खींचकर दृश्य घुमाइए
नियंत्रण
क्या दिखाना है
मापन
- सदिश a
- (3, 0, 0)
- सदिश b
- (1, 2, 0)
- लंबाई |a|, |b|
- 3, 2.24
- योग a + b
- (4, 2, 0)
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- दो तीर मूलबिंदु O से शुरू होते हैं। सदिश a प्राथमिक रंग का तीर है और सदिश b दूसरे रंग का। शुरू में a = (3, 0, 0) और b = (1, 2, 0)। धूसर रेखाएँ x, y, z अक्ष हैं और हल्की जाली फ़र्श है, जहाँ z = 0।
- तस्वीर पर कहीं भी खींचकर दृश्य घुमाइए। स्क्रीन सपाट है, इसलिए घुमाते समय अक्ष और तीर जिस तरह घूमते हैं उसी से गहराई दिखती है। प्ले चालू हो तो दृश्य खुद भी धीरे घूमता है। रोकने के लिए पॉज़ दबाइए।
- छह स्लाइडरों से a और b के x, y, z भाग तय कीजिए। सारी रीडिंग साथ-साथ बदलती हैं और तीर अपनी नई नोक पर चला जाता है।
- “योग” चुनने पर O से छायांकित समांतर चतुर्भुज के दूर वाले कोने तक एक नारंगी तीर जाता है। वही a + b है। बिंदुदार भुजाएँ दिखाती हैं कि a की नोक पर b रखा गया और b की नोक पर a: दोनों रास्ते एक ही बिंदु पर पहुँचते हैं।
- “डॉट गुणन” चुनिए। हरा तीर a पर b की छाया है और चाप दोनों सदिशों के बीच का कोण θ। रीडिंग में a · b और θ आते हैं।
- “क्रॉस गुणन” चुनिए। नारंगी तीर a × b है। यह a और b दोनों पर लंब है और छायांकित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल रीडिंग में दिया है। तीर ज़्यादा लंबा हो तो छोटा खींचा जाता है और चित्र में लिखा भी रहता है।
सदिश क्या है?
कुछ राशियों के लिए केवल संख्या काफ़ी है: आपकी उम्र, कलम का दाम। कुछ को दिशा भी चाहिए। “5 मीटर चलो” अधूरा है; “उत्तर में 5 मीटर चलो” पूरा निर्देश है। सदिश दोनों रखता है: कितना और किस ओर। हम उसे तीर की तरह खींचते हैं।
त्रिविम में सदिश को तीन घटकों से लिखते हैं: x के साथ, y के साथ और z के साथ कितना दूर। इसलिए (3, 0, 0) x अक्ष के सीध में लंबाई 3 का तीर है। लंबाई या परिमाण दो बार पाइथागोरस लगाने से आता है: |v| = √(x² + y² + z²)।
सदिशों का योग: समांतर चतुर्भुज
दो सदिश जोड़ने के लिए संगत घटक जोड़िए। a = (3, 0, 0) और b = (1, 2, 0) हों तो योग (4, 2, 0) है। तीर खींचने की ज़रूरत नहीं, बस तीन छोटे जोड़।
चित्र बताता है कि यह क्यों चलता है। पहले a के साथ चलिए, फिर b के साथ, तो आप समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के सिरे पर पहुँचते हैं। पहले b, फिर a चलें तो भी उसी जगह पहुँचेंगे। इसीलिए a + b = b + a।
- घटाना भी वैसा ही है, बस ऋण चिह्न के साथ: a − b मतलब a जमा b का उलटा।
- सदिश को 2 से गुणा करने पर हर घटक और लंबाई दुगुनी हो जाती है, दिशा वही रहती है।
- योग की लंबाई लंबाइयों का योग नहीं होती। यहाँ |a| = 3 और |b| = 2.24, पर |a + b|, 3 + 2.24 से छोटा है, क्योंकि तीर एक दिशा में नहीं हैं।
| a | b | a + b | a · b |
|---|---|---|---|
| (3, 0, 0) | (1, 2, 0) | (4, 2, 0) | 3 |
| (1, 2, 3) | (4, -1, 2) | (5, 1, 5) | 8 |
| (2, -1, 3) | (1, 5, 1) | (3, 4, 4) | 0 |
| (1, 0, 0) | (0, 1, 0) | (1, 1, 0) | 0 |
सपाट स्क्रीन पर त्रिविम कैसे दिखता है
यहाँ कोई 3D लाइब्रेरी नहीं है, बस सपाट कैनवस और थोड़ी त्रिकोणमिति। दृश्य को ऊर्ध्वाधर z अक्ष के गिर्द एक कोण से घुमाया जाता है (यॉ) और आपकी ओर दूसरे कोण से झुकाया जाता है (पिच)। फिर हर बिंदु (x, y, z) स्क्रीन पर दबा दिया जाता है, बग़ल की स्थिति और ऊँचाई बनाए रखते हुए।
कुछ भी पास या दूर होने से छोटा-बड़ा नहीं खींचा जाता, इसलिए समांतर रेखाएँ समांतर ही रहती हैं (इंजीनियर के नक़्शे जैसा)। घुमाना ही आँख को बताता है कि कौन किस ओर है। कुछ बार खींचिए, सपाट तीर ठोस लगने लगेंगे।
डॉट गुणन: एक अकेली संख्या
संगत घटकों को गुणा करके तीनों फल जोड़िए: a · b = ax·bx + ay·by + az·bz। शुरुआती जोड़ी के लिए यह 3 है। ध्यान दीजिए, उत्तर सादी संख्या है, सदिश नहीं, इसीलिए इसे अदिश गुणनफल भी कहते हैं।
इसी संख्या का दूसरा सूत्र है: a · b = |a| |b| cos θ, जहाँ θ तीरों के बीच का कोण है। दोनों को मिलाकर त्रिविम का कोई भी कोण बिना खींचे मिल जाता है: cos θ = (a · b) / (|a| |b|)।
शुरुआती जोड़ी के लिए θ = 63.43°, डॉट गुणन मोड यही बताता है।
a · b = ax·bx + ay·by + az·bzघटकों से
a · b = |a| |b| cos θलंबाई और कोण से
- डॉट गुणन धनात्मक: कोण 90° से कम, तीर एक ओर झुके हैं।
- डॉट गुणन शून्य: ठीक 90°। सदिश लंब हैं।
- डॉट गुणन ऋणात्मक: कोण 90° से ज़्यादा, तीर उलटी ओर झुके हैं।
| θ (अंश) | |a| = 1, |b| = 2 हो तो a · b |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 60 | 1 |
| 90 | 0 |
| 120 | -1 |
| 180 | -2 |
छाया के रूप में डॉट गुणन
a पर सीधे रोशनी डालिए तो b की छाया a के सीध में पड़ती है। उस छाया की चिह्नित लंबाई (a · b) / |a| है। तब डॉट गुणन |a| गुना छाया है, जो b की लंबाई गुना b पर a की छाया के भी बराबर है।
सिमुलेशन में वह छाया हरा तीर है, और बिंदुदार रेखा b की नोक से समकोण पर छाया के सिरे तक गिरती है। b को घुमाइए: कोण 90° पार करते ही छाया O के दूसरी ओर चली जाती है।
क्रॉस गुणन: एक नया तीर
क्रॉस गुणन a × b एक सदिश है, संख्या नहीं। इसका हर घटक बाकी दो निर्देशांकों से बनता है, नीचे का सूत्र देखिए।
शुरुआती जोड़ी के लिए यह (0, 0, 6) है: z के सीध में सीधा ऊपर। यह संयोग नहीं, क्योंकि a और b दोनों फ़र्श पर लेटे हैं और फ़र्श पर लंब दिशा केवल ऊपर या नीचे है।
a × b = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)x, y, z घटक
|a × b| = |a| |b| sin θइसकी लंबाई
- a × b, a और b दोनों पर लंब है। किसी के भी साथ डॉट गुणन लेकर जाँचिए: 0 आता है।
- दिशा दाएँ हाथ के नियम से तय होती है: दाएँ हाथ की उँगलियाँ a से b की ओर मोड़ें तो अंगूठा a × b की ओर रहता है।
- |a × b| समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है। शुरुआती जोड़ी में क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है, क्रॉस गुणन मोड की छायांकित आकृति।
- a और b समांतर हों तो समांतर चतुर्भुज चपटा है, क्षेत्रफल 0 और क्रॉस गुणन शून्य सदिश।
क्रॉस गुणन में क्रम मायने रखता है
सदिश अदल-बदल दें तो तीर पलट जाता है: b × a = −(a × b)। डॉट गुणन में ऐसा पलटाव नहीं, a · b = b · a। तीन अक्षों के इकाई सदिश i, j, k यह पैटर्न सबसे साफ़ दिखाते हैं।
| गुणन | परिणाम |
|---|---|
| i × j | (0, 0, 1) |
| j × i | (0, 0, -1) |
| j × k | (1, 0, 0) |
| k × i | (0, 1, 0) |
| i × i | (0, 0, 0) |
डॉट या क्रॉस: कब कौन-सा?
दोनों दो सदिशों को मिलाते हैं, पर अलग सवालों का जवाब देते हैं।
| डॉट गुणन a · b | क्रॉस गुणन a × b | |
|---|---|---|
| परिणाम है | संख्या | सदिश |
| उपयोग | कोण, प्रक्षेप, कार्य | क्षेत्रफल, लंब दिशा, बल-आघूर्ण |
| शून्य तब | सदिश लंब हों | सदिश समांतर हों |
| क्रम बदलने पर | वही | चिह्न पलटता है |
| सबसे बड़ा तब | सदिश एक दिशा में हों | सदिश लंब हों |
सिमुलेशन में खुद करके देखिए
छह छोटे प्रयोग, एक-एक मिनट के।
- योग मोड में b को (0, 3, 0) कीजिए। छायांकित आकृति आयत बन जाती है। भुजाएँ समकोण पर क्यों हैं?
- डॉट गुणन मोड में b को a के बराबर कीजिए। कोण 0° और a · b = |a|²।
- a = (2, 0, 0) रखकर b का x स्लाइडर 4 से −4 तक खींचिए। डॉट गुणन शून्य पार करके चिह्न बदलता है।
- क्रॉस गुणन मोड में b को a का गुणज बनाइए, जैसे (6, 0, 0)। क्षेत्रफल शून्य, तीर ग़ायब।
- क्रॉस गुणन मोड में a = (3, 0, 0), b = (0, 2, 0) रखिए। तीर ऊपर, लंबाई 6। अब दोनों मान अदल-बदल दीजिए। तीर किस ओर जाता है?
- दोनों सदिशों में z अशून्य रखिए। दृश्य घुमाइए जब तक a, b और a × b किसी डिब्बे के तीन कोनों जैसे न दिखें।
हल किए हुए प्रश्न
छह आम प्रश्न। नीचे की हर संख्या सिमुलेशन के उन्हीं फलनों से निकाली गई है।
प्रश्न 1: एक जोड़ी के सारे उत्तर
मान लीजिए a = (1, 2, 3) और b = (4, -1, 2)। a + b, a · b, कोण, a × b और क्षेत्रफल निकालिए।
योग: (5, 1, 5)। डॉट गुणन: 1·4 + 2·(−1) + 3·2 = 8। लंबाइयाँ: |a| = 3.74, |b| = 4.58। इसलिए cos θ = 8 ÷ (3.74 × 4.58) और θ = 62.2°।
क्रॉस गुणन: (7, 10, -9)। इसकी लंबाई समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, 15.17।
प्रश्न 2: क्या दो सदिश लंब हैं?
a = (2, -1, 3) और b = (1, 5, 1) जाँचिए। डॉट गुणन 2·1 + (−1)·5 + 3·1 = 0। शून्य डॉट गुणन का मतलब समकोण, और कोण सचमुच 90° है।
प्रश्न 3: बिना खींचे कोण
a = (1, 1, 0) और b = (0, 1, 1) के बीच का कोण निकालिए। डॉट गुणन: 1। दोनों की लंबाई 1.414। इसलिए cos θ = 1 ÷ (1.414 × 1.414) = 0.5, यानी θ = 60°।
प्रश्न 4: त्रिविम में त्रिभुज का क्षेत्रफल
शीर्ष A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालिए।
A से दो भुजाएँ लीजिए: AB = (-1, 2, 0), AC = (-1, 0, 3)। क्रॉस गुणन (6, 3, 2), लंबाई 7। यह समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है और त्रिभुज उसका आधा: 3.5 वर्ग इकाई।
प्रश्न 5: प्रक्षेप
b = (2, 1, 5) को a = (3, 4, 0) पर प्रक्षेपित कीजिए। a · b = 10 और |a| = 5, इसलिए छाया की लंबाई 10 ÷ 5 = 2। सदिश रूप में ((a · b)/|a|²) a = (1.2, 1.6, 0)।
प्रश्न 6: बल द्वारा किया गया कार्य
(2, 3, 1) न्यूटन का बल किसी वस्तु को (4, 0, 5) मीटर विस्थापित करता है। कार्य = F · d = 2·4 + 3·0 + 1·5 = 13 जूल। कोण की ज़रूरत नहीं पड़ी: घटक ही काम कर देते हैं।
बचने वाली ग़लतियाँ
इनमें बार-बार अंक कटते हैं।
- a · b को सदिश कहना। यह संख्या है। तीन घटक आए तो आपने कुछ और निकाला है।
- द्विविम में क्रॉस गुणन लगाना। यह त्रिविम की चीज़ है (द्विविम रूप में बस एक संख्या, z घटक)।
- क्रॉस गुणन में क्रम भूल जाना और उत्तर का चिह्न ग़लत कर लेना।
- sin θ और cos θ गड़बड़ाना: डॉट गुणन में cos θ, क्रॉस गुणन में sin θ।
- |a + b| निकालते समय घटकों की जगह लंबाइयाँ जोड़ देना।
सदिश कहाँ काम आते हैं
खेलों और फ़िल्मों में डॉट गुणन तय करता है कि कोई सतह रोशनी की ओर है या नहीं, और क्रॉस गुणन बताता है कि सतह किस ओर देख रही है। भौतिकी में बल-आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र में चलते आवेश पर बल के लिए क्रॉस गुणन चाहिए। इंजीनियर कार्य और शक्ति में डॉट गुणन इस्तेमाल करते हैं।
फ़ोन के नक़्शे, रोबोट की भुजा या ड्रोन के फ़्लाइट कंट्रोलर के पीछे इन्हीं दो क्रियाओं का ढेर है, जो सेकंड में लाखों बार चलता है।
परीक्षा का कोना
उच्चतर गणित और प्रवेश परीक्षाओं के लिए याद रखिए।
- लंब के लिए a · b = 0 रखिए। समांतर के लिए a × b = 0 (या एक दूसरे का गुणज)।
- cos θ = (a · b) / (|a| |b|)। पहले सूत्र लिखिए, फिर मान रखिए।
- समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल |a × b|; त्रिभुज का क्षेत्रफल उसका आधा।
- क्रॉस गुणन जाँचने के लिए उसका a और b से डॉट गुणन लीजिए। दोनों 0 आने चाहिए।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
डॉट गुणन और क्रॉस गुणन में क्या अंतर है?
डॉट गुणन एक अकेली संख्या देता है जो मापती है कि दो सदिश कितना एक दिशा में हैं। क्रॉस गुणन एक नया सदिश देता है जो दोनों पर लंब है और जिसकी लंबाई उनसे बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है।
दो त्रिविमीय सदिशों के बीच का कोण कैसे निकालें?
a · b, फिर |a| और |b| निकालकर cos θ = (a · b) / (|a| |b|) लगाइए। परिणाम का प्रतिलोम कोज्या लेने पर θ मिलता है।
डॉट गुणन शून्य होने का क्या मतलब है?
दोनों सदिश लंब (90°) हैं, बशर्ते कोई शून्य सदिश न हो।
क्रॉस गुणन शून्य होने का क्या मतलब है?
दोनों सदिश समांतर या प्रतिसमांतर (कोण 0° या 180°) हैं, या कोई शून्य सदिश है। उनसे बना समांतर चतुर्भुज चपटा है, इसलिए क्षेत्रफल शून्य।
दाएँ हाथ का नियम क्या है?
दाएँ हाथ की उँगलियाँ a के सीध में रखकर b की ओर मोड़िए, अंगूठा a × b की दिशा बताएगा।
क्रॉस गुणन में क्रम क्यों मायने रखता है?
क्योंकि a × b और b × a उलटी दिशाओं में होते हैं: b × a = −(a × b)। डॉट गुणन क्रम से नहीं बदलता।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
भौतिकी
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
भौतिकी
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
भौतिकी
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
भौतिकी
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
भौतिकी
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
रसायन विज्ञान
परमाणु की संरचना
रसायन विज्ञान
अम्ल, क्षारक और pH मान
रसायन विज्ञान
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास
रसायन विज्ञान
गैस नियम: बॉयल, चार्ल्स, गे-लुसाक, आवोगाद्रो और PV = nRT
रसायन विज्ञान
आयनिक बंध कैसे बनता है
रसायन विज्ञान
वैद्युत अपघटन और फैराडे के नियम
रसायन विज्ञान
सहसंयोजक बंध
रसायन विज्ञान
आवर्त सारणी की आवर्तिता
रसायन विज्ञान
अभिक्रिया की दर और संघट्ट सिद्धांत
रसायन विज्ञान
द्रव्य की अवस्थाएँ: ठोस, द्रव, गैस और तापन वक्र
रसायन विज्ञान
परमाणु कक्षक: s, p, d के आकार, क्वांटम संख्याएँ और नोड
रसायन विज्ञान
आणविक आकृतियाँ और VSEPR सिद्धांत: आबंध युग्म, एकाकी युग्म और कोण
रसायन विज्ञान
मोल अवधारणा: मोलर द्रव्यमान, आवोगाद्रो संख्या और मोलर आयतन
रसायन विज्ञान
विसरण और निःस्राव: ग्राहम का नियम
रसायन विज्ञान
रासायनिक समीकरण संतुलन: विधि, उदाहरण और अभ्यास
रसायन विज्ञान
रासायनिक साम्य: साम्य स्थिरांक Kc और ले शातेलिए का सिद्धांत
रसायन विज्ञान
अनुमापन: ब्यूरेट और सूचक से अज्ञात सांद्रता निकालना
रसायन विज्ञान
गैल्वेनिक सेल: डेनियल सेल, EMF और नर्स्ट समीकरण
रसायन विज्ञान
ऑक्सीकरण-अपचयन अभिक्रियाएँ: ऑक्सीकरण संख्या, इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण और अर्ध-अभिक्रिया
रसायन विज्ञान
हाइड्रोकार्बन: ऐल्केन, ऐल्कीन, ऐल्काइन और संरचनात्मक समावयवी 3D में
रसायन विज्ञान
प्रकार्यात्मक समूह: ऐल्कोहॉल, ऐल्डिहाइड, कीटोन, अम्ल, एस्टर और ऐमीन
रसायन विज्ञान
बहुलकीकरण: योगात्मक और संघनन बहुलक, पॉलिथीन और नायलॉन
रसायन विज्ञान
मिश्रण अलग करने की विधियाँ: निस्यंदन, आसवन, क्रोमैटोग्राफी, क्रिस्टलन
रसायन विज्ञान
क्रिस्टल जालक: SC, BCC और FCC एकक कोष्ठिका, संकुलन क्षमता और घनत्व
रसायन विज्ञान
रेडियोएक्टिवता: अल्फ़ा, बीटा, गामा क्षय और अर्ध-आयु
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान