नियंत्रण
फलन f(x)
कौन-सी ऊँचाई लें
मापन
- रीमान योग
- 5.9063
- सटीक समाकलन
- 9
- त्रुटि (योग − सटीक)
- −3.0938
- सापेक्ष त्रुटि
- 34.38%
- प्रति पट्टी चौड़ाई Δx
- 0.75
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- “फलन f(x)” से एक फलन चुनिए: x², x³, sin x, eˣ या √x। काला वक्र y = f(x) है। अक्ष पर दो नारंगी निशान उस अंतराल के सिरे a और b हैं जिसे आप नाप रहे हैं।
- रंगीन पट्टियाँ ही रीमान योग हैं। “पट्टियों की संख्या, n” स्लाइडर से 1 से 100 तक चुनिए। n = 4 से शुरू कीजिए और देखिए कि आयत वक्र के ऊपर निकल रहे हैं या कम पड़ रहे हैं।
- “कौन-सी ऊँचाई लें” चुनिए। बायाँ या दायाँ सिरा हर पट्टी के किनारे की ऊँचाई लेता है। मध्य बिंदु बीच की ऊँचाई। समलंब दोनों किनारों की ऊँचाई तिरछी रेखा से जोड़ता है।
- n स्लाइडर बढ़ाइए। “रीमान योग” और “सटीक समाकलन” के बीच की त्रुटि घटती है। देखिए किस नियम में सबसे तेज़ घटती है। प्ले दबाने पर n अपने आप बढ़ता है।
- a और b खींचकर अंतराल बदलिए। रंग चिह्न बताता है: नीली पट्टियाँ अक्ष के ऊपर, धनात्मक; लाल पट्टियाँ अक्ष के नीचे, ऋणात्मक, इसलिए योग शुद्ध क्षेत्रफल है।
- त्रुटि पढ़िए। “त्रुटि (योग − सटीक)” चिह्न के साथ आती है: धन का मतलब ज़्यादा आँका, ऋण का मतलब कम। “सापेक्ष त्रुटि” बताती है कि वह असली मान का कितना प्रतिशत है।
टेढ़े किनारे वाली आकृति का क्षेत्रफल
आयत और त्रिभुज के सूत्र हैं। टेढ़े किनारे वाली आकृति का कोई सूत्र नहीं। सोचिए, एक ओर सीधी सड़क और दूसरी ओर बलखाती नदी के बीच की ज़मीन का क्षेत्रफल कितना होगा? कोई सीधा सूत्र नहीं है। पर एक आसान तरकीब है: ज़मीन को खड़ी पतली पट्टियों में काट लीजिए।
हर पतली पट्टी लगभग आयत है, और आयत का क्षेत्रफल हम जानते हैं। सबको जोड़ने से पूरी ज़मीन का अनुमान मिलता है। पट्टियाँ और पतली करें तो अनुमान और बेहतर होता है। समाकलन का पूरा विचार यही है।
रीमान योग बनाना
अंतराल [a, b] और पट्टियों की संख्या n चुनिए। हर पट्टी की चौड़ाई बराबर है, Δx = (b − a) / n। हर पट्टी में एक नमूना बिंदु लीजिए, वहाँ वक्र की ऊँचाई पढ़िए और उसी चौड़ाई-ऊँचाई का आयत बनाइए। उसका क्षेत्रफल ऊँचाई × Δx है।
यहाँ [0, 3] पर f(x) = x² और n = 4 है। पट्टी की चौड़ाई Δx = 0.75। सटीक क्षेत्रफल 9 है, जिसे आगे मिलाएँगे। रीमान योग चारों आयतों के क्षेत्रफलों का कुल है।
Δx = (b − a) / n
Sₙ = f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + … + f(xₙ)·Δxx₁, x₂, … नमूना बिंदु हैं, हर पट्टी में एक
∫ (a से b) f(x) dx = lim (n → ∞) Sₙनिश्चित समाकल
ऊँचाई चुनने के चार तरीके
नियम बताता है कि पट्टी में कहाँ ऊँचाई पढ़नी है। अलग चुनाव से अलग उत्तर आता है, और हर तरीके का अपना स्वभाव है।
- बायाँ सिरा: पट्टी के बाएँ किनारे की ऊँचाई। चढ़ते वक्र पर हर आयत वक्र के नीचे रहता है, इसलिए योग कम आँकता है।
- दायाँ सिरा: दाएँ किनारे की ऊँचाई। चढ़ते वक्र पर आयत वक्र के ऊपर निकलता है, इसलिए योग ज़्यादा आँकता है।
- मध्य बिंदु: बीच की ऊँचाई। एक ओर की बढ़त और दूसरी ओर की कमी लगभग कट जाती है, इसलिए आम तौर पर बहुत सटीक।
- समलंब: बाएँ और दाएँ योग का औसत। तिरछा सिरा सपाट सिरे से वक्र के ज़्यादा पास रहता है।
एक उदाहरण पर चारों नियम
[0, 3] पर x² लेकर सिर्फ़ चार पट्टियों में चारों नियम। बायाँ योग 5.9063, दायाँ योग 12.6563, एक कम और एक ज़्यादा, सटीक मान 9। मध्य बिंदु और समलंब कहीं ज़्यादा पास हैं।
| नियम | योग | त्रुटि |
|---|---|---|
| बायाँ सिरा | 5.9063 | −3.0938 |
| दायाँ सिरा | 12.6563 | +3.6563 |
| मध्य बिंदु | 8.8594 | −0.1406 |
| समलंब | 9.2813 | +0.2813 |
ज़्यादा पट्टियाँ, कम त्रुटि
अब बायाँ नियम रखकर n बढ़ाइए। तालिका में योग, त्रुटि और त्रुटि × n है। आख़िरी स्तंभ −13.5 के पास टिकता है, यानी त्रुटि 1 ÷ n की दर से घटती है। पट्टियाँ दुगनी कीजिए तो त्रुटि आधी।
| n | बायाँ योग | त्रुटि | त्रुटि × n |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.0000 | −9.0000 | -9.000 |
| 2 | 3.3750 | −5.6250 | -11.250 |
| 4 | 5.9063 | −3.0938 | -12.375 |
| 10 | 7.6950 | −1.3050 | -13.050 |
| 100 | 8.8655 | −0.1346 | -13.455 |
अक्ष के ऊपर और नीचे: चिह्नित क्षेत्रफल
x-अक्ष के नीचे के आयत की ऊँचाई ऋणात्मक है, इसलिए उसका योगदान भी ऋणात्मक। रीमान योग और उससे बना निश्चित समाकल दोनों शुद्ध क्षेत्रफल हैं: ऊपर का क्षेत्र घटा नीचे का क्षेत्र। इसीलिए सिमुलेशन में ऊपर की पट्टियाँ नीली और नीचे की लाल हैं।
सामान्य कुल क्षेत्रफल चाहिए तो वक्र जहाँ अक्ष को काटता है वहाँ अंतराल बाँटिए और हर टुकड़े का परिमाण जोड़िए।
योग से समाकल तक
n को अनंत की ओर ले जाएँ तो पट्टियाँ अनंत पतली हो जाती हैं, योग एक संख्या पर टिकता है, वही निश्चित समाकल है। इस सीमा को हम हाथ से कम ही निकालते हैं। इसके बदले प्रतिअवकलज का उपयोग करते हैं: F′(x) = f(x) हो तो a से b तक समाकल F(b) − F(a) है।
सिमुलेशन “सटीक समाकलन” इसी से दिखाता है। x² का प्रतिअवकलज x³/3, x³ का x⁴/4, sin x का −cos x, eˣ का eˣ और √x का (2/3)x^(3/2) है।
∫ (a से b) f(x) dx = F(b) − F(a)जहाँ F′ = f
∫ x² dx = x³ / 3इसलिए [0, 3] पर x² का मान 27/3 = 9
सिमुलेशन में खुद करके देखिए
छह छोटे प्रयोग, हर एक मिनट का।
- [0, 3] पर x² और बायाँ नियम चुनिए। n को 1 से 100 तक खींचिए। n दुगुना करने पर त्रुटि का क्या होता है?
- मध्य बिंदु नियम पर n = 4 कीजिए। इसकी त्रुटि की तुलना बाएँ नियम के n = 4 से कीजिए। n = 8 पर?
- sin x और दायाँ नियम चुनिए। योग सटीक मान से ऊपर है या नीचे? तरंग का उतरता हिस्सा अंतराल में लेने पर यह क्यों बदलता है?
- x³ चुनकर a = −2 और b = 2 कीजिए। बाईं ओर पट्टियाँ लाल हैं। सटीक समाकल क्या है? क्यों?
- √x और बायाँ नियम चुनिए। 0 पर वक्र बहुत खड़ा है, इसलिए पास आना धीमा है। त्रुटि 0.05 से नीचे लाने में कितनी पट्टियाँ लगती हैं?
- eˣ चुनकर n = 10 पर बायाँ और दायाँ तुलना कीजिए। सटीक उत्तर दोनों के बीच है। समलंब योग कितना पास है?
हल सहित आठ प्रश्न
आठ आम प्रश्न। नीचे की हर संख्या सिमुलेशन के उन्हीं फलनों से निकाली गई है।
प्रश्न 1: [0, 3] पर x², चार पट्टियाँ
Δx = 0.75। बाएँ नियम में f का मान 0, 0.75, 1.5, 2.25 पर पढ़ा जाता है। चारों नियमों के योग ऊपर की तालिका में हैं: बायाँ 5.9063, दायाँ 12.6563। सटीक: 27 ÷ 3 = 9।
प्रश्न 2: बायाँ योग कितनी तेज़ी से पास आता है?
“ज़्यादा पट्टियाँ, कम त्रुटि” की तालिका देखिए: n = 1 पर अनुमान बहुत खराब, n = 10 पर त्रुटि लगभग 1.3, n = 100 पर लगभग 0.135। त्रुटि लगभग ठीक 13.5 ÷ n है। n = 1000 पर त्रुटि मन में निकालिए: लगभग 0.0135।
प्रश्न 3: मध्य बिंदु बनाम समलंब
[0, 3] पर x², n = 4: मध्य बिंदु 8.8594 (त्रुटि −0.1406), समलंब 9.2813 (त्रुटि +0.2813)। त्रुटियों के चिह्न उलटे हैं और समलंब की लगभग दुगनी। दो भाग मध्य बिंदु और एक भाग समलंब मिलाकर (2M + T) ÷ 3 से 9.0000 मिलता है, बिल्कुल सटीक। यही सिम्पसन नियम का विचार है।
प्रश्न 4: sin x, मध्य बिंदु और समलंब
[0, 3] पर सटीक क्षेत्रफल 1 − cos 3 = 1.9900। छह पट्टियों का मध्य बिंदु योग 2.0109, त्रुटि +0.0209। [0, π] पर सटीक क्षेत्रफल 2। दस पट्टियों का समलंब योग 1.9835, त्रुटि −0.0165। उभरे हुए वक्र पर समलंब हमेशा कम आँकता है, क्योंकि जीवाएँ वक्र के नीचे रहती हैं।
प्रश्न 5: [−2, 2] पर x³, शुद्ध क्षेत्रफल
ग्राफ़ विषम है: बाईं ओर का नीचे का क्षेत्र दाईं ओर के ऊपर के क्षेत्र को काट देता है, इसलिए सटीक समाकल 0 है। चार पट्टियों में बायाँ योग -8, दायाँ 8, मध्य बिंदु 0। बायाँ और दायाँ बराबर और उलटे हैं, और सममिति के कारण मध्य बिंदु सटीक। बिना चिह्न का कुल क्षेत्रफल 2 × 4 है।
प्रश्न 6: [0, 2] पर eˣ, चढ़ता वक्र
दस पट्टियों में बायाँ योग 5.7714 और दायाँ 7.0492। सटीक मान e² − 1 = 6.3891 दोनों के बीच है, जैसा चढ़ते वक्र पर होना चाहिए। समलंब 6.4103 दोनों का औसत है और eˣ उत्तल होने से सटीक मान से थोड़ा ऊपर है।
प्रश्न 7: [0, 4] पर √x, शुरुआत में धीमा
सटीक: (2/3) × 8 = 5.3333। √x, 0 के पास बहुत तेज़ चढ़ता है, जिससे तेज़ अभिसरण बिगड़ता है। तालिका में तीन n के लिए बाएँ और मध्य बिंदु नियम की त्रुटियाँ हैं।
| n | बाएँ की त्रुटि | मध्य बिंदु की त्रुटि |
|---|---|---|
| 4 | −1.1871 | +0.0505 |
| 16 | −0.2747 | +0.0070 |
| 100 | −0.0416 | +0.0005 |
प्रश्न 8: त्रुटि 0.01 से कम रखने को कितनी पट्टियाँ?
[0, 3] पर x² का समलंब नियम। त्रुटि लगभग 4.5 ÷ n² है, इसलिए 4.5 ÷ n² < 0.01 चाहिए, यानी n > 21.2। जाँच: n = 21 पर त्रुटि +0.0102, थोड़ी कम पड़ती है; n = 22 पर त्रुटि +0.0093, पट्टी की चौड़ाई 0.1364।
आम गलतियाँ
हर साल अंक कटवाने वाली चार चूकें।
- पट्टियों की जगह बिंदुओं की संख्या लेना। Δx = (b − a) ÷ पट्टियों की संख्या।
- Δx से गुणा करना भूल जाना। सिर्फ़ ऊँचाइयाँ जोड़ने से क्षेत्रफल नहीं बनता।
- बाएँ नियम में दायाँ सिरा पढ़ लेना (या उलटा)। पहले नमूना बिंदु लिख लीजिए।
- ऋणात्मक समाकल को गलती समझना। इसका मतलब बस इतना है कि अक्ष के नीचे क्षेत्र ज़्यादा है।
रीमान योग कहाँ काम आता है
वेग-समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल तय की गई दूरी है, और कार का ट्रिप कंप्यूटर पतली समय-पट्टियाँ जोड़कर यही निकालता है। कुल बारिश, घर की खपत की ऊर्जा, बदलते बल का कार्य, खून में दवा की मात्रा, सब वक्रों के नीचे के क्षेत्र हैं। जिस फलन का सुंदर प्रतिअवकलज नहीं होता, वहाँ कंप्यूटर इन्हीं नियमों के उन्नत रूप इस्तेमाल करते हैं।
परीक्षा के लिए
इस अध्याय पर कक्षा 11-12 और पहले वर्ष के आम प्रश्न।
- दिए गए आयतों या समलंबों से क्षेत्रफल का अनुमान लगाना और बताना कि वह ज़्यादा है या कम।
- दिए गए n, a, b के लिए Σ चिह्न में योग लिखना।
- प्रतिअवकलज से निश्चित समाकल निकालकर योग से तुलना करना।
- बताना कि n दुगुना होने पर त्रुटि कैसे बदलती है।
दोहराव का सार
Δx = (b − a) / n। ऊँचाई × Δx का योग। बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु, समलंब। n बढ़ने पर त्रुटि घटती है: बाएँ-दाएँ में 1/n की दर से, मध्य बिंदु और समलंब में 1/n² की दर से। योगों की सीमा ही निश्चित समाकल है, F(b) − F(a)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
रीमान योग क्या है?
अंतराल को पट्टियों में बाँटकर हर पट्टी को आयत मानकर क्षेत्रफल जोड़ने से मिलने वाला वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का अनुमान।
बाएँ, दाएँ और मध्य बिंदु योग में क्या अंतर है?
बस इतना कि आयत की ऊँचाई कहाँ से पढ़ी जाती है: हर पट्टी के बाएँ किनारे, दाएँ किनारे या बीच से। तीनों में मध्य बिंदु आम तौर पर सबसे सटीक है।
n बढ़ने पर योग बेहतर क्यों होता है?
पतली पट्टियाँ वक्र के ज़्यादा पास बैठती हैं, इसलिए हर आयत और वक्र के बीच का अंतर घटता है। सीमा में वह शून्य हो जाता है और योग समाकल के बराबर हो जाता है।
रीमान योग का समाकल से क्या संबंध है?
निश्चित समाकल, n के अनंत की ओर जाने पर रीमान योगों की सीमा है। व्यवहार में हम प्रतिअवकलज से F(b) − F(a) निकालते हैं।
मेरा योग ऋणात्मक क्यों है?
x-अक्ष के नीचे की पट्टियाँ ऋणात्मक क्षेत्रफल गिनी जाती हैं। अक्ष के नीचे ज़्यादा क्षेत्र हो तो शुद्ध परिणाम ऋणात्मक आता है।
बायाँ योग कब कम आँकता है?
जब फलन पूरे अंतराल में बढ़ता हो। घटता हो तो बायाँ योग ज़्यादा आँकता है।
परीक्षा में कौन-सा नियम लूँ?
जिसका नाम प्रश्न में हो। चुनना हो तो उतनी ही पट्टियों में समलंब या मध्य बिंदु बेहतर उत्तर देता है। नियम का नाम लिखिए और तालिका दिखाइए।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
HSC
HSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
Admission
Engineering admission test preparation
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Class 9-10 Mathematics textbook
SSC
SSC Mathematics: syllabus and preparation
SSC
SSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
Textbook
Class 9-10 Higher Mathematics textbook
Admission
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SSC
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GRE Quantitative Reasoning guide
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कक्षा 9 · 12
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गैस नियम: बॉयल, चार्ल्स, गे-लुसाक, आवोगाद्रो और PV = nRT
रसायन विज्ञान
आयनिक बंध कैसे बनता है
रसायन विज्ञान
वैद्युत अपघटन और फैराडे के नियम
रसायन विज्ञान
सहसंयोजक बंध
रसायन विज्ञान
आवर्त सारणी की आवर्तिता
रसायन विज्ञान
अभिक्रिया की दर और संघट्ट सिद्धांत
रसायन विज्ञान
द्रव्य की अवस्थाएँ: ठोस, द्रव, गैस और तापन वक्र
रसायन विज्ञान
परमाणु कक्षक: s, p, d के आकार, क्वांटम संख्याएँ और नोड
रसायन विज्ञान
आणविक आकृतियाँ और VSEPR सिद्धांत: आबंध युग्म, एकाकी युग्म और कोण
रसायन विज्ञान
मोल अवधारणा: मोलर द्रव्यमान, आवोगाद्रो संख्या और मोलर आयतन
रसायन विज्ञान
विसरण और निःस्राव: ग्राहम का नियम
रसायन विज्ञान
रासायनिक समीकरण संतुलन: विधि, उदाहरण और अभ्यास
रसायन विज्ञान
रासायनिक साम्य: साम्य स्थिरांक Kc और ले शातेलिए का सिद्धांत
रसायन विज्ञान
अनुमापन: ब्यूरेट और सूचक से अज्ञात सांद्रता निकालना
रसायन विज्ञान
गैल्वेनिक सेल: डेनियल सेल, EMF और नर्स्ट समीकरण
रसायन विज्ञान
ऑक्सीकरण-अपचयन अभिक्रियाएँ: ऑक्सीकरण संख्या, इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण और अर्ध-अभिक्रिया
रसायन विज्ञान
हाइड्रोकार्बन: ऐल्केन, ऐल्कीन, ऐल्काइन और संरचनात्मक समावयवी 3D में
रसायन विज्ञान
प्रकार्यात्मक समूह: ऐल्कोहॉल, ऐल्डिहाइड, कीटोन, अम्ल, एस्टर और ऐमीन
रसायन विज्ञान
बहुलकीकरण: योगात्मक और संघनन बहुलक, पॉलिथीन और नायलॉन
रसायन विज्ञान
मिश्रण अलग करने की विधियाँ: निस्यंदन, आसवन, क्रोमैटोग्राफी, क्रिस्टलन
रसायन विज्ञान
क्रिस्टल जालक: SC, BCC और FCC एकक कोष्ठिका, संकुलन क्षमता और घनत्व
रसायन विज्ञान
रेडियोएक्टिवता: अल्फ़ा, बीटा, गामा क्षय और अर्ध-आयु
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान