সীমা: ε আর δ-র একটা খেলা

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. “ফাংশন f(x)” থেকে একটা ফাংশন বেছে নাও। মোটা বক্ররেখাটা y = f(x)। খাড়া বিন্দুযুক্ত রেখাটা a বিন্দু, যাকে লেখচিত্রে টেনে অথবা “বিন্দু a” স্লাইডার দিয়ে সরানো যায়।
2. কমলা আনুভূমিক ব্যান্ডটা ε-ব্যান্ড: সীমার মান L থেকে ε-র মধ্যে থাকা উচ্চতার ফালি। “ε” মানে উত্তরে তুমি কতটা ভুল মেনে নিতে রাজি। “ε” স্লাইডার দিয়ে এটা বদলাও।
3. সবুজ খাড়া ব্যান্ডটা δ-ব্যান্ড: a-র চারপাশে x-এর সবচেয়ে চওড়া সেই ফালি, যার ভেতরে (শুধু x = a বিন্দুটা বাদে) বক্ররেখা কমলা ব্যান্ডের ভেতরেই থাকে। “যে δ কাজ করে (সবচেয়ে বড়)” রিডিং এর অর্ধেক-প্রস্থ দেখায়।
4. প্লে চাপো। ε বারবার ছোট হয়, সবুজ ব্যান্ডও সরু হয়। পুরো সংজ্ঞাটাই এখানে চলছে: তুমি যে ε-ই বাছো, একটা δ থাকবেই।
5. “বাম দিকের সীমা” আর “ডান দিকের সীমা” দেখো। দুটো সমান হলে সীমা আছে এবং L হিসেবে দেখানো হয়। বক্ররেখার ফাঁপা বৃত্ত মানে সেখানে ফাংশনের নিজের কোনো মান নেই।
6. শেষ ফাংশনটা, লাফ, বেছে নাও। a-কে ০-তে রাখো। দুই পাশ আলাদা, আর ε ১ বা তার কম হলে সবুজ ব্যান্ড হারিয়ে গিয়ে “কোনো δ কাজ করে না” লেখা আসে।

“কাছে যাওয়া” আসলে কী?

ধরো তুমি একটা দোকানের দিকে হাঁটছ। কাছে যাচ্ছ, আরও কাছে যাচ্ছ। “কাছে যাওয়া” মানে পথচলা, পৌঁছানো নয়। সীমাও ফাংশনকে একই প্রশ্ন করে: x যখন a সংখ্যাটার দিকে এগোয়, f(x) কোন উচ্চতার দিকে এগোয়? a-তে কী ঘটে সেটা আমরা জিজ্ঞেসই করি না, শুধু তার আশপাশে।

এই পার্থক্যটা জরুরি। (x² − 1)/(x − 1) নাও। x = 1-এ এটা ০ ÷ ০, অর্থহীন, তাই ফাংশনের সেখানে কোনো মানই নেই। কিন্তু বাকি সব x-এ সে ঠিকঠাক কাজ করে। সীমা আমাদের এমন একটা জায়গা নিয়েও কাজের কথা বলতে দেয়, যেখানে ফাংশন নিজে উত্তর দিতে চায় না।

ε–δ খেলা

বইয়ে সংজ্ঞাটা গ্রিক অক্ষরে লেখা, দেখে ভয় লাগে। আসলে এটা দুজনের খেলা। তুমি সন্দেহবাদী, তুমি একটা সহনসীমা ε বাছো, খুব ছোট ধনাত্মক সংখ্যা: “আমি চাই f(x) যেন L থেকে ε-র মধ্যে থাকে।” অন্য খেলোয়াড়কে δ দিয়ে উত্তর দিতে হবে: “তাহলে x-কে a থেকে δ-র মধ্যে রাখো, তোমাকে কথা দিচ্ছি পাবে।”

তুমি যত ছোট ε-ই ছুড়ে দাও, দ্বিতীয়জন যদি প্রতিবার উত্তর দিতে পারে, তবে সীমা L। এমনকি একটা ε-র জন্যও যদি কোনো δ না মেলে, দাবিটা মিথ্যা। সিমুলেশনে কমলা ব্যান্ড তোমার দাবি, সবুজ ব্যান্ড তার উত্তর।

• 0 < |x − a| মানে x, a-র কাছে কিন্তু a-র সমান নয়। x = a বিন্দুটা ইচ্ছে করেই বাদ দেওয়া।
• |f(x) − L| < ε মানে উচ্চতা কমলা ব্যান্ডের ভেতরে।
• δ ঠিক হয় ε-র ওপর নির্ভর করে। ε আঁটসাঁট হলে সাধারণত δ ছোট লাগে।

সরলরেখা: δ হলো ε-কে ঢাল দিয়ে ভাগ

f(x) = 2x − 1, a = 1 দিয়ে শুরু করি, এখানে L = ১। x-কে δ নড়ালে f(x) নড়ে দ্বিগুণ, তাই আউটপুটের ভুল ২δ। ২δ-কে ε-র নিচে রাখতে হলে δ = ε/২। নিচের সারণি সিমুলেশনের নিজের খোঁজ থেকে হিসাব করা, আর মিলে যায়।

বক্ররেখা: x² নিয়মটা একটু বাঁকায়

এবার a = 1-এ f(x) = x², L = ১। ১-এর ডানে বক্ররেখা বাঁয়ের চেয়ে খাড়া, তাই দুই পাশ আলাদা প্রস্থ দেয়, আর নিরাপদ δ হলো ছোটটা। সিমুলেশনে সবুজ ব্যান্ড a-র দুই পাশে সমান, আঁটসাঁট পাশ অনুযায়ী মাপা।

• ε ছোট হলে ε দশ ভাগ করলে δ-ও মোটামুটি দশ ভাগ ছোট হয়। বিন্দুর কাছে মসৃণ বক্ররেখা নিজের স্পর্শকের মতো দেখায়, তাই আবার δ ≈ ε / ঢাল।
• আলাদা জায়গায় একই ε-র জন্য আলাদা δ লাগে। a = ২-এ ঢাল ৪ আর L = ৪, সেখানে ε = ০.৫ হলে δ = ০.১২১৩।

গর্ত: সীমা আছে, মান নেই

(x² − 1)/(x − 1) বেছে নাও। ১ ছাড়া প্রতিটি x-এর জন্য এটা x + 1-এর সমান, তাই লেখচিত্র y = x + 1 সরলরেখা, শুধু একটা বিন্দু উধাও, ফাঁপা বৃত্তে আঁকা। x দুই পাশ থেকে ১-এর কাছে এলে উচ্চতা ২-এর দিকে ঘনিয়ে আসে।

• f(1) সংজ্ঞাহীন হলেও সীমা ২।
• এখানে সবুজ ব্যান্ড ε-র সমান চওড়া, কারণ রেখার ঢাল ১। ε = ০.৫, ০.১ ও ০.০১-এর জন্য সবচেয়ে বড় δ হলো ০.৫০০০, ০.১০০০, ০.০১০০।
• এই ফাঁককে বলে অপসারণযোগ্য অসন্তত্য: f(1) = ২ ধরে নিলেই গর্ত ভরাট।

০-তে sin x / x: সবচেয়ে বিখ্যাত সীমা

sin x / x বেছে a-কে ০-তে রাখো। x = ০-তে আবার ০ ÷ ০, বক্ররেখায় ফাঁপা বৃত্ত। অথচ দুই পাশের মানগুলো দেখো: সব ঘনিয়ে আসছে ১-এর দিকে।

লাফ: যখন কোনো δ-ই কাজ করে না

লাফ ফাংশনটা বেছে নাও: ঋণাত্মক সব x-এ এর মান -১, আর ০ থেকে শুরু করে ১। a-কে ০-তে রাখো। বাম দিক থেকে উচ্চতা -১-এর দিকে যায়, ডান দিক থেকে ১-এর দিকে। দুই একমুখী সীমা আলাদা, তাই একটাই L নেই।

তবু সিমুলেশন মাঝের মান ০-কে ঘিরে ব্যান্ড আঁকে, যাতে তুমি চেষ্টা করতে পারো। ε ১ বা কম হলে ০-র যত কাছেই থাকো, বক্ররেখা ব্যান্ডের বাইরে উঁকি দেয়, সারণিতেও তাই।

• ε = ০.৫ ও ০.৯: δ = ০। কোনো প্রস্থই বাঁচায় না, কারণ দুই টুকরোই মাঝের মান থেকে পুরো এক একক দূরে।
• ε = ১.১: যেকোনো δ চলে, কারণ পুরো বক্ররেখা ০ থেকে ১.১-এর মধ্যে। এমন ঢিলেঢালা দাবি কিছুই প্রমাণ করে না। সীমাকে প্রতিটি ε, ছোটগুলোসহ, পার করতে হয়।
• লাফ থেকে দূরে, ধরো a = ২-এ, দুই পাশ আবার মেলে (দুটোই ১) আর সীমা আছে।

বাম, ডান, আর কখন সীমা থাকে

বাম দিকের সীমা শুধু x < a ব্যবহার করে, ডান দিকেরটা শুধু x > a। সাধারণ সীমা তখনই থাকে যখন দুটোই আছে এবং সমান। বাস্তবে এটাই সবচেয়ে দ্রুত পরীক্ষা: দুই পাশ হিসাব করো, মেলাও।

সন্ততা আরও জোরালো দাবি। a-তে ফাংশন সন্তত হয় যখন সীমা আছে, a-তে ফাংশনের মান আছে, আর দুটো সমান। গর্ত দ্বিতীয় শর্ত ভাঙে, লাফ প্রথমটা, তাই সিমুলেশনের গর্ত আর লাফ দুই ফাংশনই নিজেদের বিশেষ বিন্দুতে অসন্তত।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

ছয়টা ছোট পরীক্ষা, এক মিনিট করে।

• ২x − ১ বেছে প্লে চাপো। সবুজ ব্যান্ড ঠিক কমলার অর্ধেক চওড়া থাকে।
• থামিয়ে a-কে x²-এর ওপর ২.৫-এর মতো বড় মানে টানো। একই ε-তে কি একই δ থাকে?
• গর্ত ফাংশনটা বেছে a-কে ১-এ টানো। ফাঁপা বৃত্ত দেখো। এবার a = ২: বৃত্ত ভরাট বিন্দু হয়ে গেল।
• sin x / x বেছে বড় ε = ১.৫ দাও। সবুজ ব্যান্ড বিশাল। ε ছোট করো, ০-র চারপাশে সরু হতে দেখো।
• লাফ বেছে a = ০ আর ε = ০.৫ দাও। “কোনো δ কাজ করে না” আসবে। ε ১-এর ওপরে তোলো। ব্যান্ড ফিরে আসে কেন?
• লাফে a-কে ১-এ টানো। সীমা এখন আছে। ০-র লাফে পৌঁছানোর আগে δ কত চওড়া হতে পারে?

সমাধান করা অঙ্ক

ছয়টা প্রচলিত প্রশ্ন। নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের কোড দিয়ে গণনা করা।

যেসব ভুল এড়াবে

এই ভুলগুলোতে বারবার নম্বর কাটা যায়।

• সীমাকে f(a) ভাবা। সীমা a-তে কী ঘটে তা দেখে না; গর্ত আর sin x / x ফাংশনে f(a) নেইই।
• দুই পাশ আলাদা হলেও সীমা লিখে ফেলা। a-তে ফাংশনের নিয়ম বদলালে দুই পাশই দেখো।
• আগে δ বাছা। সংজ্ঞায় ε আগে আসে, তা থেকে δ বের হয়।
• ঠিক ওই বিন্দুতে শূন্য এমন উৎপাদক কেটে ভুলে যাওয়া যে মূল ফাংশন সেখানে এখনও সংজ্ঞাহীন।
• ০ ÷ ০ = ১ লেখা। ০ ÷ ০ অর্থহীন। এটা উৎপাদকে ভাঙার ইঙ্গিত, উত্তর নয়।

সীমা কোথায় কাজে লাগে

প্রতিটি অন্তরজ একটা সীমা (ব্যবধান শূন্যের দিকে গেলে ছেদকের ঢাল), আর প্রতিটি সমাকলনও একটা সীমা (ফালি সরু হলে চিকন ফালির যোগফল)। সীমা ছাড়া ক্যালকুলাস নেই।

প্রকৌশলীরা একই ধারণা সহনসীমায় ব্যবহার করেন: একটা যন্ত্রাংশ নির্দিষ্ট মাপের ε-র মধ্যে থাকতে হবে, আর প্রশ্ন হলো মেশিন কতটা নিখুঁত সেট করা চাই, মানে δ। কম্পিউটার বিজ্ঞানে অভিসৃতিতে: উত্তর ε-র মধ্যে আসতে কত ধাপ লাগে।

পরীক্ষার কোণ

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ও ভর্তি পরীক্ষার জন্য মনে রাখো।

• আগে বসিয়ে দেখো। সংখ্যা পেলে সেটাই সীমা। ০/০ পেলে উৎপাদকে ভাঙো, মূলদীকরণ করো বা প্রমিত সীমা কাজে লাগাও।
• প্রমিত সীমা lim (x → 0) sin x / x = ১ বারবার লাগে, x রেডিয়ানে।
• সীমা নেই দেখাতে দুটি আলাদা একমুখী সীমা, অথবা ভিন্ন উত্তরের দুটি পথ বের করো।
• আনুষ্ঠানিক ε–δ প্রমাণে |f(x) − L| < ε থেকে উল্টো দিকে কাজ করে |x − a| কত হওয়া চাই বের করো, তারপর প্রমাণটা সোজা দিকে লেখো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা