কেন কোনো জনসংখ্যা চিরকাল বাড়তে পারে না

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. বাঁ দিকের লেখচিত্রটি দেখুন। কমলা রেখা সূচকীয় বৃদ্ধি, নীল রেখা লজিস্টিক বৃদ্ধি। ড্যাশ দেওয়া রেখা ধারণক্ষমতা K দেখায়। একটি প্লেহেড সময়ের অক্ষ বেয়ে চলে, আর রেখার বিন্দুগুলো এই মুহূর্তের সংখ্যা দেখায়।
2. ডান দিকের পেট্রিডিশে বিন্দু ভরে উঠতে দেখুন। এটি লজিস্টিক জনসংখ্যা; K বড় হলে একটি বিন্দু কয়েকটি কোষ বোঝায়।
3. বৃদ্ধির হারের স্লাইডার r বাড়ান। দুটি রেখাই দ্রুত ওঠে আর দ্বিগুণ হওয়ার সময়ের রিডিং কমে।
4. ধারণক্ষমতার স্লাইডার K টানুন। নীল রেখা শুরুতে কমলার সঙ্গে চলে, কিন্তু নতুন ছাদে এসে সমতল হয়, আর কমলা রেখা এগিয়ে যায়।
5. শুরুর সংখ্যা N₀ বদলান এবং রেখা বাঁয়ে-ডাইনে সরতে দেখুন, কারণ বড় সংখ্যা দিয়ে শুরু করলে একই আকারে পৌঁছাতে কম সময় লাগে।
6. সূচকীয় রেখা বন্ধ করে শুধু S-রেখা পড়ুন, তারপর রিসেট চেপে সাধারণ মানে ফিরে নিচের সমাধান করা সমস্যার সঙ্গে সংখ্যা মেলান।

খাবার ফুরিয়ে যাওয়া ফ্লাস্ক

গরম পুষ্টিরসের একটি ফ্লাস্কে একটি ব্যাকটেরিয়া ছাড়ুন। প্রায় প্রতি কুড়ি মিনিটে সে দুই ভাগ হয়। এক ঘণ্টায় হয় আটটি, তিন ঘণ্টায় পাঁচশো বারোটি, আর পরদিন সকালে ফ্লাস্কে পৃথিবীর মানুষের চেয়েও বেশি ব্যাকটেরিয়া থাকার কথা। অন্তত অঙ্ক তা-ই বলে।

বাস্তবে ফ্লাস্ক কখনো অত ভরে না। পুষ্টিরসের চিনি ফুরায়, বর্জ্য জমে, তরল অম্লীয় হয়, আর বৃদ্ধি ধীর হয়ে থেমে যায়। শেষ সংখ্যা ঠিক করে ফ্লাস্ক, ব্যাকটেরিয়া নয়।

এই এক উদাহরণেই পুরো বিষয়টি আছে। একা ছেড়ে দিলে জনসংখ্যা গুণ হয়ে বাড়ে, আর যোগের চেয়ে গুণ অনেক দ্রুত জেতে। কিন্তু প্রতিটি আবাস সীমিত সংখ্যকই বহন করতে পারে, আর সেই সীমার কাছে গেলে বৃদ্ধির হার কমে।

এই পাতায় স্লাইডার দিয়ে দুটি ছবিই চালাতে পারবেন, নিজের চোখে দেখবেন কোথায় তারা মেলে, কোথায় আলাদা হয়, আর r ও K কী নিয়ন্ত্রণ করে।

পাশাপাশি দুটি বৃদ্ধির ছবি

পাঠ্যবইয়ে আকৃতি অনুযায়ী নাম দেওয়া দুটি রেখা আঁকা হয়। দুটি প্রায় একসঙ্গে শুরু হয় আর জনসংখ্যা ঘন হলে আলাদা হয়ে যায়।

আগে শব্দগুলো জেনে নিই

জনসংখ্যা বাস্তুবিদ্যার শব্দ কম। সূত্রের আগে এগুলো শিখে নিন।

সূচকীয় বৃদ্ধি

প্রতিটি সদস্য সমান অবদান রাখলে বড় জনসংখ্যা আরও দ্রুত বাড়ে। ক্যালকুলাসের ভাষায় dN/dt = rN। সমাধান N = N₀ e^(rt): t সময়ে সংখ্যা N₀ থেকে শুরু হয়ে প্রতি একক সময়ে e^r গুণ হয়।

স্লাইডার r হলো সেই হার। r = ০.৪০ প্রতি ঘণ্টায় কালচার প্রতি ঘণ্টায় e^০.৪০ গুণ হয়, যা প্রায় ১.৪৯। এটি প্রতি ঘণ্টায় নির্দিষ্ট সংখ্যায় বাড়ে না; বাড়ে নির্দিষ্ট শতাংশে।

তাই দ্বিগুণ হওয়ার সময় স্থির। N = 2N₀ ধরে সমাধান করুন: t = ln 2 ÷ r। r = ০.৪০ হলে দ্বিগুণ হওয়ার সময় ১.৭৩ ঘণ্টা, শুরুতে ১০টি কোষ থাকুক বা এক কোটি। সিমুলেশনের দ্বিগুণ হওয়ার সময়ের রিডিং ঠিক এটিই।

লজিস্টিক বৃদ্ধি ও ধারণক্ষমতা

লজিস্টিক মডেল একটি ধারণা যোগ করে: আবাস ভরতে থাকলে বৃদ্ধি ধীর হয়। এটি সূচকীয় হারকে একটি ব্রেক, 1 − N/K, দিয়ে গুণ করে। N ছোট হলে ব্রেক প্রায় ১ আর বৃদ্ধি সূচকীয়। N যখন K-তে পৌঁছায় ব্রেক ০ আর বৃদ্ধি বন্ধ।

দুই প্রান্তের মাঝে রেখাটি S। এর তিনটি দশা। শুরুতে বৃদ্ধি ধীর, কারণ বংশবৃদ্ধি করার মতো সদস্য কম। মাঝখানে সবচেয়ে দ্রুত, ঠিক ধারণক্ষমতার অর্ধেকে, এখানে ৫০০টি কোষে। শেষে খাবার, জায়গা আর বর্জ্য ভার নেয় বলে বৃদ্ধি ধীর হয়ে সমতল হয়।

সমাধান N = K ÷ (1 + ((K − N₀) ÷ N₀) e^(−rt))। লিখতে লম্বা, কিন্তু আকৃতি সহজ: N₀ থেকে K পর্যন্ত ওঠে, K পেরোয় না।

S-রেখা পড়া

নীল রেখার দিকে তাকিয়ে তিনটি প্রশ্ন করুন।

• কোথায় সবচেয়ে খাড়া? ধারণক্ষমতার অর্ধেকে। এটি বাঁক বিন্দু, ড্যাশ দেওয়া নির্দেশক রেখা তা দেখায়।
• প্রতি সদস্যের বৃদ্ধির কী হয়? ক্রমাগত কমে। শুরুতে প্রতিটি কোষ প্রায় পুরো r হারে বংশবৃদ্ধি করে; K-এর কাছে প্রতি কোষের হার r(1 − N/K) শূন্যের কাছে, যদিও মোট জনসংখ্যা তখন সবচেয়ে বড়।
• মোট বৃদ্ধির হার কি শেষে সবচেয়ে বেশি? না। জনসংখ্যা শেষে সবচেয়ে বড়, কিন্তু প্রতি ঘণ্টায় নতুন সদস্যের সংখ্যা মাঝখানে সবচেয়ে বেশি, তারপর শূন্যে নামে।

r ও K কী নিয়ন্ত্রণ করে

দুই স্লাইডার স্বাধীন এবং আলাদা কাজ করে।

বাস্তব জনসংখ্যাকে কী আটকায়

পরিবেশগত প্রতিরোধ অনেকগুলো সীমার গুচ্ছ। কিছু জনসংখ্যা ঘন হলে বেশি কামড়ায়, কিছু তা করে না।

মানুষ ও ৭০-এর নিয়ম

দ্বিগুণ হওয়ার সময়ের একটি সহজ শর্টকাট আছে। ln 2 ≈ ০.৭ বলে বছরে p % হারে বাড়া জনসংখ্যা প্রায় ৭০ ÷ p বছরে দ্বিগুণ হয়। বছরে ১ % হলে ৬৯.৩ বছর, ২ % হলে ৩৪.৭ বছর।

ইতিহাসের বেশিরভাগ সময় মানুষের সংখ্যা খুব ধীরে বেড়েছে, প্রায় ১৮০০-র পর খাবার, স্যানিটেশন আর চিকিৎসা উন্নত হলে দ্রুত বেড়েছে। কয়েক দশক ধরে বৃদ্ধির হার কমছে, যা লজিস্টিক রেখার মতো কিছুর দিকে বাঁকের প্রথম রূপ, যদিও সীমাটা কী এবং কোথায় তা নিয়ে তর্ক আছে।

বাংলাদেশ একটি ভালো উদাহরণ। এটি সবচেয়ে ঘনবসতিপূর্ণ বড় দেশগুলোর একটি, আর ১৯৭০-এর দশক থেকে পরিবারপ্রতি সন্তান কমায় বৃদ্ধির হার তীব্রভাবে কমেছে। এটি r-এর পতন, K-এর বদল নয়।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখুন

দশ মিনিট এই পরীক্ষাগুলো করুন। প্রতিটি এমন প্রশ্ন, যা পরীক্ষায় আসতে পারে।

• সব সাধারণ রেখে দ্বিগুণ হওয়ার সময় পড়ুন। প্লেহেড ৫ ঘণ্টা পেরোলে দুটি রেখা কতটা কাছাকাছি?
• r বাড়িয়ে ০.৮০ করুন। দ্বিগুণ হওয়ার সময় কত গুণ বদলায়, আর কালচার K/2-তে কখন পৌঁছায়?
• K বাড়িয়ে ২,০০০ করুন। K কি দ্বিগুণ হওয়ার সময় বদলায়? K/2-তে এখন কখন পৌঁছায়?
• প্লেহেড চলার সময় বৃদ্ধির হারের রিডিং দেখুন। কখন সবচেয়ে বেশি?
• N₀ ১০০ আর তারপর ৫ করুন। কোন রেখা আগে K-তে পৌঁছায়, আর শেষ আকার কি বদলায়?
• সূচকীয় রেখা বন্ধ করে S-এর তিনটি দশা বর্ণনা করুন।
• সুইপের শেষ দিকে প্রতি কোষের বৃদ্ধির রিডিং দেখুন। জনসংখ্যা সবচেয়ে বড় হলেও তা শূন্যের কাছে কেন?

সমাধান করা সমস্যা

প্রতিটি সমাধানে আগে সূত্র, পরে সংখ্যা বসানো হয়েছে। প্রতিটি মান সিমুলেশন চালানো একই কোড দিয়ে হিসাব করা।

সাধারণ ভুল

এই ভুলগুলো প্রতি বছর নম্বর কাটায়।

• যেকোনো ওঠা রেখাকে সূচকীয় বলা। সূচকীয় মানে আকারের সমানুপাতিক বৃদ্ধি, দ্বিগুণ হওয়ার সময় স্থির।
• লজিস্টিক রেখা শেষে সবচেয়ে দ্রুত বলা। এটি সবচেয়ে দ্রুত মাঝখানে, K ÷ ২-এ।
• K-কে প্রজাতির স্থির সংখ্যা ভাবা। এটি আবাসের, আর ঋতু ও খাবারের সঙ্গে বদলায়।
• J-রেখা আর S-রেখা গুলিয়ে ফেলা। J সূচকীয়, S লজিস্টিক।
• ল্যাগ দশা ভুলে যাওয়া। বাস্তব রেখা মডেলের চেয়ে ধীরে শুরু হয়।
• হার আর আকার গুলিয়ে ফেলা। জনসংখ্যা সবচেয়ে বড় থাকতে পারে অথচ বৃদ্ধির হার শূন্যের কাছে।
• K-কে জনসংখ্যার পৌঁছানো সর্বোচ্চ মান ভাবা। বাস্তব জনসংখ্যা তা ছাড়িয়ে যেতে পারে।

বাস্তব জীবনে কোথায় দেখবেন

দই, রুটির খামির আর গাঁজন ট্যাংক সবাই S-রেখা মানে: কালচার বাড়ে, তারপর খাবার ফুরিয়ে ধীর হয়। দই-নির্মাতা বা মদ্যপ্রস্তুতকারী S-এর মাঝখান থেকে ব্যাচের সময় হিসাব করেন।

কচুরিপানা বাংলাদেশের নদী ও পুকুর আটকে দেয়; অবস্থা অনুকূল হলে এক-দুই সপ্তাহে তার আচ্ছাদন দ্বিগুণ হতে পারে, যা পুকুরে সূচকীয় বৃদ্ধি। পুকুর ভরে গেলেই কেবল থামে।

বন্যপ্রাণী ব্যবস্থাপকরা মাছের পুকুরে পোনা ছাড়তে বা বন কত হরিণ ধরে তা ঠিক করতে K ব্যবহার করেন। ধারণক্ষমতার বেশি পোনা ছাড়া পুকুরে মাছ ধীরে বাড়ে আর চাপে থাকে।

পরীক্ষার কোণ

সাধারণ প্রশ্ন, আর পূর্ণ নম্বরের উত্তরে কী থাকে।

পুনরালোচনা

সম্পদ অসীম হলে জনসংখ্যা সূচকীয় হারে বাড়ে, N = N₀ e^(rt), আর প্রতি ln 2 ÷ r সময়ে দ্বিগুণ হয় (r = ০.৪০ হলে ১.৭৩ ঘণ্টা)। বাস্তব জনসংখ্যা পরিবেশগত প্রতিরোধ পায় আর লজিস্টিক রেখা মানে, dN/dt = rN(1 − N/K), যার S-আকৃতি ধারণক্ষমতায় সমতল হয়। পুরো জনসংখ্যার বৃদ্ধি সর্বোচ্চ হয় K ÷ ২-এ (এখানে প্রতি ঘণ্টায় ১০০টি কোষ), আর প্রতি সদস্যের বৃদ্ধি K-তে শূন্যে নামে। বড় r ওঠা দ্রুত করে, বড় K ছাদ উঁচু করে। শুরুতে দুটি রেখা প্রায় মিলে যায়, তাই পার্থক্য দেখা যায় কেবল পরের অংশে।

সচরাচর জিজ্ঞাসা