রিম্যান যোগফল: সরু ফালি দিয়ে বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল ধরা

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. “ফাংশন f(x)” থেকে একটি ফাংশন বাছো: x², x³, sin x, eˣ বা √x। কালো বক্ররেখাটি y = f(x)। অক্ষের ওপর দুটি কমলা দাগ হলো মাপার ব্যবধানের দুই প্রান্ত a ও b।
2. রঙিন ফালিগুলোই রিম্যান যোগফল। “ফালির সংখ্যা, n” স্লাইডারে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ঠিক করো। n = ৪ দিয়ে শুরু করো আর দেখো আয়তক্ষেত্রগুলো বক্ররেখার ওপরে বেরিয়ে আছে বা নিচে কম পড়ছে।
3. “কোন বিন্দুর উচ্চতা নেব” বাছো। বাঁ বা ডান প্রান্ত নিলে প্রতিটি ফালির কিনারার উচ্চতা ধরা হয়। মধ্যবিন্দুতে মাঝখানের উচ্চতা। ট্রাপিজিয়ামে দুই কিনারার উচ্চতা তির্যক রেখায় জোড়া হয়।
4. n স্লাইডার বাড়াও। “রিম্যান যোগফল” আর “সঠিক সমাকলন”-এর ভুল কমে। দেখো কোন নিয়মে সবচেয়ে দ্রুত কমে। প্লে চাপলে n নিজে নিজে বাড়তে থাকে।
5. a ও b টেনে ব্যবধান বদলাও। রং চিহ্ন বলে দেয়: নীল ফালি অক্ষের ওপরে, ধনাত্মক; লাল ফালি অক্ষের নিচে, ঋণাত্মক, তাই যোগফল হলো নিট ক্ষেত্রফল।
6. ভুলের ঘরটি পড়ো। “ভুল (যোগফল − সঠিক)”-এ চিহ্ন থাকে: ধনাত্মক মানে বেশি ধরেছ, ঋণাত্মক মানে কম। “আপেক্ষিক ভুল” সেটা আসল মানের শতকরা কত তা বলে।

বাঁকা কিনারার আকৃতির ক্ষেত্রফল

আয়তক্ষেত্র আর ত্রিভুজের সূত্র আছে। বাঁকা কিনারার আকৃতির সূত্র নেই। ভাবো, এক দিকে সোজা রাস্তা আর অন্য দিকে একেবেঁকে বয়ে যাওয়া নদী, মাঝের জমির ক্ষেত্রফল কত? সোজা কোনো সূত্র নেই। কিন্তু একটি সহজ কৌশল আছে: জমিটাকে খাড়া সরু ফালিতে কেটে ফেলো।

প্রতিটি সরু ফালি প্রায় আয়তক্ষেত্র, আর আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আমরা জানি। সবগুলো যোগ করলে পুরো জমির একটি আন্দাজ মেলে। ফালি আরও সরু করলে আন্দাজ আরও ভালো হয়। সমাকলনের পুরো ধারণা এটাই।

রিম্যান যোগফল বানানো

ব্যবধান [a, b] আর ফালির সংখ্যা n ঠিক করো। প্রতিটি ফালির প্রস্থ সমান, Δx = (b − a) / n। প্রতিটি ফালিতে একটি নমুনা বিন্দু নাও, সেখানে বক্ররেখার উচ্চতা পড়ো, আর ওই প্রস্থ ও উচ্চতার একটি আয়তক্ষেত্র আঁকো। তার ক্ষেত্রফল উচ্চতা × Δx।

এখানে [০, ৩] ব্যবধানে f(x) = x² আর n = ৪। ফালির প্রস্থ Δx = ০.৭৫। সঠিক ক্ষেত্রফল ৯, নিচে মিলিয়ে দেখব। রিম্যান যোগফল হলো চারটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের মোট।

উচ্চতা বাছার চার উপায়

নিয়মটি বলে দেয় ফালির কোথায় উচ্চতা পড়ব। ভিন্ন বাছাইয়ে ভিন্ন উত্তর আসে, আর প্রতিটির নিজস্ব স্বভাব আছে।

• বাঁ প্রান্ত: ফালির বাঁ কিনারার উচ্চতা। ওঠা বক্ররেখায় প্রতিটি আয়তক্ষেত্র বক্ররেখার নিচে থাকে, তাই যোগফল কম ধরে।
• ডান প্রান্ত: ডান কিনারার উচ্চতা। ওঠা বক্ররেখায় আয়তক্ষেত্র বক্ররেখার ওপরে বেরিয়ে থাকে, তাই যোগফল বেশি ধরে।
• মধ্যবিন্দু: মাঝখানের উচ্চতা। একদিকের বাড়তি আর অন্যদিকের কমতি প্রায় কাটাকাটি হয়ে যায়, তাই সাধারণত অনেক নিখুঁত।
• ট্রাপিজিয়াম: বাঁ আর ডান যোগফলের গড়। তির্যক মাথা সমতল মাথার চেয়ে বক্ররেখার গা ঘেঁষে থাকে।

এক উদাহরণে চার নিয়ম

[০, ৩] ব্যবধানে x² নিয়ে মাত্র চারটি ফালিতে চার নিয়ম। বাঁ যোগফল ৫.৯০৬৩, ডান যোগফল ১২.৬৫৬৩, একটি কম আর একটি বেশি, সঠিক মান ৯। মধ্যবিন্দু আর ট্রাপিজিয়াম অনেক কাছে।

ফালি বাড়ালে ভুল কমে

এবার বাঁ নিয়ম রেখে n বাড়াই। ছকে যোগফল, ভুল আর ভুল × n দেওয়া। শেষ কলাম −১৩.৫-এর কাছে থিতু হয়, অর্থাৎ ভুল কমে ১ ÷ n হারে। ফালি দ্বিগুণ করলে ভুল অর্ধেক।

অক্ষের ওপরে ও নিচে: চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল

x-অক্ষের নিচের আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা ঋণাত্মক, তাই তার অবদানও ঋণাত্মক। রিম্যান যোগফল আর তার সীমা, নির্দিষ্ট সমাকল, দুটোই নিট ক্ষেত্রফল: ওপরের ক্ষেত্র বিয়োগ নিচের ক্ষেত্র। সিমুলেশনে তাই ওপরের ফালি নীল আর নিচের ফালি লাল।

সাধারণ মোট ক্ষেত্রফল চাইলে বক্ররেখা যেখানে অক্ষ কাটে সেখানে ব্যবধান ভেঙে প্রতিটি অংশের পরম মান যোগ করো।

যোগফল থেকে সমাকল

n অসীমের দিকে নিলে ফালিগুলো অসীম সরু হয়, যোগফল একটি সংখ্যায় থিতু হয়, সেটাই নির্দিষ্ট সমাকল। এই সীমা আমরা হাতে কমই বের করি। তার বদলে প্রতিঅন্তরজ ব্যবহার করি: F′(x) = f(x) হলে a থেকে b পর্যন্ত সমাকল F(b) − F(a)।

সিমুলেশন “সঠিক সমাকলন” ঠিক এভাবেই দেখায়। x²-এর প্রতিঅন্তরজ x³/3, x³-এর x⁴/4, sin x-এর −cos x, eˣ-এর eˣ, আর √x-এর (2/3)x^(3/2)।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

ছয়টি ছোট পরীক্ষা, প্রতিটি এক মিনিটের।

• [০, ৩]-এ x² আর বাঁ নিয়ম বাছো। n ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত টানো। n দ্বিগুণ করলে ভুলের কী হয়?
• মধ্যবিন্দু নিয়মে n = ৪ করো। বাঁ নিয়মের n = ৪-এর ভুলের সঙ্গে তুলনা করো। n = ৮ হলে?
• sin x আর ডান নিয়ম বাছো। যোগফল সঠিক মানের ওপরে না নিচে? তরঙ্গের নামার অংশ ব্যবধানে ঢোকালে এটা বদলায় কেন?
• x³ বেছে a = −২ আর b = ২ করো। বাঁ দিকে ফালি লাল। সঠিক সমাকল কত? কেন?
• √x আর বাঁ নিয়ম বাছো। ০-তে বক্ররেখা খুব খাড়া, তাই কাছাকাছি আসা ধীর। ভুল ০.০৫-এর নিচে নামাতে কত ফালি লাগে?
• eˣ বেছে n = ১০-এ বাঁ আর ডান তুলনা করো। সঠিক উত্তর দুইয়ের মাঝখানে। ট্রাপিজিয়াম যোগফল কত কাছে?

সমাধানসহ আটটি সমস্যা

আটটি পরিচিত প্রশ্ন। নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের একই ফাংশন দিয়ে হিসাব করা।

সাধারণ ভুল

প্রতি বছর নম্বর কাটা যায় এমন চারটি ভুল।

• ফালির বদলে বিন্দুর সংখ্যা ধরা। Δx = (b − a) ÷ ফালির সংখ্যা।
• Δx দিয়ে গুণ করতে ভুলে যাওয়া। শুধু উচ্চতা যোগ করলে ক্ষেত্রফল হয় না।
• বাঁ নিয়মে ডান প্রান্ত পড়া (বা উল্টো)। আগে নমুনা বিন্দুগুলো লিখে নাও।
• ঋণাত্মক সমাকলকে ভুল মনে করা। এর মানে শুধু অক্ষের নিচে ক্ষেত্র বেশি।

রিম্যান যোগফল কোথায় কাজে লাগে

বেগ-সময় লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফলই অতিক্রান্ত দূরত্ব, আর গাড়ির ট্রিপ কম্পিউটার সরু সময়ের ফালি যোগ করেই তা বের করে। মোট বৃষ্টি, বাড়ির ব্যবহৃত শক্তি, বদলে যাওয়া বলের কাজ, রক্তে ওষুধের পরিমাণ, সবই বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্র। যে ফাংশনের সুন্দর প্রতিঅন্তরজ নেই, কম্পিউটার সেখানে এই নিয়মগুলোরই উন্নত রূপ ব্যবহার করে।

পরীক্ষার জন্য

এসএসসি উচ্চতর গণিত, এইচএসসি ও প্রথম বর্ষে এই অধ্যায়ের সাধারণ প্রশ্ন।

• প্রদত্ত আয়তক্ষেত্র বা ট্রাপিজিয়াম দিয়ে ক্ষেত্রফলের আন্দাজ করা এবং তা বেশি না কম ধরেছে বলা।
• প্রদত্ত n, a, b-এর জন্য Σ চিহ্নে যোগফল লেখা।
• প্রতিঅন্তরজ দিয়ে নির্দিষ্ট সমাকল বের করে যোগফলের সঙ্গে তুলনা করা।
• n দ্বিগুণ হলে ভুল কীভাবে বদলায় বলা।

সংক্ষেপে পুনর্বিবেচনা

Δx = (b − a) / n। উচ্চতা × Δx-এর যোগফল। বাঁ, ডান, মধ্যবিন্দু, ট্রাপিজিয়াম। n বাড়লে ভুল কমে: বাঁ ও ডানে 1/n হারে, মধ্যবিন্দু ও ট্রাপিজিয়ামে 1/n² হারে। যোগফলের সীমাই নির্দিষ্ট সমাকল, F(b) − F(a)।

সচরাচর জিজ্ঞাসা