नियंत्रण
बने-बनाए रूपांतरण
मापन
- आव्यूह [[a, b], [c, d]]
- [[2, 1], [0.5, 1.5]]
- î कहाँ गया (स्तंभ 1)
- (2, 0.5)
- ĵ कहाँ गया (स्तंभ 2)
- (1, 1.5)
- सारणिक ad − bc (चिह्नित क्षेत्रफल)
- 2.5
- दिशा
- वही रहती है
- व्युत्क्रम आव्यूह
- [[0.6, -0.4], [-0.2, 0.8]]
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- आव्यूह [[a, b], [c, d]] की हर प्रविष्टि के लिए एक स्लाइडर है। शुरुआत में आव्यूह [[2, 1], [0.5, 1.5]] है। हल्की जाली मूल तल है; नीली जाली आव्यूह के असर के बाद वही तल है। प्ले बटन तत्समक से आव्यूह तक की फिसलन को बार-बार दिखाता है।
- पीला वर्ग इकाई वर्ग है, जिसके कोने (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) हैं। अंदर का छोटा बैंगनी “F” उसी के साथ चलता है। F इसलिए लिया कि दर्पण प्रतिबिंब बनने पर तुरंत दिख जाता है।
- हरा तीर रूपांतरण के बाद î (यानी तीर (1, 0)) है और बैंगनी तीर ĵ (यानी तीर (0, 1))। ये आव्यूह के स्तंभों पर गिरते हैं: यहाँ î (2, 0.5) पर और ĵ (1, 1.5) पर जाता है।
- बना-बनाया रूपांतरण चुनिए: घूर्णन (कोण के स्लाइडर से), परावर्तन, शियर, स्केल, या सारणिक 0 वाला चपटा रूप। किसी भी प्रविष्टि का स्लाइडर हिलाते ही आप अपने आव्यूह पर आ जाते हैं।
- वर्ग पर लिखी संख्या सारणिक है, यानी रूपांतरित इकाई वर्ग का चिह्नित क्षेत्रफल। यहाँ यह 2.5 है। ऋणात्मक होते ही वर्ग लाल हो जाता है और F दर्पण प्रतिबिंब बन जाता है।
- व्युत्क्रम आव्यूह, जब मौजूद हो, पठन पट्टी में मिलता है। सारणिक 0 हो तो वर्ग एक रेखा पर सिमट जाता है और व्युत्क्रम “नहीं है”।
आव्यूह बिंदुओं को बदलने वाली मशीन है
एक बिंदु (x, y) लीजिए। 2×2 आव्यूह [[a, b], [c, d]] उसे नया बिंदु (ax + by, cx + dy) बना देता है। आव्यूह से गुणा करने का बस यही मतलब है: x और y को एक तय तरीक़े से मिलाने की विधि।
अब यही सारे बिंदुओं के साथ एक साथ कीजिए। जाली की रेखाएँ सीधी रहती हैं, समांतर रेखाएँ समांतर रहती हैं, मूलबिंदु अपनी जगह रहता है। यही “रैखिक” रूपांतरण हैं। सीधी रेखा को मोड़कर वक्र बना देना आव्यूह का काम नहीं है।
[[a, b], [c, d]] · (x, y) = (ax + by, cx + dy)बिंदु की छवि
दोनों स्तंभ सब कुछ बता देते हैं
हर बिंदु (x, y) का मतलब है î की दिशा में x क़दम और ĵ की दिशा में y क़दम। रैखिक रूपांतरण यह नुस्ख़ा नहीं बदलता: वह बस î और ĵ को हिलाता है, बाक़ी सब उनके साथ चलता है। इसलिए पूरा रूपांतरण जानने के लिए देखिए कि î = (1, 0) और ĵ = (0, 1) कहाँ पहुँचते हैं।
(1, 0) को आव्यूह में डालें तो (a, c) मिलता है, पहला स्तंभ। (0, 1) डालें तो (b, d), दूसरा स्तंभ। सिमुलेशन का शुरुआती आव्यूह [[2, 1], [0.5, 1.5]] î को (2, 0.5) पर और ĵ को (1, 1.5) पर भेजता है। यही हरा और बैंगनी तीर हैं।
चित्र से आव्यूह बनाने का यह सबसे अच्छा तरीक़ा है। ऐसा रूपांतरण चाहिए जिसमें î (0, 1) पर और ĵ (−1, 0) पर जाए? दोनों तीरों को स्तंभ बनाकर लिख दीजिए: [[0, −1], [1, 0]]। यह 90° का घुमाव है।
जाने-पहचाने रूपांतरण
मुट्ठी भर आव्यूह ही परीक्षा और ग्राफ़िक्स का ज़्यादातर काम करते हैं। नीचे की तालिका में सात हैं, सारणिक सहित। सबसे पहले 90° वामावर्त घूर्णन है।
- θ कोण का वामावर्त घूर्णन: [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]। लंबाइयाँ और कोण नहीं बदलते।
- x अक्ष में परावर्तन y का चिह्न पलटता है। y अक्ष में परावर्तन x का। रेखा y = x में परावर्तन x और y की अदला-बदली करता है।
- शियर [[1, k], [0, 1]] हर पंक्ति को उसकी ऊँचाई के अनुपात में बग़ल में खिसकाता है। x अक्ष रहता है; y अक्ष झुक जाता है।
- स्केल [[p, 0], [0, q]] x की दिशा में p गुना और y की दिशा में q गुना खींचता है।
- आख़िरी पंक्ति चपटा करने वाला आव्यूह है: स्तंभ एक ही दिशा में हैं, इसलिए पूरा तल एक रेखा पर आ गिरता है।
| रूपांतरण | आव्यूह | सारणिक |
|---|---|---|
| 90° घूर्णन | [[0, -1], [1, 0]] | 1 |
| x अक्ष में परावर्तन | [[1, 0], [0, -1]] | -1 |
| y अक्ष में परावर्तन | [[-1, 0], [0, 1]] | -1 |
| y = x में परावर्तन | [[0, 1], [1, 0]] | -1 |
| शियर | [[1, 1], [0, 1]] | 1 |
| स्केल (2, 1.5) | [[2, 0], [0, 1.5]] | 3 |
| चपटा | [[1, 2], [0.5, 1]] | 0 |
सारणिक: चिह्नित क्षेत्रफल
इकाई वर्ग का क्षेत्रफल 1 है। रूपांतरण के बाद वह ऐसा समांतर चतुर्भुज बनता है जिसकी भुजाएँ (2, 0.5) और (1, 1.5) हैं। उसका क्षेत्रफल ही सारणिक ad − bc है। शुरुआती आव्यूह में यह 2.5 है, इसलिए तल की हर आकृति अपने पुराने क्षेत्रफल की 2.5 गुना हो जाती है।
सारणिक केवल इकाई वर्ग के लिए नहीं, हर आकृति के लिए काम करता है। सारणिक 3 हो तो वृत्त हो या बिल्ली, क्षेत्रफल तीन गुना। 0.5 हो तो आधा।
चिह्न भी कुछ कहता है। सारणिक ऋणात्मक हो तो रूपांतरण ने तल को काग़ज़ की तरह पलट दिया है। घड़ी की दिशा वाला F उलटी दिशा वाला बन जाता है। सिमुलेशन में यही दर्पण प्रतिबिंब दिखता है, और वर्ग इसी वजह से लाल होता है।
det [[a, b], [c, d]] = ad − bcइकाई वर्ग की छवि का चिह्नित क्षेत्रफल
नया क्षेत्रफल = |det| × पुराना क्षेत्रफलकिसी भी आकृति के लिए
- धनात्मक: दिशा वही रहती है। 1 से बड़ा हो तो क्षेत्रफल बढ़ता है, 0 और 1 के बीच हो तो घटता है।
- ऋणात्मक: दिशा पलट जाती है, और क्षेत्रफल चिह्न हटाकर मान के अनुसार बदलता है।
- शून्य: सब कुछ एक रेखा (या बिंदु) पर सिमट जाता है। क्षेत्रफल खो जाता है और उसे लौटाया नहीं जा सकता।
| सारणिक | क्या होता है |
|---|---|
| 2 | क्षेत्रफल दोगुना, दिशा वही |
| 1 | क्षेत्रफल वही, दिशा वही |
| 0.5 | क्षेत्रफल आधा, दिशा वही |
| 0 | सब कुछ एक रेखा पर सिमट जाता है |
| -1 | क्षेत्रफल वही, तल पलट जाता है |
| -2 | क्षेत्रफल दोगुना, तल पलट जाता है |
व्युत्क्रम: मशीन को उलटा चलाना
व्युत्क्रम आव्यूह रूपांतरण को वापस कर देता है। A किसी बिंदु को नई जगह ले जाए तो A⁻¹ उसे लौटा लाता है। 2×2 के लिए नुस्ख़ा छोटा है: a और d की अदला-बदली कीजिए, b और c के चिह्न पलटिए, फिर सबको सारणिक से भाग दीजिए।
इसी भाग की वजह से सारणिक 0 होने पर व्युत्क्रम नहीं बनता। शुरुआती आव्यूह [[2, 1], [0.5, 1.5]] का सारणिक 2.5 है: उसका व्युत्क्रम [[0.6, -0.4], [-0.2, 0.8]] है। यह पठन पट्टी में सीधे दिखता है।
चित्र में भी सोचिए। रूपांतरण पूरे तल को एक रेखा पर दबा दे तो कई अलग बिंदु एक ही जगह गिरते हैं। लौटते समय चुनना पड़ेगा कि किसके पास लौटें, इसलिए उसे पलटा नहीं जा सकता।
A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]केवल ad − bc ≠ 0 होने पर
दो रूपांतरण एक के बाद एक: क्रम मायने रखता है
पहले Q, फिर P करना हो तो आव्यूह P·Q गुणा कीजिए, जो पहले काम करेगा वह दाईं ओर। उलटा लगता है, पर फलन लिखने के ढंग से मेल खाता है: P(Q(x))।
आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं है। पहले घुमाकर फिर परावर्तन करने का नतीजा, पहले परावर्तन करके फिर घुमाने से अलग होता है। नीचे समस्या 5 में असली संख्याओं से दिखेगा।
सारणिक पर भलमनसाहत है: det(PQ) = det(P) × det(Q)। दो क्षेत्रफल-गुणक बस गुणा हो जाते हैं।
सिमुलेशन में आज़माइए
छह छोटे प्रयोग, हर एक मिनट भर का।
- “तत्समक” दबाइए। कुछ नहीं हिलता, सारणिक 1।
- “घूर्णन” दबाकर कोण सरकाइए। जाली कठोरता से घूमती है और सारणिक हर समय 1 रहता है।
- “x अक्ष में परावर्तन” दबाइए। F उलटा हो जाता है और वर्ग लाल: सारणिक −1।
- “शियर” दबाइए। इकाई वर्ग उसी क्षेत्रफल के समांतर चतुर्भुज में झुक जाता है, सारणिक 1।
- “स्केल” दबाकर सारणिक को दोनों खिंचाव-गुणकों के गुणनफल से मिलाइए।
- “चपटा” दबाइए। सारणिक 0, जाली एक रेखा पर ढह जाती है, और पठन बताता है कि व्युत्क्रम नहीं है।
हल किए हुए प्रश्न
छह आम सवाल। नीचे की हर संख्या सिमुलेशन वाले उन्हीं फलनों से निकाली गई है।
प्रश्न 1: बिंदु कहाँ जाता है?
मान लीजिए A = [[2, 1], [0, 3]]। (3, 2) की छवि ज्ञात कीजिए।
गुणा कीजिए: पहला निर्देशांक 2·3 + 1·2 = 8, दूसरा 0·3 + 3·2 = 6। छवि (8, 6) है। जाँच: î (2, 0) पर और ĵ (1, 3) पर जाता है, और पहले का 3 गुना जोड़ दूसरे का 2 गुना वही उत्तर देता है।
प्रश्न 2: घूर्णन
90° वामावर्त घूर्णन का आव्यूह [[0, -1], [1, 0]] है। यह (2, 1) को (-1, 2) पर भेजता है।
45° के लिए प्रविष्टियाँ cos 45° और sin 45° हैं, लगभग 0.71: [[0.71, -0.71], [0.71, 0.71]]। यह î को (0.71, 0.71) पर और ĵ को (-0.71, 0.71) पर भेजता है। दोनों तीर 45° घूमे और लंबाई 1 ही रही।
प्रश्न 3: क्षेत्रफल कैसे बदलता है
A = [[3, 1], [2, 2]] का सारणिक 3·2 − 1·2 = 4 है। कोनों (0, 0), (2, 0), (0, 2) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 2 है।
कोने (0, 0), (6, 4) और (2, 4) पर पहुँचते हैं, और नए त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 है। यानी 4 गुना, ठीक जैसा सारणिक ने कहा।
प्रश्न 4: व्युत्क्रम
A = [[2, 1], [1, 3]] का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। सारणिक 2·3 − 1·1 = 5। विकर्ण की अदला-बदली और बाक़ी चिह्न पलटने पर [[3, -1], [-1, 2]] मिलता है; 5 से भाग दीजिए: A⁻¹ = [[0.6, -0.2], [-0.2, 0.4]]।
जाँच: A · A⁻¹ = [[1, 0], [0, 1]], यानी तत्समक। और A किस बिंदु को (7, 7) पर भेजता है? व्युत्क्रम लगाइए: (2.8, 1.4)।
प्रश्न 5: क्रम मायने रखता है
R को 90° का घूर्णन और F को x अक्ष में परावर्तन मानिए। पहले परावर्तन, फिर घूर्णन: R·F = [[0, 1], [1, 0]]। पहले घूर्णन, फिर परावर्तन: F·R = [[0, -1], [-1, 0]]। दोनों आव्यूह अलग हैं।
बिंदु (1, 2) पर देखिए। R·F उसे (2, 1) पर भेजता है, पर F·R उसे (-2, -1) पर।
प्रश्न 6: जिस आव्यूह का व्युत्क्रम नहीं
B = [[1, 2], [2, 4]] का सारणिक 1·4 − 2·2 = 0 है। इसके स्तंभ (1, 2) और (2, 4) एक ही दिशा में हैं, इसलिए पूरा तल रेखा y = 2x पर आ गिरता है।
अलग-अलग बिंदु साथ में ढह जाते हैं: B (2, −1) को (0, 0) पर भेजता है। बिंदुओं की पूरी रेखा मूलबिंदु पर चली जाती है, इसलिए व्युत्क्रम हो ही नहीं सकता।
ग़लतियाँ जिनसे बचना है
इन ग़लतियों में बार-बार अंक कटते हैं।
- स्तंभों को पंक्तियाँ पढ़ लेना। î जहाँ जाता है वह पहला स्तंभ है, पहली पंक्ति नहीं।
- ग़लत क्रम में गुणा करना। PQ का मतलब पहले Q, फिर P, और आम तौर पर PQ ≠ QP।
- व्युत्क्रम निकालते समय सारणिक से भाग देना भूल जाना।
- ad − bc की जगह ad + bc लिख देना।
- ऋणात्मक सारणिक को “ऋणात्मक क्षेत्रफल” कहना। क्षेत्रफल धनात्मक ही रहता है; चिह्न केवल पलटने की सूचना देता है।
- ऐसे आव्यूह का व्युत्क्रम ढूँढना जिसका सारणिक 0 है।
आव्यूह कहाँ काम आते हैं
हर गेम और एनिमेशन अपने पात्रों को आव्यूहों से चलाता है: घुमाओ, पलटो, खींचो, दोहराओ। फ़ोटो ऐप झुकी तस्वीर को शियर और स्केल आव्यूह से सीधा करते हैं। ज़्यादा विमाओं में यही गणित त्रिविमीय ग्राफ़िक्स और रोबोट की भुजाएँ चलाता है।
डेटा साइंस में मॉडल अपने इनपुट आव्यूह रूपांतरण से ही मिलाता है। और सारणिक युगपत समीकरण हल करने, क्षेत्रफल निकालने, और चर बदलने पर समाकल के बदलते पैमाने में आता है।
परीक्षा कोना
बोर्ड परीक्षा और प्रवेश परीक्षा के लिए ये याद रखिए।
- बिंदु की छवि: आव्यूह को स्तंभ (x, y) से गुणा कीजिए।
- आव्यूह के स्तंभ î और ĵ की छवियाँ हैं। वर्णन से आव्यूह लिखने में इसका उपयोग कीजिए।
- det = ad − bc। det = 0 हो तो आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है, व्युत्क्रम नहीं।
- 2×2 का व्युत्क्रम: a और d बदलिए, b और c के चिह्न पलटिए, det से भाग दीजिए।
- क्षेत्रफल का गुणक |det| है; ऋणात्मक det दिशा पलट देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
2×2 आव्यूह तल के साथ क्या करता है?
वह एक तय रैखिक नियम से हर बिंदु को नई जगह ले जाता है। जाली की रेखाएँ सीधी और समांतर रहती हैं, मूलबिंदु स्थिर रहता है। तल घूम सकता है, परावर्तित हो सकता है, झुक सकता है, खिंच सकता है या चपटा हो सकता है।
2×2 आव्यूह के सारणिक का क्या अर्थ है?
यह इकाई वर्ग की छवि का चिह्नित क्षेत्रफल है, जिसका मान ad − bc है। मान बताता है कि क्षेत्रफल कितने गुना हुआ, और चिह्न बताता है कि तल पलटा या नहीं।
घूर्णन आव्यूह का सारणिक 1 क्यों होता है?
घूर्णन तल को न खींचता है, न पलटता है, इसलिए क्षेत्रफल और दिशा बनी रहती है। बीजगणित में: cos²θ + sin²θ = 1।
2×2 आव्यूह का व्युत्क्रम कब नहीं होता?
जब उसका सारणिक 0 हो। तब आव्यूह तल को एक रेखा पर दबा देता है, अलग बिंदु एक ही जगह गिरते हैं और प्रक्रिया पलटी नहीं जा सकती।
रूपांतरण का आव्यूह कैसे निकालें?
देखिए कि î = (1, 0) और ĵ = (0, 1) कहाँ गिरते हैं, फिर उन दोनों छवियों को पहले और दूसरे स्तंभ की तरह लिख दीजिए।
क्या आव्यूहों में PQ और QP बराबर होते हैं?
आम तौर पर नहीं। PQ का मतलब पहले Q, फिर P। क्रम बदलने पर अक्सर दूसरा रूपांतरण मिलता है, जैसा घुमाओ-फिर-परावर्तन के उदाहरण में दिखा।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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टाइलों से पूर्ण वर्ग बनाने की विधि देखें, द्विघात समीकरण के मूल और शीर्ष निकालें और जानें कि सूत्र क्यों काम करता है। मुफ़्त सिमुलेशन, हल किए उदाहरणों सहित।
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वृत्त को टुकड़ों में काटकर आयत बनाओ और देखो कि क्षेत्रफल πr² कैसे बनता है। परिधि, पाई, त्रिज्यखंड, चाप और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त इंटरैक्टिव सिमुलेशन।
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ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
छह ठोसों को 3D में घुमाइए, जाल खोलकर देखिए और शंकु का पानी बेलन में उड़ेलकर समझिए कि वह ठीक तीन बार में क्यों भरता है। सूत्रों और हल किए प्रश्नों के साथ निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 10
समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
स्लाइडर से त्रिभुज को बड़ा-छोटा करें और देखें कि कोण बराबर रहते हैं, भुजाओं का अनुपात k रहता है और क्षेत्रफल k² गुना होता है। AA, SSS, SAS नियमों और छाया के सवालों वाला मुफ़्त सिमुलेशन।
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निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
ग्रिड पर बिंदु खींचकर देखें कि दूरी सूत्र, मध्य-बिंदु, ढाल और विभाजन सूत्र कैसे बदलते हैं। लंब समद्विभाजक बिंदुपथ और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त निर्देशांक ज्यामिति सिमुलेशन।
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शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
द्वि-शंकु के आर-पार तल को झुकाइए और देखिए वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय कैसे बनता है। मानक समीकरण, नाभि और उत्केंद्रता के साथ मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 10 · 11
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
x², |x|, √x, sin x या 2^x चुनिए और a, b, h, k के स्लाइडर खींचिए। देखिए ग्राफ़ कैसे खिसकता, खिंचता, सिकुड़ता और पलटता है, पीछे फीके मूल ग्राफ़ के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
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अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
x², x³, sin x, eˣ या 1/x पर बिंदु P खींचिए और अंतर h को शून्य की ओर घटाइए। देखिए छेदक कैसे स्पर्श रेखा बनती है और उसकी ढाल अवकलज, नीचे अवकलज का ग्राफ़ भी। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
x², x³, sin x, eˣ या √x के नीचे के क्षेत्रफल को 100 तक पट्टियों में बाँटिए और बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु व समलंब योग की तुलना सटीक समाकलन से कीजिए। त्रुटि घटते देखिए। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
ε–δ परिभाषा से सीमा को आँखों से देखिए। फलन चुनिए, ε घटाइए और δ पट्टी को सिकुड़ते देखिए। बाएँ-दाएँ सीमा, छेद, sin x / x और छलाँग, जहाँ कोई δ नहीं चलता। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
दो त्रिविमीय सदिशों को खींचकर घुमाइए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, डॉट गुणन छाया और कोण बनकर, क्रॉस गुणन लंब तीर बनकर दिखेगा, जिसकी लंबाई क्षेत्रफल है। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
आर्गंड तल पर दो सम्मिश्र संख्याएँ खींचिए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, गुणनफल घुमाव और खिंचाव बनकर, संयुग्मी, घात सर्पिल बनकर और इकाई के मूल दिखेंगे। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 12
बाइनरी संख्या पद्धति: स्थानीय मान, रूपांतरण और जोड़
बिट पलटिए और देखिए दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल व हेक्स साथ बदलते हैं। 2 से भाग, 3-4 बिट के समूह और कैरी वाला बाइनरी जोड़, हल किए उदाहरणों के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन।
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प्रकाश का अपवर्तन
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भौतिकी
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विस्पंद: दो पास-पास के सुरों की धड़कन
भौतिकी
डॉप्लर प्रभाव: चलता स्रोत, चलता श्रोता और सोनिक बूम
भौतिकी
प्रिज़्म, प्रकाश का वर्ण-विक्षेपण और इंद्रधनुष
भौतिकी
किरख़ोफ़ के नियम: संधि नियम और लूप नियम
भौतिकी
व्हीटस्टोन सेतु और मीटर सेतु
भौतिकी
एकल झिरी से विवर्तन
भौतिकी
आँख के दोष और उनका निवारण
भौतिकी
प्रकाश का ध्रुवण: मैलस का नियम और ब्रूस्टर का नियम
भौतिकी
संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC समय स्थिरांक
भौतिकी
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ: छड़ चुंबक, धारावाही तार और परिनालिका
भौतिकी
एसी जनित्र
भौतिकी
ट्रांसफ़ॉर्मर
भौतिकी
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
भौतिकी
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
भौतिकी
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
भौतिकी
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
भौतिकी
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
भौतिकी
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
भौतिकी
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
रसायन विज्ञान
परमाणु की संरचना
रसायन विज्ञान
अम्ल, क्षारक और pH मान
रसायन विज्ञान
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास
रसायन विज्ञान
गैस नियम: बॉयल, चार्ल्स, गे-लुसाक, आवोगाद्रो और PV = nRT
रसायन विज्ञान
आयनिक बंध कैसे बनता है
रसायन विज्ञान
वैद्युत अपघटन और फैराडे के नियम
रसायन विज्ञान
सहसंयोजक बंध
रसायन विज्ञान
आवर्त सारणी की आवर्तिता
रसायन विज्ञान
अभिक्रिया की दर और संघट्ट सिद्धांत
रसायन विज्ञान
द्रव्य की अवस्थाएँ: ठोस, द्रव, गैस और तापन वक्र
रसायन विज्ञान
परमाणु कक्षक: s, p, d के आकार, क्वांटम संख्याएँ और नोड
रसायन विज्ञान
आणविक आकृतियाँ और VSEPR सिद्धांत: आबंध युग्म, एकाकी युग्म और कोण
रसायन विज्ञान
मोल अवधारणा: मोलर द्रव्यमान, आवोगाद्रो संख्या और मोलर आयतन
रसायन विज्ञान
विसरण और निःस्राव: ग्राहम का नियम
रसायन विज्ञान
रासायनिक समीकरण संतुलन: विधि, उदाहरण और अभ्यास
रसायन विज्ञान
रासायनिक साम्य: साम्य स्थिरांक Kc और ले शातेलिए का सिद्धांत
रसायन विज्ञान
अनुमापन: ब्यूरेट और सूचक से अज्ञात सांद्रता निकालना
रसायन विज्ञान
गैल्वेनिक सेल: डेनियल सेल, EMF और नर्स्ट समीकरण
रसायन विज्ञान
ऑक्सीकरण-अपचयन अभिक्रियाएँ: ऑक्सीकरण संख्या, इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण और अर्ध-अभिक्रिया
रसायन विज्ञान
हाइड्रोकार्बन: ऐल्केन, ऐल्कीन, ऐल्काइन और संरचनात्मक समावयवी 3D में
रसायन विज्ञान
प्रकार्यात्मक समूह: ऐल्कोहॉल, ऐल्डिहाइड, कीटोन, अम्ल, एस्टर और ऐमीन
रसायन विज्ञान
बहुलकीकरण: योगात्मक और संघनन बहुलक, पॉलिथीन और नायलॉन
रसायन विज्ञान
मिश्रण अलग करने की विधियाँ: निस्यंदन, आसवन, क्रोमैटोग्राफी, क्रिस्टलन
रसायन विज्ञान
क्रिस्टल जालक: SC, BCC और FCC एकक कोष्ठिका, संकुलन क्षमता और घनत्व
रसायन विज्ञान
रेडियोएक्टिवता: अल्फ़ा, बीटा, गामा क्षय और अर्ध-आयु
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान