sin की तरंग को खींचें, दबाएँ और सरकाएँ

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

1. “कौन-सा फलन” में ज्या, कोज्या या स्पर्शज्या चुनें। हल्का धूसर बिंदीदार आलेख मूल फलन है और गहरा आलेख आपका बदला हुआ आलेख।
2. आयाम गुणक A को खींचें: तरंग ऊँची या छोटी होती है, और ऋणात्मक A पर पलट जाती है। साथ में “आयाम |A|” का मान देखते रहें।
3. आवृत्ति गुणक B बढ़ाने पर तरंग दब जाती है। आलेख के नीचे का ब्रैकेट ठीक एक आवर्तकाल दिखाता है।
4. कला C से तरंग को बगल में सरकाएँ और ऊर्ध्वाधर विस्थापन D से मध्य रेखा को ऊपर-नीचे करें। हरा बिंदु आलेख पर चलता है; चलाएँ या रोकें।
5. स्पर्शज्या चुनकर लाल बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखाएँ देखें: ये अनंतस्पर्शी हैं, जहाँ tan अपरिभाषित है। अक्ष की इकाई डिग्री और π के गुणज के बीच बदलकर देखें।

तरंगें हर जगह: sin और cos के आलेख क्यों बनाते हैं

तालाब में कंकड़ फेंको तो पानी ऊपर-नीचे होता है। गिटार का तार, समुद्र का ज्वार-भाटा, घर के सॉकेट की बिजली, यहाँ तक कि झूले की सीट की ऊँचाई: सब कुछ तय समय के बाद खुद को दोहराता है। इस दोहराव को पकड़ने का सबसे आसान औज़ार ज्या और कोज्या के आलेख हैं।

पर सिर्फ़ sin x काफ़ी नहीं है। असली तरंग कभी ज़्यादा ऊँची, कभी तेज़, कभी देर से शुरू होने वाली और कभी शून्य से ऊपर टिकी होती है। इसलिए हम मूल तरंग को चार तरह से बदलते हैं: खींचना, दबाना, बगल में सरकाना और ऊपर उठाना। इस पाठ में चारों बदलाव आप खुद करेंगे।

इकाई वृत्त से तरंग तक

इकाई वृत्त पर एक बिंदु घूमता है। कोण θ पर उसकी ऊँचाई sin θ है और दाएँ-बाएँ स्थिति cos θ। अब कोण बढ़ने के साथ उसी ऊँचाई को दाईं ओर रखते जाएँ, तो एक चिकनी तरंग बन जाती है: यही y = sin x का आलेख है। cos x के लिए ऊँचाई की जगह दाएँ-बाएँ स्थिति रखें।

दोनों आलेख हर 360° पर दोहराते हैं, इसलिए sin और cos का मूल आवर्तकाल 360° (रेडियन में 2π) है। अधिकतम मान 1 और न्यूनतम -1। sin शून्य से शुरू होकर ऊपर चढ़ता है, जबकि cos शिखर से शुरू होता है; यानी cos x असल में sin x को 90° बाईं ओर खिसकाने से मिलता है।

स्पर्शज्या tan x = sin x ÷ cos x है। जहाँ cos x = 0 (90°, 270° आदि), वहाँ भाग नहीं हो सकता, tan अपरिभाषित है और आलेख उस रेखा के पास अनंत की ओर चला जाता है। ऐसी ऊर्ध्वाधर रेखा को अनंतस्पर्शी कहते हैं। tan का आवर्तकाल केवल 180° है।

मुख्य सूत्र: y = A·f(Bx + C) + D

sin, cos या tan का हर आलेख इसी साँचे में आता है। f यानी sin, cos या tan, और चार संख्याएँ A, B, C, D तरंग का रूप तय करती हैं। हर एक का काम नीचे एक पंक्ति में है, फिर अलग-अलग देखेंगे।

शब्दावली आसान भाषा में

ये शब्द परीक्षा में बार-बार आते हैं। तालिका में हर शब्द का अर्थ और सिमुलेशन के शुरुआती आलेख का मान दिया है।

A: आयाम, और पलटने पर क्या होता है

A बदलने से तरंग की सिर्फ़ ऊँचाई बदलती है, घनापन नहीं। y = 3 sin x में तरंग 3 तक उठती है और मध्य रेखा से शिखर की दूरी 3 है। यही आयाम है।

A ऋणात्मक हो तो तरंग मध्य रेखा के सापेक्ष पलट जाती है। y = −3 sin x और y = 3 sin x का आयाम एक ही, 3, है; एक में जहाँ शिखर है दूसरे में वहाँ गर्त। इसलिए आयाम हमेशा धनात्मक होता है: |A|।

B: आवर्तकाल, यानी तरंग कितनी दबी है

B तरंग को बगल से दबाता है। B = 2 पर तरंग दोगुनी तेज़ चलती है, इसलिए पूरी तरंग 360° की जगह 180° (π) में बन जाती है। नियम: आवर्तकाल = मूल आवर्तकाल ÷ |B|।

B अगर 0 और 1 के बीच हो तो उलटा होता है और तरंग फैल जाती है। y = sin(x/2) का आवर्तकाल 720° है।

C: कला विस्थापन, तरंग का बगल में खिसकना

नया चक्र तब शुरू होता है जब Bx + C = 0, यानी x = −C/B पर। शुरुआती आलेख y = 2 sin(2x + 60°) + 1 में −C/B = -30°: तरंग साधारण sin की शुरुआत से 30° बाईं ओर खिसकी है।

B को न भूलें। कई विद्यार्थी C = 60° देखकर कहते हैं कि आलेख 60° खिसका। B = 2 है, इसलिए विस्थापन उसका आधा, -30°, है। रटने की जगह कोष्ठक तोड़कर सोचें: 2(x + 30°) = 2x + 60°।

D: ऊर्ध्वाधर विस्थापन और मध्य रेखा

D पूरी तरंग को आकार बदले बिना ऊपर या नीचे ले जाता है। मध्य रेखा y = D बन जाती है। शुरुआती आलेख में मध्य रेखा y = 1 और आयाम 2 है, इसलिए y का मान -1 से 3 तक जाता है।

नियम: अधिकतम = D + |A| और न्यूनतम = D − |A|। उलटकर, आयाम = (अधिकतम − न्यूनतम) ÷ 2 और D = (अधिकतम + न्यूनतम) ÷ 2, जो हल किए उदाहरणों में काम आएगा।

स्पर्शज्या सबसे अलग है

tan का आलेख बार-बार अनंत तक चढ़ता और ऋणात्मक अनंत से लौटता है, इसलिए उसका न अधिकतम है, न न्यूनतम, न आयाम। परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। A केवल यह तय करता है कि वक्र कितना तीखा होगा। कला विस्थापन −C/B और आवर्तकाल 180°/|B| पहले की तरह ही काम करते हैं।

y = 3 tan 2x − 1 के अनंतस्पर्शी x = -45° और x = 45° पर हैं, फिर हर 90° पर। सिमुलेशन में tan चुनेंगे तो ठीक यही लाल बिंदीदार रेखाएँ दिखेंगी, और हरा बिंदु किसी के पास पहुँचे तो मान “अपरिभाषित” दिखता है।

sin, cos और tan के आलेख एक नज़र में

तीनों मूल आलेख याद हों तो बदला हुआ कोई भी आलेख पढ़ना आसान हो जाता है।

सिमुलेशन में ये प्रयोग करें

खुद बदलने से सूत्र याद रहते हैं। एक-एक करके आज़माएँ, और हर बार खींचने से पहले अनुमान लगाएँ।

• शुरुआती y = 2 sin(2x + 60°) + 1 रखकर x = 0 पर y पढ़ें: यह 2.73 है, यानी 2 sin(60°) + 1।
• सिर्फ़ B को 1 से 4 तक बढ़ाएँ और गिनें कि स्क्रीन पर कितनी तरंगें आती हैं; गिनती को आवर्तकाल के मान से मिलाएँ।
• A = −2 रखें और तरंग को पलटते देखें, पर ध्यान दें कि आयाम का मान ऋणात्मक नहीं होता।
• C को एक बार धनात्मक और एक बार ऋणात्मक करें और ब्रैकेट का बिंदु किस ओर जाता है, लिख लें।
• D = 3 रखें और अधिकतम व न्यूनतम को D ± |A| से मिलाएँ।
• cos चुनकर C = 90° दें। क्या sin का आलेख मिलता है?
• tan में B बढ़ाकर अनंतस्पर्शी गिनें: B जितना बड़ा, रेखाएँ उतनी पास-पास।
• अक्ष की इकाई π के गुणज करके आवर्तकाल को π के गुणज में लिखें।

हल सहित उदाहरण

हर प्रश्न में पहले A, B, C, D पहचानें, फिर चारों नियम लगाएँ। वही संख्याएँ सिमुलेशन में डालकर जाँच भी सकते हैं।

आम गलतियाँ

इन चूकों से अंक कटते हैं। परीक्षा से पहले एक बार नज़र डाल लें।

• कला विस्थापन को C मान लेना। सही −C/B है, क्योंकि चक्र की शुरुआत Bx + C = 0 से मिलती है।
• A ऋणात्मक होने पर आयाम ऋणात्मक लिखना। आयाम दूरी है, इसलिए |A|।
• आवर्तकाल को B से भाग देने की जगह गुणा करना; B बड़ा हो तो आवर्तकाल छोटा होता है।
• tan का आवर्तकाल 360° या 2π लिखना। वह 180° या π है।
• tan का अधिकतम-न्यूनतम खोजने बैठना; वे होते ही नहीं।
• डिग्री और रेडियन मिला देना: π के रूप में काम करें तो सब कुछ रेडियन में रखें।

असल ज़िंदगी में ये आलेख कहाँ मिलते हैं

ध्वनि: शुद्ध स्वर दाब की एक sin तरंग है। आयाम बड़ा तो आवाज़ तेज़, और आवृत्ति गुणक B बड़ा तो स्वर ऊँचा।

बिजली: घर के सॉकेट की प्रत्यावर्ती धारा sin तरंग का पालन करती है, जैसा उदाहरण 7 में देखा।

ज्वार और ऋतुएँ: समुद्र का जलस्तर और दिन की लंबाई साल भर cos की तरह ऊपर-नीचे होती रहती है।

पहिये और लोलक: घूमते पहिये पर लगे निशान की ऊँचाई समय के साथ sin आलेख बनाती है।

इंजीनियरिंग और सिग्नल: चित्र, संगीत और वाई-फ़ाई संकेत को sin तरंगों के योग में तोड़कर सहेजा और भेजा जाता है।

परीक्षा की दृष्टि से

CBSE कक्षा 11 के त्रिकोणमितीय फलन अध्याय में sin, cos और tan के आलेख बनाना-पढ़ना, तथा उनका प्रांत, परिसर और आवर्तकाल बताना पूछा जाता है। आगे कलन में यही आलेख लौटते हैं, इसलिए इन्हें पक्का रखें।

प्रश्न देखते ही समीकरण को y = A·f(Bx + C) + D के रूप में लिखकर चारों संख्याएँ अलग करें। फिर आयाम, आवर्तकाल, विस्थापन और परिसर के चार नियम लगाएँ। आलेख खींचना हो तो मध्य रेखा, एक शिखर, एक गर्त और चक्र की शुरुआत अंकित करके फिर चिकना वक्र बनाएँ।

त्वरित दोहराव

परीक्षा की पिछली रात के लिए ये कुछ पंक्तियाँ काफ़ी हैं।

• A: आयाम |A|; ऋणात्मक A आलेख को पलट देता है।
• B: आवर्तकाल = मूल आवर्तकाल ÷ |B|।
• C: तरंग −C/B खिसकती है, धनात्मक हो तो दाएँ।
• D: मध्य रेखा y = D; परिसर [D − |A|, D + |A|]।
• tan: आवर्तकाल π या 180°, अनंतस्पर्शी हैं, परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न