ফাংশনের রূপান্তর: একটা লেখচিত্র, চারটা নব, আর তার পেছনের নিয়ম

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. “মূল ফাংশন f(x)” থেকে একটা বেছে নাও: x², |x|, √x, sin x বা 2ˣ। ফিকে ধূসর রেখাটা মূল y = f(x), গাঢ় রঙের রেখাটা রূপান্তরিত লেখচিত্র। স্লাইডার শুরু হয় y = ২(x − ১)² − ১ দিয়ে: a = ২, h = ১, k = -১।
2. আগে k নাড়াও। পুরো লেখচিত্র ওপরে-নিচে সরে, আর কিছু বদলায় না। তারপর h নাড়াও: লেখচিত্র পাশে সরে, আর চিহ্নটাই চমক, কারণ h = ১ লেখচিত্রকে বাঁয়ে নয়, ডানে সরায়।
3. এবার a। বড় ধনাত্মক মান লেখচিত্রকে x-অক্ষ থেকে দূরে টেনে লম্বা করে, ০ আর ১-এর মাঝের মান x-অক্ষের দিকে চেপে দেয়, আর ঋণাত্মক মান x-অক্ষে উল্টে দেয়। a = ০ করলে লেখচিত্র y = k রেখায় চ্যাপ্টা হয়ে যায়।
4. এবার b। সে x-এর দিকে কাজ করে এবং যা ভাবো তার উল্টোটা করে: b = ২ লেখচিত্রকে অর্ধেক চওড়া করে, b = ০.৫ দ্বিগুণ চওড়া করে, আর ঋণাত্মক b y-অক্ষে উল্টে দেয়। sin x-এ চেষ্টা করো, তরঙ্গ দ্রুত হবে।
5. ধূসর বিন্দু P মূল লেখচিত্রে হাঁটছে আর কমলা বিন্দু P′, তার প্রতিবিম্ব, নতুন লেখচিত্রে, মাঝখানে ড্যাশ রেখা। ওই ড্যাশ রেখাই (x, y) → (x ÷ b + h, a·y + k) নিয়মের চলমান ছবি।
6. পরিমাপের “প্রভাব” ঘরগুলো পড়ো। প্রতিটি স্লাইডারের প্রভাব কথায় লেখা। শেষ দুটো ঘর স্লাইডার নাড়ানোর সঙ্গে শীর্ষবিন্দু, মধ্যরেখা বা অসীমতট এবং ডোমেন, পর্যায়কাল বা রেঞ্জ অনুসরণ করে।

একটা লেখচিত্র, চারটা নব

x²-এর লেখচিত্রকে ভাবো U আকারের একটা রাবার ব্যান্ড। পুরো ব্যান্ডটা ওপরে-নিচে, ডানে-বাঁয়ে সরাতে পারো। টেনে লম্বা বা চেপে চ্যাপ্টা করতে পারো। উল্টে দিতে পারো। চেপে সরু করতে পারো। ব্যান্ড কিন্তু একই, শুধু ধরার কায়দা আলাদা। ফাংশনের রূপান্তর ঠিক এটাই।

সুন্দর ব্যাপার হলো, প্রতিটি নতুন সমীকরণের জন্য নতুন লেখচিত্র শিখতে হয় না। পাঁচ-ছয়টা মৌলিক লেখচিত্র আর চারটা নব জানলে y = −২√(x + ৩) + ১ বা y = ৩ sin(২x) − ১ এক মিনিটেই এঁকে ফেলা যায়। এই সিমুলেশনে প্রতিটি নব আলাদা করে ঘুরিয়ে তার প্রভাব দেখতে পারবে।

পাঁচটা মূল ফাংশন

প্রতিটি মূল ফাংশন তার পরিবারের সবচেয়ে সরল সদস্য। নিচের সারণিতে x = −২, ০ আর ২-এ প্রতিটির তিনটা মান আছে। ড্যাশ মানে ওই জায়গায় ফাংশন সংজ্ঞায়িত নয়: √x শুধু x ≥ ০-এর জন্য আছে।

• x²: U আকার, শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে, কখনো শূন্যের নিচে নামে না।
• |x|: V আকার, শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে, কখনো শূন্যের নিচে নামে না।
• √x: পাশ ফেরানো U-র অর্ধেক, মূলবিন্দু থেকে শুরু, ঋণাত্মক x-এর জন্য কিছু নেই।
• sin x: −১ থেকে ১-এর মধ্যে মসৃণ তরঙ্গ, প্রতি ২π (প্রায় ৬.২৮) পর পুনরাবৃত্তি।
• 2ˣ: সবসময় ধনাত্মক, ডানে প্রতি ধাপে দ্বিগুণ, বাঁয়ে x-অক্ষের দিকে চ্যাপ্টা হয়ে আসে।

k: ওপরে-নিচে সরানো

ফাংশনের মানের সঙ্গে k যোগ করলে প্রতিটি বিন্দু k পরিমাণ উঠে যায়। y = x² + ৩-এ শীর্ষবিন্দু (০, ০) থেকে (০, ৩)-এ ওঠে, আর প্রতিটি y-মান মূলটার চেয়ে ৩ বেশি। এটা যেমন দেখায় তেমনই কাজ করে: যোগ মানে ওপরে, বিয়োগ মানে নিচে।

h: ডানে-বাঁয়ে সরানো (চিহ্নের ফাঁদ)

ইনপুট থেকে h বিয়োগ করলে লেখচিত্র ডানে h সরে। (x − ২)²-এর শীর্ষবিন্দু x = ২-এ: ইনপুট ২ হলে আউটপুট শূন্য। তাই x − ২ বিয়োগ চিহ্ন থাকা সত্ত্বেও ডানে সরায়। আর x + ৩ = x − (−৩) সরায় বাঁয়ে।

মনে রাখার সবচেয়ে সহজ উপায়: যে ইনপুটে বন্ধনীর ভেতরটা শূন্য হয় সেটা খোঁজো। (x − ২)-এর জন্য x = ২, (x + ৩)-এর জন্য x = −৩। মূল ফাংশনের বিশেষ বিন্দুটা (শীর্ষবিন্দু, শুরুর বিন্দু, মাঝখান) গিয়ে পড়ে সেখানেই।

a: টানা ও উল্টানো

আউটপুটকে a দিয়ে গুণ করলে প্রতিটি উচ্চতা a গুণ হয়ে যায়। |a| > ১ হলে লেখচিত্র x-অক্ষ থেকে দূরে টেনে লম্বা হয়। ০ < |a| < ১ হলে x-অক্ষের দিকে চেপে যায়। a ঋণাত্মক হলে প্রতিটি উচ্চতার চিহ্ন বদলে লেখচিত্র x-অক্ষে উল্টে যায়। যে বিন্দুগুলো x-অক্ষে আছে (যেখানে y = ০), তারা একটুও নড়ে না।

b: আড়াআড়ি চাপা ও উল্টানো

ইনপুটকে b দিয়ে গুণ করলে ফাংশন b গুণ দ্রুত চলে, তাই লেখচিত্র আড়াআড়ি দিকে ১/b গুণ চওড়া থাকে। b = ২ হলে অর্ধেক চওড়া। b = ০.৫ হলে দ্বিগুণ চওড়া। ঋণাত্মক b লেখচিত্রকে y-অক্ষেও উল্টে দেয়।

সবচেয়ে পরিষ্কার উদাহরণ সাইন। sin x প্রতি ৬.২৮ (অর্থাৎ ২π) পরপর পুনরাবৃত্ত হয়। sin(২x) প্রতি ৩.১৪ পরপর, দ্বিগুণ ঘন ঘন। sin(x/২) প্রতি ১২.৫৭ পরপর, অর্ধেক ঘন ঘন। সাধারণ সূত্র: পর্যায়কাল = ২π ÷ |b|।

সব একসঙ্গে: বিন্দুর নিয়ম

চার নব একসঙ্গে হলে y = a·f(b(x − h)) + k। ভেতর থেকে বাইরে পড়ো: h বিয়োগ, b দিয়ে গুণ, f প্রয়োগ, a দিয়ে গুণ, k যোগ। মূল লেখচিত্রের বিন্দু (x, y) তখন গিয়ে পড়ে (x ÷ b + h, a·y + k)-তে: x-স্থানাঙ্ক b-কে বাতিল করে h সরে, y-স্থানাঙ্ক a দিয়ে গুণ হয়ে k সরে।

শুরুতে সিমুলেশনে y = ২(x − ১)² − ১, যেখানে a = ২, b = ১, h = ১, k = -১। শীর্ষবিন্দু (০, ০) থেকে (১, -১)-এ গেছে। x²-এর পাঁচটা বিন্দু কোথায় যায় দেখো।

প্রতিটি মূল ফাংশনে নবগুলোর কাজ

একই চার নব, প্রতিটি মূল ফাংশনে পড়লে। ট্রেসার সবসময় মূলের “গুরুত্বপূর্ণ” বিন্দুর গন্তব্য দেখায়।

• x² আর |x|: শীর্ষবিন্দু যায় (h, k)-তে, প্রতিসাম্য অক্ষ x = h রেখা। a < ০ হলে লেখচিত্র নিচের দিকে খোলা।
• √x: শুরুর বিন্দু যায় (h, k)-তে। b ধনাত্মক হলে লেখচিত্র x ≥ h-এর জন্য, b ঋণাত্মক হলে x ≤ h-এর জন্য।
• sin x: মধ্যরেখা y = k, সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন বিন্দু k + |a| ও k − |a|, পর্যায়কাল ২π ÷ |b|।
• 2ˣ: আনুভূমিক অসীমতট y = k। a > ০ হলে লেখচিত্র তার ওপরে, a < ০ হলে নিচে থাকে।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

ছয়টা ছোট পরীক্ষা, প্রতিটা এক মিনিটের।

• রিসেট করো, তারপর k = ০ আর h = ০ করো। এখন y = ২x²। a-কে ২ থেকে ০.৫, তারপর −১ করো। কোন বিন্দুগুলো কখনো নড়েনি?
• |x| বেছে h = −৩ করো। শীর্ষবিন্দু কোথায়? দেখার আগে “বন্ধনী শূন্য” কৌশলে আন্দাজ করো।
• sin x বেছে b = ২, তারপর b = ০.৫ করো। পর্যায়কাল পড়ো। ২π ÷ |b|-এর সঙ্গে মেলে?
• √x বেছে b ঋণাত্মক করো। লেখচিত্র এখন বাঁ দিকে চলে। ডোমেনের ঘরে কী লেখা?
• 2ˣ বেছে k = −৩ করো। অসীমতট কোথায়? a ঋণাত্মক করে রেখাটার নিচে উল্টে যেতে দেখো।
• যেকোনো ফাংশন বেছে সব স্লাইডার আলাদা আলাদা অশূন্য মানে রাখো। বিন্দুর নিয়মে P একটা স্পষ্ট জায়গায় থাকলে P′ কোথায় হবে আন্দাজ করো, তারপর ড্যাশ রেখা দেখে মেলাও।

সমাধান করা অঙ্ক

আটটা পরিচিত প্রশ্ন। নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের একই ফাংশন দিয়ে হিসাব করা।

সচরাচর ভুল

বারবার এসব ভুলে নম্বর কাটা যায়।

• (x − ২)-কে “বাঁয়ে ২ সরাও” পড়া। সে ডানে ২ সরায়।
• f(২x)-কে “দ্বিগুণ চওড়া” পড়া। সে অর্ধেক চওড়া। x-দিকের চাল উল্টো অনুপাতে।
• ২(x − ৩) আর (২x − ৩)-কে একই ভাবা। আগে b উৎপাদক বের করো, তারপর h পড়ো।
• ভুলে যাওয়া যে ঋণাত্মক a লেখচিত্রকে x-অক্ষে, ঋণাত্মক b y-অক্ষে উল্টে দেয়। x² আর |x| প্রতিসম, তাই y-অক্ষে উল্টানো দেখা যায় না।
• সরানো আর টানার ক্রম উল্টে ফেলা। বাইরে আগে টানা (a), তারপর সরানো (k)।
• অসীমতট বা মধ্যরেখাকে a দিয়ে সরানো। সরায় শুধু k।

বাস্তব জীবনে রূপান্তর

একই চার নব ক্লাসরুমের বাইরেও দেখা যায়।

• শব্দ: একটা সুর হলো সাইন তরঙ্গ। a জোর (বিস্তার), b সুরের উচ্চতা (কম্পাঙ্ক), h চক্রের কোথায় শুরু, আর k পুরো সংকেতকে ওপরে তোলে।
• গ্রাফিক্স ও গেম: পর্দার প্রতিটি স্প্রাইট একই আকার, সরানো (h, k), মাপ বদলানো (a, b) বা উল্টানো (ঋণাত্মক a বা b)।
• অর্থ: 2ˣ চক্রবৃদ্ধি বৃদ্ধি। ঋণাত্মক a ঋণের ক্ষয় বোঝায়, k ভিত্তিরেখা সরায়।
• পদার্থবিজ্ঞান: স্প্রিংয়ে ঝোলানো ভর a·sin(bt) + k মানে চলে। জোয়ার-ভাটা আর দিনের দৈর্ঘ্যও একই আকার, শুধু নব আলাদা।
• ডেটা সায়েন্স: ডেটা স্বাভাবিকীকরণ একটা রূপান্তর, গড় বিয়োগ (h) আর বিস্তার দিয়ে ভাগ (b)।

পরীক্ষার কোণ

এসএসসি, এইচএসসি উচ্চতর গণিত, এ-লেভেল, এসএটি আর জেইই-তে রূপান্তরের প্রশ্ন আসে। ধাঁচ আন্দাজ করা যায়।

• y = f(x) থেকে y = f(x − ৩) + ২-এ রূপান্তর কথায় বলো (ডানে ৩, ওপরে ২)।
• লেখচিত্র আর কয়েকটা বিন্দু দিলে সমীকরণ লেখো।
• বিন্দুর নিয়মে একটা সারণির বিন্দুগুলোতে পরপর কয়েকটা চাল প্রয়োগ করো।
• নতুন শীর্ষবিন্দু, অসীমতট, ডোমেন, রেঞ্জ বা পর্যায়কাল বলো।
• বহুনির্বাচনী: বর্ণিত লেখচিত্রের সঙ্গে চারটা সমীকরণের কোনটা মেলে।

দ্রুত পুনরালোচনা

চার অক্ষর, চার চাল:

সচরাচর জিজ্ঞাসা