात्मक और संघनन बहुलक, पॉलिथीन और नायलॉन
रसायन विज्ञान
मिश्रण अलग करने की विधियाँ: निस्यंदन, आसवन, क्रोमैटोग्राफी, क्रिस्टलन
रसायन विज्ञान
क्रिस्टल जालक: SC, BCC और FCC एकक कोष्ठिका, संकुलन क्षमता और घनत्व
रसायन विज्ञान
रेडियोएक्टिवता: अल्फ़ा, बीटा, गामा क्षय और अर्ध-आयु
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान