sin, cos, tan-এর ঢেউ টেনে টেনে বদলাও

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. প্রথমে “কোন অপেক্ষক” থেকে সাইন, কোসাইন বা ট্যানজেন্ট বেছে নাও। ফিকে ছাই-রঙা ড্যাশ লেখটা মূল অপেক্ষক, গাঢ় রেখাটা তোমার বদলানো লেখ।
2. “বিস্তার গুণক, A” স্লাইডার টানো: ঢেউ লম্বা বা খাটো হয়, আর ঋণাত্মক A-তে উল্টে যায়। পরিমাপ প্যানেলের “বিস্তার |A|” ঘরটা মিলিয়ে দেখো।
3. “কম্পাঙ্ক গুণক, B” বাড়ালে ঢেউ চাপা পড়ে, পর্যায়কাল ছোট হয়। লেখের নিচের বন্ধনী ঠিক এক পর্যায়কাল দেখায়।
4. “দশা, C” দিয়ে ঢেউকে পাশে সরাও, আর “উলম্ব সরণ, D” দিয়ে মধ্যরেখা ওপরে-নিচে নাও। সবুজ বিন্দু লেখ বেয়ে চলবে; ▶ চেপে থামাতে বা চালাতে পারো।
5. ট্যানজেন্ট বেছে নিয়ে লাল ড্যাশ রেখাগুলো দেখো: ওগুলো অসীমতট, যেখানে tan সংজ্ঞাহীন। “অক্ষের একক” বদলে ডিগ্রি আর π-এর গুণিতকের মধ্যে ঘুরে দেখো।

ঢেউ সবখানে: কেন sin আর cos-এর ছবি আঁকি

পুকুরে ঢিল ফেললে ঢেউ ওঠে-নামে। হারমোনিয়ামের সুর, নদীর জোয়ার-ভাটা, বাসার সুইচবোর্ডের বিদ্যুৎ, এমনকি ঘুরন্ত নাগরদোলার সিটের উচ্চতা: সবই নির্দিষ্ট সময় পরপর নিজেকে হুবহু পুনরাবৃত্তি করে। গণিতে এই পুনরাবৃত্ত আচরণ ধরার সবচেয়ে সহজ যন্ত্র হলো সাইন আর কোসাইন লেখ।

শুধু মূল sin x আঁকলে চলে না, কারণ বাস্তবের ঢেউ কখনো বড়, কখনো ঘন ঘন, কখনো দেরিতে শুরু। তাই আমরা মূল ঢেউকে চারভাবে বদলাই: লম্বা-খাটো করা, চেপে ধরা, পাশে সরানো আর ওপরে-নিচে তোলা। এই পাঠে সেই চারটা বদলই নিজের হাতে করবে।

একক বৃত্ত থেকে ঢেউ: sin x-এর লেখ আসে কোথা থেকে

একক বৃত্তে একটা বিন্দু ঘুরছে। কোণ θ হলে বিন্দুর উচ্চতা sin θ, আর বাম-ডান অবস্থান cos θ। এবার ওই উচ্চতাটা কোণ বাড়ার সাথে সাথে ডানে রাখতে থাকো, তাহলে একটা মসৃণ ঢেউ আঁকা হয়ে যায়: এটাই y = sin x-এর লেখ। cos x-এর লেখ বানাতে উচ্চতার বদলে বাম-ডান অবস্থানটা বসাও।

দুটো লেখই ৩৬০° পরপর নিজেকে পুনরাবৃত্তি করে, তাই sin আর cos-এর মূল পর্যায়কাল ৩৬০° (রেডিয়ানে ২π)। সর্বোচ্চ মান ১, সর্বনিম্ন -১। sin ০°-এ শুরু হয়ে ওঠে, আর cos শুরু হয় চূড়া থেকে: cos x আসলে sin x-কেই ৯০° বামে সরানো রূপ।

tan x = sin x ÷ cos x। যেখানে cos x = ০ (৯০°, ২৭০° …), সেখানে ভাগ চলে না, তাই tan সংজ্ঞাহীন এবং লেখ ওই রেখার দু-পাশে অসীমে চলে যায়। এমন উলম্ব রেখাকেই বলে অসীমতট। tan-এর পর্যায়কাল মাত্র ১৮০°।

মূল সূত্র: y = A·f(Bx + C) + D

যেকোনো সাইন-কোসাইন-ট্যানজেন্ট লেখ এই এক ছাঁচে পড়ে। f মানে sin, cos বা tan, আর চারটা সংখ্যা A, B, C, D বলে দেয় ঢেউ কেমন হবে। নিচে প্রতিটার কাজ এক লাইনে, পরে আলাদা করে দেখব।

শব্দগুলো সহজ ভাষায়

পরীক্ষায় এই শব্দগুলো ঘুরেফিরে আসে। টেবিলে প্রতিটার মানে আর সিমুলেশনের ডিফল্ট লেখ থেকে মান দেওয়া হলো।

A: বিস্তার, ঢেউ কত উঁচু আর উল্টে গেলে কী হয়

A বদলালে ঢেউ শুধু লম্বায় বদলায়, ঘন-ফাঁকা হয় না। y = ৩ sin x হলে ঢেউ ৩ পর্যন্ত ওঠে, আর ঢেউয়ের মধ্যরেখা থেকে চূড়ার দূরত্ব ৩। এটাই বিস্তার।

A ঋণাত্মক হলে ঢেউ x-অক্ষের (আসলে মধ্যরেখার) সাপেক্ষে উল্টে যায়। y = −৩ sin x আর y = ৩ sin x-এর বিস্তার একই ৩, শুধু একটা চূড়ার জায়গায় অন্যটার খাদ। তাই বিস্তার সবসময় ধনাত্মক: |A|।

B: পর্যায়কাল, ঢেউ কত চাপা

B ঢেউকে x-দিকে চেপে ধরে। B = ২ মানে ঢেউ দ্বিগুণ দ্রুত চলছে, তাই ৩৬০°-এর জায়গায় ১৮০° বা π-তে একটা পুরো ঢেউ শেষ। সাধারণ নিয়ম: পর্যায়কাল = মূল পর্যায়কাল ÷ |B|।

B ছোট (০ আর ১-এর মাঝে) হলে উল্টোটা হয়: ঢেউ ছড়িয়ে যায়। y = sin(x/২) এর পর্যায়কাল ৭২০°।

C: দশা সরণ, ঢেউয়ের পাশে সরে যাওয়া

Bx + C যখন ০ হয়, ঢেউ নতুন চক্র শুরু করে। তাই শুরুর বিন্দুটা x = −C/B-তে। ডিফল্ট লেখ y = ২ sin(২x + ৬০°) + ১-এ −C/B = -৩০°, মানে ঢেউ মূল জায়গা থেকে ৩০° বামে সরেছে।

সরণ নির্ধারণে B-এর ভূমিকা ভুলো না। অনেকে C = ৬০° দেখেই ভাবে লেখ ৬০° সরেছে। আসলে B = ২ হওয়ায় সরণ ৬০°-এর অর্ধেক, -৩০°। সূত্র মুখস্থ না করে বন্ধনী ভেঙে ভাবো: ২(x + ৩০°) = ২x + ৬০°।

D: উলম্ব সরণ আর মধ্যরেখা

D পুরো ঢেউকে ওপরে বা নিচে তোলে, আকার একই থাকে। মধ্যরেখা হয় y = D। ডিফল্ট লেখে মধ্যরেখা y = ১, বিস্তার ২, তাই y নেয় সর্বনিম্ন -১ থেকে সর্বোচ্চ ৩।

সূত্র: সর্বোচ্চ = D + |A|, সর্বনিম্ন = D − |A|। এ থেকেই উল্টো করে বিস্তার (সর্বোচ্চ − সর্বনিম্ন) ÷ ২ আর D = (সর্বোচ্চ + সর্বনিম্ন) ÷ ২ বের করা যায়, যা পরের সমাধানে কাজে লাগবে।

ট্যানজেন্ট আলাদা: অসীমতট আর কোনো সর্বোচ্চ নেই

tan লেখ উপরে-নিচে অসীমে চলে যায়, তাই তার সর্বোচ্চ, সর্বনিম্ন বা বিস্তার বলে কিছু নেই; পরিসর সব বাস্তব সংখ্যা। A শুধু লেখটা কত খাড়া হবে তা ঠিক করে। দশা সরণ −C/B আর পর্যায়কাল ১৮০°/|B| একইভাবে কাজ করে।

y = ৩ tan ২x − ১-এর অসীমতট x = -৪৫° আর x = ৪৫°-এ, তারপর প্রতি ৯০° পরপর। সিমুলেশনে tan বেছে নিলে ঠিক এই লাল ড্যাশ রেখাগুলো আঁকা হয়, আর সবুজ বিন্দু তার কাছে এলে মান “সংজ্ঞাহীন” দেখায়।

sin, cos ও tan লেখের বৈশিষ্ট্য এক নজরে

মূল তিন অপেক্ষকের বৈশিষ্ট্য মনে রাখলে বদলানো লেখ বোঝা সহজ হয়ে যায়।

সিমুলেশনে এই পরীক্ষাগুলো করো

নিজের হাতে বদলালে সূত্র মনে গেঁথে যায়। এক এক করে চেষ্টা করো, প্রতিবার আগে ভাবো কী হবে।

• ডিফল্ট y = ২ sin(২x + ৬০°) + ১ রেখে x = ০ তে y কত দেখো: ২.৭৩। এটাই ২ sin(৬০°) + ১।
• শুধু B-কে ১ থেকে ৪ পর্যন্ত বাড়াও আর গুনে দেখো পর্দায় কয়টা ঢেউ ধরছে; পর্যায়কাল প্যানেলের সাথে মেলাও।
• A = −২ করে লেখ উল্টে যাওয়া দেখো, কিন্তু বিস্তারের ঘর বদলায় না, সেটা খেয়াল করো।
• C একবার ধনাত্মক আর একবার ঋণাত্মক করো এবং বন্ধনীর বিন্দুটা কোন দিকে সরে তা লিখে রাখো।
• D = ৩ করো এবং সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন ঘরের সংখ্যা D ± |A|-এর সাথে মিলাও।
• cos বেছে C = ৯০° দিলে কী লেখ পাও? এটা কি sin-এর লেখের মতোই?
• tan-এ B বাড়াও ও অসীমতটগুলো গোনো: B যত বেশি, রেখা তত ঘন।
• “অক্ষের একক” π-এর গুণিতক করে লেখো ঢেউয়ের পর্যায়কাল π-এর কত গুণ।

সমাধানসহ উদাহরণ

প্রতিটায় A, B, C, D চিনে নিয়ে চারটা সূত্র বসাও। সংখ্যাগুলো নিজে সিমুলেশনে বসিয়ে মিলিয়ে নিতে পারো।

সচরাচর ভুল

এই ভুলগুলোতে নম্বর কাটা যায়। লিখে রাখো, পরীক্ষার আগে একবার চোখ বুলিয়ো।

• দশা সরণকে C ধরা। সঠিক হলো −C/B, কারণ সরণ পাওয়া যায় Bx + C = ০ থেকে।
• ঋণাত্মক A-তে বিস্তার ঋণাত্মক লেখা। বিস্তার মানে দূরত্ব, তাই |A|।
• পর্যায়কালে ২π-কে B দিয়ে ভাগ না করে গুণ করা; B বাড়লে পর্যায়কাল কমে।
• tan-এর পর্যায়কাল ৩৬০° বা ২π লেখা; এটা ১৮০° বা π।
• tan-এর সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন বের করতে বসা; ওগুলো নেই।
• ডিগ্রি আর রেডিয়ান গুলিয়ে ফেলা: π-এর রূপে কাজ করলে সবটাই রেডিয়ানে রাখো।

বাস্তব জীবনে এই লেখ কোথায়

শব্দ আর সুর: প্রতিটা শুদ্ধ সুরের চাপ-পরিবর্তন একটা সাইন ঢেউ। বিস্তার বাড়লে শব্দ জোরে হয়, কম্পাঙ্ক (B) বাড়লে সুর চড়া হয়।

বিদ্যুৎ: বাসায় পাওয়া পরিবর্তী প্রবাহ ভোল্টেজ সাইন ঢেউ মেনে চলে, উদাহরণ ৭-এ যা দেখলে।

জোয়ার-ভাটা আর ঋতু: নদীর পানির উচ্চতা ও দিনের দৈর্ঘ্য বছরজুড়ে কোসাইনের মতো ওঠানামা করে।

নাগরদোলা আর দোলক: ঘুরন্ত চাকার নির্দিষ্ট বিন্দুর উচ্চতা সময়ের সাথে সাইন লেখ বানায়।

ইঞ্জিনিয়ারিং ও সংকেত: ছবি, গান ও ওয়াইফাই সংকেত ভেঙে সাইন ঢেউয়ের যোগফল হিসেবে সাজানো হয়।

পরীক্ষার কোণ

SSC উচ্চতর গণিত ও HSC-তে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখচিত্র, পর্যায়কাল আর মানের পরিসর নিয়ে প্রশ্ন আসে। বিশ্ববিদ্যালয়ের ভর্তি পরীক্ষায় সাধারণত পর্যায়কাল, পরিসর আর বিজোড়-জোড় ধর্মের ছোট অংশ থাকে।

প্রশ্ন দেখলে প্রথমে সমীকরণটা y = A·f(Bx + C) + D ছাঁচে লিখে চারটা সংখ্যা আলাদা করো। তারপর বিস্তার, পর্যায়কাল, সরণ আর পরিসর চারটা সূত্রে বসাও। লেখ আঁকতে বললে মধ্যরেখা, চূড়া-খাদ আর শুরুর বিন্দু আগে বসিয়ে তারপর মসৃণ রেখা টানো।

ঝটপট পুনরালোচনা

পরীক্ষার আগের রাতে এই কয়েক লাইনই ঝালিয়ে নাও।

• A: বিস্তার |A|, ঋণাত্মক হলে লেখ উল্টে যায়।
• B: পর্যায়কাল মূল পর্যায়কালকে |B| দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায়।
• C: ঢেউ −C/B পরিমাণ সরে, ডানে ধনাত্মক।
• D: মধ্যরেখা y = D, পরিসর [D − |A|, D + |A|]।
• tan: পর্যায়কাল π বা ১৮০°, অসীমতট আছে, পরিসর সব বাস্তব সংখ্যা।

সচরাচর জিজ্ঞাসা