অন্তরজ মানে ছেদক যখন স্পর্শক হয়ে যায়

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. “ফাংশন f(x)” থেকে একটি ফাংশন বেছে নাও: x², x³, sin x, eˣ বা 1/x। ওপরের মোটা বক্ররেখাটি y = f(x)। কালো বিন্দু P হলো যেখানে ঢাল মাপছি। ওপরের লেখচিত্রে টেনে বা “P বিন্দুর x” স্লাইডারে P সরাও।
2. কমলা বিন্দু Q বসে P থেকে h ব্যবধানে, আর দুই বিন্দু দিয়ে যাওয়া কমলা রেখাটি ছেদক। শুরুতে h = ২, তাই Q অনেক দূরে। ছেদকের ঢাল তখন গড়মাত্র, P-তে বক্ররেখার আসল ঢালের থেকে অনেক আলাদা।
3. প্লে চাপো। h ধীরে ধীরে কমে, Q বক্ররেখা বেয়ে P-র দিকে আসে আর ছেদক ঘুরতে থাকে। h শূন্যে পৌঁছালে রেখাটি সবুজ হয়ে যায়: এটাই স্পর্শক, যে রেখা P-তে বক্ররেখাকে ছুঁয়ে যায়।
4. রিডিং দেখো। “ছেদকের ঢাল” হলো (f(x + h) − f(x)) / h। “সঠিক অন্তরজ” হলো আসল f′(x)। h কমতে থাকলে “দুইয়ের পার্থক্য” শূন্যের দিকে নামে। থামিয়ে h স্লাইডার নিজে টেনে যেকোনো মাপে দেখে নাও।
5. নিচের লেখচিত্র দেখো। ওটা y = f′(x), অর্থাৎ অন্তরজ ফাংশন। সবুজ বিন্দু P-তে f′ চিহ্নিত করে, ফাঁপা কমলা বৃত্তটি বর্তমান ছেদকের ঢাল। h শূন্যের দিকে গেলে বৃত্তটি সবুজ বিন্দুর ওপর বসে যায়।
6. P অন্য জায়গায় টেনে আবার দেখো। x²-এ সবুজ বিন্দু একটি সরলরেখা বেয়ে ওঠে, sin x-এ সে কোসাইন তরঙ্গ অনুসরণ করে। রিডিংয়ে স্পর্শকের সমীকরণও প্রতি অবস্থানে বদলায়।

বক্ররেখা কতটা খাড়া?

সরলরেখার ঢাল সব জায়গায় একই: উল্লম্ব বাড়া ভাগ আনুভূমিক বাড়া। কিন্তু বক্ররেখা একটু জটিল। ওপরে ছোড়া বল প্রথমে খাড়া উঠে, চূড়ায় এসে সমতল হয়, তারপর নামে। প্রতি মুহূর্তে তার খাড়াভাব বদলায়। তাহলে “ঠিক এই বিন্দুর ঢাল” বলতে কী বোঝায়?

কৌশলটা হলো জুম করা। যেকোনো মসৃণ বক্ররেখায় যথেষ্ট জুম করলে সেটা সরলরেখার মতো দেখায়। ওই ছোট সরল অংশের ঢালই সেই বিন্দুতে বক্ররেখার ঢাল, আর রেখাটির নাম স্পর্শক। অন্তরজ হলো সেই সংখ্যা বের করার যন্ত্র।

ছেদক থেকে স্পর্শক

একটি বিন্দু থেকে ঢাল পাওয়া যায় না, দুটি বিন্দু লাগে। তাই একটু কৌশল করি। বক্ররেখার ওপর P নিই, আর একটু দূরে Q। দুই বিন্দু দিয়ে যাওয়া রেখার নাম ছেদক, তার ঢাল সোজা: উল্লম্ব দূরত্ব ভাগ আনুভূমিক দূরত্ব।

এবার Q-কে P-র দিকে সরাও। ছেদক ঘোরে আর ঢাল বদলায়। নিচে x = ১ বিন্দুতে x²-এর হিসাব, যেখানে P = (১, ১)। বাঁ কলামে ব্যবধান h, ডানে ছেদকের ঢাল।

• h = ১ হলে ছেদকের ঢাল ৩.০০০০। এটা পুরো এক একক জুড়ে গড় ঢাল, তাই আসল মান থেকে দূরে।
• h = ০.১ হলে ঢাল ২.১০০০, আর h = ০.০০১ হলে ২.০০১০।
• সংখ্যাগুলো ২-এর দিকে এগোচ্ছে। এই লক্ষ্যই x = ১ বিন্দুতে x²-এর অন্তরজ।

সংজ্ঞাটা লিখে ফেলি

x আর x + h দিয়ে যাওয়া ছেদকের ঢাল (f(x + h) − f(x)) / h। h শূন্যের দিকে ছোট হলে এই অনুপাত যেখানে থিতু হয়, সেটাই অন্তরজ। এই “থিতু হওয়া”র সঠিক নাম সীমা।

আমরা কখনো h = ০ বসাই না, কারণ ০ ÷ ০ কিছুই বোঝায় না। শুধু দেখি অনুপাতটি কোন মানের কাছাকাছি যাচ্ছে। সিমুলেশনে শেষ ধাপে h = ০ বসানো হয় কেবল চূড়ান্ত স্পর্শক আঁকার জন্য।

অন্তরজেরও লেখচিত্র আছে

P সরালে স্পর্শকের ঢাল বদলায়। প্রতিটি x-এর ঢাল লিখে গেলে নতুন একটি ফাংশন পাওয়া যায়, f′(x)। সিমুলেশনের নিচের লেখচিত্রটি সেটাই। ওপরের বক্ররেখা যেখানে ওঠে সেখানে নিচের লেখচিত্র শূন্যের ওপরে। যেখানে চূড়া বা খাদ, সেখানে নিচের লেখচিত্র শূন্য ছুঁয়ে যায়। যেখানে বক্ররেখা নামে, সেখানে নিচেরটি ঋণাত্মক।

x²-এর জন্য পাঁচটি বিন্দুর উচ্চতা ও ঢাল নিচের ছকে। ঢাল ঠিক x-এর দ্বিগুণ।

সিমুলেশনের পাঁচটি ফাংশন

এদের প্রতিটির অন্তরজ জানা। ছকে অন্তরজ আর শেষ কলামে x = ১-এ ঢাল দেওয়া আছে, “P বিন্দুর x” ১ করে সিমুলেশনে মিলিয়ে নাও।

• x²-এর ঢাল ধীরে বাড়ে: 2x। ০-তে সমতল, ডানে ওপরে, বাঁয়ে নিচে।
• x³-এর ঢাল 3x², যা কখনো ঋণাত্মক হয় না। বক্ররেখা কখনো নামে না, তবে ০-তে এক মুহূর্ত সমতল হয়।
• sin x-এর ঢাল cos x। অন্তরজের লেখচিত্র একই তরঙ্গ, শুধু এক-চতুর্থাংশ সরানো।
• eˣ এমন ফাংশন যার ঢাল সব জায়গায় তার উচ্চতার সমান। দুটি লেখচিত্র হুবহু এক।
• 1/x-এর ঢাল −1/x², সবসময় ঋণাত্মক। ০-তে ফাঁকের দুই পাশেই বক্ররেখা নামে।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

ছয়টি ছোট পরীক্ষা, প্রতিটি এক মিনিটের।

• x² বেছে প্লে চাপো, h কমতে দেখো। শেষে ছেদকের ঢাল দেখে তোমার P-তে 2x-এর সঙ্গে মিলিয়ে নাও।
• থামিয়ে x² বক্ররেখায় P-কে x = ০-তে নাও। স্পর্শক সমতল। নিচের লেখচিত্রে কত দেখাচ্ছে?
• eˣ বেছে দুটি লেখচিত্র দেখো। নাম না দেখে কোনটা কোনটা বলতে পারো?
• sin x বেছে P-কে তরঙ্গের চূড়ায় নাও, স্পর্শক সমতল। এবার যেখানে বক্ররেখা অক্ষ কাটে সেখানে নাও। স্পর্শক কি এখানে সবচেয়ে খাড়া?
• 1/x বেছে P-কে ডানে ০-র খুব কাছে নাও, তারপর বাঁয়ে। ঢাল এত বড় হয় কেন?
• x³ বেছে h = ২ রেখে P ঘোরাও। বড় h-এ ছেদক বেশি ছাড়িয়ে যায়। h কত ছোট হলে সেটা স্পর্শকের মতো দেখতে লাগে?

সমাধানসহ আটটি সমস্যা

আটটি পরিচিত প্রশ্ন। নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের একই ফাংশন দিয়ে হিসাব করা।

সাধারণ ভুল

প্রতি বছর নম্বর কাটা যায় এমন চারটি ভুল।

• ভগ্নাংশে সরাসরি h = ০ বসানো। ০ ÷ ০ পাবে। আগে বিস্তার ও সরলীকরণ করো, তারপর h ছোট করো।
• ছেদক আর স্পর্শক গুলিয়ে ফেলা। ছেদক বক্ররেখার দুই বিন্দু যোগ করে, স্পর্শক এক বিন্দুতে ছোঁয়।
• অন্তরজকে উচ্চতা ভাবা। f′(a) হলো a-তে ঢাল, f(a) নয়।
• স্পর্শকের সমীকরণে বিন্দুটি ভুলে যাওয়া: y = f′(a)(x − a) + f(a) লেখো, শুধু y = f′(a)x নয়।

অন্তরজ কোথায় কাজে লাগে

বেগ হলো অবস্থানের অন্তরজ, ত্বরণ বেগের অন্তরজ। জনসংখ্যা বাড়ার হার, ট্যাংক খালি হওয়ার হার, রক্তে ওষুধ কমার হার, সবই অন্তরজ। অর্থনীতিবিদ প্রান্তিক ব্যয়ে, প্রকৌশলী সংকেত কত দ্রুত ওঠে তাতে, আর মেশিন লার্নিং ঢাল বেয়ে নামতে নামতেই শেখে।

পরীক্ষার জন্য

এসএসসি উচ্চতর গণিত, এইচএসসি ও প্রথম বর্ষে এই অধ্যায়ের সাধারণ প্রশ্ন।

• সংজ্ঞা (প্রথম নীতি) থেকে x², x³ বা 1/x-এর f′(x) বের করা।
• প্রদত্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ লেখা।
• কোন বিন্দুতে স্পর্শক প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল বা অনুভূমিক, তা বের করা।
• লেখচিত্র দেখে অন্তরজ কোথায় ধনাত্মক, শূন্য বা ঋণাত্মক তা বলা।

সংক্ষেপে পুনর্বিবেচনা

বক্ররেখার ঢাল = স্পর্শকের ঢাল। ছেদকের ঢাল = (f(x + h) − f(x)) / h। h শূন্যের দিকে গেলে ছেদক স্পর্শক হয়। সীমাটাই অন্তরজ f′(x)। স্পর্শক: y = f′(a)(x − a) + f(a)।

সচরাচর জিজ্ঞাসা