किसी भी गाड़ी को खींचकर उसका वेग तय करो, या स्लाइडर इस्तेमाल करो।
नियंत्रण
मापन
- गाड़ी 1 का अभी वेग
- 4.00m/s
- गाड़ी 2 का अभी वेग
- -1.00m/s
- गाड़ी 1 का अंतिम वेग, v₁′
- -0.50m/s
- गाड़ी 2 का अंतिम वेग, v₂′
- 2.00m/s
- कुल संवेग (पहले)
- 5.00kg·m/s
- कुल संवेग (बाद में)
- 5.00kg·m/s
- कुल गतिज ऊर्जा (पहले)
- 17.50J
- कुल गतिज ऊर्जा (बाद में)
- 6.25J
- नष्ट हुई गतिज ऊर्जा
- 11.25J
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- पहले डिफ़ॉल्ट मान से चलाओ: गाड़ी 1 दाईं ओर, गाड़ी 2 बाईं ओर बढ़ती है, बीच में टकराती है, फिर नए वेग से अलग होती है।
- किसी भी गाड़ी को खींचकर उसका वेग बदलो — संख्या तुरंत बदलेगी, और नीचे के बार-चार्ट में टक्कर का नतीजा चलाने से पहले ही दिख जाएगा।
- e = 0 करो: टक्कर के बाद दोनों गाड़ियाँ एक ही वेग से साथ चलती हैं, गतिज ऊर्जा का बार तेज़ी से गिरता है जबकि संवेग का बार वही ऊँचाई रखता है।
- e = 1 करो: गतिज ऊर्जा के दोनों बार बिल्कुल बराबर ऊँचाई के हो जाते हैं — कोई ऊर्जा नष्ट नहीं होती।
- m₁ या m₂ बदलकर फिर चलाओ: v₁′ और v₂′ कैसे बदलते हैं, यह नीचे के हल किए गए उदाहरणों वाले सूत्र से ही मिलाकर देखो।
कैरम, बिलियर्ड्स और दो रेल डिब्बों का जुड़ना
कैरम में स्ट्राइकर से गोटी पर चोट करो तो स्ट्राइकर खुद धीमा हो जाता है या रुक जाता है, और गोटी उछल जाती है। बिलियर्ड्स में सफ़ेद गेंद रंगीन गेंद से टकराए तो लगभग यही होता है। दोनों में एक ही सवाल उठता है: टक्कर के बाद हर वस्तु का वेग कितना होगा, क्या यह पहले से बताया जा सकता है?
तुमने स्टेशन पर दो रेल डिब्बों को जुड़ते ज़रूर देखा होगा — एक डिब्बा धीरे आकर दूसरे से टकराता है और फिर दोनों एक ही वेग से साथ चलने लगते हैं। यहाँ दोनों वस्तुएँ टक्कर के बाद अलग नहीं होतीं, चिपकी रहती हैं — यह भी एक तरह का संघट्ट है, जिसे अप्रत्यास्थ संघट्ट कहते हैं।
"साफ़ उछलना" और "पूरी तरह चिपक जाना" के बीच अनगिनत संभावनाएँ हैं, और एक ही संख्या — प्रत्यावस्थान गुणांक e — बताती है कि कोई असली संघट्ट इस पूरे दायरे में कहाँ खड़ा है। ऊपर के सिमुलेशन में e की स्लाइडर खिसकाकर यह पूरा दायरा खुद देखा जा सकता है।
शुरुआत से: संवेग और उसका संरक्षण
किसी वस्तु के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहते हैं, p = mv। संवेग एक सदिश राशि है — इसकी दिशा होती है, इसलिए दाईं ओर की गति को धनात्मक मानें तो बाईं ओर की गति ऋणात्मक होगी। कई वस्तुओं का कुल संवेग उनके अलग-अलग संवेगों का सदिश योग होता है।
न्यूटन का तीसरा नियम कहता है कि संघट्ट के दौरान दोनों वस्तुएँ एक-दूसरे पर बराबर और विपरीत बल लगाती हैं, और यह बल बिल्कुल उतने ही समय तक काम करता है। इसलिए एक वस्तु का संवेग जितना बढ़ता है, दूसरी का उतना ही घटता है — कुल संवेग वही रहता है। यही संवेग संरक्षण का नियम है: यदि किसी निकाय पर कोई बाहरी परिणामी बल न लगे, तो उसका कुल संवेग स्थिर रहता है।
ध्यान दो, इस नियम को संघट्ट के भीतर क्या हुआ यह जानने की ज़रूरत ही नहीं — कितनी विकृति हुई, कितनी ऊष्मा बनी, कुछ भी नहीं। बस संघट्ट से ठीक पहले और ठीक बाद का संवेग मिलाना काफ़ी है। यही बात संवेग संरक्षण के नियम को भौतिकी के सबसे शक्तिशाली औज़ारों में से एक बनाती है।
गतिज ऊर्जा (½mv²) एक अदिश राशि है, और संघट्ट में यह हमेशा संरक्षित नहीं रहती — विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में कुछ ऊर्जा खर्च हो सकती है। कितनी खर्च होगी यह इस पर निर्भर करता है कि संघट्ट कितना "प्रत्यास्थ" है, जिसे प्रत्यावस्थान गुणांक से मापा जाता है।
संघट्ट के ज़रूरी शब्द
सूत्रों से पहले शब्दावली साफ़ कर लें; परीक्षा के परिभाषा-प्रश्न यहीं से आते हैं।
| शब्द | प्रतीक | सरल अर्थ | मात्रक |
|---|---|---|---|
| संवेग | p = mv | द्रव्यमान और वेग का गुणनफल, एक सदिश राशि | kg·m/s |
| संवेग संरक्षण का नियम | — | बाहरी बल न होने पर कुल संवेग स्थिर रहता है | — |
| प्रत्यास्थ संघट्ट | e = 1 | संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं | — |
| अप्रत्यास्थ संघट्ट | e < 1 | संवेग संरक्षित रहता है, पर कुछ गतिज ऊर्जा नष्ट होती है | — |
| पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट | e = 0 | टक्कर के बाद दोनों वस्तुएँ आपस में चिपक जाती हैं | — |
| प्रत्यावस्थान गुणांक | e | टक्कर के बाद दूर जाने की गति और पहले पास आने की गति का अनुपात | — |
| गतिज ऊर्जा | KE = ½mv² | गति के कारण किसी वस्तु में ऊर्जा | जूल (J) |
| प्रतिक्षेप (recoil) | — | विस्फोट या गोली चलने के बाद बचे हिस्से की विपरीत दिशा में गति | — |
प्रत्यावस्थान गुणांक से दोनों सूत्र निकालना
द्रव्यमान m₁, m₂ और प्रारंभिक वेग u₁, u₂ वाली दो गाड़ियाँ टकराकर v₁′, v₂′ वेग से (अलग होकर या साथ चलते हुए) निकलती हैं। दो समीकरण इन्हें पूरी तरह तय कर देते हैं।
पहला है संवेग संरक्षण: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′। दूसरा है प्रत्यावस्थान गुणांक की परिभाषा: e = (v₂′ − v₁′) / (u₁ − u₂), यानी टक्कर के बाद दूर जाने की गति, टक्कर से पहले पास आने की गति के e गुने के बराबर। e = 1 का मतलब है ठीक उसी गति से अलग होना (प्रत्यास्थ); e = 0 का मतलब है अलग होने की गति शून्य, यानी साथ चलना।
दोनों समीकरणों को हल करने पर दो सीधे सूत्र मिलते हैं, जो e के 0 से 1 तक किसी भी मान के लिए एक ही बार में काम करते हैं — अलग-अलग स्थिति सोचने की ज़रूरत नहीं। e = 0 रखने पर दोनों सूत्र एक ही जगह मिल जाते हैं, और e = 1 रखने पर क्लासिक प्रत्यास्थ-संघट्ट सूत्र सामने आ जाते हैं।
e = (v₂′ − v₁′) / (u₁ − u₂)प्रत्यावस्थान गुणांक की परिभाषा
v₁′ = [(m₁ − em₂)u₁ + (1+e)m₂u₂] / (m₁ + m₂)दोनों सूत्र e के किसी भी मान पर लागू होते हैं
v₂′ = [(1+e)m₁u₁ + (m₂ − em₁)u₂] / (m₁ + m₂)
e = 0 और e = 1 पर सूत्र क्या कहते हैं
e = 0 रखने पर (m₁ − em₂), m₁ बन जाता है और (m₂ − em₁), m₂ बन जाता है, और दोनों सूत्र v₁′ = v₂′ = (m₁u₁ + m₂u₂)/(m₁ + m₂) पर आ जाते हैं — यानी द्रव्यमान-भारित औसत वेग। यही पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट है: दोनों वस्तुएँ एक ही साझा वेग से साथ चलती हैं।
e = 1 रखने पर सूत्र क्लासिक प्रत्यास्थ-संघट्ट रूप में बदल जाते हैं: v₁′ = [(m₁−m₂)u₁ + 2m₂u₂]/(m₁+m₂), v₂′ = [2m₁u₁ + (m₂−m₁)u₂]/(m₁+m₂)। यहीं दिखता है कि बराबर द्रव्यमान की दो वस्तुओं के प्रत्यास्थ संघट्ट में (एक शुरू में स्थिर हो) वेग बिल्कुल आपस में बदल जाते हैं — नीचे उदाहरण 3 में यही दिखाया गया है।
सिमुलेशन में खुद प्रयोग करो
हर प्रयोग से पहले अनुमान लगाओ, फिर मिलाकर देखो।
- e = 0.5 रखते हुए गाड़ी 2 का द्रव्यमान धीरे-धीरे बढ़ाओ। क्या v₂′ बढ़ता है या घटता है?
- दोनों द्रव्यमान बराबर करो, u₂ = 0 रखो, और e = 1 करो। टक्कर के बाद कौन-सी गाड़ी चलती है?
- e = 0 करके ऐसे वेग चुनो कि कुल संवेग बिल्कुल शून्य हो (बराबर द्रव्यमान, बराबर और विपरीत वेग)। क्या टक्कर के बाद दोनों गाड़ियाँ रुक जाती हैं?
- वही सेटअप रखते हुए e को धीरे-धीरे 0 से 1 तक बढ़ाओ। "बाद" वाला गतिज-ऊर्जा बार कैसे बड़ा होता है?
- गाड़ी 1 को इस तरह खींचो कि वह गाड़ी 2 को कभी पकड़ ही न पाए (धीमी या उल्टी दिशा में)। कौन-सा संदेश दिखता है?
हल किए गए उदाहरण
हर हल में पहले दिया गया, फिर सूत्र, फिर मान रखा गया है — परीक्षा में भी इसी क्रम में लिखने से पूरे अंक मिलते हैं।
उदाहरण 1: सिमुलेशन की डिफ़ॉल्ट टक्कर
m₁ = 2 kg, u₁ = 4 m/s (दाईं ओर) और m₂ = 3 kg, u₂ = -1 m/s (बाईं ओर), e = 0.50। टक्कर के बाद दोनों गाड़ियों के वेग क्या हैं?
v₁′ = [(m₁ − em₂)u₁ + (1+e)m₂u₂]/(m₁+m₂) = -0.50 m/s। v₂′ = [(1+e)m₁u₁ + (m₂−em₁)u₂]/(m₁+m₂) = 2.00 m/s। जाँच: p_पहले = m₁u₁+m₂u₂ = 5 kg·m/s, और m₁v₁′+m₂v₂′ भी 5 kg·m/s — संवेग मिल गया। गतिज ऊर्जा 17.50 J से घटकर 6.25 J हो गई, यानी 11.25 J नष्ट हुई।
उदाहरण 2: गोली का लकड़ी के गुटके में धँसना (e = 0)
0.01 kg की एक गोली 400 m/s की गति से स्थिर 3.99 kg के लकड़ी के गुटके में धँस जाती है। गोली और गुटका मिलकर किस वेग से चलेंगे?
e = 0 पर v_common = (m_गोली u_गोली + m_गुटका × 0)/(m_गोली + m_गुटका) = (0.01 × 400)/4.00 = 1.00 m/s। गोली का बड़ा वेग पूरे मिले हुए द्रव्यमान में बँट जाता है, इसलिए अंतिम वेग काफ़ी छोटा हो जाता है — यही बैलिस्टिक पेंडुलम का सिद्धांत है।
उदाहरण 3: बराबर द्रव्यमान का प्रत्यास्थ संघट्ट — वेगों की अदला-बदली
दो बराबर द्रव्यमान (2 kg प्रत्येक) की गाड़ियाँ। एक 5 m/s से स्थिर दूसरी से टकराती है (e = 1)। टक्कर के बाद क्या होगा?
e = 1 और m₁ = m₂ रखने पर सूत्र से सीधे मिलता है v₁′ = 0 m/s (रुक जाती है) और v₂′ = 5 m/s (पहली गाड़ी का पूरा वेग ले लेती है)। बराबर द्रव्यमान के प्रत्यास्थ संघट्ट में वेग बिल्कुल आपस में बदल जाते हैं — बिलियर्ड्स में यही दिखता है।
उदाहरण 4: असमान द्रव्यमान का प्रत्यास्थ संघट्ट — हल्की वस्तु लौट आती है
1 kg की एक गेंद 6 m/s से स्थिर 2 kg की गेंद से टकराती है (e = 1)। टक्कर के बाद क्या होगा?
सूत्र से v₁′ = -2 m/s (ऋणात्मक, यानी हल्की गेंद उल्टी दिशा में लौटती है) और v₂′ = 4 m/s मिलता है। गतिज ऊर्जा जाँच: पहले 18 J, बाद में 18 J — दोनों बराबर, जैसा प्रत्यास्थ संघट्ट में होना चाहिए।
उदाहरण 5: पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट में बड़ी गतिज-ऊर्जा हानि
4 kg की एक गाड़ी 3 m/s से और 2 kg की दूसरी गाड़ी विपरीत दिशा में -3 m/s से (एक-दूसरे की ओर) आकर आपस में चिपक जाती हैं (e = 0)। उनका साझा वेग और गतिज-ऊर्जा हानि कितनी है?
v_common = (m₁u₁+m₂u₂)/(m₁+m₂) = 1 m/s। गतिज ऊर्जा पहले 27 J थी, चिपकने के बाद मात्र 3 J रही — यानी 24 J ऊष्मा, ध्वनि और विरूपण में नष्ट हो गई। आमने-सामने से आकर चिपकने वाले संघट्ट में गतिज-ऊर्जा हानि सबसे ज़्यादा होती है, यही उसका उदाहरण है।
उदाहरण 6: मापे गए आँकड़ों से प्रत्यावस्थान गुणांक निकालना
एक प्रयोग में टक्कर से पहले वेग u₁ = 6 m/s, u₂ = 0 m/s थे, और टक्कर के बाद मापे गए वेग v₁′ = 1 m/s, v₂′ = 4 m/s। इस संघट्ट का प्रत्यावस्थान गुणांक कितना है?
e = (v₂′ − v₁′)/(u₁ − u₂) = (4 − 1)/(6 − 0) = 0.50। इस तरह द्रव्यमान जाने बिना ही, केवल वेग मापकर किसी भी असली संघट्ट का e निकाला जा सकता है — प्रयोगशाला में e इसी तरह मापा जाता है।
उदाहरण 7: बंदूक का प्रतिक्षेप (recoil)
5 kg की एक बंदूक से 0.05 kg की एक गोली 200 m/s की गति से चलाई जाती है। बंदूक कितनी गति से पीछे हटेगी?
गोली चलने से पहले कुल संवेग शून्य था, इसलिए बाद में भी शून्य रहना चाहिए: 0 = m_बंदूक v_बंदूक + m_गोली v_गोली। हल करने पर v_बंदूक = −(m_गोली × v_गोली)/m_बंदूक = -2.0 m/s। ऋणात्मक चिह्न बताता है कि बंदूक गोली की विपरीत दिशा में हटती है — यही प्रतिक्षेप है, बिना किसी संघट्ट के संवेग-संरक्षण का एक सीधा उदाहरण।
प्रत्यावस्थान गुणांक बढ़ाने पर गतिज ऊर्जा कैसे लौटती है
सिमुलेशन के डिफ़ॉल्ट सेटअप (m₁ = 2 kg, u₁ = 4 m/s, m₂ = 3 kg, u₂ = -1 m/s) को स्थिर रखते हुए केवल e बदलने पर संवेग हमेशा एक जैसा रहता है, जबकि गतिज ऊर्जा e के साथ लगातार बढ़ती है, e = 1 पर पूरी तरह लौट आती है।
| e | v₁′ | v₂′ | गतिज ऊर्जा (बाद में) | मूल गतिज ऊर्जा का % |
|---|---|---|---|---|
| 0.00 | 1.00 m/s | 1.00 m/s | 2.50 J | 14% |
| 0.25 | 0.25 m/s | 1.50 m/s | 3.44 J | 20% |
| 0.50 | -0.50 m/s | 2.00 m/s | 6.25 J | 36% |
| 0.75 | -1.25 m/s | 2.50 m/s | 10.94 J | 63% |
| 1.00 | -2.00 m/s | 3.00 m/s | 17.50 J | 100% |
ये गलतियाँ सब करते हैं
इन गलतियों से बचने पर संघट्ट के अंकों में नंबर कटने का डर नहीं रहता।
- यह मान लेना कि संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों हमेशा संरक्षित रहते हैं। संवेग हमेशा रहता है; गतिज ऊर्जा केवल e = 1 पर।
- दिशा को नज़रअंदाज़ करके संवेगों को अदिश राशि की तरह जोड़ देना। विपरीत दिशा के वेग को ऋणात्मक न मानने से उत्तर गलत हो जाता है।
- यह सोचना कि "प्रत्यास्थ संघट्ट" का मतलब "ज़ोरदार, तेज़ टक्कर" है। प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ इस बात पर निर्भर करता है कि गतिज ऊर्जा संरक्षित रही या नहीं, टक्कर कितनी तेज़ दिखी उस पर नहीं।
- यह मान लेना कि e = 0 का मतलब दोनों वेग शून्य हो जाना है। असल में इसका मतलब है दोनों वस्तुएँ किसी साझा (आमतौर पर अशून्य) वेग से साथ चलती हैं।
- सूत्र में द्रव्यमान उलट देना। जिस गाड़ी का अंतिम वेग निकाल रहे हो, सूत्र में सबसे पहले उसी का द्रव्यमान आना चाहिए।
- प्रत्यावस्थान गुणांक की परिभाषा में घटाव का क्रम उलट देना। e = (v₂′ − v₁′)/(u₁ − u₂); क्रम उलटने पर चिह्न बदल जाता है।
- यह मान लेना कि प्रत्यावस्थान गुणांक e, 1 से ज़्यादा या ऋणात्मक हो सकता है। असली संघट्ट में हमेशा 0 ≤ e ≤ 1 होता है।
रोज़मर्रा की ज़िंदगी में संवेग संरक्षण
परीक्षा से परे भी संवेग संरक्षण का नियम कई सुरक्षा और इंजीनियरिंग फ़ैसलों की नींव है।
- गाड़ी का क्रम्पल ज़ोन: गाड़ी का अगला हिस्सा जानबूझकर धीरे-धीरे मुड़ता है, ताकि टक्कर का समय बढ़े और यात्रियों पर लगने वाला बल कम हो।
- रॉकेट प्रक्षेपण: रॉकेट गैस को पीछे की ओर फेंककर खुद आगे बढ़ता है — यह भी बंदूक के प्रतिक्षेप जैसा ही संवेग-संरक्षण है।
- बिलियर्ड्स और कैरम: लगभग प्रत्यास्थ संघट्ट, इसीलिए खिलाड़ी वेग और कोण का हिसाब लगाकर अंदाज़ा लगा सकते हैं कि गेंद या गोटी कहाँ जाएगी।
- सड़क दुर्घटना की जाँच: टायरों के निशान और गाड़ियों की अंतिम स्थिति से संवेग संरक्षण के नियम से टक्कर से पहले की गति का अंदाज़ा लगाया जाता है।
- अंतरिक्ष यानों की डॉकिंग: दो यानों को जोड़ना लगभग पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट जैसा है, इसलिए वेग बहुत सावधानी से मिलाने पड़ते हैं।
- न्यूटन का पालना (Newton's cradle): लगभग प्रत्यास्थ संघट्टों की एक श्रृंखला, जो संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों का संरक्षण एक साथ दिखाती है।
परीक्षा कॉर्नर
CBSE बोर्ड और JEE/NEET दोनों में संवेग संरक्षण और संघट्ट एक स्थायी विषय है: नियम की परिभाषा और व्युत्पत्ति, प्रत्यास्थ व अप्रत्यास्थ संघट्ट के बीच अंतर पर वैचारिक प्रश्न, और प्रत्यावस्थान सूत्रों पर आधारित संख्यात्मक प्रश्न — तीनों आम हैं। JEE/NEET में अक्सर द्वि-आयामी (oblique) संघट्ट भी पूछे जाते हैं, इसलिए यहाँ की एक-आयामी नींव मज़बूत होना ज़रूरी है।
एक सामान्य परीक्षा-प्रकार का प्रश्न
स्थिति: 2 kg की एक गाड़ी 4 m/s से और 3 kg की एक गाड़ी विपरीत दिशा से 1 m/s से आकर टकराती हैं। टक्कर के बाद दोनों गाड़ियाँ v₁′ = -0.50 m/s और v₂′ = 2.00 m/s से चलती पाई गईं।
सामान्य प्रश्न: (क) संवेग संरक्षण का नियम लिखो। (ख) प्रत्यावस्थान गुणांक की परिभाषा दो। (ग) इस संघट्ट का प्रत्यावस्थान गुणांक निकालो। (घ) टिप्पणी करो कि यह संघट्ट प्रत्यास्थ है, अप्रत्यास्थ है, या पूर्णतः अप्रत्यास्थ है।
(ग) और (घ) का उत्तर: e = (v₂′−v₁′)/(u₁−u₂) में मान रखने पर e = 0.50 मिलता है, जो 0 और 1 के बीच है — इसलिए यह संघट्ट अप्रत्यास्थ है पर पूर्णतः अप्रत्यास्थ नहीं; कुछ गतिज ऊर्जा नष्ट होती है, पर गाड़ियाँ साथ नहीं चलतीं।
रिवीज़न: एक स्क्रीन का सारांश
परीक्षा से एक रात पहले बस यह सूची और ऊपर की सारणी देख लेना काफ़ी है।
- संवेग p = mv एक सदिश राशि है। बाहरी बल न हो तो कुल संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।
- प्रत्यावस्थान गुणांक e = (v₂′−v₁′)/(u₁−u₂); e = 1 प्रत्यास्थ है, e = 0 पूर्णतः अप्रत्यास्थ है।
- सामान्य सूत्र: v₁′ = [(m₁−em₂)u₁+(1+e)m₂u₂]/(m₁+m₂), v₂′ = [(1+e)m₁u₁+(m₂−em₁)u₂]/(m₁+m₂)।
- e = 0 पर v₁′ = v₂′ = (m₁u₁+m₂u₂)/(m₁+m₂); e = 1 पर गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
- बराबर द्रव्यमान के प्रत्यास्थ संघट्ट में (एक शुरू में स्थिर) वेग पूरी तरह आपस में बदल जाते हैं।
- गतिज ऊर्जा केवल प्रत्यास्थ संघट्ट में संरक्षित रहती है; अप्रत्यास्थ संघट्ट में कुछ ऊष्मा-ध्वनि में नष्ट होती है, e = 0 पर सबसे ज़्यादा।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
संवेग संरक्षण का नियम क्या कहता है?
यदि किसी निकाय पर कोई बाहरी परिणामी बल न लगे, तो किसी भी संघट्ट या अंतःक्रिया से पहले और बाद में उसका कुल संवेग बिल्कुल एक जैसा रहता है।
प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ संघट्ट में क्या अंतर है?
प्रत्यास्थ संघट्ट (e = 1) में संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं। अप्रत्यास्थ संघट्ट (e < 1) में संवेग तो संरक्षित रहता है, पर कुछ गतिज ऊर्जा ऊष्मा, ध्वनि या विरूपण में नष्ट हो जाती है।
प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) किसे कहते हैं?
संघट्ट के बाद दो वस्तुओं के दूर जाने की आपेक्षिक गति और संघट्ट से पहले पास आने की आपेक्षिक गति के अनुपात को प्रत्यावस्थान गुणांक e कहते हैं, e = (v₂′−v₁′)/(u₁−u₂)।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट (e = 0) में क्या होता है?
टक्कर के बाद दोनों वस्तुएँ अलग नहीं होतीं, एक ही साझा वेग से साथ चलती हैं: v₁′ = v₂′ = (m₁u₁+m₂u₂)/(m₁+m₂)। यहीं गतिज-ऊर्जा हानि सबसे ज़्यादा होती है।
सिमुलेशन की डिफ़ॉल्ट टक्कर (m₁ = 2 kg, u₁ = 4 m/s, m₂ = 3 kg, u₂ = -1 m/s, e = 0.50) में अंतिम वेग क्या हैं?
सूत्र में रखने पर v₁′ = -0.50 m/s और v₂′ = 2.00 m/s मिलता है। संवेग पहले और बाद दोनों में 5 kg·m/s रहता है, जबकि गतिज ऊर्जा 17.50 J से घटकर 6.25 J हो जाती है।
बराबर द्रव्यमान की दो वस्तुओं के प्रत्यास्थ संघट्ट में क्या होता है?
यदि एक शुरू में स्थिर हो, तो चलती हुई वस्तु पूरी तरह रुक जाती है और स्थिर वस्तु पहली वाली के पूरे वेग से चलने लगती है — वेग बिल्कुल आपस में बदल जाते हैं। बिलियर्ड्स में यही दिखता है।
क्या केवल वेग से, द्रव्यमान जाने बिना, प्रत्यावस्थान गुणांक e निकाला जा सकता है?
हाँ। टक्कर से पहले और बाद के वेग मापकर सीधे e = (v₂′−v₁′)/(u₁−u₂) सूत्र में रखने पर e मिल जाता है, द्रव्यमान जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।
अप्रत्यास्थ संघट्ट में नष्ट हुई गतिज ऊर्जा कहाँ जाती है?
यह नष्ट नहीं होती — संवेग की तरह, कुल ऊर्जा भी संरक्षित रहती है। गति से "खोई" गतिज ऊर्जा ऊष्मा, ध्वनि और टकराने वाली वस्तुओं के स्थायी विरूपण में बदल जाती है।
क्या बंदूक का प्रतिक्षेप (recoil) संवेग संरक्षण का उदाहरण है?
हाँ। गोली चलने से पहले कुल संवेग शून्य था, इसलिए बाद में भी शून्य रहना चाहिए — इसीलिए गोली आगे जाने पर बंदूक को पीछे हटना ही पड़ता है, ताकि कुल संवेग शून्य बना रहे।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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न्यूटन के गति के नियम
न्यूटन के गति के तीनों नियम, जड़त्व, संवेग, F = ma, आवेग और क्रिया-प्रतिक्रिया: ट्रॉली धकेलकर खुद देखें, उदाहरण और हल किए गए प्रश्नों के साथ (कक्षा 9, 11)।
कक्षा 10 · 12
गोलीय दर्पण किरण आरेख
अवतल और उत्तल दर्पण द्वारा प्रतिबिंब बनना, ध्रुव, वक्रता केंद्र, मुख्य फोकस, दर्पण सूत्र 1/v + 1/u = 1/f और आवर्धन m = −v/u: बिंब खींचकर किरण आरेख ख़ुद देखें।
कक्षा 10 · 12
विद्युत चुंबकीय प्रेरण
विद्युत चुंबकीय प्रेरण किसे कहते हैं? चुंबक को कुंडली से गुज़ारो और सेंटर-ज़ीरो गैल्वेनोमीटर देखो। फैराडे का नियम e = −N dΦ/dt और लेंज़ का नियम हल किए गए उदाहरणों के साथ।
कक्षा 9 · 11
कार्य, ऊर्जा और शक्ति
कार्य किसे कहते हैं, गतिज व स्थितिज ऊर्जा और शक्ति के सूत्र क्या हैं: घुमावदार पथ पर लुढ़कती कार्ट की सिमुलेशन में ऊर्जा का रूपांतरण देखें, हल किए गए प्रश्नों के साथ।
कक्षा 11 · JEE
आनत तल
ढलान पर भार कैसे दो भागों में बँटता है, विराम कोण क्या है, घर्षण ब्लॉक को कब रोकता है और कब फिसलने देता है — कोण बदलकर बल-चित्र में स्वयं देखें, हल किए गए प्रश्नों के साथ।
कक्षा 9 · 11
एकसमान वृत्तीय गति
डोरी से बँधी गेंद घुमाकर कोणीय वेग, आवर्तकाल, a=v²/r और अभिकेंद्र बल F=mv²/r देखें। डोरी कटने पर गेंद कहाँ जाती है? बैंकिंग व हल किए उदाहरणों सहित।
कक्षा 9
अनुप्रस्थ और अनुदैर्घ्य तरंग
एक ही स्रोत से रस्सी की अनुप्रस्थ तरंग और स्प्रिंग या ध्वनि की अनुदैर्घ्य तरंग साथ-साथ देखें। शृंग, गर्त, संपीडन, विरलन, तरंगदैर्घ्य, v = fλ और कण तरंग के साथ क्यों नहीं चलते, हल सहित।
कक्षा 9 · 11
उत्तोलक और आघूर्ण
सी-सॉ पर भार खिसकाकर बल आघूर्ण M = F × d देखें। आघूर्णों का सिद्धांत, उत्तोलक के तीन वर्ग और यांत्रिक लाभ हल किए गए प्रश्नों के साथ सीखें।
कक्षा 11
द्रव्यमान केंद्र
छड़ और पट्टिका पर द्रव्यमान खिसकाकर द्रव्यमान केंद्र x = Σmx/Σm देखें। आधार कहाँ रखें कि छड़ संतुलित रहे, बस कब उलटती है, स्थायी, अस्थायी और उदासीन संतुलन: सिमुलेशन और हल उदाहरणों सहित।
कक्षा 11
कमानी-द्रव्यमान की सरल आवर्त गति
कमानी से लटके द्रव्यमान की सरल आवर्त गति खुद चलाकर देखें। हुक का नियम, T = 2π√(m/k), ऊर्जा रूपांतरण, श्रेणी व समानांतर कमानी, हल किए गए प्रश्न और CBSE अभ्यास।
कक्षा 11
सदिशों का योग: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम
दो सदिशों का परिणामी, त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम, घटक, नदी में नाव और बारिश में छाते का आपेक्षिक वेग खुद करके देखें। हल किए प्रश्न और NCERT अभ्यास सहित।
कक्षा 11
सापेक्ष वेग: रेलगाड़ियाँ और नदी पार करना
दो रेलगाड़ियों और नदी पार करते तैराक को खुद चलाकर देखो। सापेक्ष चाल, रेलगाड़ी के पार होने का समय, कोण, बहाव, सबसे कम समय बनाम सबसे छोटा रास्ता, हल के साथ।
कक्षा 11
केपलर के नियम और दीर्घवृत्ताकार कक्षा
उत्केंद्रता स्लाइडर खींचकर कक्षा को लंबा होते देखो। बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल के सेक्टर, आवर्तकाल का नियम T² ∝ a³ और पलायन वेग, हल के साथ।
कक्षा 11
न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम, g और उपग्रह
दो पिंडों का खिंचाव, व्युत्क्रम वर्ग ग्राफ़, पृथ्वी के ऊपर-नीचे g और उपग्रह की कक्षा खुद चलाकर देखें। कक्षीय चाल, आवर्तकाल, पलायन वेग और हल किए गए सवाल।
कक्षा 11
तार और नलियों में अप्रगामी तरंगें
सिमुलेशन में तार छेड़ें और खुली-बंद नलियों में फूँकें। निस्पंद, प्रस्पंद, हार्मोनिक देखें और जानें कि लंबाई, तनाव व तापमान सुर कैसे तय करते हैं, हल किए गए सवालों सहित।
कक्षा 11
अनुनाद नली और ध्वनि की चाल
अनुनाद नली में पानी का स्तर खिसकाकर तेज़ आवाज़ की जगहें खुद खोजें। L1 = λ/4 − e और L2 = 3λ/4 − e देखें, v = 2f(L2 − L1) से ध्वनि की चाल निकालें और हल किए गए सवाल करें।
कक्षा 11
विस्पंद: दो पास-पास के सुरों की धड़कन
लगभग बराबर आवृत्ति की दो तरंगें जोड़कर तीव्रता की धड़कन देखें। आवरण देखें, विस्पंद आवृत्ति |f₁ − f₂| पढ़ें, आवाज़ सुनें और गिटार को विस्पंद से मिलाना सीखें, हल किए गए सवालों के साथ।
कक्षा 11 · 12
डॉप्लर प्रभाव: चलता स्रोत, चलता श्रोता और सोनिक बूम
ध्वनि के स्रोत को तेज़-धीमा चलाइए और देखिए तरंगाग्र आगे कैसे सिकुड़ते और पीछे कैसे फैलते हैं। डॉप्लर सूत्र, एम्बुलेंस और ट्रेन के हल किए सवाल और सोनिक बूम सीखिए।
कक्षा 10 · 12
प्रिज़्म, प्रकाश का वर्ण-विक्षेपण और इंद्रधनुष
सफ़ेद प्रकाश को प्रिज़्म से गुज़ारिए, प्रिज़्म कोण और आपतन कोण बदलिए और स्पेक्ट्रम बनते देखिए। विचलन, न्यूनतम विचलन, विक्षेपण क्षमता और वर्षा की बूँद में इंद्रधनुष बनना हल किए सवालों के साथ सीखिए।
कक्षा 12
किरख़ोफ़ के नियम: संधि नियम और लूप नियम
दो बैटरियों और तीन प्रतिरोधों वाला दो-लूप परिपथ खुद बनाओ। संधि पर धारा को बँटते देखो, विभव के योग को शून्य बनते देखो और किरख़ोफ़ के नियमों के सवाल कदम-दर-कदम हल करना सीखो।
कक्षा 12
व्हीटस्टोन सेतु और मीटर सेतु
व्हीटस्टोन सेतु का संतुलन बिगाड़कर गैल्वेनोमीटर की सुई को हिलते देखो। P/Q = R/S होने पर सुई शून्य पर आती है। मीटर सेतु में जॉकी खिसकाकर अज्ञात प्रतिरोध मापो, हल किए उदाहरणों के साथ।
कक्षा 12
एकल झिरी से विवर्तन
झिरी की चौड़ाई और तरंगदैर्घ्य बदलकर देखें कि प्रकाश कैसे फैलता है। तीव्रता का सूत्र I = I₀(sin β/β)², निम्निष्ठ की शर्त a sin θ = mλ और केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई 2λD/a, हल सहित।
कक्षा 10 · 12
आँख के दोष और उनका निवारण
सामान्य, निकट-दृष्टि, दूर-दृष्टि और बढ़ती उम्र वाली आँख बदलकर देखें। प्रतिबिंब रेटिना के आगे या पीछे क्यों बनता है, और कौन-सा लेंस कितनी डायोप्टर से इसे ठीक करता है, सिमुलेशन में समझें।
कक्षा 12
प्रकाश का ध्रुवण: मैलस का नियम और ब्रूस्टर का नियम
ध्रुवक के पीछे विश्लेषक घुमाकर ग्राफ़ में I = I₀cos²θ देखें, फिर काँच पर प्रकाश डालकर ब्रूस्टर कोण खोजें। पोलरॉइड धूप का चश्मा, तीन फ़िल्टर की पहेली और हल किए सवालों के साथ।
कक्षा 12
संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC समय स्थिरांक
प्रतिरोध के सहारे संधारित्र को आवेशित और विसर्जित करो। E, R और C बदलकर V = E(1 − e^(−t/RC)) और धारा का वक्र बनते देखो, 63% वाला समय स्थिरांक और संचित ऊर्जा निकालो।
कक्षा 10 · 12
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ: छड़ चुंबक, धारावाही तार और परिनालिका
छड़ चुंबक, सीधे धारावाही तार और परिनालिका की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ देखो। कंपास खींचो, धारा पलटो और B = μ₀I/2πr, B = μ₀nI व दाएँ हाथ का नियम सीखो।
कक्षा 12
एसी जनित्र
चुंबक के ध्रुवों के बीच कुंडली घुमाकर एसी जनित्र की साइन तरंग बनते देखिए। N, A, B और rpm बदलकर E₀ = NBAω और आरएमएस मान निकालिए, और जानिए मेन्स 50 Hz क्यों है।
कक्षा 10 · 12
ट्रांसफ़ॉर्मर
ट्रांसफ़ॉर्मर के प्राथमिक और द्वितीयक फेरे बदलकर देखिए वोल्टता कैसे बढ़ती-घटती है। Vs = Vp·Ns/Np, शक्ति संरक्षण, वास्तविक दक्षता और उच्च वोल्टता पर बिजली भेजने का कारण समझिए।
कक्षा 9 · 12
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
ताँबे, ऐलुमिनियम, काँच या लकड़ी की छड़ गरम करके Q/t = kAΔT/L देखें, बीकर में संवहन धाराओं को घूमते देखें, और T⁴ के अनुसार विकिरित शक्ति का बढ़ना जाँचें। सारणियों और हल किए सवालों के साथ।
कक्षा 12
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
निर्वात नली में सोडियम, जस्ते या ताँबे की पट्टिका पर किसी भी तरंगदैर्घ्य का प्रकाश डालें। देखें कि देहली आवृत्ति के नीचे इलेक्ट्रॉन क्यों नहीं निकलते, K = hf − φ निरोधी विभव कैसे तय करता है, और चमक सिर्फ़ धारा क्यों बदलती है।
कक्षा 10 · 12
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार रखने पर वह कैसे धक्का खाता है, खुद देखिए। B, I, L और कोण बदलिए, फ्लेमिंग के बाएँ हाथ के नियम की जाँच कीजिए, फिर विभक्त-वलय दिक्परिवर्तक वाली डीसी मोटर घुमाकर बल-आघूर्ण का ग्राफ़ देखिए।
कक्षा 11 · 12
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
डिब्बे में गैस के अणुओं की भागदौड़ देखिए। तापमान बढ़ाइए, गैस बदलिए, आयतन दबाइए और देखिए कि दीवारों पर टक्करों से मिला दाब PV = NkT से मेल खाता है। चाल की तुलना मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वक्र से कीजिए और वर्ग-माध्य-मूल चाल निकालिए।
कक्षा 12
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
p–n संधि पर बायस लगाकर देखिए कि अवक्षय परत कैसे सिकुड़ती या फैलती है, आवेश वाहक कैसे पार होते हैं और शॉकली I–V वक्र कैसा बनता है। सिलिकन और जर्मेनियम की तुलना, भंजन और अर्धतरंग दिष्टकारी।
कक्षा 10 · 12
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
240 नाभिकों को अनियमित ढंग से क्षय होते देखो, गिनती को N = N₀e^(−λt) पर चलते पाओ, ग्राफ़ से अर्द्ध-आयु निकालो और परखो कि α, β, γ कागज़, एल्युमिनियम और सीसे में कितना घुस पाते हैं।
कक्षा 12
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
हाइड्रोजन के इलेक्ट्रॉन को n = 1 से 6 कक्षाओं में कूदते देखो, 1/λ = R(1/n₁² − 1/n₂²) से फोटॉन का रंग निकालो, और ऊर्जा आरेख व स्पेक्ट्रम पट्टी पर लाइमन, बामर और पाशन श्रेणी समझो।
अन्य विषयों के एनिमेशन
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परमाणु की संरचना
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अम्ल, क्षारक और pH मान
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इलेक्ट्रॉनिक विन्यास
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गैस नियम: बॉयल, चार्ल्स, गे-लुसाक, आवोगाद्रो और PV = nRT
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आयनिक बंध कैसे बनता है
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वैद्युत अपघटन और फैराडे के नियम
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सहसंयोजक बंध
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आवर्त सारणी की आवर्तिता
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अभिक्रिया की दर और संघट्ट सिद्धांत
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द्रव्य की अवस्थाएँ: ठोस, द्रव, गैस और तापन वक्र
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परमाणु कक्षक: s, p, d के आकार, क्वांटम संख्याएँ और नोड
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आणविक आकृतियाँ और VSEPR सिद्धांत: आबंध युग्म, एकाकी युग्म और कोण
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मोल अवधारणा: मोलर द्रव्यमान, आवोगाद्रो संख्या और मोलर आयतन
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विसरण और निःस्राव: ग्राहम का नियम
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रासायनिक समीकरण संतुलन: विधि, उदाहरण और अभ्यास
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रासायनिक साम्य: साम्य स्थिरांक Kc और ले शातेलिए का सिद्धांत
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अनुमापन: ब्यूरेट और सूचक से अज्ञात सांद्रता निकालना
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गैल्वेनिक सेल: डेनियल सेल, EMF और नर्स्ट समीकरण
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ऑक्सीकरण-अपचयन अभिक्रियाएँ: ऑक्सीकरण संख्या, इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण और अर्ध-अभिक्रिया
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हाइड्रोकार्बन: ऐल्केन, ऐल्कीन, ऐल्काइन और संरचनात्मक समावयवी 3D में
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प्रकार्यात्मक समूह: ऐल्कोहॉल, ऐल्डिहाइड, कीटोन, अम्ल, एस्टर और ऐमीन
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बहुलकीकरण: योगात्मक और संघनन बहुलक, पॉलिथीन और नायलॉन
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मिश्रण अलग करने की विधियाँ: निस्यंदन, आसवन, क्रोमैटोग्राफी, क्रिस्टलन
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क्रिस्टल जालक: SC, BCC और FCC एकक कोष्ठिका, संकुलन क्षमता और घनत्व
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रेडियोएक्टिवता: अल्फ़ा, बीटा, गामा क्षय और अर्ध-आयु
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समसूत्री कोशिका विभाजन
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विसरण और परासरण
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प्रकाश संश्लेषण
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मानव हृदय की संरचना और कार्य
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मेंडल के आनुवंशिकता नियम
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डीएनए प्रतिकृति
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कोशिकीय श्वसन
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एंजाइम क्रिया
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तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
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नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
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अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
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पाचन तंत्र
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श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
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प्रोटीन संश्लेषण
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रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
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कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
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प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
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मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
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पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
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पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
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खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
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जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
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प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
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प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान
परागण और निषेचन
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पाइथागोरस प्रमेय
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त्रिकोणमितीय अनुपात और इकाई वृत्त
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द्विघात समीकरण और द्विघात फलन का ग्राफ़
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वृत्त के प्रमेय
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ऊँचाई और दूरी: उन्नयन कोण और अवनमन कोण
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प्रायिकता: प्रयोगसिद्ध बनाम सैद्धांतिक प्रायिकता
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समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी
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माध्य, माध्यिका और बहुलक
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समुच्चय और वेन आरेख
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रैखिक समीकरण युग्म और सरल रेखा का आलेख
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sin, cos, tan के आलेख
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पूर्ण वर्ग बनाने की विधि और द्विघात समीकरण
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वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
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ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
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समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
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निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
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शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
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फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
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अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
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रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
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सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
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त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
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आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
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सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
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