रेखाएँ खींचिए और प्रतिच्छेद बिंदु से समीकरणों का हल पढ़िए

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

1. पहले बिना छुए देखिए: “एक रेखा · y = mx + c” मोड में स्क्रीन पर y = 2x − 4 है। यह x-अक्ष को (2, 0) और y-अक्ष को (0, −4) पर काटती है और कोण लगभग 63.43° है।
2. ढाल m का स्लाइडर बदलिए: रेखा खड़ी या सपाट होती है, और m ऋणात्मक हो तो दाईं ओर नीचे उतरती है। c का स्लाइडर पूरी रेखा को ऊपर-नीचे खिसकाता है, ढाल नहीं बदलता।
3. “दो बिंदु” मोड चुनकर दोनों बिंदुओं को खींचिए। ढाल तुरंत बदलता है। दोनों बिंदुओं को एक ही x पर रखें तो रेखा ऊर्ध्वाधर हो जाती है और ढाल “अपरिभाषित” लिखा आता है।
4. अब “दो रेखाएँ” मोड। शुरू में 2x + 3y = 12 और x − y = 1 खिंचे हैं। नारंगी बिंदु (3, 2) ही हल है, और “हल का प्रकार” में “एक अद्वितीय हल” लिखा है।
5. a₂ और b₂ बदलकर दूसरी रेखा को पहली के समांतर बनाइए: प्रतिच्छेद बिंदु गायब हो जाता है और प्रकार “कोई हल नहीं” हो जाता है। फिर c₂ ऐसा रखिए कि रेखाएँ एक हो जाएँ, तब प्रकार “अनंत हल” होगा।
6. “हल चरण-दर-चरण दिखाएँ” चालू रखिए। नीचे आपकी चुनी संख्याओं से ढाल, अंतःखंड, कोण, अनुपात की जाँच और वज्रगुणन का हल आता है। “दिखने वाला परिसर” बढ़ाकर दूर के प्रतिच्छेद बिंदु भी पकड़िए।

दो रिक्शे वाले और वह दूरी जहाँ किराया बराबर हो जाता है

घर के बाहर दो रिक्शे वाले खड़े हैं। पहला कहता है, “पहले 20 रुपये दीजिए, फिर 10 रुपये प्रति किलोमीटर।” दूसरा कहता है, “मेरा कोई अग्रिम शुल्क नहीं, 15 रुपये प्रति किलोमीटर।” किसके रिक्शे में बैठना फायदे का है?

जवाब दूरी पर निर्भर है। पास जाना हो तो दूसरा सस्ता है, क्योंकि पहले का अग्रिम शुल्क भारी पड़ता है। दूर जाना हो तो पहला सस्ता है, क्योंकि उसकी प्रति किलोमीटर दर कम है। बीच में एक दूरी ऐसी है जहाँ दोनों का किराया ठीक बराबर होता है। उसे निकालने के लिए किराया y और दूरी x मानकर दो समीकरण लिखिए: y = 10x + 20 और y = 15x।

दोनों रैखिक हैं, इसलिए आलेख में दो सरल रेखाएँ बनती हैं। जहाँ रेखाएँ कटती हैं, वहाँ एक ही x के लिए दोनों y बराबर हैं, यानी किराया बराबर। हल करने पर 4 किलोमीटर पर दोनों का किराया 60 रुपये आता है। इससे कम दूरी पर दूसरा, ज़्यादा पर पहला सस्ता है।

यह पूरा पन्ना उसी प्रतिच्छेद बिंदु को खोजने का है। ऊपर के सिमुलेशन में आप रेखा खींचेंगे, ढाल और अंतःखंड समझेंगे, फिर दो समीकरण एक ही ग्रिड पर डालकर हल पढ़ेंगे। यह भी देखेंगे कि दो रेखाएँ कभी क्यों नहीं मिलतीं और कभी पूरी तरह क्यों मिल जाती हैं।

शुरू से: निर्देशांक तल

कागज़ पर एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचिए। जहाँ वे कटती हैं वह मूल बिंदु है, जिसे O लिखते हैं। क्षैतिज रेखा x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा y-अक्ष है। मूल बिंदु से दाएँ और ऊपर संख्याएँ धनात्मक, बाएँ और नीचे ऋणात्मक होती हैं।

तल के किसी भी बिंदु को दो संख्याओं (x, y) से पहचाना जाता है। पहली संख्या बताती है कि मूल बिंदु से कितना दाएँ (या बाएँ), दूसरी बताती है कि कितना ऊपर (या नीचे)। इसे क्रमित युग्म या निर्देशांक कहते हैं। (3, 2) का मतलब 3 कदम दाएँ, 2 ऊपर। (2, 3) अलग बिंदु है, इसलिए क्रम मायने रखता है।

अक्ष तल को चार भागों में बाँटते हैं, जिन्हें चतुर्थांश कहते हैं। पहले में x और y दोनों धनात्मक, दूसरे में x ऋणात्मक और y धनात्मक, तीसरे में दोनों ऋणात्मक, चौथे में x धनात्मक और y ऋणात्मक। x-अक्ष के हर बिंदु पर y = 0 और y-अक्ष के हर बिंदु पर x = 0 होता है। यही दो तथ्य अंतःखंड निकालने में काम आएँगे।

सिमुलेशन का ग्राफ़ पेपर ठीक यही है: बीच में मूल बिंदु और हर खाना एक इकाई। “दिखने वाला परिसर” स्लाइडर से चित्र छोटा-बड़ा होता है, ताकि छोटी संख्याएँ बड़े खानों में दिखें या दूर का प्रतिच्छेद बिंदु पकड़ में आए।

हर रैखिक समीकरण एक सरल रेखा है

समीकरण ax + by = c (जहाँ a और b दोनों शून्य नहीं) के अनंत हल होते हैं। x + y = 5 के हल (1, 4), (2, 3), (5, 0), (7, −2) और (0.5, 4.5) भी हैं। कोई भी x चुनिए, y अपने आप तय हो जाता है।

इन हलों को बिंदुओं की तरह लगाइए तो सब एक ही सरल रेखा पर आते हैं। उलटा भी सच है: उस रेखा का हर बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है। इसलिए समीकरण और रेखा एक ही चीज़ के दो रूप हैं, और इसी कारण इसे रैखिक समीकरण कहते हैं।

इससे एक काम की बात निकलती है। रेखा खींचने के लिए केवल दो बिंदु चाहिए, क्योंकि दो भिन्न बिंदुओं से ठीक एक सरल रेखा गुज़रती है। जाँच के लिए तीसरा बिंदु भी निकाल लेना अच्छी आदत है। तीनों एक सीध में न आएँ तो कहीं गणना की गलती है।

दो समीकरणों को साथ लेने पर वह युग्म या समीकरण निकाय कहलाता है। निकाय का हल वह (x, y) है जो दोनों को संतुष्ट करे। आलेख में यह वह बिंदु है जो दोनों रेखाओं पर हो, और दो रेखाओं पर एक साथ वही बिंदु हो सकता है जहाँ वे कटती हैं।

ज़रूरी शब्द एक जगह

परीक्षा के ज्ञान-आधारित प्रश्न सीधे इन्हीं शब्दों से आते हैं, इसलिए तालिका अच्छी तरह देख लें।

ढाल: दो बिंदुओं से पढ़िए

ढाल बताता है कि रेखा कितनी खड़ी है। सीढ़ी की सोचिए: हर कदम पर आगे जितना बढ़ें वह क्षैतिज अंतर (run) है और ऊपर जितना चढ़ें वह ऊर्ध्वाधर अंतर (rise)। ढाल = ऊर्ध्वाधर अंतर ÷ क्षैतिज अंतर। सिमुलेशन का धूसर बिंदीदार त्रिभुज यही दोनों लंबाइयाँ दिखाता है।

रेखा पर कोई दो बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) हों तो m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)। शुरुआती बिंदु (−2, −3) और (2, 5) लें तो ऊर्ध्वाधर अंतर 5 − (−3) = 8, क्षैतिज अंतर 2 − (−2) = 4, इसलिए m = 8/4 = 2।

बिंदुओं का क्रम बदलने से ढाल नहीं बदलता, क्योंकि ऊपर और नीचे दोनों के चिह्न एक साथ पलट जाते हैं। बस एक नियम है: अंश और हर में घटाना एक ही क्रम में हो। (y₂ − y₁) के नीचे (x₁ − x₂) लिख दिया तो चिह्न गलत आएगा।

ढाल का चिह्न दिशा बताता है। ढाल जितना बड़ा, रेखा उतनी खड़ी। ढाल शून्य हो तो रेखा क्षैतिज है। क्षैतिज अंतर शून्य हो तो भाग नहीं हो सकता, इसलिए ऊर्ध्वाधर रेखा का ढाल अपरिभाषित है। सिमुलेशन में दोनों बिंदुओं को एक ही x पर लाकर यह खुद देखिए।

ढाल का कोण से भी संबंध है। रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा से जो कोण θ बनाती है, उसका tan θ ही ढाल है। m = 1 हो तो θ = 45°। शुरुआती रेखा में m = 2, इसलिए θ ≈ 63.43°। ऋणात्मक ढाल पर कोण भी ऋणात्मक है, यानी रेखा दाईं ओर नीचे उतरती है।

रेखा के समीकरण के रूप

एक ही रेखा को कई तरह लिखा जा सकता है, और अधिकतर काम एक रूप से दूसरे में जाने का होता है। सबसे ज़्यादा काम आता है ढाल-अंतःखंड रूप y = mx + c। यहाँ m ढाल और c, y-अंतःखंड है, यानी x = 0 पर मिलने वाला y। रेखा y-अक्ष को (0, c) पर काटती है।

समीकरण युग्म आमतौर पर मानक रूप ax + by = c में मिलते हैं। इसे y के लिए हल करें तो y = (−a/b)x + c/b, इसलिए ढाल −a/b और y-अंतःखंड c/b। x-अंतःखंड के लिए y = 0 रखिए: x = c/a। शुरुआती पहला समीकरण 2x + 3y = 12: ढाल −2/3 = −2/3, अंतःखंड (6, 0) और (0, 4)।

अंतःखंड रूप x/p + y/q = 1 आलेख खींचने में सुविधाजनक है। रेखा x-अक्ष को (p, 0) और y-अक्ष को (0, q) पर काटती है। मानक रूप को c से भाग देकर यह मिल जाता है। अक्षों पर दो बिंदु लगाइए और जोड़ दीजिए।

ढाल और एक बिंदु (x₀, y₀) पता हो तो बिंदु-ढाल रूप y − y₀ = m(x − x₀)। दो बिंदु हों तो पहले ढाल निकालिए, फिर यह रूप लगाइए। ऊर्ध्वाधर रेखा का अलग रूप x = k है, जिसका ढाल नहीं होता। उसे y = mx + c में नहीं लिख सकते, इसलिए b = 0 होने पर अलग से सोचना पड़ता है।

आलेख से युग्म का हल, चरण-दर-चरण

मान लीजिए 2x + 3y = 12 और x − y = 1 हल करने हैं। चरण हमेशा वही रहते हैं, इसलिए एक बार सीखना काफ़ी है।

• हर समीकरण के लिए अलग मान-तालिका बनाइए। x के ऐसे मान लें जिनसे y पूर्णांक आए।
• ग्राफ़ पेपर पर दोनों अक्ष खींचकर सुविधाजनक पैमाना चुनिए, जैसे एक छोटा खाना एक इकाई।
• पहले समीकरण के बिंदु लगाइए, पैमाने से रेखा खींचकर दोनों ओर बढ़ाइए।
• उन्हीं अक्षों पर दूसरे समीकरण के बिंदु लगाकर दूसरी रेखा खींचिए।
• देखिए रेखाएँ कहाँ कटती हैं और उस बिंदु के निर्देशांक पढ़िए। वही हल है।
• हल को दोनों समीकरणों में रखकर जाँच लीजिए।

तीन तरह के हल और अनुपात की जाँच

तल में दो रेखाएँ केवल तीन तरह से हो सकती हैं, और यही निकाय के तीन परिणाम हैं। (1) एक बिंदु पर कटती हैं: अद्वितीय हल, निकाय संगत और स्वतंत्र। (2) समांतर हैं और कभी नहीं मिलतीं: कोई हल नहीं, निकाय असंगत। (3) एक ही रेखा हैं: अनंत हल, निकाय संगत पर आश्रित।

चित्र बनाए बिना भी यह पता चल सकता है, गुणांकों के अनुपात से। a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ में a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ की तुलना कीजिए। a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो तो ढाल अलग हैं, इसलिए रेखाएँ अवश्य कटेंगी। a₁/a₂ = b₁/b₂ हो तो ढाल बराबर हैं, इसलिए रेखाएँ समांतर या संपाती हैं। तब c₁/c₂ तय करता है: भिन्न हो तो समांतर, बराबर हो तो संपाती।

शुरुआती युग्म में a₁/a₂ = 2 और b₁/b₂ = −3। दोनों अलग हैं, इसलिए रेखाएँ कटेंगी। सिमुलेशन के मापन पैनल में तीनों अनुपात और a₁b₂ − a₂b₁ (यहाँ −5) हमेशा दिखते हैं। यह शून्य न हो तो ठीक एक हल होता है।

बीजगणितीय रूप वज्रगुणन है: D = a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 हो तो x = (c₁b₂ − c₂b₁) / D और y = (a₁c₂ − a₂c₁) / D। शुरुआती युग्म में D = −5, x = −15/(−5) = 3 और y = −10/(−5) = 2। आलेख के उत्तर से मेल खाता है।

सिमुलेशन में खुद करके देखिए

हर प्रयोग एक-दो मिनट का है। पहले अनुमान लगाइए, फिर मिलाइए।

हल किए गए उदाहरण (सभी संख्याएँ गणना से)

हर प्रश्न परीक्षा में लिखे जाने वाले चरणों में सजाया है। उदाहरण 1 सिमुलेशन की शुरुआती रेखा है, 2 और 3 समीकरण युग्म।

वे गलतियाँ जो सब करते हैं

इनसे अंक कटते हैं, इसलिए पहले से सावधान रहिए।

• क्रमित युग्म उलटा लिखना: (2, 3) और (3, 2) अलग बिंदु हैं, पहले x आता है।
• ढाल के सूत्र में बिंदुओं का क्रम गड़बड़ा देना। जो बिंदु अंश में पहले है, वही हर में भी पहले होना चाहिए।
• ax + by = c का ढाल a/b मान लेना। सही −a/b है, चिह्न मायने रखता है।
• समांतर रेखाओं के लिए “अनंत हल” लिख देना, या पहले दो अनुपात बराबर होने पर तीसरा देखना भूल जाना।
• x-अंतःखंड के लिए x = 0 रखना। x-अंतःखंड के लिए y = 0 रखना होता है।
• आलेख से हल पढ़कर उसे दोनों समीकरणों में रखकर जाँचना भूल जाना।
• दोनों अक्षों पर अलग-अलग पैमाना लेना, जिससे ढाल बिगड़ा दिखता है।
• रेखा को छोटा टुकड़ा खींचना। रेखा को दोनों ओर बढ़ाइए, वरना प्रतिच्छेद बिंदु छूट सकता है।
• ऊर्ध्वाधर रेखा को y = mx + c में ज़बरदस्ती बिठाना। उसका ढाल नहीं होता, समीकरण x = k है।

रोज़मर्रा की ज़िंदगी में रैखिक समीकरण

आलेख और प्रतिच्छेद बिंदु हमारे रोज़ के कई फ़ैसलों के पीछे छिपे हैं:

• मोबाइल प्लान चुनना: एक में मासिक शुल्क ज़्यादा और प्रति मिनट दर कम, दूसरे में उलटा। आपके इस्तेमाल पर कौन सस्ता है, यह कटान बिंदु बताता है।
• टैक्सी और राइड-शेयर का किराया: बुकिंग शुल्क और प्रति किलोमीटर दर मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं।
• व्यापार का सम-विच्छेद बिंदु: आय की रेखा और लागत की रेखा जहाँ कटती हैं, वहीं से लाभ शुरू होता है।
• सड़क या रैंप की ढलान: ढाल जितना ज़्यादा, चढ़ाई उतनी कठिन, इसीलिए व्हीलचेयर रैंप का ढाल कम रखा जाता है।
• गति: दूरी-समय आलेख में ढाल गति होता है, और दो रेखाओं का मिलना यानी दो यात्री एक ही समय एक ही जगह पर हैं।
• फ़ोन की बैटरी बनाम चलने के घंटे: सीधी रेखा का रुझान देखकर अंदाज़ा लगता है कि बैटरी कितनी देर चलेगी।

परीक्षा की तैयारी: कक्षा 10 (CBSE)

कक्षा 10 के अध्याय “दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म” में आलेख विधि से हल, अनुपात से संगत-असंगत की पहचान, और प्रतिस्थापन, विलोपन व वज्रगुणन विधियाँ आती हैं। एक या दो अंक के प्रश्न अनुपात देखकर प्रकार पूछते हैं, जैसे “k के किस मान पर निकाय का कोई हल नहीं होगा।”

तीन और चार अंक के प्रश्नों में अक्सर शब्द-समस्या आती है: दो संख्याएँ, किराया, आयु, कलम-कॉपी। उसे दो समीकरणों में बदलकर हल करना होता है। आलेख वाले प्रश्न में पैमाना, अक्षों के नाम और बिंदुओं के नाम लिखना अंक दिलाता है। कभी-कभी रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल भी पूछा जाता है।

बहुविकल्पीय के लिए याद रखिए: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ पर एक हल, तीनों अनुपात बराबर हों तो अनंत, पहले दो बराबर और तीसरा अलग हो तो कोई नहीं। ax + by = c का ढाल −a/b, x-अंतःखंड c/a और y-अंतःखंड c/b है। ऊर्ध्वाधर रेखा का ढाल अपरिभाषित और क्षैतिज रेखा का शून्य होता है।

एक पन्ने में दोहराव

परीक्षा से पहले की रात बस इतना देख लीजिए:

• ax + by = c का आलेख सरल रेखा है। खींचने को दो बिंदु काफ़ी हैं, तीसरा जाँच के लिए।
• ढाल m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan θ = −a/b।
• y = mx + c में m ढाल और c, y-अंतःखंड है। x-अंतःखंड के लिए y = 0 रखें।
• समीकरण युग्म का हल दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु है।
• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂: एक हल, संगत, स्वतंत्र।
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂: समांतर, कोई हल नहीं, असंगत।
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂: संपाती, अनंत हल, आश्रित।
• वज्रगुणन: x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D, y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D, D = a₁b₂ − a₂b₁।
• ऊर्ध्वाधर रेखा x = k का ढाल अपरिभाषित है। क्षैतिज रेखा y = k का ढाल शून्य है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न