সদৃশ ত্রিভুজ: আকৃতি এক, মাপ আলাদা, একটাই স্কেল ফ্যাক্টর

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. “স্কেল ও অনুপাত” মোড দিয়ে শুরু করো। নীল ত্রিভুজ ABC স্থির, আর DEF তারই k গুণ বড় প্রতিলিপি (শুরুতে k = ১.৫০)। Play চাপো আর দেখো প্রতিলিপি একই মাপ থেকে বাড়তে বাড়তে নিজের চূড়ান্ত মাপে পৌঁছায়, অথচ প্রতিটি অনুরূপ কোণের চিহ্ন একই থাকে।
2. “স্কেল ফ্যাক্টর” স্লাইডার ০.৫ থেকে ৩-এর মধ্যে টানো। ১-এর কম হলে প্রতিলিপি ছোট হয়, ১ হলে একই ত্রিভুজ, ১-এর বেশি হলে বড়। রিডিংয়ে তিনটা বাহুর অনুপাতই k-এর সমান। পরিসীমার অনুপাতও k, কিন্তু ক্ষেত্রফলের অনুপাত k²।
3. “কোণ A” বদলাও। তাতে পুরো পরিবারটাই বদলে যায়: শুরুর ত্রিভুজ আলাদা, প্রতিলিপিও আলাদা। তবু ABC আর DEF-এর কোণগুলো জোড়ায় জোড়ায় সমান থাকে, ঠিক যেটার প্রতিশ্রুতি “সদৃশ” শব্দটা দেয়।
4. “সদৃশতার শর্ত” মোডে গিয়ে SSS, SAS বা AA বেছে নাও। বাঁ দিকে একটা আদর্শ ত্রিভুজ আছে। ডান দিকে স্লাইডার দিয়ে নিজের ত্রিভুজ বানাও; সিমুলেশন পূর্ণসংখ্যার নির্ভুল হিসাবে বলে দেবে দুটো সদৃশ কি না।
5. প্রতিটি শর্ত ভাঙার চেষ্টা করো। SSS-এ একটা বাহু ১ বদলালেই তিন অনুপাত আর মেলে না। SAS-এ দুই অনুপাত সমান রেখে কোণটা একটু নাড়াও। AA-তে একটা কোণ বদলালে তৃতীয় কোণও সঙ্গে সঙ্গে সরে যায়।
6. শেষে “ছায়া থেকে উচ্চতা” দেখো। সূর্যকে নিচে নামাও, দুটো ছায়াই একসঙ্গে লম্বা হয়। দুই ছায়ার অনুপাত বদলায় না, তাই মানুষের উচ্চতা আর দুই ছায়া থেকে পাওয়া গাছের উচ্চতাও একই থাকে।

ছবি জুম করলেও আকৃতি বদলায় না

ফোনে একটা ছবি খুলে ১৫০% জুম করো। সবকিছু বড় হয়, কিন্তু কারো মুখ লম্বা বা চওড়া হয়ে যায় না। পেছনের মিনারটা সামনের দরজার তুলনায় যতটা উঁচু ছিল, এখনও ততটাই। সদৃশ আকৃতির পুরো ধারণাটা এটাই: এমন নিখুঁত বড় বা ছোট করা, যা অনুপাত নষ্ট করে না। জুম করা ছবিটা প্রিন্ট করলে প্রতিটি দৈর্ঘ্য হতো আগের ১.৫০ গুণ, আর কাগজ লাগত ২.২৫ গুণ।

ত্রিভুজ হলো এই গুণের সবচেয়ে সহজ আকৃতি, আর সদৃশ ত্রিভুজ স্কুলের জ্যামিতির সবচেয়ে কাজের হাতিয়ারগুলোর একটা। জরিপকারীরা পাহাড়ের উচ্চতা মাপেন এ দিয়ে, স্থপতিরা নকশা ছোট-বড় করেন এ দিয়ে, এমনকি তোমার চোখও এটা ব্যবহার করে: দূরের গাড়িকে ছোট দেখায়, কারণ তার মাথা আর তলা থেকে চোখ পর্যন্ত যে ত্রিভুজ, তা কাছের গাড়ির ত্রিভুজেরই ছোট প্রতিলিপি।

“সদৃশ” বলতে আসলে কী বোঝায়

দুটো ত্রিভুজ ABC আর DEF সদৃশ হয় যখন একসঙ্গে দুটো জিনিস সত্য। এক, কোণগুলো জোড়ায় সমান: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E আর ∠C = ∠F। দুই, অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত একই: DE ÷ AB = EF ÷ BC = FD ÷ CA। এই সাধারণ অনুপাতই স্কেল ফ্যাক্টর k। আমরা লিখি ABC ~ DEF, আর অক্ষরের ক্রমটা জরুরি, কারণ কোন শীর্ষ কোনটার সঙ্গে মিলছে সেটা ওই ক্রম থেকেই বোঝা যায়।

সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলোকে বলে অনুরূপ বাহু। সিমুলেশনে অনুরূপ শীর্ষ হলো A ও D, B ও E, C ও F; তাই AB-এর সঙ্গে DE, BC-এর সঙ্গে EF আর CA-এর সঙ্গে FD মেলে। বাহু মেলাবে সব সময় কোণ দেখে, ছবিতে কেমন দেখাচ্ছে তা দেখে নয়, কারণ সদৃশ ত্রিভুজ ঘোরানো বা উল্টানো থাকতে পারে।

সর্বসম ত্রিভুজ হলো বিশেষ ক্ষেত্র যেখানে k = ১: আকৃতিও এক, মাপও এক। দুটো ত্রিভুজ সর্বসম হলে অবশ্যই সদৃশ, কিন্তু সদৃশ ত্রিভুজ প্রায় কখনোই সর্বসম নয়।

স্কেল ফ্যাক্টর আর k, k, k² নিয়ম

সদৃশ ত্রিভুজের সবকিছু একটা সংখ্যার ওপর দাঁড়িয়ে: স্কেল ফ্যাক্টর k। DEF যদি ABC-এর k গুণ বড় হয়, তাহলে DEF-এর প্রতিটি বাহু ABC-এর অনুরূপ বাহুর k গুণ। তিন বাহু যোগ করলে পরিসীমাও k গুণ হয়, কারণ পরিসীমা তো তিনটা দৈর্ঘ্যের যোগফল, আর প্রতিটা k গুণ।

ক্ষেত্রফল আলাদা। ক্ষেত্রফল সমতলের জায়গা মাপে, যার দুটো দিক আছে; তাই দৈর্ঘ্য আর প্রস্থ দুটোই k গুণ হয়, আর ক্ষেত্রফলে আসে k × k গুণক। সিমুলেশনের রিডিংয়ে ক্ষেত্রফলের অনুপাত সব সময় ঠিক k²-এ এসে থামে।

তিনটি শর্ত: সবকিছু যাচাই করতে হয় না

সংজ্ঞা বলে তিন জোড়া কোণ আর তিনটা অনুপাত মেলাতে হবে। এটা অনেক কাজ। সৌভাগ্যক্রমে ত্রিভুজের আকৃতি এত শক্ত যে কয়েকটা তথ্যেই বাকিটা ঠিক হয়ে যায়। তিনটা শর্তই যথেষ্ট, আর পরীক্ষায় এগুলোই আসে।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

পাঁচটা ছোট পরীক্ষা শর্তগুলোকে হাতে-কলমে বুঝিয়ে দেবে। শুধু পড়ো না, স্লাইডার নাড়াও।

• “স্কেল ও অনুপাত” মোডে k = ২.৫০ করো। ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৬.২৫, মানে ২.৫০ × ২.৫০। এবার k = ৩ করলে অনুপাত হয় ৯।
• k = ১ করো। প্রতিলিপি ঠিক আগের মাপেই বসে, ত্রিভুজ দুটো সর্বসম। এটাই “k = ১” বিশেষ ক্ষেত্র।
• “সদৃশতার শর্ত” মোডে SSS বেছে d, e, f করো ৮, ১২, ১৬। সিদ্ধান্ত আসবে সদৃশ, k = ২। f বদলে ১৫ করলেই সিদ্ধান্ত উল্টে যাবে।
• SAS বেছে d আর e-কে ৪ ও ৬-এর সমানুপাতিক করো, যেমন ৮ ও ১২। অন্তর্ভুক্ত কোণ ঠিক ৫০° হলেই সদৃশ। ৫১° করলে আর মেলে না।
• AA বেছে D = ৫০° আর E = ৬০° করলে ত্রিভুজ সদৃশ। D = ৬০° আর E = ৫০° করলেও সদৃশ, শুধু ঘুরে গেছে, কারণ একই তিন কোণ ভিন্ন ক্রমে এসেছে।

অনুরূপতা ঠিকভাবে লেখা

সদৃশতার অঙ্কে বেশির ভাগ নম্বর কাটা যায় ভুল বাহু মেলাতে গিয়ে। একটা নিরাপদ নিয়ম ধরো। প্রথমে সমান কোণগুলো খুঁজে নাও। তারপর শীর্ষগুলো মিলিয়ে ক্রমে সদৃশতা লেখো, যেমন A = D, B = E, C = F হলে ABC ~ DEF। শেষে অক্ষর দেখেই অনুপাত লেখো: AB ÷ DE = BC ÷ EF = CA ÷ FD।

ছবিটা অন্যরকম দেখালে একটা ত্রিভুজ কাগজে আবার এমনভাবে আঁকো যাতে দুটোর দিক এক হয়। ঘুরিয়ে বা উল্টে নিলেও সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশই থাকে, তাই এতে কোনো ক্ষতি নেই, বরং অনুরূপ বাহুগুলো চোখে পাশাপাশি পড়ে।

• বড়তম বাহু সব সময় বড়তম বাহুর সঙ্গে মেলে, ছোটতম ছোটতমের সঙ্গে।
• বাহু তার বিপরীত কোণের সঙ্গে বাঁধা, তাই সমান কোণ থেকে অনুরূপ বাহু পাওয়া যায়।
• অনুপাত “ছোট ত্রিভুজ ÷ বড় ত্রিভুজ” বা উল্টোটা লিখতে পারো, কিন্তু প্রতিটি ভগ্নাংশে একই দিক রাখো।

ত্রিভুজের ভেতরে সমান্তরাল রেখা

ত্রিভুজ ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল করে DE আঁকো, যেখানে D আছে AB-তে আর E আছে AC-তে। ছোট ত্রিভুজ ADE আর বড় ত্রিভুজ ABC-এর A কোণ সাধারণ, আর সমান্তরাল রেখার জন্য ∠ADE = ∠ABC এবং ∠AED = ∠ACB। এটা তো AA, তাই ADE ~ ABC।

এই সহজ ছবিটাই সমানুপাতিক উপপাদ্য (থালিসের উপপাদ্য): ত্রিভুজের এক বাহুর সমান্তরাল রেখা অন্য দুই বাহুকে একই অনুপাতে ভাগ করে। প্রমাণটা ওই সদৃশতাই, যা তুমি আগেই দেখেছ।

ছায়া দিয়ে উঁচু গাছ মাপা

গাছে উঠে ফিতা ধরে কেউ মাপতে চায় না। বরং রোদের দিনে গাছের পাশে দাঁড়াও। সূর্যের রশ্মি প্রায় সমান্তরাল, তাই গাছ আর তুমি একই কোণে আলো পাও। গাছ আর তার ছায়া একটা সমকোণী ত্রিভুজ বানায়, তুমি আর তোমার ছায়া বানায় আরেকটা, যার কোণগুলো একই। AA দিয়ে ত্রিভুজ দুটো সদৃশ।

তাই উচ্চতা ÷ ছায়া অনুপাত দুটোর জন্যই এক। নিজের উচ্চতা, নিজের ছায়া আর গাছের ছায়া মাপলেই একটা সমানুপাত থেকে গাছের উচ্চতা বেরিয়ে আসে। সিমুলেশনে “ছায়া থেকে উচ্চতা” মোডে সূর্য সরাও: ছায়া লম্বা হয়, কিন্তু দুই ছায়ার অনুপাত আর গাছের উচ্চতার হিসাব নড়ে না।

সমাধান করা অঙ্ক

নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের সূত্র দিয়েই হিসাব করা।

সচরাচর ভুল

এই ভুলগুলোতে প্রতিবার পরীক্ষায় নম্বর কাটা যায়। খাতা জমা দেওয়ার আগে মিলিয়ে নাও।

• পাতার অবস্থান দেখে বাহু মেলানো, অথচ মেলাতে হবে বিপরীত কোণ দেখে। দরকার হলে ছবি আবার আঁকো।
• ক্ষেত্রফলের অনুপাতকে বাহুর অনুপাত ভাবা। ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৯ : ২৫ হলে বাহুর অনুপাত ৩ : ৫, ৯ : ২৫ নয়।
• SSS-এ মাত্র দুটো অনুপাত মেলানো। তিনটাই মিলতে হবে।
• SAS-এ বেছে নেওয়া দুই বাহুর মাঝের কোণ না নিয়ে অন্য কোণ নেওয়া।
• শুধু কোণ সমান হলেই সর্বসম ভাবা। কোণ সমান হলে সদৃশ হয়; সর্বসম হতে হলে অন্তত একটা বাহুও সমান লাগে।

বাস্তব জীবনে সদৃশ ত্রিভুজ

মানচিত্র আঁকিয়েরা সদৃশতার ওপর নির্ভর করেন: মানচিত্র হলো জমির ছোট করা প্রতিলিপি, যার স্কেল ফ্যাক্টর হয়তো ১ : ৫০,০০০। দূরত্ব ৫০,০০০ গুণ, আর ক্ষেত্রফল ৫০,০০০ × ৫০,০০০ গুণ হয়। স্থপতির নকশা আর গাড়ি-প্লেন-দালানের মডেল সবই k দিয়ে বানানো।

ছবি ক্রপ আর রিসাইজ করার সময় আলোকচিত্রী এটা ব্যবহার করেন। চিত্রশিল্পী গ্রিড দিয়ে ছোট স্কেচ দেয়ালে বড় করেন। জরিপকারী নদী পার না হয়েই তার প্রস্থ মাপেন: নিজের পাড়ে ছোট একটা ত্রিভুজ বানান, যা নদী ছুঁয়ে যাওয়া বড় ত্রিভুজের সদৃশ।

এমনকি ভিডিও গেমে দূরের জিনিস ছোট হয়ে যাওয়ার পেছনেও এই ত্রিভুজই। যেখানেই মাপ বদলালেও আকৃতি ঠিক রাখতে হয়, সেখানেই সদৃশ ত্রিভুজ আছে।

পরীক্ষার কোণ

অষ্টম থেকে দশম শ্রেণির সদৃশ ত্রিভুজের প্রশ্ন বেশির ভাগই পাঁচ ধরনের। লেখা শুরুর আগে ধরনটা চিনে নাও।

• দুটো ত্রিভুজ সদৃশ প্রমাণ: দুই জোড়া সমান কোণ (AA) বা তিন সমানুপাতিক বাহু (SSS) খোঁজো।
• অজানা বাহু: অক্ষর মিলিয়ে সমানুপাত লিখে আড়গুণন করো।
• ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা: ক্ষেত্রফলে অনুপাতের বর্গ, পরিসীমায় সাধারণ অনুপাত।
• ত্রিভুজের ভেতরে সমান্তরাল রেখা: AD ÷ DB = AE ÷ EC আর DE ÷ BC = AD ÷ AB ব্যবহার করো।
• উচ্চতা ও ছায়া: উচ্চতা আর ছায়ার সমানুপাত বানাও।

দ্রুত পুনরালোচনা

এই পাতা থেকে কিছু মনে রাখতে হলে এই লাইনগুলো রাখো।

• k = ১ হলে ত্রিভুজ সর্বসম।
• বাহু মেলাও যে কোণের বিপরীতে তাকে দেখে।
• একই সময়ের ছায়া সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজ বানায়।

সচরাচর জিজ্ঞাসা