গ্রহ সূর্যের কাছে ছুটে যায়, দূরে গেলে ঢিমে চলে কেন?

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. ডিফল্ট দিয়ে শুরু করো: a = ১.০ AU আর e = ০.৫০। পর্যায়কাল দেখাচ্ছে ১.০০ বছর। গ্রহ সূর্যের কাছে দ্রুত, দূরে ধীরে চলে।
2. উৎকেন্দ্রতা স্লাইডার ০-তে নামাও। উপবৃত্ত বৃত্ত হয়ে যায় আর গ্রহ একই দ্রুতিতে ঘোরে। ০.৯-এর দিকে ঠেলো, কক্ষপথ লম্বা সরু উপবৃত্ত হয়ে যাবে।
3. ছায়া দেওয়া সেক্টরগুলো দেখো। প্রতিটি সমান সময়ে অতিক্রান্ত ক্ষেত্র। সূর্যের কাছে সেটা খাটো আর চওড়া, দূরে লম্বা আর সরু, তবু দাগ দেওয়া দুটি সেক্টরের ক্ষেত্রফল সমান।
4. সেক্টরের সংখ্যা বদলাও। বেশি সেক্টর মানে পাতলা ফালি, কিন্তু প্রতিটি জোড়ার ক্ষেত্রফল তবু সমান।
5. অর্ধ-মুখ্য অক্ষ বাড়াও আর লেখের ওপর বিন্দুটাকে বেয়ে উঠতে দেখো। দূরত্বের চেয়ে পর্যায়কাল দ্রুত বাড়ে, a^1.5 হারে।
6. দ্রুতির বারগুলো দেখো। এতে গ্রহের দ্রুতি, ওই দূরত্বে বৃত্তাকার কক্ষের দ্রুতি আর মুক্তিবেগ আছে। মুক্তিবেগের বার সবসময় বৃত্তাকারের চেয়ে √২ গুণ লম্বা।

সূর্যের কাছে এলে গ্রহ দ্রুত হয় কেন

একটা কাচের গুলি ফানেলের ভেতরের গা বেয়ে ঘুরিয়ে দেখো, অদ্ভুত কিছু চোখে পড়বে। গুলি যখন কেন্দ্রের দিকে নামে, সে ছুটে যায়। কিনারার দিকে উঠলে ধীর হয়ে যায়। সূর্যকে ঘিরে গ্রহ ঠিক এই কাণ্ডই করে, শুধু ফানেলের কাজটা করে মহাকর্ষ।

মহাকর্ষ বোঝার অনেক আগে জ্যোতির্বিদ টাইকো ব্রাহে বছরের পর বছর মঙ্গল গ্রহের নিখুঁত অবস্থান লিখে রেখেছিলেন। তাঁর সহকারী ইয়োহানেস কেপলার সেই সংখ্যাগুলো ঘেঁটে দেখলেন কোনো বৃত্তই খাপ খায় না। খাপ খেল একটা উপবৃত্ত, আর তার সঙ্গে আরও দুটি নিয়ম। পরে নিউটন দেখালেন মহাকর্ষের বিপরীত বর্গীয় সূত্র থেকে তিনটিই বেরিয়ে আসে।

পরীক্ষায় কেন দরকার? কারণ তিনটি সূত্র কয়েকটা নির্ভরযোগ্য হাতিয়ার দেয়: সূর্য কোথায় বসে, কক্ষপথ বরাবর দ্রুতি কীভাবে বদলায়, আর আকারের সঙ্গে পর্যায়কালের সম্পর্ক কী। সঙ্গে মুক্তিবেগ জুড়লে এই অধ্যায়ের প্রায় সব প্রশ্ন সামলানো যায়।

তিনটি সূত্র সহজ কথায়

আগে এই তিনটি বাক্য মুখস্থ করো। পাঠের বাকি অংশ এদের একটি একটি করে খুঁটিয়ে দেখা।

প্রথম সূত্র: ফোকাসে সূর্য নিয়ে উপবৃত্ত

উপবৃত্ত হলো টেনে লম্বা করা বৃত্ত। তার দুটি বিশেষ বিন্দু আছে, নাম ফোকাস। উপবৃত্তের যেকোনো বিন্দু নাও, দুই ফোকাস থেকে তার দূরত্ব যোগ করো: যোগফল সবসময় এক, আর সেটা অর্ধ-মুখ্য অক্ষের দ্বিগুণ, 2a। মালি দুটো খুঁটিতে সুতো বেঁধে পেন্সিল দিয়ে টান টান করে ঘুরিয়ে উপবৃত্ত আঁকতে পারে।

সূর্য থাকে এক ফোকাসে। অন্য ফোকাসটা ফাঁকা। তাই সূর্য কক্ষপথের মাঝখানে নেই, আর গ্রহ এক প্রান্তে সূর্যের যতটা কাছে, অন্য প্রান্তে ততটা নয়। সবচেয়ে কাছের বিন্দুর নাম অনুসূর, সবচেয়ে দূরের বিন্দুর নাম অপসূর।

উপবৃত্ত কতটা লম্বা? সেটা মাপে উৎকেন্দ্রতা e। বৃত্তের e = 0। খুব লম্বা সরু উপবৃত্তের e প্রায় 1। অর্ধ-মুখ্য অক্ষ a হলো দীর্ঘতম প্রস্থের অর্ধেক। a আর e থেকেই সব মেলে: অনুসূর দূরত্ব a(1 − e), অপসূর দূরত্ব a(1 + e), আর অর্ধ-গৌণ অক্ষ b = a√(1 − e²)।

আসল গ্রহের কক্ষপথ প্রায় বৃত্ত। পৃথিবীর e মাত্র প্রায় ০.০১৭, চোখে দেখে বৃত্ত থেকে আলাদা করা যাবে না। সিমুলেশনে ডিফল্ট e = ০.৫০ ইচ্ছে করেই বড় রাখা, যাতে প্রভাবগুলো চোখে পড়ে।

ডিফল্ট কক্ষ নাও, a = ১.০ AU। অনুসূর ১.০ × (1 − ০.৫০) = ০.৫০ AU আর অপসূর ১.০ × (1 + ০.৫০) = ১.৫০ AU। সারণিতে a = 1 AU ধরে e বাড়ালে দূরত্ব আর দ্রুতি কীভাবে বদলায় দেখানো আছে।

দ্বিতীয় সূত্র: সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল

সূর্য থেকে গ্রহ পর্যন্ত একটা রেখা টানো। গ্রহ চললে রেখাটা ঘড়ির কাঁটার মতো একটা অংশ অতিক্রম করে, শুধু এই কাঁটা কখনো লম্বা কখনো খাটো হয়। কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র বলে, সমান সময়ে রেখাটা সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে।

এর মানে কী দাঁড়ায় ভাবো। সূর্যের কাছে রেখা ছোট, তাই একই ক্ষেত্রফল অতিক্রম করতে গ্রহকে অনেকটা পথ যেতে হয়। দূরে রেখা লম্বা, তাই একটুখানি পথেই একই ক্ষেত্রফল হয়ে যায়। অতএব সূর্যের কাছে গ্রহকে ছুটতে হবে আর দূরে ধীরে চলতে হবে। পর্দায় ঠিক এটাই দেখছ।

সিমুলেশন এক পর্যায়কালকে ৮টি সমান সময়ের সেক্টরে কেটেছে। ১.০০ বছরের কক্ষে প্রতিটি সেক্টরে ৪৫.৭ দিন লাগে। অনুসূরের সবুজ আর অপসূরের লাল দাগ দেওয়া সেক্টর দুটো দেখতে একেবারে আলাদা, একটা খাটো ও মোটা, একটা লম্বা ও সরু। অথচ দুটোরই ক্ষেত্রফল ০.৩৪০ AU², যা পুরো উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল πab-কে ৮ দিয়ে ভাগ করলে আসে। পর্দার নিচে সংখ্যা দুটো পাশাপাশি ছাপা আছে।

কেন সত্যি? সূর্যের টান সবসময় সূর্যের দিকের রেখা বরাবর। এমন বল গ্রহকে সূর্যের চারদিকে ঘোরাতে পারে না, তাই গ্রহের কৌণিক ভরবেগ স্থির থাকে। ক্ষেত্রফল অতিক্রমের হার ঠিক কৌণিক ভরবেগের অর্ধেক (প্রতি একক ভরে), তাই সেটাও স্থির। কেপলার সূত্রটা মেপে পেয়েছিলেন, কারণটা নিউটনের কাছ থেকে এল।

একটা চমৎকার ফল: অনুসূরে আর অপসূরে বেগ সূর্যের দিকের রেখার সঙ্গে লম্ব, তাই দ্রুতি গুণ দূরত্ব দুই প্রান্তে সমান। ডিফল্ট কক্ষে অনুসূরে দ্রুতি ৫১.৬ km/s আর অপসূরে ১৭.২ km/s, অনুপাত ৩.০। এটা ঠিক (1 + e) ÷ (1 − e)।

তৃতীয় সূত্র: বড় কক্ষ বেশি সময় নেয়, তুমি যা ভাবো তার চেয়েও

কেপলারের তৃতীয় সূত্র কক্ষের আকারের সঙ্গে পর্যায়কাল জোড়ে। পর্যায়কালের বর্গ অর্ধ-মুখ্য অক্ষের ঘনের সমানুপাতিক, T² ∝ a³। যে গ্রহ দ্বিগুণ দূরে, তার বছর দ্বিগুণ লম্বা নয়। লাগে 2^1.5 গুণ, প্রায় তিন গুণ।

সূর্যের জন্য সুবিধার একক নাও: দূরত্ব AU-তে, সময় বছরে, ভর সূর্য-ভরে। তখন সূত্রটা চমৎকার সহজ হয়ে যায়, T² = a³ ÷ M। সূর্যের M = 1, তাই T = a^1.5। পৃথিবীর a = 1 আর T = 1। কোনো গ্রহের দূরত্ব জানলে তার বছর জানা যায়।

প্রথম সারণি গ্রহগুলোর সঙ্গে সূত্রটা মিলিয়ে দেখে। শেষ কলাম T² ÷ a³ প্রতিবার ১ হয়, কারণ সূর্যকে ঘোরা সবকিছুর জন্য ধ্রুবকটা এক। দ্বিতীয় সারণিতে কিছু গোল সংখ্যার ঘাত আছে।

স্লাইডারে কেন্দ্রীয় ভর বদলাও। ভারী তারা বেশি জোরে টানে, তাই একই কক্ষ আরও দ্রুত ঘোরা হয়, আর পর্যায়কাল √M গুণ কমে। এটাই সূত্রের চালাক দিক: যেকোনো কক্ষের আকার আর পর্যায়কাল মাপলে মাঝখানের জিনিসটার ওজন বের করা যায়। এভাবেই জ্যোতির্বিদেরা গ্রহসহ তারার ভর আর চাঁদসহ গ্রহের ভর মাপেন।

প্রতিটি বিন্দুতে গ্রহ কত দ্রুত

দ্বিতীয় সূত্র বলে দ্রুতি বদলায়। একটা সমীকরণ কক্ষপথের যেকোনো জায়গার সঠিক মান দেয়। নাম ভিস-ভিভা সমীকরণ, আসে শক্তির সংরক্ষণ থেকে: v² = GM (2 ÷ r − 1 ÷ a)।

মন দিয়ে পড়ো। কোনো নির্দিষ্ট দূরত্ব r-এ দ্রুতি নির্ভর করে শুধু r আর a-র ওপর। বড় কক্ষে r দূরত্বে থাকা গ্রহ ছোট কক্ষে একই r-এ থাকা গ্রহের চেয়ে দ্রুত। a = r হলে কক্ষ বৃত্ত, আর সমীকরণ ঝরে পড়ে বৃত্তাকার দ্রুতি v = √(GM ÷ r)-এ।

পর্দার নিচের ডানদিকের দ্রুতির বারগুলো ঠিক এটাই ব্যবহার করে। নীল বার সেই মুহূর্তে গ্রহের নিজের দ্রুতি। সবুজ বার ওই একই দূরত্বে বৃত্তাকার কক্ষের জন্য লাগত যে দ্রুতি। দেখো নীল বার সূর্যের কাছে সবুজের ওপরে ওঠে, দূরে নেমে যায়: কাছে গ্রহ ওই দূরত্বের বৃত্তাকার দ্রুতির চেয়ে দ্রুত, তাই বাইরে ছিটকে যায়; দূরে ধীর, তাই মহাকর্ষ তাকে টেনে আনে।

মুক্তিবেগ: যে দ্রুতি কক্ষ ভেঙে দেয়

চিরতরে চলে যেতে কত দ্রুত যেতে হবে? মহাকর্ষ কখনো পুরো বন্ধ হয় না, তাই উত্তর সেই দ্রুতি যাতে ঠিক অসীমে পৌঁছানো যায় আর কিছু বাকি থাকে না। গতিশক্তিকে সেই শক্তির সমান করো যা মহাকর্ষ ফেরত নিত: ½mv² = GMm ÷ r। m কেটে দিলে v(মুক্তি) = √(2GM ÷ r)।

বৃত্তাকার দ্রুতি √(GM ÷ r)-এর সঙ্গে তুলনা করো। মুক্তিবেগ ঠিক √2 গুণ বড়, মানে ১.৪১৪। এই অনুপাত বস্তুর ওপর একেবারেই নির্ভর করে না। এ কারণেই পর্দায় মুক্তিবেগের বার বৃত্তাকার বারের চেয়ে সবসময় একই ধাপ ওপরে থাকে।

ভিস-ভিভা সমীকরণে পালানো মানে কক্ষের কোনো দূর প্রান্ত নেই, 1 ÷ a = 0। মুক্তিবেগের নিচে গ্রহ উপবৃত্তে ঘোরে আর ফিরে আসবে। মুক্তিবেগে পথ পরাবৃত্ত। তার ওপরে অধিবৃত্ত। পরাবৃত্ত বা অধিবৃত্ত পথের ধূমকেতু একবার এসে চলে যায়।

সারণিতে সূর্যের ভর ধরে সূর্য থেকে চার দূরত্বে দ্রুতি দেওয়া। পৃথিবীর দূরত্বে বৃত্তাকার দ্রুতি ২৯.৭৯ km/s, যা পৃথিবীর নিজের কক্ষীয় দ্রুতি, আর সূর্য থেকে মুক্তিবেগ ৪২.১২ km/s।

সমাধান করা অঙ্ক

সাতটি অঙ্ক, সহজ থেকে ধোঁকাদায়ক পর্যন্ত। প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের ফাংশনেই হিসাব করা, তাই স্লাইডারে মিলিয়ে দেখতে পারবে।

যে ভুলে নম্বর কাটা যায়

পরীক্ষার আগে তালিকাটা দেখে নাও। প্রতিটি ভুলে কেউ না কেউ সত্যিই নম্বর হারিয়েছে।

• সূর্যকে উপবৃত্তের কেন্দ্রে বসানো। সে এক ফোকাসে থাকে।
• বলা যে গ্রহ ধ্রুব দ্রুতিতে চলে। ধ্রুব থাকে শুধু ক্ষেত্রীয় দ্রুতি।
• T² = a³-তে km বা মিটার না বদলে বসানো। সহজ রূপের জন্য AU, বছর আর সূর্য-ভর লাগে; নয়তো T² = 4π²a³ ÷ GM ব্যবহার করো।
• তৃতীয় সূত্রে কক্ষের পুরো প্রস্থ ধরা, অথচ লাগে তার অর্ধেক, অর্ধ-মুখ্য অক্ষ।
• ভুলে যাওয়া যে অনুসূর আর অপসূর যোগ করলে 2a হয়, a নয়।
• ভাবা যে মুক্তিবেগ পালানো বস্তুর ভরের ওপর নির্ভর করে। করে না।
• দ্বিতীয় সূত্রের দুটি সমান রাশি গুলিয়ে ফেলা: সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল, সমান সময়ে সমান দূরত্ব নয়।

আর কোথায় এই সূত্র খাটে

কেপলারের সূত্রের কোনো কিছুই সূর্যের জন্য বিশেষ নয়। গ্রহকে ঘোরা চাঁদ, পৃথিবীকে ঘোরা কৃত্রিম উপগ্রহ, আর ছায়াপথের কেন্দ্রের কৃষ্ণগহ্বরকে ঘোরা তারা, সবাই একই তিন নিয়ম মানে, শুধু কেন্দ্রীয় ভর বদলায়।

উপগ্রহ প্রকৌশলীরা নির্দিষ্ট কক্ষ-সময়ের জন্য উচ্চতা বেছে নিতে পর্যায়কালের সূত্র ব্যবহার করেন, আর যান পাঠানোর রকেটের মাপ ঠিক করতে মুক্তিবেগ। জ্যোতির্বিদেরা অন্য তারার চারদিকে গ্রহ খোঁজেন খুব ছোট দোলন মেপে, তারপর তৃতীয় সূত্রে কক্ষের আকার বের করেন। উপরের কাল্পনিক ধূমকেতুর মতো অতি-উৎকেন্দ্রিক উপবৃত্তের ধূমকেতু ভেতরের সৌরজগতে অল্প সময় কাটায় আর বছরের প্রায় সবটা দূরে ধীরে চলে, দ্বিতীয় সূত্র যেমন দাবি করে।

সচরাচর জিজ্ঞাসা