नियंत्रण
ठोस चुनें
दृश्य
मापन
- आयतन = ⅓πr²h
- 37.70घन इकाई
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
- 47.12वर्ग इकाई
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(r + l)
- 75.40वर्ग इकाई
- तिर्यक ऊँचाई, l = √(r² + h²)
- 5.00इकाई
- त्रिज्यखंड का कोण
- 216.0°
- इकाई सेमी हो तो लीटर
- 0.038
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- सिमुलेशन त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 इकाई के शंकु से शुरू होता है। वह अपने आप घूमता है; खींचकर या तीर कुंजियाँ दबाकर किसी भी तरफ़ से देखें। धराशायी रेखाएँ मापी गई लंबाइयाँ हैं: r, h और तिर्यक ऊँचाई l = 5।
- बटनों से दूसरा ठोस चुनें: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला या अर्धगोला। हर एक के अपने स्लाइडर हैं (भुजा, लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई या त्रिज्या)। मापन पैनल में आयतन, वक्र (या पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल एक साथ दिखते हैं और स्लाइडर खींचते ही बदलते हैं।
- “तार का ढाँचा” चुनें तो ठोस के आर-पार दिखता है; फलक और किनारे गिन सकते हैं। किसी कोण को देर तक देखना हो तो एनिमेशन रोक दें।
- दृश्य बदलकर “जाल खोलकर देखें” चुनें। फलक समतल नक़्शे में बिछ जाते हैं: शंकु में एक वृत्त और 216° कोण का त्रिज्यखंड; बेलन में दो वृत्त और 18.85 चौड़ा आयत। समतल टुकड़ों के क्षेत्रफल जोड़ने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल मिलता है।
- “पानी उड़ेलना” दृश्य में शंकु का पानी समान त्रिज्या और ऊँचाई के बेलन को हर बार एक-तिहाई भरता है। गोले वाला प्रयोग चुनें तो गोला अपने परिगत बेलन का ठीक दो-तिहाई भरता है।
- उड़ेलने वाले स्लाइडर से कहीं भी रुकें, फिर मापन में भरा हुआ अंश पढ़ें। r या h बदलें: बेलन का आयतन बदलेगा, पर अंश वही रहेंगे।
आइसक्रीम कोन इतना बड़ा दिखता है, पर समाता इतना कम क्यों है?
समान मुँह और समान ऊँचाई का एक काग़ज़ का गिलास और एक आइसक्रीम कोन लीजिए। कोन को पानी से भरकर गिलास में उड़ेलिए। गिलास नहीं भरा। दूसरी बार उड़ेलिए: फिर भी नहीं भरा। तीसरी बार में ही पानी किनारे तक पहुँचा। सिमुलेशन में त्रिज्या 3, ऊँचाई 4 इकाई के शंकु से यही होता है: शंकु का आयतन 37.70, बेलन का 113.10, और 113.10 ÷ 37.70 = 3।
यह “एक-तिहाई” संयोग नहीं है, और यह इस अध्याय का सबसे काम का तथ्य है। यानी बेलन का सूत्र एक बार सीख लें, शंकु के लिए तीन से भाग दे दें। इस पृष्ठ पर आप पहले इसे देखेंगे, फिर कारण समझेंगे, फिर परीक्षा और असली ज़िंदगी के प्रश्न हल करेंगे।
आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल, बिल्कुल शुरू से
एक लकड़ी का गुटका सोचिए। आयतन यह है कि उसके अंदर कितने इकाई घन समा सकते हैं। जिस गुटके की लंबाई 4, चौड़ाई 3 और ऊँचाई 2 है, उसमें 4 × 3 × 2 = 24 इकाई घन समाते हैं, इसलिए आयतन 24 घन इकाई। तीन लंबाइयाँ गुणा की हैं, इसीलिए इकाई घन है।
अब उसी गुटके को उपहार के काग़ज़ में लपेटने की सोचिए। जितना काग़ज़ लगेगा वही पृष्ठीय क्षेत्रफल है: हर फलक का क्षेत्रफल जोड़कर। फलक समतल हैं, इसलिए माप वर्ग इकाइयों में: वर्ग सेंटीमीटर, वर्ग मीटर। पृष्ठीय क्षेत्रफल ठोस की त्वचा का माप है, आयतन उसके भीतर की जगह का।
कुछ ठोसों की सतह मुड़ी होती है। डिब्बे का ढक्कन और तली समतल हैं, दीवार मुड़ी हुई। केवल मुड़ी दीवार का क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कहलाता है। सब मिलाकर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल। घन या घनाभ में ऊपर-नीचे छोड़कर चारों दीवारों के क्षेत्रफल को पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कहते हैं।
जो शब्द आपके सामने आएँगे
यह सूची पास रखें। अलग-अलग किताबों में एक ही विचार के नाम थोड़े अलग हो सकते हैं।
| शब्द | अर्थ |
|---|---|
| आयतन | ठोस के भीतर की जगह, घन इकाइयों में (घन सेमी, घन मीटर) |
| वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल | केवल मुड़े हुए भाग का क्षेत्रफल, जैसे डिब्बे की दीवार |
| पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल | घन या घनाभ की चारों बगल की दीवारों का क्षेत्रफल, ऊपर-नीचे के बिना |
| कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल | मुड़े और समतल, सभी पृष्ठों का कुल क्षेत्रफल |
| त्रिज्या (r) | वृत्त या गोले के केंद्र से किनारे तक की दूरी |
| ऊँचाई (h) | आधार से ऊपरी सिरे या शीर्ष तक की सीधी लंबवत दूरी |
| तिर्यक ऊँचाई (l) | शंकु की ढलान वाली दीवार के साथ किनारे से शीर्ष तक की लंबाई |
| जाल (नेट) | ठोस को किनारों पर काटकर खोलने से मिलने वाला समतल नक़्शा |
| अर्धगोला | आधा गोला: एक वक्र पृष्ठ और एक समतल वृत्ताकार पृष्ठ |
छह ठोसों के सभी सूत्र एक तालिका में
पंक्ति दर पंक्ति पढ़ें। ध्यान दीजिए कि बेलन “मूल” है: शंकु उसके आयतन का एक-तिहाई लेता है, और गोला व अर्धगोला केवल r से बनते हैं।
वही तालिका, अब संख्याओं के साथ
सिमुलेशन के शुरुआती माप पर मान ये हैं: घन की भुजा 3, घनाभ 4 × 3 × 4, बाक़ी की त्रिज्या 3 (जहाँ ऊँचाई है वहाँ 4)। हर पंक्ति को मापन पैनल से मिलाकर देखें।
| ठोस | आयतन | वक्र / पार्श्व | कुल पृष्ठ |
|---|---|---|---|
| घन | 27.00 | 36.00 | 54.00 |
| घनाभ | 48.00 | 56.00 | 80.00 |
| बेलন | 113.10 | 75.40 | 131.95 |
| शंकु | 37.70 | 47.12 | 75.40 |
| गोला | 113.10 | 113.10 | 113.10 |
| अर्धगोला | 56.55 | 56.55 | 84.82 |
| ठोस | आयतन | वक्र / पार्श्व पृष्ठ | कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल |
|---|---|---|---|
| घन | a³ | 4a² | 6a² |
| घनाभ | l × w × h | 2h(l + w) | 2(lw + wh + lh) |
| बेलন | πr²h | 2πrh | 2πr(r + h) |
| शंकु | ⅓πr²h | πrl | πr(r + l) |
| गोला | 4⁄3 πr³ | 4πr² | 4πr² |
| अर्धगोला | ⅔πr³ | 2πr² | 3πr² |
शंकु बेलन का एक-तिहाई क्यों होता है
आसान से गहरे तक, इसे देखने के तीन तरीक़े।
उड़ेलकर देखें
उड़ेलने वाले दृश्य में शंकु वाला प्रयोग चलाइए। शंकु और बेलन की त्रिज्या 3, ऊँचाई 4। एक बार उड़ेलने पर बेलन एक-तिहाई भरता है, दो बार में दो-तिहाई, तीन बार में पूरा। इसलिए बेलन = 3 × शंकु, यानी शंकु = ⅓ × बेलन।
शंकु = ⅓ × πr²hबेलन के समान r और h
घन को तीन पिरामिडों में काटिए
भुजा 3 इकाई के घन का आयतन 27 है। एक कोना चुनकर उसे बाक़ी सात कोनों से जोड़ दीजिए। घन तीन एक जैसे पिरामिडों में बँट जाता है, हर एक का आधार भुजा 3 का वर्ग और ऊँचाई 3। हर पिरामिड का आयतन 9, घन का एक-तिहाई। शंकु अनगिनत भुजाओं वाला पिरामिड है, इसलिए वही ⅓ लागू होता है।
आर्किमिडीज़ और गोला
त्रिज्या 3 के गोले को ऐसे बेलन में रखिए जिसमें वह ठीक बैठे: त्रिज्या 3, ऊँचाई 6। आर्किमिडीज़ ने सिद्ध किया कि गोला उस बेलन का ठीक दो-तिहाई है। जाँचिए: 113.10 ÷ 169.65 = 0.667, यानी ⅔। वे इससे इतने ख़ुश थे कि अपनी समाधि पर यही चित्र उकेरने को कहा।
गोला = ⅔ × बेलन = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃πr³आर्किमिडीज़ का परिणाम
सतह को खोलकर बिछाना: जाल
हर टुकड़ा समतल हो तो क्षेत्रफल आसान है। ठोस को किनारों पर काटकर बिछाने से जो मिलता है वह जाल है। सिमुलेशन में जाल दृश्य चुनते ही टुकड़े समतल हो जाते हैं।
घन और घनाभ
घन भुजा 3 के छह वर्ग हैं। 9 क्षेत्रफल के छह फलकों का कुल 54। घनाभ में आयतों के तीन जोड़े हैं, इसलिए कुल क्षेत्रफल 2(lw + wh + lh); 4 × 3 × 4 के लिए 80।
बेलन
डिब्बे की दीवार को सीधा काटकर खोल दीजिए: एक आयत मिलता है। उसकी ऊँचाई h और चौड़ाई आधार की परिधि 2πr = 18.85 (r = 3 पर)। इसलिए वक्र पृष्ठ 2πr × h = 75.40। दो वृत्त πr² प्रत्येक जोड़ दें तो कुल पृष्ठ मिलता है।
शंकु
शंकु की दीवार खोलें तो त्रिज्यखंड मिलता है, जिसकी त्रिज्या तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = 5 है। उसकी चाप आधार का किनारा है, इसलिए त्रिज्यखंड का कोण 360 × r ÷ l = 216°। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल πrl = 47.12; आधार का वृत्त जोड़ने पर 75.40।
गोला और अर्धगोला
गोले को बिना फाड़े समतल नहीं किया जा सकता, इसीलिए नक़्शा बनाने वाले परेशान रहते हैं। फिर भी आर्किमिडीज़ ने दिखाया कि उसका क्षेत्रफल उसी त्रिज्या के चार वृत्तों के बराबर है: 4πr² = 113.10 (r = 3)। अर्धगोले का वक्र भाग दो वृत्तों (2πr²) के बराबर है, समतल मुख एक और, इसलिए कुल पृष्ठ 3πr² = 84.82।
सिमुलेशन में करके देखें
छह छोटे प्रयोग। पहले अनुमान लगाइए, फिर मापन पैनल से जाँचिए।
- बेलन चुनकर r को 3 से 6 कीजिए। आयतन 4 गुना बढ़ता है, क्योंकि r का वर्ग होता है। अब r वही रखकर h दोगुनी कीजिए: आयतन केवल 2 गुना बढ़ता है।
- गोला चुनकर त्रिज्या दोगुनी कीजिए। क्षेत्रफल 4 गुना और आयतन 8 गुना बढ़ता है। लंबाई दोगुनी तो क्षेत्रफल ×4, आयतन ×8: यह हर ठोस के लिए सच है।
- शंकु चुनकर r = 6, h = 8 रखिए। तिर्यक ऊँचाई 10 और आयतन 301.59 हो जाता है। सारी लंबाइयाँ दोगुनी हैं, इसलिए आयतन पहले से 8 गुना है।
- घनाभ चुनकर तीनों स्लाइडर बराबर कीजिए। वह घन बन जाता है और l × w × h बदलकर a³ हो जाता है।
- शंकु का जाल खोलकर h बहुत बढ़ाइए। त्रिज्यखंड संकरा होता है: लंबे पतले शंकु का कोण छोटा। h घटाने पर त्रिज्यखंड पूरे वृत्त की ओर खुलता है।
- गोले वाला प्रयोग चलाइए और देखिए कि बेलन ⅔ के निशान पर रुकता है, ऊपर तक नहीं। बाक़ी एक-तिहाई ठीक उसी माप के शंकु का आयतन है।
हल किए हुए प्रश्न
नीचे की हर संख्या सिमुलेशन वाले सूत्रों से ही निकाली गई है।
प्रश्न 1: पानी की टंकी
एक बेलनाकार टंकी की त्रिज्या 1.2 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर है। उसमें कितने लीटर पानी आएगा?
आयतन = πr²h = π × 1.2² × 2.5 = 11.31 घन मीटर। एक घन मीटर = 1000 लीटर, इसलिए क्षमता 11.31 × 1000 = 11,310 लीटर।
प्रश्न 2: ड्रम पर रंग
एक बंद ड्रम की त्रिज्या 0.35 मीटर और ऊँचाई 1.2 मीटर है। एक लीटर रंग 12 वर्ग मीटर ढकता है। 2 कोट के लिए कितना रंग चाहिए?
पूरा बाहरी भाग रंगना है, इसलिए कुल पृष्ठ: 2πr(r + h) = 3.41 वर्ग मीटर। दो कोट में दोगुना। रंग = 3.41 × 2 ÷ 12 = 0.57 लीटर।
प्रश्न 3: स्कूप वाला आइसक्रीम कोन
त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी के शंकु के ऊपर उसी त्रिज्या का अर्धगोला है। कुल आयतन और वेफ़र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
शंकु: ⅓πr²h = 94.25 घन सेमी। अर्धगोला: ⅔πr³ = 56.55 घन सेमी। कुल = 150.80 घन सेमी, लगभग 150.80 मिलीलीटर। वेफ़र शंकु का वक्र पृष्ठ है: l = √(3² + 10²) = 10.44 सेमी, इसलिए πrl = 98.40 वर्ग सेमी।
प्रश्न 4: गोला पिघलाकर शंकु
त्रिज्या 6 सेमी के एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी के छोटे शंकु बनाए गए। कितने शंकु बनेंगे?
पिघलाने से आकार बदलता है, आयतन नहीं। गोला: 904.78 घन सेमी। एक शंकु: 37.70 घन सेमी। शंकुओं की संख्या = 904.78 ÷ 37.70 = 24।
प्रश्न 5: गोले से तार
त्रिज्या 3 सेमी के धातु के गोले को खींचकर त्रिज्या 0.1 सेमी का तार बनाया गया। तार कितना लंबा होगा?
गोले का आयतन = 113.10 घन सेमी। तार एक बहुत लंबा बेलन है, इसलिए πr²h से h = 113.10 ÷ (π × 0.1²) = 3,600 सेमी, यानी 36 मीटर।
प्रश्न 6: मछलीघर
एक काँच के मछलीघर की लंबाई 80 सेमी, चौड़ाई 40 सेमी और ऊँचाई 50 सेमी है। उसमें कितने लीटर पानी भरेगा?
आयतन = 80 × 40 × 50 = 1,60,000 घन सेमी। 1000 घन सेमी = 1 लीटर, इसलिए 160 लीटर।
आम ग़लतियाँ
इस अध्याय में लगभग सारे अंक इन्हीं ग़लतियों से कटते हैं।
- वक्र और कुल पृष्ठ गड़बड़ा देना। शुरुआती शंकु में वक्र पृष्ठ 47.12 है, पर कुल पृष्ठ 75.40: पहले में आधार का वृत्त नहीं है। प्रश्न में “वक्र” माँगा है या “कुल”, पढ़ लें।
- शंकु के क्षेत्रफल में l की जगह h रख देना। πrl में l = 5 की जगह h = 4 लें तो 37.70 आता है, जो लगभग 20% कम है। आयतन में h, क्षेत्रफल में l।
- भूल जाना कि 1 घन मीटर में 1000 लीटर होते हैं, 100 नहीं। और 1 घन मीटर में 10,00,000 घन सेमी होते हैं, 1000 नहीं।
- त्रिज्या की जगह व्यास रख देना। पहले व्यास का आधा कीजिए।
- जो फलक है ही नहीं उसका क्षेत्रफल जोड़ देना। ऊपर से खुली टंकी में ढक्कन नहीं होता; पाइप के वक्र पृष्ठ में दोनों मुख नहीं होते।
- एक ही सूत्र में इकाइयाँ मिला देना, जैसे r मीटर में और h सेंटीमीटर में। पहले सब एक इकाई में बदलें।
यह कहाँ काम आता है
क्षेत्रमिति स्कूली गणित के सबसे व्यावहारिक अध्यायों में से एक है।
- पानी की टंकियाँ, साइलो और ड्रम बेलन हैं। इंजीनियर आयतन को लीटर या टन में बदलते हैं।
- तंबू, कीप, ट्रैफ़िक कोन और जन्मदिन की टोपी शंकु हैं। दर्ज़ी कपड़ा त्रिज्यखंड के रूप में काटता है, ठीक वही जाल जो आपने देखा।
- फ़ुटबॉल, साबुन के बुलबुले और ग्रह गोले हैं। गुंबद और कटोरे अर्धगोले हैं।
- कमरे की पुताई, टाइल और पैकिंग में पृष्ठीय क्षेत्रफल लगता है; पतीले और कंक्रीट में आयतन।
- जीवविज्ञान में भी माप बढ़ने का हिसाब है: छोटे जीव में आयतन की तुलना में पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक होता है, इसलिए वह गर्मी जल्दी खोता है।
परीक्षा कोना: सीबीएसई कक्षा 9 और 10
प्रश्न कुछ ही ढर्रों पर आते हैं: आयतन या क्षेत्रफल निकालना, दो ठोस जोड़ना, पिघलाकर नया आकार बनाना, या लीटर में बदलना। जब r 7 का गुणज हो तो बोर्ड परीक्षा में अक्सर π = 22/7 लिया जाता है।
बोर्ड का एक सामान्य प्रश्न
एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। उसकी तिर्यक ऊँचाई, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।
तिर्यक ऊँचाई l = √(7² + 24²) = 25 सेमी। वक्र पृष्ठ πrl = 550 वर्ग सेमी। कुल पृष्ठ πr(r + l) = 704 वर्ग सेमी। आयतन ⅓πr²h = 1,232 घन सेमी।
π दशमलव में लेने वाला प्रश्न
एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है। उसका आयतन 3,078.76 घन सेमी और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 1,187.52 वर्ग सेमी है (π = 3.1416)।
त्वरित दोहराव
हर परीक्षा से पहले इसे एक बार पढ़ लें।
- आयतन घन इकाई में, पृष्ठीय क्षेत्रफल वर्ग इकाई में।
- बेलन: आयतन πr²h, वक्र पृष्ठ 2πrh, कुल पृष्ठ 2πr(r + h)।
- शंकु: आयतन ⅓πr²h, वक्र पृष्ठ πrl, कुल पृष्ठ πr(r + l), l = √(r² + h²)।
- गोला: आयतन ⁴⁄₃πr³, क्षेत्रफल 4πr²। अर्धगोला: आयतन ⅔πr³, वक्र पृष्ठ 2πr², कुल पृष्ठ 3πr²।
- घन: आयतन a³, कुल पृष्ठ 6a²। घनाभ: आयतन lwh, कुल पृष्ठ 2(lw + wh + lh)।
- शंकु = ⅓ बेलन; गोला = परिगत बेलन का ⅔।
- पिघलाकर नया आकार बनाने पर आयतन वही रहता है।
- 1 घन मीटर = 1000 लीटर; 1000 घन सेमी = 1 लीटर।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल में क्या अंतर है?
आयतन ठोस के भीतर की जगह है, घन इकाई में; पृष्ठीय क्षेत्रफल बाहरी त्वचा का माप है, वर्ग इकाई में। शुरुआती शंकु का आयतन 37.70 घन इकाई और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 75.40 वर्ग इकाई है।
शंकु का आयतन बेलन का एक-तिहाई क्यों है?
क्योंकि समान त्रिज्या और ऊँचाई के शंकु का पानी बेलन में उड़ेलने पर हर बार ठीक एक-तिहाई भरता है, तीन बार में पूरा। घन को तीन पिरामिडों में काटने का चित्र और कलन भी वही ⅓ देते हैं।
तिर्यक ऊँचाई क्या है और कब काम आती है?
तिर्यक ऊँचाई l शंकु की ढलान वाली दीवार के साथ किनारे से शीर्ष तक की दूरी है, l = √(r² + h²)। यह वक्र पृष्ठ πrl में काम आती है। शुरुआती शंकु में r = 3, h = 4, इसलिए l = 5।
घन मीटर को लीटर में कैसे बदलें?
1000 से गुणा करें। एक घन मीटर = 1000 लीटर। घन सेंटीमीटर से लीटर के लिए 1000 से भाग दें, क्योंकि 1000 घन सेमी = 1 लीटर।
अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना होता है?
वक्र पृष्ठ 2πr²। समतल आधार गिनें तो πr² जोड़कर कुल पृष्ठ 3πr²। r = 3 पर क्रमशः 56.55 और 84.82।
ठोस का जाल क्या होता है?
किनारों पर काटकर खोलने से मिलने वाला समतल आकार जाल है। जाल के सभी टुकड़ों के क्षेत्रफल का योग कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है। बेलन का जाल एक आयत और दो वृत्त हैं।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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Class 9-10 Mathematics textbook
SSC
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वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
वृत्त को टुकड़ों में काटकर आयत बनाओ और देखो कि क्षेत्रफल πr² कैसे बनता है। परिधि, पाई, त्रिज्यखंड, चाप और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त इंटरैक्टिव सिमुलेशन।
कक्षा 10
समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
स्लाइडर से त्रिभुज को बड़ा-छोटा करें और देखें कि कोण बराबर रहते हैं, भुजाओं का अनुपात k रहता है और क्षेत्रफल k² गुना होता है। AA, SSS, SAS नियमों और छाया के सवालों वाला मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 10
निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
ग्रिड पर बिंदु खींचकर देखें कि दूरी सूत्र, मध्य-बिंदु, ढाल और विभाजन सूत्र कैसे बदलते हैं। लंब समद्विभाजक बिंदुपथ और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त निर्देशांक ज्यामिति सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
द्वि-शंकु के आर-पार तल को झुकाइए और देखिए वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय कैसे बनता है। मानक समीकरण, नाभि और उत्केंद्रता के साथ मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 10 · 11
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
x², |x|, √x, sin x या 2^x चुनिए और a, b, h, k के स्लाइडर खींचिए। देखिए ग्राफ़ कैसे खिसकता, खिंचता, सिकुड़ता और पलटता है, पीछे फीके मूल ग्राफ़ के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 11 · 12
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
x², x³, sin x, eˣ या 1/x पर बिंदु P खींचिए और अंतर h को शून्य की ओर घटाइए। देखिए छेदक कैसे स्पर्श रेखा बनती है और उसकी ढाल अवकलज, नीचे अवकलज का ग्राफ़ भी। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
x², x³, sin x, eˣ या √x के नीचे के क्षेत्रफल को 100 तक पट्टियों में बाँटिए और बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु व समलंब योग की तुलना सटीक समाकलन से कीजिए। त्रुटि घटते देखिए। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
ε–δ परिभाषा से सीमा को आँखों से देखिए। फलन चुनिए, ε घटाइए और δ पट्टी को सिकुड़ते देखिए। बाएँ-दाएँ सीमा, छेद, sin x / x और छलाँग, जहाँ कोई δ नहीं चलता। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
दो त्रिविमीय सदिशों को खींचकर घुमाइए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, डॉट गुणन छाया और कोण बनकर, क्रॉस गुणन लंब तीर बनकर दिखेगा, जिसकी लंबाई क्षेत्रफल है। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
2×2 आव्यूह बदलकर देखिए कि जाली, इकाई वर्ग और एक F-आकृति कैसे चलते हैं। î और ĵ कहाँ जाते हैं, सारणिक कैसे चिह्नित क्षेत्रफल है, और व्युत्क्रम। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
आर्गंड तल पर दो सम्मिश्र संख्याएँ खींचिए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, गुणनफल घुमाव और खिंचाव बनकर, संयुग्मी, घात सर्पिल बनकर और इकाई के मूल दिखेंगे। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 12
बाइनरी संख्या पद्धति: स्थानीय मान, रूपांतरण और जोड़
बिट पलटिए और देखिए दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल व हेक्स साथ बदलते हैं। 2 से भाग, 3-4 बिट के समूह और कैरी वाला बाइनरी जोड़, हल किए उदाहरणों के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन।
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