জটিল সংখ্যা: সমতলে ঠেলে সরানো যায় এমন বিন্দু

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. আনুভূমিক অক্ষ বাস্তব অক্ষ, খাড়া অক্ষ কাল্পনিক অক্ষ। a + bi সংখ্যাটা বসে (a, b) বিন্দুতে। সমতলে শুরুতে দুটো সংখ্যা: প্রাথমিক রঙে z₁ = ২ + i আর দ্বিতীয় রঙে z₂ = ১ + ২i। বিন্দুযুক্ত বৃত্তটা একক বৃত্ত, ব্যাসার্ধ ১।
2. পয়েন্টার দিয়ে z₁ বা z₂ টানো, অথবা স্লাইডারে অংশ ঠিক করো। বিন্দু এক-দশমাংশে আটকে যায়। রিডিংয়ে প্রতিটি সংখ্যা, তার মডুলাস (মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব) আর আর্গুমেন্ট (ধনাত্মক বাস্তব অক্ষ থেকে কোণ) আছে।
3. “যোগ” মোডে কমলা তীরটা z₁ + z₂, ছায়াযুক্ত সামান্তরিকের কর্ণ। এখানে এটা ৩ + ৩i।
4. “গুণ” মোডে কমলা বিন্দুযুক্ত পথ দেখায় z₁ কীভাবে ঘুরে আর টান খেয়ে z₁z₂ হয়। রিডিংয়ে মডুলাস গুণ হয়, আর্গুমেন্ট যোগ হয়। শুরুর জোড়ায় পাই ৫i, কারণ ২৬.৫৭° + ৬৩.৪৩° = ৯০°।
5. “অনুবন্ধী” z₁-কে বাস্তব অক্ষে আয়নায় দেখায়। “ঘাত zⁿ” z₁, z₁², z₁³ … সর্পিল হিসেবে বানায়, n আসে স্লাইডার থেকে। “z₁-এর n-তম মূল” আর “এককের n-তম মূল” n-টা বিন্দু বৃত্তে সমান দূরত্বে বসায়।

জটিল সংখ্যা কী?

x² = −১ সমীকরণের কোনো উত্তর সাধারণ সংখ্যায় নেই, কারণ কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হয় না। তাই গণিতবিদরা বানালেন একটা নতুন সংখ্যা: i, যার সংজ্ঞা i² = −১। প্রতিটি জটিল সংখ্যা লেখা হয় a + bi আকারে, যেখানে a আর b সাধারণ বাস্তব সংখ্যা।

ছবিতে আনার কৌশল সহজ: a হলো কতটা ডানে, b কতটা ওপরে। তাহলে a + bi হলো সমতলের (a, b) বিন্দু। এই সমতলকে বলে আরগান্ড সমতল (বা আরগান্ড চিত্র)। বাস্তব সংখ্যারা থাকে আনুভূমিক অক্ষে, আর ২i-এর মতো সংখ্যারা খাড়া অক্ষে।

মডুলাস ও আর্গুমেন্ট

সমতলে ঠিকানা দেওয়ার দুটো উপায়। একটা: “a ডানে, b ওপরে”। অন্যটা: “r দূরে, θ কোণে”। দূরত্ব r হলো মডুলাস |z| = √(a² + b²), ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের মতোই পিথাগোরাস। ধনাত্মক বাস্তব অক্ষ থেকে কোণ θ হলো আর্গুমেন্ট।

দুটো মিলে পাই পোলার আকার z = r(cos θ + i sin θ)। কয়েকটা চেনা বিন্দু নিচের ছকে। আর্গুমেন্ট ঘড়ির উল্টো দিকে মাপা হয়, আর এই সিমুলেশনে −১৮০° থেকে ১৮০°-এর মধ্যে রাখা হয়েছে।

• ০-র আর্গুমেন্ট নেই (তার কোনো দিক নেই); রিডিংয়ে লেখা থাকে “নেই”।
• আর্গুমেন্টে ৩৬০° যোগ করলে একই বিন্দু। সাধারণত −১৮০° থেকে ১৮০°-এর মানটাই বলা হয়।

যোগ: সামান্তরিক

বাস্তব অংশ বাস্তব অংশের সঙ্গে, কাল্পনিক অংশ কাল্পনিকের সঙ্গে যোগ করো। z₁ = ২ + i আর z₂ = ১ + ২i হলে যোগফল ৩ + ৩i।

সমতলে এটা ভেক্টর যোগের সামান্তরিক: z₁ আর z₂ দুটো বাহু, আর যোগফল মূলবিন্দু থেকে কর্ণ। z₁ − z₂ হলো z₂ থেকে z₁ পর্যন্ত তীর।

দৈর্ঘ্যের দিকে খেয়াল করো। |z₁| = ২.২৪ আর |z₂| = ২.২৪, কিন্তু যোগফল তাদের সোজা যোগফল নয়। ত্রিভুজ অসমতা বলে |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, সমান হয় শুধু দুটো একদিকে থাকলে।

গুণ: ঘোরাও আর টানো

জটিল সংখ্যার আসল শক্তি এখানে। দুটো গুণ করলে মডুলাস গুণ হয়, আর্গুমেন্ট যোগ হয়: |z₁z₂| = |z₁||z₂| এবং arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂।

সিমুলেশনে z₁ ঘোরে arg z₂ কোণে আর টান খায় |z₂| গুণ। শুরুর জোড়ায় ২৬.৫৭° + ৬৩.৪৩° = ৯০°, আর ২.২৪ × ২.২৪ = ৫, তাই z₁z₂ = ৫i। ঝকঝকে সমকোণ, কাল্পনিক অক্ষ বরাবর সোজা ওপরে।

মডুলাস ১ এমন সংখ্যা দিয়ে গুণ মানে নিখাদ ঘূর্ণন, কারণ টান নেই। ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা দিয়ে গুণ মানে নিখাদ টান, কারণ ঘোরা নেই।

অনুবন্ধী: বাস্তব অক্ষে আয়না

a + bi-এর অনুবন্ধী a − bi। সমতলে এটা বাস্তব অক্ষে আয়নার ছবি। ২ + i-এর অনুবন্ধী ২ − i।

z · z̄ সবসময় বাস্তব সংখ্যা, মান |z|²। এখানে ৫। জটিল সংখ্যা ভাগের গোপন কথা এটাই: লব আর হর দুটোকে হরের অনুবন্ধী দিয়ে গুণ করো, হর বাস্তব হয়ে যাবে।

ঘাত: সর্পিল

গুণে আর্গুমেন্ট যোগ আর মডুলাস গুণ হয় বলে বারবার গুণ করলে নিয়মিত কিছু ঘটে। বর্গ করলে কোণ দ্বিগুণ, মডুলাসের বর্গ। ঘন করলে কোণ তিন গুণ। সাধারণভাবে zⁿ-এর মডুলাস rⁿ আর আর্গুমেন্ট nθ। এটাই ডি মোয়াভারের উপপাদ্য।

z, z², z³ … আঁকলে সর্পিল পাবে। |z| ১-এর চেয়ে বড় হলে সর্পিল বাইরে ছুটে যায়। ছোট হলে মূলবিন্দুর দিকে গুটিয়ে আসে। |z| = ১ হলে বিন্দুগুলো একক বৃত্তেই ঘুরতে থাকে।

মূল ও এককের মূল

n-তম মূল নেওয়া মানে ডি মোয়াভার উল্টো দিকে: মডুলাস হয় r^(1/n), আর্গুমেন্ট θ/n। কিন্তু ভাগের আগে θ-র সঙ্গে পূর্ণ এক পাক যোগ করলে ভিন্ন উত্তর পাওয়া যায়, তাই মূল মোট n-টা, বৃত্তে সমান দূরত্বে, ৩৬০°/n কোণের ব্যবধানে।

সবচেয়ে বিখ্যাত উদাহরণ এককের n-তম মূল, অর্থাৎ zⁿ = ১ সমীকরণের সমাধান। এরা একক বৃত্তে বসে আর ১-এ এক কোণ রেখে সুষম বহুভুজ বানায়। ১-এর পরের মূলটাকে বলি ω; বাকিরা তার ঘাত ω², ω³ ইত্যাদি।

• এককের মূলগুলোর যোগফল সবসময় ০ (n ≥ ২ হলে), রিডিংয়েও দেখবে।
• তাদের গুণফল ±১, আর প্রতিটি মূল প্রথমটার ঘাত।
• একটা w-র জন্য zⁿ = w-র মূল জানা থাকলে বাকিগুলো পাওয়া যায় এককের মূল দিয়ে গুণ করে।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

ছয়টা ছোট পরীক্ষা, প্রতিটা এক মিনিটের।

• “যোগ”-এ z₂-কে z₁-এর উল্টো পাশে মূলবিন্দুর ওপারে নাও। যোগফল ছোট হয়। z₂ = −z₁ হলে যোগফল ০।
• “গুণ”-এ z₂ = ০ + ১i (অর্থাৎ i) করো। গুণফল হলো z₁-কে এক-চতুর্থাংশ ঘোরানো, দৈর্ঘ্য একই।
• “গুণ”-এ z₂-কে একক বৃত্তে রাখো। গুণফলের মডুলাস z₁-এর সমান থাকে, শুধু ঘোরে।
• “অনুবন্ধী”-তে z₁-কে বাস্তব অক্ষ পেরিয়ে টানো, দেখো z₁ আর z̄₁ জায়গা বদলাচ্ছে।
• “ঘাত zⁿ”-এ z₁ প্রায় ১.১ + ০i রাখো আর n বাড়িয়ে ৮ করো। দেখো বিন্দুগুলো কত দ্রুত ছুটে যায়।
• “এককের n-তম মূল”-এ n ২ থেকে ৮ পর্যন্ত বাড়াও। বহুভুজ একটা করে কোণ পায়, আর মূলগুলোর যোগফল ০-ই থাকে।

সমাধান করা সমস্যা

ছয়টা চেনা প্রশ্ন। নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের একই ফাংশন দিয়ে হিসাব করা।

যেসব ভুল এড়িয়ে চলবে

এই ভুলগুলোতে বারবার নম্বর কাটা যায়।

• i² = −১ ভুলে গিয়ে উত্তরে i² রেখে দেওয়া।
• গুণের সময় মডুলাস যোগ করা। মডুলাস গুণ হয়; যোগ হয় আর্গুমেন্ট।
• চতুর্ভাগ না দেখে tan⁻¹(b/a) থেকে আর্গুমেন্ট নেওয়া। −১ + i দ্বিতীয় চতুর্ভাগে, চতুর্থে নয়।
• অনুবন্ধী দিয়ে গুণ না করেই ভাগ করা।
• n-তম মূলের মাত্র একটা বের করা। মূল n-টা, ৩৬০°/n ব্যবধানে।
• |z|² আর z² সমান ধরা। z অঋণাত্মক বাস্তব না হলে এরা সমান নয়।

জটিল সংখ্যার ব্যবহার কোথায়

বৈদ্যুতিক প্রকৌশলীরা পরিবর্তী প্রবাহ লেখেন জটিল সংখ্যায়, কারণ ঘূর্ণায়মান তীরই তরঙ্গের স্বাভাবিক ছবি। সিগন্যাল প্রসেসিং, রেডিও আর ওয়াই-ফাই ফুরিয়ার রূপান্তরের মাধ্যমে একই ধারণায় চলে।

কম্পিউটার গ্রাফিক্সে ২ডি ঘোরানোর দ্রুত উপায় জটিল গুণ, আর ম্যান্ডেলব্রট সেটের মতো ফ্র্যাক্টাল আসে জটিল সংখ্যা বারবার বর্গ করে। কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান এদের ছাড়া লেখাই যায় না।

পরীক্ষার কোণ

এইচএসসি উচ্চতর গণিত আর ভর্তি পরীক্ষার জন্য মনে রাখো।

• z = a + bi বসে (a, b)-তে। |z| = √(a² + b²)। আর্গুমেন্ট বের করার সময় চতুর্ভাগ দেখো।
• গুণফলে মডুলাস গুণ, আর্গুমেন্ট যোগ। ভাগফলে মডুলাস ভাগ, আর্গুমেন্ট বিয়োগ।
• সাধারণ আকারে ভাগ করতে লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী দিয়ে গুণ করো।
• ডি মোয়াভার: (r cis θ)ⁿ = rⁿ cis nθ। মূল: কোণকে n দিয়ে ভাগ করো, আর ৩৬০°k ÷ n যোগ করো।
• z³ = ১-এর মূল ১, ω, ω², আর ১ + ω + ω² = ০, ω³ = ১।

সচরাচর জিজ্ঞাসা