सम्मिश्र संख्याएँ: तल पर धकेले जा सकने वाले बिंदु

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

1. क्षैतिज अक्ष वास्तविक अक्ष है और ऊर्ध्वाधर अक्ष काल्पनिक अक्ष। संख्या a + bi बिंदु (a, b) पर बैठती है। तल पर शुरू में दो संख्याएँ हैं: प्राथमिक रंग में z₁ = 2 + i और दूसरे रंग में z₂ = 1 + 2i। बिंदीदार वृत्त इकाई वृत्त है, त्रिज्या 1।
2. पॉइंटर से z₁ या z₂ को खींचिए, या स्लाइडर से उनके भाग तय कीजिए। बिंदु दशमलव के एक स्थान पर टिकते हैं। पठन में हर संख्या, उसका मापांक (मूलबिंदु से दूरी) और कोणांक (धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण) मिलता है।
3. “योग” में नारंगी तीर z₁ + z₂ है, छायादार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण। यहाँ यह 3 + 3i है।
4. “गुणन” में नारंगी बिंदीदार पथ दिखाता है कि z₁ कैसे घूमकर और खिंचकर z₁z₂ बनता है। पठन में मापांक गुणा होते हैं और कोणांक जुड़ते हैं। शुरुआती जोड़ी से 5i मिलता है, क्योंकि 26.57° + 63.43° = 90°।
5. “संयुग्मी” z₁ को वास्तविक अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब दिखाता है। “घात zⁿ” z₁, z₁², z₁³ … को सर्पिल की तरह बनाता है, n स्लाइडर से आता है। “z₁ के n-वें मूल” और “इकाई के n-वें मूल” n बिंदु वृत्त पर बराबर दूरी पर रखते हैं।

सम्मिश्र संख्या क्या है?

समीकरण x² = −1 का उत्तर साधारण संख्याओं में नहीं है, क्योंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। इसलिए गणितज्ञों ने एक नई संख्या बनाई: i, जिसकी परिभाषा i² = −1 है। हर सम्मिश्र संख्या a + bi के रूप में लिखी जाती है, जहाँ a और b साधारण वास्तविक संख्याएँ हैं।

इसे चित्र में लाने की तरकीब सीधी है: a को कितना दाएँ और b को कितना ऊपर मान लीजिए। तब a + bi तल का बिंदु (a, b) है। इस तल को आर्गंड तल (या आर्गंड आरेख) कहते हैं। वास्तविक संख्याएँ क्षैतिज अक्ष पर रहती हैं, और 2i जैसी संख्याएँ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर।

मापांक और कोणांक

तल पर पता बताने के दो तरीक़े हैं। एक: “a दाएँ, b ऊपर”। दूसरा: “r दूर, θ कोण पर”। दूरी r मापांक |z| = √(a² + b²) है, सदिश की लंबाई जैसा ही पाइथागोरस। धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण θ कोणांक है।

दोनों मिलकर ध्रुवीय रूप z = r(cos θ + i sin θ) देते हैं। कुछ जाने-पहचाने बिंदु तालिका में हैं। कोणांक वामावर्त मापा जाता है और इस सिमुलेशन में −180° से 180° के बीच रखा गया है।

• 0 का कोणांक नहीं होता (उसकी कोई दिशा नहीं); पठन में “नहीं है” लिखा आता है।
• कोणांक में 360° जोड़ने पर वही बिंदु मिलता है। आम तौर पर −180° से 180° वाला मान बताया जाता है।

योग: समांतर चतुर्भुज

वास्तविक भाग को वास्तविक भाग से और काल्पनिक भाग को काल्पनिक भाग से जोड़िए। z₁ = 2 + i और z₂ = 1 + 2i हों तो योग 3 + 3i है।

तल पर यह सदिश योग वाला समांतर चतुर्भुज है: z₁ और z₂ दो भुजाएँ हैं, और योग मूलबिंदु से खिंचा विकर्ण। z₁ − z₂ वह तीर है जो z₂ से z₁ तक जाता है।

लंबाइयों पर ध्यान दीजिए। |z₁| = 2.24 और |z₂| = 2.24, पर योग का मापांक उनका सीधा जोड़ नहीं है। त्रिभुज असमिका कहती है |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, बराबरी तभी जब दोनों एक ही दिशा में हों।

गुणन: घुमाओ और खींचो

सम्मिश्र संख्याओं की असली ताक़त यहीं है। दो को गुणा कीजिए तो मापांक गुणा होते हैं और कोणांक जुड़ते हैं: |z₁z₂| = |z₁||z₂| और arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂।

सिमुलेशन में z₁ कोण arg z₂ से घूमता है और |z₂| गुना खिंचता है। शुरुआती जोड़ी के लिए 26.57° + 63.43° = 90°, और 2.24 × 2.24 = 5, इसलिए z₁z₂ = 5i। एक सधा हुआ समकोण, काल्पनिक अक्ष पर सीधा ऊपर।

मापांक 1 वाली संख्या से गुणा शुद्ध घुमाव है, क्योंकि खिंचाव नहीं होता। धनात्मक वास्तविक संख्या से गुणा शुद्ध खिंचाव है, क्योंकि घुमाव नहीं होता।

संयुग्मी: वास्तविक अक्ष में दर्पण

a + bi का संयुग्मी a − bi है। तल पर यह वास्तविक अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब है। 2 + i का संयुग्मी 2 − i है।

गुणनफल z · z̄ हमेशा वास्तविक संख्या होता है, जिसका मान |z|² है। यहाँ यह 5 है। सम्मिश्र संख्याओं के भाग का राज़ यही है: अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा कीजिए, हर वास्तविक हो जाएगा।

घात: सर्पिल

गुणा करने पर कोणांक जुड़ते हैं और मापांक गुणा होते हैं, इसलिए बार-बार गुणा करने पर नियमित चीज़ होती है। वर्ग करने पर कोण दोगुना और मापांक का वर्ग। घन करने पर कोण तिगुना। सामान्यतः zⁿ का मापांक rⁿ और कोणांक nθ है। यही डी मोइवर का प्रमेय है।

z, z², z³ … आँकिए तो सर्पिल मिलता है। |z| 1 से बड़ा हो तो सर्पिल बाहर भागता है। छोटा हो तो मूलबिंदु की ओर सिमटता है। |z| = 1 हो तो बिंदु इकाई वृत्त पर ही घूमते रहते हैं।

मूल और इकाई के मूल

n-वाँ मूल निकालना डी मोइवर को उलटा चलाना है: मापांक r^(1/n) और कोणांक θ/n हो जाता है। पर भाग देने से पहले θ में एक पूरा चक्कर जोड़ दें तो दूसरा उत्तर मिलता है, इसलिए कुल n मूल हैं, वृत्त पर बराबर दूरी पर, 360°/n के अंतर से।

सबसे प्रसिद्ध मामला इकाई के n-वें मूल हैं, यानी zⁿ = 1 के हल। ये इकाई वृत्त पर बैठते हैं और 1 पर एक कोना रखते हुए सम बहुभुज बनाते हैं। 1 के बाद वाले पहले मूल को ω कहिए; बाक़ी उसकी घातें ω², ω³ आदि हैं।

• इकाई के मूलों का योग हमेशा 0 होता है (n ≥ 2 के लिए), जैसा पठन में दिखता है।
• उनका गुणनफल ±1 है, और हर मूल पहले मूल की घात है।
• किसी एक w के लिए zⁿ = w के मूल पता हों, तो बाक़ी इकाई के मूलों से गुणा करके मिल जाते हैं।

सिमुलेशन में आज़माइए

छह छोटे प्रयोग, हर एक मिनट भर का।

• “योग” में z₂ को z₁ की विपरीत दिशा में मूलबिंदु के उस पार ले जाइए। योग छोटा होता है। z₂ = −z₁ हो तो योग 0।
• “गुणन” में z₂ = 0 + 1i (यानी i) कीजिए। गुणनफल z₁ को एक चौथाई चक्कर घुमाया हुआ है, लंबाई वही।
• “गुणन” में z₂ को इकाई वृत्त पर रखिए। गुणनफल का मापांक z₁ जितना ही रहता है, बस घूमता है।
• “संयुग्मी” में z₁ को वास्तविक अक्ष के पार खींचिए और z₁ व z̄₁ को जगह बदलते देखिए।
• “घात zⁿ” में z₁ को लगभग 1.1 + 0i पर रखिए और n को 8 तक बढ़ाइए। देखिए बिंदु कितनी तेज़ी से भागते हैं।
• “इकाई के n-वें मूल” में n को 2 से 8 तक बढ़ाइए। बहुभुज एक-एक कोना पाता है और मूलों का योग 0 ही रहता है।

हल किए हुए प्रश्न

छह आम सवाल। नीचे की हर संख्या सिमुलेशन वाले उन्हीं फलनों से निकाली गई है।

ग़लतियाँ जिनसे बचना है

इन ग़लतियों में बार-बार अंक कटते हैं।

• i² = −1 भूलकर उत्तर में i² छोड़ देना।
• गुणा करते समय मापांक जोड़ देना। मापांक गुणा होते हैं; कोणांक जुड़ते हैं।
• चतुर्थांश देखे बिना tan⁻¹(b/a) से कोणांक ले लेना। −1 + i दूसरे चतुर्थांश में है, चौथे में नहीं।
• संयुग्मी से गुणा किए बिना भाग करना।
• n-वें मूल का सिर्फ़ एक मान निकालना। मूल n हैं, 360°/n के अंतर पर।
• |z|² और z² को बराबर मान लेना। z अऋणात्मक वास्तविक न हो तो ये बराबर नहीं हैं।

सम्मिश्र संख्याएँ कहाँ काम आती हैं

विद्युत इंजीनियर प्रत्यावर्ती धारा को सम्मिश्र संख्याओं में लिखते हैं, क्योंकि घूमता हुआ तीर तरंग का स्वाभाविक चित्र है। सिग्नल प्रोसेसिंग, रेडियो और वाई-फ़ाई फ़ूरिये रूपांतरण के ज़रिए इसी विचार पर चलते हैं।

कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में 2D घुमाव का तेज़ तरीक़ा सम्मिश्र गुणन है, और मैंडलब्रॉट समुच्चय जैसे फ्रैक्टल सम्मिश्र संख्या का बार-बार वर्ग करने से बनते हैं। क्वांटम भौतिकी तो इनके बिना लिखी ही नहीं जा सकती।

परीक्षा कोना

बोर्ड परीक्षा और प्रवेश परीक्षा के लिए ये याद रखिए।

• z = a + bi बिंदु (a, b) पर है। |z| = √(a² + b²)। कोणांक निकालते समय चतुर्थांश देखिए।
• गुणनफल: मापांक गुणा, कोणांक जोड़। भागफल: मापांक भाग, कोणांक घटाव।
• सामान्य रूप में भाग करने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा कीजिए।
• डी मोइवर: (r cis θ)ⁿ = rⁿ cis nθ। मूल: कोण को n से भाग दीजिए और 360°k ÷ n जोड़िए।
• z³ = 1 के मूल 1, ω, ω² हैं, और 1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न