পরমাণুরা কীভাবে সাজায় নিজেদের: তিন ঘন কোষ হাতে ঘুরিয়ে দেখো

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. শুরুতে FCC কোষ বাছা আছে। চালু করলে কোষটা নিজে নিজে ধীরে ঘোরে। ক্যানভাসে ধরে টানলে তুমি নিজের ইচ্ছেমতো ঘোরাতে পারবে, ছেড়ে দিলে আবার ধীরে ঘুরবে।
2. নীল পরমাণু কোণের, সবুজ ফলকের, কমলা কেন্দ্রের। রিডআউটে প্রতি কোষে মোট পরমাণু দেখো: কোণের প্রতিটি ১/৮ ভাগ, ফলকের ১/২, কেন্দ্রেরটা পুরো।
3. “গায়ে গায়ে লাগানো গোলক” বাছো। পরমাণুগুলো এবার আসল আকারে ফুলে ওঠে, আর লাল স্পর্শ-রেখা বরাবর ঠিক ছুঁয়ে থাকে। ওই রেখাই a আর r-এর সম্পর্ক ঠিক করে।
4. SC, BCC, FCC পালা করে বাছো। সন্নিবেশ সংখ্যা, a ও r-এর সম্পর্ক আর প্যাকিং দক্ষতার রিডআউট তুলনা করো। সংখ্যাগুলো পরমাণুর অবস্থান গুনেই বের করা।
5. কিনারা a আর মোলার ভর M-এর স্লাইডার সরাও। ঘনত্ব কীভাবে বদলায় দেখো: a বাড়লে কমে, M বাড়লে বাড়ে।

কমলালেবুর স্তূপ আর ধাতুর ভেতরটা

ফলের দোকানে কমলালেবু কীভাবে সাজায়? নিচে এক সারি, তার ফাঁকে ফাঁকে ওপরের সারি। এভাবে সাজালে সবচেয়ে কম জায়গায় সবচেয়ে বেশি লেবু ধরে। ধাতুর পরমাণুরাও গোলকের মতো, আর তারা ঠিক এই প্রশ্নের উত্তর খোঁজে: কত ঘন করে গাদা যায়?

কেলাসে সাজানোর ছাঁচটা বারবার পুনরাবৃত্ত হয়। সেই ছাঁচের সবচেয়ে ছোট অংশ, যাকে সব দিকে বারবার বসালে পুরো কেলাস পাওয়া যায়, তাই একক কোষ। আমরা এখানে ঘনক আকারের তিন কোষ দেখব।

তামা, সোনা, লোহা বা সোডিয়ামের নানা ধর্ম, যেমন কঠিনতা, ঘনত্ব আর টেনে লম্বা করা যায় কি না, এই সাজানোর ধরনের ওপর অনেকটা নির্ভর করে। তাই HSC রসায়নের কঠিন অবস্থা অধ্যায়ে একক কোষ এত গুরুত্ব পায়।

একক কোষ, কিনারা a আর ব্যাসার্ধ r

ঘনক কোষের তিন কিনারাই সমান, তার দৈর্ঘ্য a। পরমাণুকে গোলক ধরলে তার ব্যাসার্ধ r। যে দিকে পরমাণুগুলো একে অপরকে ছোঁয়, সেই দিক বরাবর দূরত্ব ঠিক 2r। এই ছোঁয়ার দিকটাই জ্যামিতি দিয়ে a-কে r-এর সঙ্গে জুড়ে দেয়।

অ্যানিমেশনে সেই ছোঁয়ার রেখাটা লাল। SC-তে সেটা কিনারা বরাবর, BCC-তে ঘনকের কর্ণ বরাবর (কোণ থেকে কেন্দ্র পেরিয়ে উল্টো কোণ), FCC-তে ফলকের কর্ণ বরাবর।

অ্যানিমেশন কীভাবে পড়বে

ক্যানভাসে ঘনকের বারোটি কিনারা ধূসর রেখা, পরমাণুগুলো বল। “বল ও কাঠি” দৃশ্যে বল ছোট, যাতে ভেতরের কাঠামো দেখা যায়। “গায়ে গায়ে লাগানো গোলক” দৃশ্যে বল আসল ব্যাসার্ধে আঁকা, আর তখন বোঝা যায় কতটা জায়গা ভরা আর কতটা ফাঁকা।

যেটা সামনে সেটা বড় আর যেটা পেছনে সেটা একটু ছোট দেখায়, তাই ঘোরানোর সময় গভীরতা বোঝা যায়। নিচে a ও r-এর সম্পর্ক লেখা আছে, পাশে আসল সহগ।

ডানের রিডআউটে প্রতিটি সংখ্যা পরমাণুর অবস্থান গুনে হিসাব করা। সন্নিবেশ সংখ্যা মূল পরমাণুর সবচেয়ে কাছের প্রতিবেশী গুনে আসে। প্যাকিং দক্ষতা আসে ঘনকের আয়তন আর গোলকগুলোর আয়তনের অনুপাত থেকে।

প্রতি কোষে কয়টি পরমাণু

কোণের পরমাণু আটটি কোষের মধ্যে ভাগ হয়, তাই কোষের ভেতরে পড়ে তার ১/৮ ভাগ। ফলকের পরমাণু দুই কোষের মাঝখানে, তাই ১/২ ভাগ। কেন্দ্রের পরমাণু পুরোটাই ভেতরে।

SC: ৮টি কোণ × ১/৮ = ১। BCC: ৮ × ১/৮ + ১ = ২। FCC: ৮ × ১/৮ + ৬ × ১/২ = ৪। এই ভাগফলের জন্য অ্যানিমেশনের নীল, সবুজ আর কমলা রং আলাদা।

সন্নিবেশ সংখ্যা: কয়জন প্রতিবেশী

একটি পরমাণুকে যতজন পরমাণু সবচেয়ে কাছ থেকে ছুঁয়ে থাকে, সেই সংখ্যাই সন্নিবেশ সংখ্যা। SC-তে ৬ (সামনে-পেছনে, ডানে-বামে, ওপরে-নিচে), BCC-তে ৮, FCC-তে ১২। বেশি প্রতিবেশী মানে গাদাগাদি বেশি।

একটি পরমাণু কেবল এক কোষের নয়, পাশের কোষগুলোর সঙ্গেও ভাগাভাগি। তাই গোনার সময় পুরো কেলাস কল্পনা করো, শুধু আঁকা কোষটি নয়।

a ও r-এর সম্পর্ক

SC-তে পরমাণু কিনারা বরাবর ছোঁয়, তাই a = 2r (সহগ ২.০০)। BCC-তে কর্ণ বরাবর ছোঁয়। কর্ণের দৈর্ঘ্য √3 a, আর তাতে চারটি r আছে, তাই 4r = √3 a এবং a = 4r/√3 (সহগ ২.৩১)। FCC-তে ফলকের কর্ণ বরাবর। ফলক-কর্ণ √2 a এবং তাতে চারটি r, তাই a = 2√2 r (সহগ ২.৮৩)।

সহগ যত বড়, ব্যাসার্ধের তুলনায় কোষ তত ফাঁপা। তাই SC সবচেয়ে ঢিলে।

প্যাকিং দক্ষতা: কতটা জায়গা ভরা

প্যাকিং দক্ষতা = কোষের ভেতরের সব পরমাণুর আয়তন ÷ কোষের আয়তন। প্রতি পরমাণু গোলক, আয়তন (4/3)πr³। কোষের আয়তন a³। তাই দক্ষতা = Z × (4/3)πr³ ÷ a³, আর r-কে a দিয়ে প্রকাশ করলেই সংখ্যা বের হয়।

গণনা করলে SC ৫২.৪%, BCC ৬৮.০%, FCC ৭৪.০%। ফাঁকা জায়গা যথাক্রমে ৪৭.৬%, ৩২.০%, ২৬.০%। FCC-র চেয়ে ঘন করে একই আকারের গোলক আর সাজানো যায় না।

FCC ঘন-সংবদ্ধ বিন্যাসের একটি রূপ। এ কারণেই তামা, রুপা, সোনার মতো অনেক নমনীয় ধাতু FCC।

কোষ থেকে ঘনত্ব

একক কোষের ভর = Z × (এক পরমাণুর ভর) = Z × M ÷ N_A, যেখানে N_A = ৬.০২ × 10²³ প্রতি মোল। আয়তন a³। ঘনত্ব = ভর ÷ আয়তন, তাই ρ = ZM ÷ (N_A a³)। a কে পিকোমিটারে পেলে আগে সেমি-তে বদলাও: ১ pm = ১০⁻¹⁰ সেমি।

এক্ষেত্রে ঘনত্ব দিয়ে উল্টোটাও করা যায়: ρ জানা থাকলে a³ = ZM ÷ (ρ N_A)। অর্থাৎ ঘনত্ব মেপে কেলাসের গঠন চেনা সম্ভব।

প্রতিটি কোষের জন্য একটি করে সম্পূর্ণ উদাহরণ

একই কাল্পনিক ধাতু ধরো, যার পরমাণুর ব্যাসার্ধ ১২৫ pm আর মোলার ভর ৬৪ গ্রাম/মোল। এখন দেখো তিন রকম সাজানোয় কী কী বদলায়। প্রতিটি ধাপের সংখ্যা মডেল নিজে গুনে বের করেছে।

ফাঁকা জায়গা: গোলকের মাঝের গর্ত

গোলক যতই ঘন করে সাজাও, মাঝে ফাঁক থাকবেই। FCC-তে ফাঁকা জায়গা ২৬.০%। এই ফাঁকগুলো এলোমেলো নয়, নিয়মিত গর্ত, আর দুই রকমের। অষ্টতলকীয় গর্ত ছয়টি গোলক দিয়ে ঘেরা, চতুস্তলকীয় গর্ত চারটি দিয়ে।

FCC কোষে অষ্টতলকীয় গর্ত ৪টি আর চতুস্তলকীয় গর্ত ৮টি, অর্থাৎ প্রতি পরমাণুতে একটি আর দুটি। সবচেয়ে বড় গোলক যা অষ্টতলকীয় গর্তে ঢুকবে তার ব্যাসার্ধ ০.৪১৪ × r, আর চতুস্তলকীয় গর্তে ০.২২৫ × r। r = ১২৫ pm হলে এগুলো ৫১.৮ pm আর ২৮.১ pm।

এই গর্তগুলোতে ছোট পরমাণু বা আয়ন ঢুকে পড়তে পারে। ইস্পাতে লোহার জালকের গর্তে কার্বন বসে বলে লোহা শক্ত হয়। আয়নিক কেলাসও একইভাবে তৈরি।

বাস্তব জীবনে: ধাতু আর খাবার লবণ

ধাতুর আচরণ সাজানোর সঙ্গে মেলে। FCC ধাতুতে (তামা, অ্যালুমিনিয়াম, সোনা) পরমাণুর স্তরগুলো একটার ওপর দিয়ে সহজে পিছলে যায়, তাই এগুলো নরম আর তার করা যায়। BCC ধাতু (সোডিয়াম, পটাশিয়াম) কম ঘন, ৬৮.০% বনাম ৭৪.০%, তাই তাদের ঘনত্ব সাধারণত কম।

খাবার লবণ NaCl-এর কেলাসে ক্লোরাইড আয়নগুলো FCC ছাঁচে বসে, তাই প্রতি কোষে ৪টি। সোডিয়াম আয়নগুলো অষ্টতলকীয় গর্ত ভরে, গর্ত ৪টি, তাই আয়নও ৪টি। অনুপাত ৪ : ৪ = ১ : ১, মানে সংকেত NaCl। প্রতিটি আয়ন ঘিরে থাকে ছয় বিপরীত আয়ন, কারণ গর্তটি অষ্টতলকীয়।

কাজেই লবণের দানা চৌকো হয় কেন, তার উত্তরও এখানে: ভেতরের ঘন ছাঁচ বাইরে সোজা তল হয়ে ফুটে ওঠে। ভাঙলে দানাগুলো সমতল তল বরাবর ভাঙে।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

আগে অনুমান লেখো, তারপর পরীক্ষা করো।

• পরীক্ষা ১: FCC বাছো, তারপর দৃশ্য বদলাও। লাল রেখা কোন দিকে? কোণের দুই পরমাণুর মাঝখানে আরেকটি পরমাণু আছে কি?
• পরীক্ষা ২: ঘুরিয়ে একটি ফলকের পরমাণু গুনে দেখো। ছয়টি ফলকে ছয়টি পরমাণু, প্রতিটি অর্ধেক। মোট ভাগ কত?
• পরীক্ষা ৩: SC, BCC, FCC তিনটির প্যাকিং দক্ষতা পাশাপাশি লিখে ক্রম সাজাও।
• পরীক্ষা ৪: FCC-তে a = ২৫০ থেকে ৬০০ pm করো। r-এর রিডআউট কীভাবে বদলায়? অনুপাত a ÷ r ঠিক থাকে কি?
• পরীক্ষা ৫: M দ্বিগুণ করো। ঘনত্ব কত গুণ হয়? তারপর a দ্বিগুণ করো। এবার ঘনত্ব কত গুণ?

সমাধান করা গাণিতিক সমস্যা

নিচের সব সংখ্যা মডেলের একই গণনা থেকে, আর সমস্যার ধাতুগুলো কাল্পনিক।

কেন তিনটি সাজানোই প্রকৃতিতে দেখা যায়

SC সবচেয়ে ঢিলে (৫২.৪%) বলে প্রকৃতিতে প্রায় দেখাই যায় না। BCC (৬৮.০%) ঢিলেঢালা হলেও কিছু ধাতুর জন্য স্থিতিশীল, আর FCC (৭৪.০%) সবচেয়ে ঘন। একই ধাতু তাপমাত্রা বদলালে এক সাজানো থেকে অন্য সাজানোয় চলে যেতেও পারে, যেমন লোহা গরম হলে। তখন ঘনত্ব হঠাৎ বদলায়, কারণ প্রতি কোষে Z আর a দুটোই বদলে যায়।

পরীক্ষার প্রশ্নে তাই দুটি তথ্য সবসময় একসঙ্গে পড়ো: কোষের ধরন আর কোষের কিনারা। একটা জানা থাকলে অন্যটা থেকে অনেক কিছু বের করা যায়।

যে ভুলগুলো সবাই করে

এখানেই প্রতি বছর নম্বর কাটে।

• কোণের পরমাণুকে পুরো ১ ধরা। সে আট কোষের শরিক, কোষে মাত্র ১/৮।
• BCC-তে Z = ১ ধরা। কেন্দ্রের একটি যোগ করলে ২।
• a = 2r সব কোষে ব্যবহার। এটা শুধু SC-তে। BCC-তে 4r = √3 a, FCC-তে 4r = √2 a।
• a কে পিকোমিটারে রেখেই ঘনত্ব বের করা। সেমি-তে বদলাতে ১০⁻¹⁰ গুণ করতে হয়।
• প্যাকিং দক্ষতাকে সন্নিবেশ সংখ্যার সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা। একটি গোনা, অন্যটি আয়তনের শতাংশ।
• BCC আর FCC-র ক্রম উল্টে দেওয়া। FCC বেশি ঘন: ৭৪% বনাম ৬৮%।

পরীক্ষার কোণ (HSC, ভর্তি)

না দেখে করো, তারপর মিলিয়ে নাও।

• SC, BCC, FCC-র প্রতি কোষে পরমাণু ও সন্নিবেশ সংখ্যা লেখো।
• FCC কোষে a ও r-এর সম্পর্ক কী? r = ১২৫ pm হলে a কত? উত্তর: ৩৫৩.৬ pm।
• FCC-র প্যাকিং দক্ষতা কত? উত্তর: ৭৪.০%।
• BCC ধাতু, M = ৫০, a = ৩০০ pm হলে ঘনত্ব? উত্তর: ৬.১৫ গ্রাম/ঘন সেমি।
• কেলাসে প্যাকিং দক্ষতার ক্রম কী?

পুনরালোচনা: এক মিনিটে পুরো পাতা

পরীক্ষার আগে এটুকু পড়ে নাও।

• Z: SC ১, BCC ২, FCC ৪। কোণ ১/৮, ফলক ১/২, কেন্দ্র ১।
• সন্নিবেশ সংখ্যা: ৬, ৮, ১২।
• a ও r: SC 2r = a; BCC 4r = √3 a; FCC 4r = √2 a।
• প্যাকিং দক্ষতা: ৫২.৪%, ৬৮.০%, ৭৪.০%।
• ঘনত্ব ρ = ZM ÷ (N_A a³), a সেমি-তে।

সচরাচর জিজ্ঞাসা