দাঁড়িপাল্লায় কি রোধ মাপা যায়? হুইটস্টোন ব্রিজের কৌশল

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. “হুইটস্টোন ব্রিজ” অবস্থায় ডিফল্ট মান নিয়ে শুরু করো: E = ৬ V, P = ১০ Ω, Q = ২০ Ω, R = ১৫ Ω, S = ২৫ Ω। P/Q = ০.৫০ আর R/S = ০.৬০ কাছাকাছি কিন্তু সমান নয়, তাই কাঁটা এক দিকে হেলে আছে আর গ্যালভানোমিটার দেখাচ্ছে ২.১৫ mA।
2. S ধীরে ধীরে বাড়াও। কাঁটা শূন্যের দিকে এগোবে। S = ৩০ Ω হলে দুটি অনুপাত সমান, দুটোই ০.৫০। কাঁটা শূন্যে, আর প্যানেল বলবে ব্রিজ সাম্যাবস্থায়।
3. ব্রিজ সাম্যাবস্থায় থাকা অবস্থায় ব্যাটারির বিভব পার্থক্য বদলাও। কাঁটা নড়বে না। সাম্য নির্ভর করে শুধু চার রোধের ওপর।
4. S আরও বাড়িয়ে ৩০ Ω পেরিয়ে যাও, কাঁটা উল্টো দিকে হেলবে, কারণ গ্যালভানোমিটারের প্রবাহের দিক উল্টে গেছে।
5. এবার “মিটার ব্রিজ” বেছে নাও। জকি শুরুতে l = ৪০ cm-এ। তারের ওপর সরিয়ে কাঁটা শূন্যে আনো। রিডিং প্যানেলে হিসাব করা X আর আসল X মিলিয়ে দেখো।
6. জানা রোধ R বদলাও, আবার সাম্যবিন্দু খোঁজো। সাম্য দৈর্ঘ্য সরে যায়, কিন্তু X = R·l ÷ (100 − l) সূত্রে অজানা রোধ একই আসে।

রোধকে দাঁড়িপাল্লায় মাপা

পুরোনো দুই-পাল্লার দাঁড়িপাল্লার কথা ভাবো। এক পাল্লার পরম ওজন কত তা জানার দরকার নেই। কাঁটা শূন্যে থাকলেই বোঝা যায় দুই দিক সমান। হুইটস্টোন ব্রিজও এভাবেই কাজ করে, শুধু এখানে দুই পাল্লায় ওজনের বদলে বর্তনীর দুই দিকের বিভব মেলানো হয়।

এটা গুরুত্বপূর্ণ, কারণ অ্যামিটার-ভোল্টমিটার পদ্ধতিতে দুটি যন্ত্রেরই ত্রুটি জমা হয়। শূন্য-নির্দেশক পদ্ধতিতে দরকার একটি সংবেদী যন্ত্র যা শূন্য দেখায়, আর শূন্য দেখা খুবই নির্ভুল। এ কারণেই স্যামুয়েল হান্টার ক্রিস্টি ব্রিজটি আবিষ্কার করার পর চার্লস হুইটস্টোন ১৮৪৩ সালে একে বিখ্যাত করে তোলেন, আর তখন থেকে নির্ভুল রোধ মাপার প্রচলিত উপায় এটাই।

পরীক্ষায় এই অধ্যায় থেকে তিন ধরনের প্রশ্ন আসে: সাম্যের শর্ত বিবৃত ও প্রতিপাদন, সাম্য ব্রিজ থেকে অজানা রোধ বের করা, আর মিটার ব্রিজের পাঠ থেকে অজানা রোধ বের করা। সিমুলেশনে তিনটিই করে দেখা যায়।

চার বাহু আর গ্যালভানোমিটার

P, Q, R, S চারটি রোধ মিলে A, B, C, D কোণওয়ালা একটা রম্বসের আকার নেয়। ব্যাটারি A–C কোণ দুটির মধ্যে লাগানো। একটি সংবেদী গ্যালভানোমিটার B–D কোণ দুটির মধ্যে যুক্ত, এটাই সেই “সেতু”, যার নামে বর্তনীর নাম।

A থেকে C পর্যন্ত প্রবাহের দুটি পথ: B দিয়ে P ও Q, অথবা D দিয়ে R ও S। B আর D-এর বিভব আলাদা হলে কিছু প্রবাহ গ্যালভানোমিটারের ভেতর দিয়েও যায়। কাঁটা দেখায় কতটা যাচ্ছে আর কোন দিকে।

ডিফল্টে ব্যাটারি ৬ V আর গ্যালভানোমিটারের নিজস্ব রোধ ১০০ Ω। বর্তনীটা নির্ভুলভাবে সমাধান করলে, C-এর সাপেক্ষে B-এর বিভব ৩.৯৯ V আর D-এর ৩.৭৭ V। B থেকে D-এর দিকে যে ২.১৫ mA যাচ্ছে, তা ওই সামান্য পার্থক্য থেকেই আসে।

সাম্যাবস্থার শর্ত

গ্যালভানোমিটারে কোনো বিক্ষেপ না থাকলে ব্রিজ সাম্যাবস্থায় আছে। তার মানে B আর D-এর বিভব সমান, তাদের মধ্যে কোনো প্রবাহ নেই। এখন বাকি সব কিছু সাধারণ ওহমের সূত্র।

গ্যালভানোমিটারে প্রবাহ না থাকলে P ও Q-এর ভেতর দিয়ে একই প্রবাহ I₁ যায়, আর R ও S-এর ভেতর দিয়ে একই প্রবাহ I₂। B ও D সমবিভব, তাই A থেকে নামা বিভব পতন সমান: I₁P = I₂R। আবার C পর্যন্ত বিভব পতনও সমান: I₁Q = I₂S। প্রথমটাকে দ্বিতীয়টা দিয়ে ভাগ করলে I₁ আর I₂ কেটে যায়।

সাম্যের একটু এদিক-ওদিক হলে কী হয়

নিচের ছকে P = ১০ Ω, Q = ২০ Ω, R = ১৫ Ω ধ্রুব রেখে শুধু S বদলানো হয়েছে। গ্যালভানোমিটারের প্রবাহ বর্তনীর নির্ভুল সমাধান থেকে এসেছে। শেষ কলামে সিমুলেশনের ডায়ালে কাঁটা কত ডিগ্রি হেলত তা দেওয়া আছে (প্রায় ৪২ ডিগ্রিতে গিয়ে সেটা সীমিত হয়ে যায়)।

S = ৩০ Ω-এর চেয়ে কম হলে R/S, P/Q-এর চেয়ে বড়, আর প্রবাহ B থেকে D-এর দিকে (ধনাত্মক)। বেশি হলে প্রবাহ উল্টে যায়। ঠিক ৩০ Ω-এ শূন্য। S-এর সামান্য বদলেই কাঁটা স্পষ্ট নড়ে, এ কারণেই ব্রিজ খুব ছোট তফাতও ধরতে পারে।

গাণিতিক উদাহরণ: হারানো বাহু খোঁজা

উদাহরণ ১। একটি সাম্য ব্রিজে P = ১০ Ω, Q = ২০ Ω, R = ১৫ Ω। S কত?

P/Q = R/S থেকে S = Q × R ÷ P = ২০ × ১৫ ÷ ১০ = ৩০ Ω। সিমুলেশনে কাঁটা ঠিক এই মানেই শূন্যে আসে।

উদাহরণ ২। একটি ব্রিজ সাম্যাবস্থায় আছে, P = ৫ Ω, Q = ১৫ Ω, S = ৬০ Ω। R নির্ণয় করো। P/Q = ০.৩৩, তাই R = S × P ÷ Q = ৬০ × ৫ ÷ ১৫ = ২০ Ω।

উদাহরণ ৩ (একটা বাড়তি লাভ)। ডিফল্ট ব্রিজ যখন S = ৩০ Ω-এ সাম্যে, B–D দিয়ে কোনো প্রবাহ যায় না। তখন বর্তনীটা দুটি শ্রেণি জোড়ার সমান্তরাল সমবায়। তুল্য রোধ (১০ + ২০) × (১৫ + ৩০) ÷ (১০ + ২০ + ১৫ + ৩০) = ১৮.০০ Ω, আর ৬ V ব্যাটারি দেয় ০.৩৩ A। সমাধানকারীও একই বলে: ব্যাটারি দিচ্ছে ০.৩৩ A, আর গ্যালভানোমিটার দেখাচ্ছে ০.০০ mA।

মিটার ব্রিজ

মিটার ব্রিজ হলো টেবিলের ওপর বানানো একটা হুইটস্টোন ব্রিজ। দুটি স্থির রোধ Q ও S-এর বদলে এতে আছে মিটার স্কেলের পাশে টানা একটিমাত্র সুষম তার, ১০০ cm লম্বা। বাঁ ফাঁকে অজানা রোধ X, ডান ফাঁকে রোধ বাক্স R। দুই ফাঁকের মাঝের বিন্দু থেকে গ্যালভানোমিটার যুক্ত হয়েছে একটা চলমান স্পর্শকে, যার নাম জকি, যাকে তারের ওপর চেপে ধরা হয়।

জকির দুই পাশের তারের টুকরো দুটি অন্য দুই বাহুর কাজ করে। তার সুষম, তাই রোধ দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক। জকি বাঁ প্রান্ত থেকে l cm-এ থাকলে বাঁ টুকরার রোধ l-এর আর ডান টুকরার (100 − l)-এর সমানুপাতিক। জকি সরিয়ে গ্যালভানোমিটারে শূন্য আনলে পাওয়া যায় সাম্য দৈর্ঘ্য।

তখন P/Q = R/S শর্তটাই হয়ে যায় X/R = l/(100 − l)। তারের প্রতি সেন্টিমিটার রোধ কেটে যায়, তাই সেটা জানার দরকারই পড়ে না।

মিটার ব্রিজের উদাহরণ

উদাহরণ ৪। রোধ বাক্সে R = ১০ Ω, জকি l = ৬০ cm-এ থাকলে কাঁটা শূন্যে আসে। অন্য টুকরোটি 100 − ৬০ = ৪০ cm। তাহলে X = ১০ × ৬০ ÷ ৪০ = ১৫.০০ Ω।

উদাহরণ ৫। R = ১২ Ω নিলে সাম্য আসে l = ৪৫ cm-এ। তখন X = ১২ × ৪৫ ÷ ৫৫ = ৯.৮২ Ω। লক্ষ করো, সাম্যবিন্দু ৫০ cm-এর কম, তাই X, R-এর চেয়ে ছোট।

উল্টো প্রশ্ন: সিমুলেশনের ডিফল্টে X = ১৫ Ω আর R = ১০ Ω। সাম্য আসার কথা l = 100 X ÷ (X + R) = ৬০.০ cm-এ। জকির শুরুর অবস্থান ৪০ cm-এ গ্যালভানোমিটার দেখায় -১১.০৭ mA, আর তখনকার l বসালে সূত্র ভুল করে X = ৬.৬৭ Ω দিত। জকিকে সাম্যবিন্দুতে নিলে ভুলটা চলে যায়।

ছকে R = 10 Ω ধরে দেখানো হয়েছে সাম্য দৈর্ঘ্যের সঙ্গে X কীভাবে বদলায়। দুই পাশের দৈর্ঘ্য সমান হলে X = R। ৭০ cm পেরোলে মান দ্রুত বাড়ে।

সাম্যবিন্দু মাঝামাঝি হওয়া ভালো কেন

l পড়তে সবসময় কিছু ভুল হয়। ধরো তুমি স্কেল ০.১ cm পর্যন্ত পড়তে পারো। তাহলে X-এর আপেক্ষিক ত্রুটি হয় ০.১ × (1/l + 1/(100 − l)) × 100 শতাংশ।

l = 50 cm হলে ০.৪০ %। l = 25 cm-এ ০.৫৩ %। l = 10 cm বা 90 cm-এ ১.১১ % বা ১.১১ %। ত্রুটি সবচেয়ে কম মাঝামাঝিতে। তাই পরীক্ষাগারে R এমন নাও যাতে সাম্যবিন্দু প্রায় ৪০ থেকে ৬০ cm-এর মধ্যে আসে।

ত্রুটির উৎস ও সতর্কতা

ব্যবহারিক পরীক্ষা ও মৌখিক পরীক্ষায় এগুলো নিয়মিত আসে।

• সংযোগের তার আর তামার পাতের সামান্য রোধ আছে। এই প্রান্ত রোধ তারের দুই মাথায় বেশি প্রভাব ফেলে, তাই মাঝামাঝি সাম্য আনা ভালো।
• চাবি বেশিক্ষণ বন্ধ রেখো না। উত্তাপে তারের আর X-এর রোধ বদলে যায়।
• জকি আলতো করে চাপো। তারের ওপর টেনে নিলে তার সরু হয়ে যায় আর সুষমতা নষ্ট হয়।
• R আর X জায়গা বদল করে আবার পাঠ নাও, তারপর X-এর গড় করো। এতে প্রান্ত রোধের ত্রুটি কেটে যায়।
• গ্যালভানোমিটার নাজুক। শুরুতে বড় শ্রেণি রোধ রাখো, সাম্যের কাছে এসে তবে সরাও।

ব্রিজ কোথায় কাজে লাগে

সেতু বা বিমানের ডানায় লাগানো স্ট্রেইন গেজ টানলে তার রোধ খুব সামান্য বদলে যায়। ব্রিজ বর্তনী সেই ছোট বদলকে অসাম্য হিসেবে ধরে ভোল্টেজে রূপ দেয়। অনেক ওজন মাপার যন্ত্র, চাপ সেন্সর আর থার্মোমিটার একইভাবে কাজ করে। আলো বা তাপমাত্রায় রোধ বদলায় এমন উপাদান এক বাহুতে বসালে ব্রিজ সেন্সর হয়ে যায়: রোধ বদলালে ব্রিজ সাম্য হারায়, আর কতটা হারাল তাই বলে দেয় রোধ কতটা বদলেছে।

কির্শফের সূত্রের সঙ্গেও এর যোগ আছে। ব্রিজ আসলে মাঝখানে একটা শাখাওয়ালা দুই-লুপ বর্তনী, আর কির্শফের সূত্রের অ্যানিমেশনে এমন বর্তনী ধাপে ধাপে সমাধান করা যায়।

সাধারণ ভুল

এই চারটি ভুলে সবচেয়ে বেশি নম্বর যায়।

• শর্ত ভুল বাহু দিয়ে লেখা, যেমন P/R = Q/S। অনুপাত হবে ব্যাটারির একই পাশের দুই বাহুর: P ও Q আর R ও S।
• মিটার ব্রিজে দৈর্ঘ্য উল্টো করে বসানো। কোন ফাঁকে অজানা রোধ আছে দেখে নাও। এই অ্যানিমেশনে X বাঁয়ে, l-এর পাশে।
• ভাবা যে ব্যাটারির বিভব বা গ্যালভানোমিটারের রোধ সাম্যে প্রভাব ফেলে। ফেলে না।
• ভুলে যাওয়া যে X = R·l ÷ (100 − l)-এ l মাপতে হয় তারের সেই মাথা থেকে, যেটা X-এর পাশে।

পরীক্ষার কোণ

“সাম্যের শর্ত প্রতিপাদন করো” প্রশ্নের পূর্ণ উত্তরে থাকে নামাঙ্কিত চিত্র, গ্যালভানোমিটারে প্রবাহ নেই এই কথা, সমান বিভব পতনের দুটি সমীকরণ আর ভাগ করার ধাপ। এতেই চার-পাঁচ নম্বর।

মিটার ব্রিজের অঙ্কে সাধারণত R আর l দিয়ে X চায়, কখনো R বদলালে নতুন সাম্য দৈর্ঘ্য কত হবে তা জানতে চায়। স্লাইডার নেড়ে দুই দিকেই অনুশীলন করো যতক্ষণ না সূত্রটা সহজ লাগে।

ঝালিয়ে নেওয়ার তালিকা

না দেখে নিজেকে যাচাই করো।

• সাম্য ব্রিজে গ্যালভানোমিটারে প্রবাহ শূন্য: V_B = V_D।
• সাম্যের শর্ত: P/Q = R/S।
• সাম্য ব্যাটারির বিভব বা গ্যালভানোমিটারের রোধের ওপর নির্ভর করে না।
• মিটার ব্রিজ: X = R · l ÷ (100 − l), l মাপা হয় X-এর পাশের প্রান্ত থেকে।
• তার সুষম বলে রোধ দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক।
• সাম্যবিন্দু ৫০ cm-এর কাছে হলে নির্ভুলতা সবচেয়ে বেশি।
• R আর X অদলবদল করে গড় নিলে প্রান্ত ত্রুটি কাটে।

সচরাচর জিজ্ঞাসা