বাতাসের সারির কণাগুলোর সরণ বাস্তবের চেয়ে বড় করে আঁকা, যাতে সংকোচন-প্রসারণ চোখে পড়ে
নিয়ন্ত্রণ
পরিমাপ
- কম্পাঙ্ক, f
- ১.০Hz
- পর্যায়কাল, T = 1/f
- ১.০০s
- তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = v/f
- ৩.০০m
- তরঙ্গের বেগ (মাধ্যম), v
- ৩.০০m/s
- দড়ির কণার সরণ, y
- ০.০cm
- বাতাসের কণার সরণ, s
- ০.০cm
- সময়, t
- ০.০s
সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে
- চালু করো আর দুটো সারিই একসাথে দেখো। ওপরের দড়ি আর নিচের বাতাসের কলাম একই উৎস দিয়ে চলে, তাই কম্পাঙ্ক, বিস্তার আর তরঙ্গের বেগ দুটোতেই এক। শুধু কণার কাঁপার দিকটা আলাদা।
- প্রতিটি সারিতে কমলা কণাটা খুঁজে নাও। তার ডোরাকাটা রেখা কণার সাম্য অবস্থান বোঝায়। কয়েক সেকেন্ড লক্ষ করো: দড়িতে কণাটা ওপর-নিচে ওঠানামা করে, বাতাসে ডানে-বাঁয়ে সরে, আর দুই ক্ষেত্রেই বারবার ডোরাকাটা রেখায় ফিরে আসে। তরঙ্গের সাথে সে কখনো ডানে চলে যায় না।
- প্রতিটি সারির ডান পাশের ছোট লেখচিত্রটা পড়ো। কমলা কণার সরণ বনাম সময় শেষ ৪ সেকেন্ডের জন্য আঁকা, আর এটা একটা সাইন বক্র, যার পর্যায়কাল T = 1/f।
- কম্পাঙ্ক স্লাইডার বাড়াও। ঢেউগুলো কাছাকাছি চলে আসে, পরিমাপ প্যানেলে তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ কমে যায়, কিন্তু f × λ সবসময় তরঙ্গের বেগের সমান থাকে। f বা v বদলালেই তরঙ্গ উৎস থেকে আবার শুরু হয়, তাই তরঙ্গের মুখ ছড়িয়ে পড়তে দেখবে।
- কম্পাঙ্ক ঠিক রেখে তরঙ্গের বেগ বাড়াও। তরঙ্গদৈর্ঘ্য লম্বা হয়ে ঢেউ ছড়িয়ে যায়। তারপর শুধু বিস্তার বদলাও: দড়ির ঢেউ উঁচু হয়, বাতাসে সংকোচন ঘন হয়, কিন্তু λ বদলায় না।
- লেখচিত্রের বাক্সে টিক দাও। তৃতীয় সারিতে বাতাসের প্রতিটি কণা নিজের সাম্য অবস্থান থেকে কতটা সরেছে তা অবস্থানের বিপরীতে আঁকা হয়। লাল আর সবুজ বিন্দু দেখাবে, বক্রটা যেখানে নিচের দিকে শূন্য অতিক্রম করে সেখানে সংকোচন, আর ওপরের দিকে শূন্য অতিক্রম করে সেখানে প্রসারণ।
স্টেডিয়ামের ঢেউ, দড়ি আর স্পিকার
ক্রিকেট স্টেডিয়ামে দর্শকদের “ওয়েভ” করার দৃশ্যটা মনে করো। একটা ঢেউ পুরো গ্যালারি ঘুরে আসে, অথচ কেউ নিজের জায়গা ছেড়ে দৌড়ায় না। প্রত্যেকে শুধু নিজের সিটে উঠে দাঁড়ায় আর বসে পড়ে, আর দাঁড়ানো মানুষের নকশাটা ঘুরে বেড়ায়। এই অধ্যায়ের সবচেয়ে জরুরি কথাটা এই ছবিতেই আছে: তরঙ্গ চলে, কিন্তু যেসব কণা দিয়ে তরঙ্গ তৈরি তারা তরঙ্গের সাথে চলে না।
এবার একটা লম্বা দড়ির এক প্রান্ত দরজার হাতলে বেঁধে অন্য প্রান্তটা ওপর-নিচে ঝাঁকাও। দড়ি বেয়ে একটা ঢেউ দরজার দিকে ছুটে যায়। দড়ির গায়ে একটা গিঁট বাঁধা থাকলে দেখবে সেটা ওপরে ওঠে, নিচে নামে, কিন্তু দড়ির বরাবর একই জায়গায় থাকে। ঢেউ কয়েক মিটার পাড়ি দিল, গিঁট কয়েক সেন্টিমিটার নড়ে নিজের বাড়িতে ফিরে এল।
শব্দেও একই ব্যাপার, শুধু একটা মোচড় আছে। স্পিকারের কোণ সামনে ঠেলে এলে পাশের বাতাস চেপে যায়। সেই চাপা অংশ পরের স্তরকে ঠেলে, সেটা তার পরেরটাকে, আর চাপা বাতাসের একটা স্পন্দন ঘরের এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে ছুটে যায়। কিন্তু তোমার কানের কাছের বাতাস স্পিকার থেকে তোমার কাছে আসেনি; প্রতিটি ছোট অংশ শুধু সামনে-পেছনে সামান্য দুলেছে। মোচড়টা হলো দোলার দিক: শব্দ যেদিকে চলে সেদিক বরাবর, আড়াআড়ি নয়।
দোলার দিকের এই পার্থক্যই তরঙ্গের দুই পরিবারকে আলাদা করে। সিমুলেশনে একই উৎস থেকে দুটোই একসাথে আঁকা হয়েছে, যাতে সরাসরি তুলনা করা যায়।
আগে বুঝি, তরঙ্গ কী
তরঙ্গ হলো এমন একটা বিক্ষোভ যা কোনো মাধ্যমের ভেতর দিয়ে চলে এবং মাধ্যমকে সঙ্গে না নিয়ে শক্তিকে এক জায়গা থেকে আরেক জায়গায় নিয়ে যায়। পানি, দড়ি, বাতাস আর ধাতব স্প্রিং সবই মাধ্যমের উদাহরণ: এমন উপাদান যার কণাগুলো প্রতিবেশী কণাকে টানতে ও ঠেলতে পারে।
পদ্ধতি সবসময় একই। কোনো একটা উৎস একটা কণাকে কাঁপায়। প্রতিবেশীর মধ্যকার বলের মাধ্যমে সেই কণা পরের কণাকে টানে বা ঠেলে। পরের কণা তার প্রতিবেশীর সাথে একই কাজ করে, এভাবে চলতে থাকে। প্রতিটি কণা উৎসের গতিই নকল করে, শুধু আগের কণার চেয়ে একটু দেরিতে। সারির মধ্য দিয়ে এগিয়ে যাওয়া এই সামান্য দেরিটাকেই আমরা তরঙ্গের চলা হিসেবে দেখি।
এ কারণেই তরঙ্গ এত কাজের। এক বালতি পদার্থও এখান থেকে ওখানে না সরিয়ে একটা ঘর, সাগর বা গ্রহজুড়ে শক্তি আর তথ্য পাঠানো যায়। ফোনের কথা, গিটারের তার, ভূমিকম্প আর শিক্ষকের কণ্ঠস্বর সবই এভাবে কাজ করে।
এই সিমুলেশনের দুটো তরঙ্গের মতো যেসব তরঙ্গের চলতে একটা পদার্থের মাধ্যম লাগে, তাদের যান্ত্রিক তরঙ্গ বলে। আলো আলাদা, কারণ তার মাধ্যম লাগে না, কিন্তু এই পাতায় শুধু যান্ত্রিক তরঙ্গ নিয়ে কথা।
অনুপ্রস্থ তরঙ্গ: কণারা পাশাপাশি দোলে
অনুপ্রস্থ তরঙ্গে মাধ্যমের কণাগুলো তরঙ্গ চলার দিকের সাথে লম্বভাবে কাঁপে। সিমুলেশনের ওপরের সারিতে তরঙ্গ বাঁ থেকে ডানে চলছে, আর দড়ির প্রতিটি পুঁতি ওপর-নিচে উঠছে-নামছে।
অনুপ্রস্থ তরঙ্গের আকার খুব পরিষ্কার। সবচেয়ে উঁচু বিন্দুগুলোর নাম তরঙ্গশীর্ষ, সবচেয়ে নিচু বিন্দুগুলোর নাম তরঙ্গপাদ, আর দড়িটা স্থির অবস্থায় যে রেখা বরাবর থাকত সেটা সাম্য রেখা। এই রেখা থেকে সবচেয়ে বেশি পাশের সরণকে বলে বিস্তার। সিমুলেশনে দেখবে শীর্ষ আর পাদ চলছে, কিন্তু কমলা পুঁতি শুধু ওঠানামা করছে।
কোনো মাধ্যম তখনই অনুপ্রস্থ তরঙ্গ বহন করতে পারে যখন একটা স্তরকে পাশের স্তরের ওপর পিছলে দিতে চাইলে সে বাধা দেয়। পিছলে যাওয়ার বিরুদ্ধে এই স্থিতিস্থাপক বাধাকে কৃন্তন দৃঢ়তা বলে, আর তা কঠিন পদার্থে আছে। তরল আর গ্যাসে নেই, তাই তরল বা গ্যাসের ভেতর দিয়ে অনুপ্রস্থ তরঙ্গ চলতে পারে না। দড়ি, গিটারের তার, তবলার চামড়া সবই টান করে বাঁধা বলে কাজ করে।
আলো আর রেডিও তরঙ্গও অনুপ্রস্থ, কিন্তু সেটা অন্য গল্প: তাদের মাধ্যম লাগে না, আর যা দোলে তা কণা নয়, বৈদ্যুতিক ও চৌম্বক ক্ষেত্র। এই অধ্যায়ে দড়ির ছবিটাই মনে রাখো।
অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ: কণারা একই রেখায় সামনে-পেছনে দোলে
অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গে কণাগুলো তরঙ্গ চলার একই রেখা বরাবর সামনে-পেছনে কাঁপে। দ্বিতীয় সারিতে প্রতিটি বিন্দু শুধু ডানে-বাঁয়ে সরছে, তবু ঘন হওয়া আর ফাঁকা হওয়ার নকশাটা ডানে এগিয়ে যাচ্ছে।
যেখানে কণাগুলো ঘেঁষাঘেঁষি, সেখানে চাপ আর ঘনত্ব স্বাভাবিকের চেয়ে বেশি। এই অঞ্চলের নাম সংকোচন। যেখানে কণাগুলো ফাঁকা ফাঁকা, সেখানে চাপ আর ঘনত্ব স্বাভাবিকের চেয়ে কম। এই অঞ্চলের নাম প্রসারণ। অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ হলো একটার পর একটা সংকোচন আর প্রসারণের সারি।
টেবিলে রাখা একটা স্প্রিং (স্লিংকি) দিয়ে নিজেই বানাতে পারো: কয়েকটা পাক ঠেলে একসাথে চেপে ছেড়ে দাও। চাপা পাকগুলোর একটা গুচ্ছ স্প্রিং বেয়ে ছুটে যায়, তার পেছনে একটা টানটান ফাঁকা অংশ। বাতাসে শব্দও তাই, শুধু পাকের জায়গায় বাতাসের অণু। স্পিকার বা সুরশলাকা এই চাপা আর ফাঁকা অঞ্চল বানায়।
অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ চেপে আর ছেড়ে কাজ করে বলে কঠিন, তরল আর গ্যাস, তিনটিতেই চলতে পারে। সব পদার্থই চেপে ধরলে বাধা দেয়। এ কারণেই দেয়ালের ওপাশ থেকে, পানির নিচে বা খোলা বাতাসে শব্দ শোনা যায়।
মূল কথা: তরঙ্গ চলে, কণা চলে না
প্রায় সবাই প্রথমে ভাবে, কমলা কণাটা তরঙ্গশীর্ষ বা সংকোচনের সাথে ডানে বয়ে যাবে। এই ভুল ছবিটা সারানোর জন্যই সিমুলেশনটা বানানো।
কমলা কণার ভেতর দিয়ে যাওয়া ডোরাকাটা রেখাটা দেখো। কোনো বিক্ষোভ না থাকলে কণাটা যেখানে থাকত, রেখাটা সেই জায়গা। কণা সবসময় এই রেখায় ফিরে আসে। দড়িতে সে বিস্তারের সমান ওপরে ওঠে, বিস্তারের সমান নিচে নামে, আবার ওঠে। বাতাসে সে সামনে যায়, পেছনে আসে, আবার সামনে যায়। কোনো ক্ষেত্রেই সে ডানে ভেসে যায় না।
যা ডানে চলে তা হলো নকশা: তরঙ্গশীর্ষের অবস্থান, সংকোচনের অবস্থান। নকশাটা তরঙ্গের বেগ v-তে এগোয় বলে একটা শীর্ষ পুরো পর্দা পার হয়ে যেতে পারে, অথচ প্রতিটি কণা নিজের জায়গা থেকে মাত্র কয়েক সেন্টিমিটার সরে।
দৈনন্দিন জীবনে এর মানে অনেক। মাঠের ওপাশ থেকে শব্দ তোমার কাছে এলে স্পিকার থেকে তোমার কান পর্যন্ত বাতাস বয়ে আসেনি। স্পিকারের পাশের মোমবাতির শিখা সামান্য কাঁপে কিন্তু নেভে না। তরঙ্গ তোমার কানের পর্দায় শক্তি পৌঁছে দিয়েছে, আর যে বাতাস সেটা বয়ে এনেছে সে এখনো প্রায় নিজের জায়গাতেই।
জরুরি শব্দগুলো সহজ ভাষায়
প্রশ্নপত্রে যেসব শব্দ আসে, প্রতীক আর এককসহ নিচে দিলাম।
| শব্দ | প্রতীক | সহজ ভাষায় অর্থ | একক |
|---|---|---|---|
| বিস্তার | A | কণার সাম্য অবস্থান থেকে সর্বোচ্চ সরণ | m |
| তরঙ্গদৈর্ঘ্য | λ | দুটো পরপর সমদশা বিন্দুর দূরত্ব, যেমন শীর্ষ থেকে শীর্ষ | m |
| কম্পাঙ্ক | f | প্রতি সেকেন্ডে সম্পূর্ণ কম্পন (বা কোনো বিন্দু দিয়ে যাওয়া ঢেউ) সংখ্যা | Hz |
| পর্যায়কাল | T | একটা সম্পূর্ণ কম্পনের সময়, T = 1/f | s |
| তরঙ্গের বেগ | v | মাধ্যমের ভেতর দিয়ে নকশাটা কত দ্রুত এগোয় | m/s |
| তরঙ্গশীর্ষ | – | অনুপ্রস্থ তরঙ্গের সর্বোচ্চ বিন্দু | – |
| তরঙ্গপাদ | – | অনুপ্রস্থ তরঙ্গের সর্বনিম্ন বিন্দু | – |
| সংকোচন | – | যে অঞ্চলে কণাগুলো ঘন, চাপ বেশি | – |
| প্রসারণ | – | যে অঞ্চলে কণাগুলো ফাঁকা ফাঁকা, চাপ কম | – |
একটা তরঙ্গদৈর্ঘ্য মাপার নিয়ম
তরঙ্গদৈর্ঘ্য হলো একটা পূর্ণ তরঙ্গের দৈর্ঘ্য। অনুপ্রস্থ তরঙ্গে এক শীর্ষ থেকে পরের শীর্ষ পর্যন্ত, কিংবা এক পাদ থেকে পরের পাদ পর্যন্ত মাপা যায়। অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গে এক সংকোচনের কেন্দ্র থেকে পরের সংকোচনের কেন্দ্র পর্যন্ত, অথবা এক প্রসারণ থেকে পরের প্রসারণ পর্যন্ত মাপা হয়।
নিয়ম হলো, তুমি যে দুটো বিন্দু বেছে নেবে তারা সমদশা হতে হবে, অর্থাৎ একই মুহূর্তে দুই বিন্দুর কণা ঠিক একই কাজ করছে। একটা শীর্ষ আর তার পরের পাদ সমদশা নয়, একটা সংকোচন আর পরের প্রসারণও নয়। তাদের দূরত্ব অর্ধেক তরঙ্গদৈর্ঘ্য। সিমুলেশনে λ লেখা তীরগুলো সবসময় সমদশা বিন্দু জোড়া লাগায়।
ডিফল্ট মানে তরঙ্গদৈর্ঘ্য ৩ m, তাই একটা সংকোচন আর তার পরের প্রসারণ ১.৫ m দূরে, যা অর্ধেক তরঙ্গদৈর্ঘ্য।
কম্পাঙ্ক, পর্যায়কাল আর v = fλ সূত্র
কম্পাঙ্ক হলো প্রতিটি কণা এক সেকেন্ডে কতবার সম্পূর্ণ কাঁপে। এর একক হার্জ (Hz)। ১ Hz মানে প্রতি সেকেন্ডে একবার পুরো ওঠানামা (বা সামনে-পেছনে)। পর্যায়কাল হলো একবার কাঁপার সময়, তাই দুটো একে অপরের ব্যস্তানুপাত।
এবার উৎসের একটা পূর্ণ কম্পনের কথা ভাবো। সেই সময় T-তে প্রথম শীর্ষটা উৎস ছেড়ে ঠিক একটা তরঙ্গদৈর্ঘ্য এগিয়ে যায়, তারপর পরের শীর্ষ জন্মায়। অর্থাৎ তরঙ্গ T সময়ে λ দূরত্ব যায়। বেগ হলো দূরত্ব ভাগ সময়, আর এভাবেই তরঙ্গ সমীকরণ পাই।
T = 1/fপর্যায়কাল কম্পাঙ্কের ব্যস্তানুপাত
v = λ/Tএক পর্যায়কালে এক তরঙ্গদৈর্ঘ্য
v = fλতরঙ্গ সমীকরণ
λ = v/fসিমুলেশনের পরিমাপ প্যানেলে এই রূপটাই ব্যবহৃত
স্লাইডারের জন্য সূত্রটা কী বলে
বেগ ঠিক রেখে কম্পাঙ্ক বদলালে তরঙ্গদৈর্ঘ্য উল্টো দিকে বদলায়। কম্পাঙ্ক দ্বিগুণ করলে তরঙ্গদৈর্ঘ্য অর্ধেক হয়। কারণ বেগ ঠিক করে মাধ্যম, উৎস নয়।
বেগ নির্ভর করে মাধ্যমের ধর্মের ওপর: দড়ি কতটা টান করা আর প্রতি মিটারে কত ভারী, অথবা বাতাস কত শক্ত আর কত ঘন। জোরে ঝাঁকালে তরঙ্গ দ্রুত হয় না, শুধু একই দৈর্ঘ্যে বেশি ঢেউ ঢোকে। সিমুলেশনে বেগের স্লাইডার মানে আলাদা মাধ্যম বেছে নেওয়া (আরও টানটান দড়ি, বা বেশি গরম দিন)।
তরঙ্গ এক মাধ্যম থেকে অন্য মাধ্যমে গেলে কম্পাঙ্ক একই থাকে, কারণ তা ঠিক করে উৎস। বেগ বদলায়, তাই v = fλ ঠিক রাখতে তরঙ্গদৈর্ঘ্যকে বদলাতে হয়। নিচের সমস্যা ৯-এ বাতাস থেকে পানিতে যাওয়া শব্দের জন্য এটা দেখানো হয়েছে।
শব্দের বেগ আর তা কীসের ওপর নির্ভর করে
বাতাসে শব্দের বেগ ০ °C-এ প্রায় ৩৩১ m/s, আর প্রতি ডিগ্রি সেলসিয়াস বাড়লে প্রায় ০.৬ m/s করে বাড়ে। মোটামুটি নিয়মটা হলো v ≈ ৩৩১ + ০.৬θ, যেখানে θ °C-এ। ২০ °C-এ এটা প্রায় ৩৪৩ m/s দেয়। পাঠ্যবইয়ে তাপমাত্রা অনুযায়ী প্রায় ৩৩০ থেকে ৩৪৫ m/s এর মধ্যে মান পাওয়া যায়, তাই এগুলোকে আনুমানিক ধরো।
গ্যাসের তুলনায় তরলে শব্দ দ্রুত চলে, আর কঠিনে আরও অনেক দ্রুত, কারণ কণাগুলো কাছাকাছি আর তাড়াতাড়ি আগের জায়গায় ফেরে। মানগুলো আনুমানিক আর তাপমাত্রার ওপর নির্ভরশীল, তবে পানিতে প্রায় ১৪৮০ m/s, আর ইস্পাতে কয়েক হাজার মিটার প্রতি সেকেন্ড।
শব্দ তরঙ্গকে কেন সাইন বক্র হিসেবে আঁকা হয়
অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ দেখতে সাইন বক্রের মতো নয়। সেটা দেখতে এক সারি বিন্দু, কোথাও ঘন, কোথাও ফাঁকা। তবু বইতে আর অসিলোস্কোপে শব্দকে সবসময় মসৃণ ঢেউয়ের মতো আঁকা হয়। কেন?
কারণ ঢেউটা একটা লেখচিত্র, ছবি নয়। প্রতিটি কণার জন্য, সাম্য অবস্থানে সে কোথায় ছিল তার বিপরীতে আঁকো সে সাম্য অবস্থান থেকে কতটা সরেছে (ডানে সরলে ওপরে, বাঁয়ে সরলে নিচে)। প্রতিটি কণা উৎসের মসৃণ সামনে-পেছনে গতিটাই প্রতিবেশীর একটু পরে নকল করে বলে লেখচিত্রটা সাইন বক্র হয়।
সিমুলেশনে লেখচিত্রের বাক্সে টিক দিয়ে সারিগুলো মেলাও। বক্র যেখানে নিচের দিকে শূন্য অতিক্রম করে, সেখানে বাঁ দিকের কণারা ডানে আর ডান দিকের কণারা বাঁয়ে সরেছে, ফলে সবাই ওই বিন্দুর দিকে চাপা পড়ে: সংকোচন (লাল বিন্দু)। বক্র ওপরের দিকে শূন্য অতিক্রম করলে প্রতিবেশীরা বিন্দু থেকে দূরে সরে যায়: প্রসারণ (সবুজ বিন্দু)। বক্রের শীর্ষ ও পাদ হলো সবচেয়ে বেশি সরণের জায়গা, যেখানে ঘনত্ব স্বাভাবিক।
তাই সংকোচন সরণ লেখচিত্রের শীর্ষে থাকে না। সে থাকে সরণ শূন্য হওয়ার বিন্দুতে, যেখানে ঢাল সবচেয়ে খাড়া। এটা গুলিয়ে ফেলা পরীক্ষার একটা পুরোনো ফাঁদ।
সিমুলেশনে নিজে পরীক্ষা করো
আগে অনুমান করো, তারপর চালিয়ে মিলিয়ে দেখো।
- ডিফল্ট মান রেখে দাও (f = ১ Hz, v = ৩ m/s, A = ৬ cm)। তরঙ্গ কমলা কণার কাছে পৌঁছানো পর্যন্ত অপেক্ষা করো। পরিমাপে λ = ৩ m আর T = ১ s দেখাবে। দুটো পাশাপাশি শীর্ষ সত্যিই ৩ m দূরে কি না মিলিয়ে নাও।
- যেকোনো মুহূর্তে থামিয়ে দুই সারিতে কমলা কণার ডোরাকাটা রেখাটা দেখো। চালু আর থামিয়ে কয়েক ফ্রেম এগোও। কণা কখনো নিজের রেখা থেকে বেশি দূরে যায় না।
- গতি ০.২৫× করে ডান পাশের লেখচিত্র দেখো। কমলা বিন্দু একটা সাইন বক্র ধরে সরছে। একটা পূর্ণ উঁচু অংশ ঠিক T সেকেন্ড নেয়।
- কম্পাঙ্ক ২ Hz-এ তোলো। কিছু চাপার আগে নতুন তরঙ্গদৈর্ঘ্য কত হবে অনুমান করো। তারপর পরিমাপ দেখো: অর্ধেক হওয়ার কথা।
- ০.৫ Hz-এ তরঙ্গের বেগ ৪ m/s করো। λ অনুমান করো, তারপর পড়ো। এরপর ২ Hz-এ বেগ ১.৫ m/s করে ঘন ঢেউ দেখো।
- শুধু বিস্তার বদলাও। দড়ির উচ্চতা আর সংকোচনের তীব্রতা বদলাবে, কিন্তু λ আর T একই থাকবে। বিস্তার তরঙ্গদৈর্ঘ্য বা বেগকে প্রভাবিত করে না।
- লেখচিত্র চালু করে বিন্দুর সারি আর লেখচিত্রের সারি দুটোতেই একটা সংকোচন ও একটা প্রসারণ খুঁজে নাও। ওপরের অংশের শূন্য অতিক্রমের নিয়মটা মিলিয়ে দেখো।
গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
প্রতিটি সমাধানে প্রথমে জানা রাশি, তারপর সূত্র, তারপর মান বসানো। পরীক্ষায় এই ক্রমে লিখলে পুরো নম্বর পাবে।
সমস্যা ১: সিমুলেশন খোলার সময়ের মান
একটা তরঙ্গ-উৎসের কম্পাঙ্ক ১ Hz আর মাধ্যমে তরঙ্গের বেগ ৩ m/s। পর্যায়কাল ও তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
T = 1/f = ১ / ১ = ১ s। λ = v/f = ৩ / ১ = ৩ m। পাতা খোলার সময় পরিমাপ প্যানেলে এই মানগুলোই থাকে।
সমস্যা ২: দড়ি দ্বিগুণ জোরে ঝাঁকালে
একই দড়ি (v = ৩ m/s) এবার ২ Hz কম্পাঙ্কে ঝাঁকানো হলো। নতুন তরঙ্গদৈর্ঘ্য ও পর্যায়কাল কত?
λ = v/f = ৩ / ২ = ১.৫ m। T = 1/f = ১ / ২ = ০.৫ s। বেগ একই থাকায় তরঙ্গদৈর্ঘ্য আগের অর্ধেক।
সমস্যা ৩: সিমুলেশনে সবচেয়ে লম্বা ও সবচেয়ে ছোট তরঙ্গদৈর্ঘ্য
স্লাইডার কম্পাঙ্ক ০.৫ থেকে ২ Hz এবং বেগ ১.৫ থেকে ৪ m/s পর্যন্ত যায়। সবচেয়ে লম্বা ও সবচেয়ে ছোট তরঙ্গদৈর্ঘ্য কত দেওয়া যায়?
সবচেয়ে লম্বা: ধীরতম কম্পন, দ্রুততম তরঙ্গ। λ = ৪ / ০.৫ = ৮ m। সবচেয়ে ছোট: দ্রুততম কম্পন, ধীরতম তরঙ্গ। λ = ১.৫ / ২ = ০.৭৫ m।
সমস্যা ৪: দড়িতে ঢেউ গুনে বেগ বের করা
একজন ছাত্র দড়ি ঝাঁকিয়ে ১০ s-এ ১৫টি পূর্ণ তরঙ্গ তৈরি করল। প্রতিটি তরঙ্গ ২ m লম্বা। কম্পাঙ্ক, পর্যায়কাল ও তরঙ্গের বেগ নির্ণয় করো।
f = ১৫ / ১০ = ১.৫ Hz। T = ১০ / ১৫ = ০.৬৭ s। v = fλ = ১.৫ × ২ = ৩ m/s।
সমস্যা ৫: একটা সুরের তরঙ্গদৈর্ঘ্য
২৫৬ Hz কম্পাঙ্কের একটা সুরশলাকা এমন বাতাসে শব্দ পাঠায় যেখানে শব্দের বেগ প্রায় ৩৪৩ m/s। তরঙ্গদৈর্ঘ্য কত?
λ = v/f = ৩৪৩ / ২৫৬ = ১.৩৪ m। অর্থাৎ একটা সংকোচন থেকে পরের সংকোচনের দূরত্ব প্রায় ১.৩৪ m।
সমস্যা ৬: শ্রবণসীমার দুই প্রান্তের তরঙ্গদৈর্ঘ্য
মানুষ মোটামুটি ২০ Hz থেকে ২০,০০০ Hz পর্যন্ত শুনতে পায়। শব্দের বেগ প্রায় ৩৪৩ m/s ধরে সবচেয়ে নিচু আর সবচেয়ে উঁচু শ্রাব্য শব্দের তরঙ্গদৈর্ঘ্য বের করো।
সবচেয়ে নিচু: λ = ৩৪৩ / ২০ = ১৭.১৫ m। সবচেয়ে উঁচু: λ = ৩৪৩ / ২০,০০০, প্রায় ১.৭১ cm। নিচু সুরের তরঙ্গ বাসের চেয়েও লম্বা, উঁচু সুরের তরঙ্গ আঙুলের ডগার মতো ছোট।
সমস্যা ৭: কণা আসলে কতটা পথ চলে?
ডিফল্ট সিমুলেশনে বিস্তার ৬ cm আর λ = ৩ m। এক পূর্ণ পর্যায়কালে তরঙ্গের নকশা কতটা এগোয়, আর কমলা কণা মোট কত পথ অতিক্রম করে?
নকশা এক তরঙ্গদৈর্ঘ্য এগোয়, ৩০০ cm। কণা সাম্য রেখা থেকে A পর্যন্ত ওঠে, আবার রেখায় ফেরে, নিচে −A পর্যন্ত নামে, আবার ফেরে: মোট পথ 4A = ৪ × ৬ = ২৪ cm। পর্যায়কাল শেষে কণার লব্ধ সরণ শূন্য। তরঙ্গের নকশা কণার পথের চেয়ে ১২.৫ গুণ বেশি এগোয়।
সমস্যা ৮: বিদ্যুৎ চমকানো আর বজ্রের শব্দ
বিদ্যুৎ চমকানো দেখার ৪ s পরে তুমি বজ্রের শব্দ শুনলে। শব্দের বেগ প্রায় ৩৪৩ m/s ধরে এবং আলোকে তাৎক্ষণিক ধরে বজ্রপাত কত দূরে হয়েছিল?
d = v × t = ৩৪৩ × ৪ = ১,৩৭২ m, অর্থাৎ এক কিলোমিটারের একটু বেশি দূরে। আলো প্রায় সঙ্গে সঙ্গে পৌঁছায়; শব্দ সংকোচনের একটা অনুদৈর্ঘ্য স্পন্দন, তার এই দূরত্ব পার হতে ওই কয়েক সেকেন্ড লাগে।
সমস্যা ৯: বাতাসে আর পানিতে একই সুর
একটা স্পিকার ৪৪০ Hz সুর বাজায়। শব্দের বেগ বাতাসে প্রায় ৩৪৩ m/s আর পানিতে প্রায় ১,৪৮০ m/s। তরঙ্গদৈর্ঘ্য তুলনা করো।
কম্পাঙ্ক ৪৪০ Hz-ই থাকে, কারণ তা ঠিক করে উৎস। বাতাসে λ = ৩৪৩ / ৪৪০ = ০.৭৮ m। পানিতে λ = ১,৪৮০ / ৪৪০ = ৩.৩৬ m। পানিতে শব্দ প্রায় ৪.৩ গুণ দ্রুত, তাই তরঙ্গদৈর্ঘ্যও সেই গুণ লম্বা।
সমস্যা ১০: কমলা কণা কখন নড়তে শুরু করে?
সিমুলেশনে কমলা কণা উৎস থেকে ৬ m দূরে আর তরঙ্গের বেগ ৩ m/s। সে কখন নড়তে শুরু করে, আর তখন সে কী করে?
বিক্ষোভ তার কাছে পৌঁছায় t = x/v = ৬ / ৩ = ২ s পরে। তার আগে কণা একদম স্থির, যদিও উৎস t = ০ থেকে কাঁপছে। মুখ পৌঁছালে কণাটা উৎসের গতি ২ s দেরিতে নকল করতে শুরু করে, যা ঠিক ২ পর্যায়কাল পেছনে।
অনুপ্রস্থ আর অনুদৈর্ঘ্য পাশাপাশি
কোনটা কী, এ নিয়ে সন্দেহ হলে এই ছকটা দেখো।
| বৈশিষ্ট্য | অনুপ্রস্থ তরঙ্গ | অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ |
|---|---|---|
| কণার কম্পন | তরঙ্গের দিকের লম্বভাবে | তরঙ্গের দিক বরাবর |
| তরঙ্গের আকার | শীর্ষ ও পাদ | সংকোচন ও প্রসারণ |
| কৃন্তন দৃঢ়তা লাগে? | হ্যাঁ, তাই কঠিনে (আর তরলের তলে) | না, কঠিন, তরল ও গ্যাসে চলে |
| এক তরঙ্গদৈর্ঘ্য | শীর্ষ থেকে শীর্ষ বা পাদ থেকে পাদ | সংকোচন থেকে সংকোচন বা প্রসারণ থেকে প্রসারণ |
| দৈনন্দিন উদাহরণ | দড়ি বা তারের ঢেউ, গিটারের তার, ভূমিকম্পের S-তরঙ্গ | বাতাসে শব্দ, ঠেলে দেওয়া স্প্রিং, ভূমিকম্পের P-তরঙ্গ |
যে ভুলগুলো প্রায় সবাই করে
পরীক্ষার আগে এগুলো মিলিয়ে নিলে নম্বর বাঁচবে।
- কণাগুলো তরঙ্গের সাথে চলে ভাবা। তারা শুধু নির্দিষ্ট সাম্য অবস্থানের দুই পাশে দোলে। নকশা আর শক্তি চলে, পদার্থ চলে না।
- শীর্ষ আর পাদের মধ্যে, বা সংকোচন আর প্রসারণের মধ্যে তরঙ্গদৈর্ঘ্য মাপা। এটা মাত্র অর্ধেক তরঙ্গদৈর্ঘ্য। সবসময় সমদশা বিন্দু নাও।
- বেশি কম্পাঙ্কে তরঙ্গ দ্রুত চলে বলা। একটা নির্দিষ্ট মাধ্যমে বেগ ঠিক। কম্পাঙ্ক বাড়লে তরঙ্গদৈর্ঘ্য কমে, বেগ বাড়ে না।
- বাতাসের ছবিতে শব্দকে অনুপ্রস্থ তরঙ্গ হিসেবে আঁকা। বক্রটা সরণের লেখচিত্র; বাতাস নিজে চলার দিক বরাবর কাঁপে।
- সংকোচনকে সরণ লেখচিত্রের শীর্ষে বসানো। সংকোচন থাকে যেখানে সরণ শূন্য আর বক্র নিচের দিকে ঢালু।
- বিস্তার আর তরঙ্গদৈর্ঘ্য গুলিয়ে ফেলা। বিস্তার কম্পন কত বড়, তরঙ্গদৈর্ঘ্য একটা তরঙ্গ কত লম্বা। দুটো স্বাধীন।
- নতুন মাধ্যমে ঢুকলে কম্পাঙ্ক বদলায় ভাবা। কম্পাঙ্ক বদলায় না; বেগ ও তরঙ্গদৈর্ঘ্য বদলায়।
- কম্পাঙ্কের একক সেকেন্ড লেখা। কম্পাঙ্কের একক হার্জ, পর্যায়কালের একক সেকেন্ড।
বাস্তব জীবনে এই তরঙ্গগুলো কোথায়
দুই ধরনের তরঙ্গই চারপাশে আছে।
- কথা ও গান: তোমার কণ্ঠ বাতাসে সংকোচন-প্রসারণ বানায়, এটা অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ, যা কানের পর্দায় কম্পন তৈরি করে।
- ভূমিকম্প: দ্রুত P-তরঙ্গ অনুদৈর্ঘ্য, সে আগে পৌঁছায়। ধীর S-তরঙ্গ অনুপ্রস্থ, সে পরে আসে। দুইয়ের পৌঁছানোর ব্যবধান থেকে ভূমিকম্প কত দূরে হয়েছে বোঝা যায়।
- বাদ্যযন্ত্র: গিটারের তারে অনুপ্রস্থ তরঙ্গ চলে, কিন্তু তা থেকে বাতাসে যে শব্দ হয় সেটা অনুদৈর্ঘ্য।
- আল্ট্রাসাউন্ড: শ্রবণসীমার অনেক ওপরের কম্পাঙ্কের শব্দ শরীরের ভেতরে গিয়ে প্রতিধ্বনি হয়ে ফিরে আসে, সেই থেকে শিশু বা অঙ্গের ছবি তৈরি হয়।
- সোনার: জাহাজ পানির নিচে শব্দ পাঠিয়ে প্রতিধ্বনির সময় মেপে সমুদ্রতল আঁকে, পানিতে শব্দের বেগ কাজে লাগিয়ে।
- স্টেডিয়ামের ঢেউ আর পতাকার ঢেউ: অনুপ্রস্থ নকশা, যেখানে প্রতিটি মানুষ বা কাপড়ের টুকরো শুধু ওপর-নিচে নড়ে।
পরীক্ষার কর্নার: SSC ও HSC
এই বিষয়ে সাধারণত সংজ্ঞা (অনুপ্রস্থ, অনুদৈর্ঘ্য, তরঙ্গদৈর্ঘ্য), পার্থক্যের ছক, v = fλ দিয়ে অঙ্ক, আর বাতাসে শব্দ কেন অনুপ্রস্থ হতে পারে না তার ব্যাখ্যা আসে। যখনই পারো চিত্র আঁকো: এক ছবিতে তরঙ্গশীর্ষ, তরঙ্গপাদ, তরঙ্গদৈর্ঘ্য ও বিস্তার, আরেক ছবিতে সংকোচন ও প্রসারণ।
একটি নমুনা সৃজনশীল প্রশ্ন
উদ্দীপক: একটি স্লিংকিকে ১ Hz কম্পাঙ্কে ঠেলা আর টানা হচ্ছে এবং সংকোচনগুলো ৩ m/s বেগে এগোচ্ছে।
ক) অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ কাকে বলে? খ) গ্যাসের ভেতর দিয়ে অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ চলতে পারে কিন্তু অনুপ্রস্থ তরঙ্গ পারে না কেন? গ) পরপর দুটি সংকোচনের দূরত্ব নির্ণয় করো। ঘ) এক ছাত্রী বলল, পাকগুলো তরঙ্গের সাথে স্লিংকি বরাবর চলে। সে কি ঠিক? ব্যাখ্যা করো।
উত্তরের রূপরেখা: ক) কণা তরঙ্গের দিক বরাবর কাঁপে। খ) গ্যাস চাপে বাধা দেয় কিন্তু পিছলে যাওয়ায় বাধা দেয় না। গ) λ = v/f = ৩ / ১ = ৩ m। ঘ) না: প্রতিটি পাক নিজের সাম্য অবস্থানের দুই পাশে দোলে; নকশা চলে, পাক নয়।
রিভিশন: শেষ মুহূর্তের সারসংক্ষেপ
হাতে পাঁচ মিনিট থাকলে শুধু এই তালিকাটা পড়ো।
- তরঙ্গ শক্তি আর নকশাকে সামনে নেয়। মাধ্যমের কণারা শুধু নিজের সাম্য অবস্থানের দুই পাশে দোলে।
- অনুপ্রস্থ: কণা তরঙ্গের দিকের লম্বভাবে কাঁপে। অংশ: তরঙ্গশীর্ষ, তরঙ্গপাদ। উদাহরণ: দড়ি, S-তরঙ্গ।
- অনুদৈর্ঘ্য: কণা তরঙ্গের দিক বরাবর কাঁপে। অংশ: সংকোচন, প্রসারণ। উদাহরণ: শব্দ, P-তরঙ্গ।
- তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ: দুটো সমদশা বিন্দুর দূরত্ব। কম্পাঙ্ক f হার্জে। পর্যায়কাল T = 1/f সেকেন্ডে।
- তরঙ্গ সমীকরণ: v = fλ। নির্দিষ্ট মাধ্যমে v ঠিক, তাই f বাড়লে λ কমে।
- তরঙ্গ নতুন মাধ্যমে গেলে f একই থাকে, v ও λ একসাথে বদলায়।
- সরণ-অবস্থান লেখচিত্রে যেকোনো অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ সাইন বক্রের মতো দেখায়; সংকোচন থাকে শূন্য অতিক্রমের বিন্দুতে, শীর্ষে নয়।
সচরাচর জিজ্ঞাসা
অনুপ্রস্থ ও অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গের পার্থক্য কী?
অনুপ্রস্থ তরঙ্গে মাধ্যমের কণা তরঙ্গ চলার দিকের সাথে লম্বভাবে কাঁপে, ফলে তরঙ্গশীর্ষ ও তরঙ্গপাদ তৈরি হয়। অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গে কণা তরঙ্গের দিক বরাবর কাঁপে, ফলে সংকোচন ও প্রসারণ তৈরি হয়। দড়ির ঢেউ অনুপ্রস্থ, বাতাসে শব্দ অনুদৈর্ঘ্য।
কণারা কি তরঙ্গের সাথে চলে?
না। প্রতিটি কণা শুধু নিজের সাম্য অবস্থানের দুই পাশে দোলে। তরঙ্গের নকশা আর শক্তি চলে, কিন্তু কণারা যেখান থেকে শুরু করেছিল সেখানেই ফিরে আসে। সিমুলেশনের ডোরাকাটা রেখা আর কমলা কণা এটা সরাসরি দেখায়।
শব্দ অনুপ্রস্থ না অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ?
বাতাসে শব্দ অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ। বাতাসের কণা শব্দ চলার দিক বরাবর সামনে-পেছনে কাঁপে এবং সংকোচন ও প্রসারণ তৈরি করে। গ্যাসে পিছলে যাওয়ার বিরুদ্ধে বাধা নেই বলে সেখানে অনুপ্রস্থ তরঙ্গ চলে না।
সংকোচন ও প্রসারণ কাকে বলে?
অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গের যে অঞ্চলে কণাগুলো ঘন হয়ে থাকে এবং চাপ স্বাভাবিকের চেয়ে বেশি, তাকে সংকোচন বলে। যে অঞ্চলে কণাগুলো ফাঁকা ফাঁকা এবং চাপ স্বাভাবিকের চেয়ে কম, তাকে প্রসারণ বলে।
দুই ধরনের তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য কীভাবে মাপে?
অনুপ্রস্থ তরঙ্গে এক শীর্ষ থেকে পরের শীর্ষ (বা পাদ থেকে পাদ) পর্যন্ত মাপো। অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গে এক সংকোচন থেকে পরের সংকোচন পর্যন্ত মাপো। সবসময় সমদশা বিন্দু নাও, নইলে মাত্র অর্ধেক তরঙ্গদৈর্ঘ্য পাবে।
বেগ, কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সম্পর্কের সূত্র কী?
v = fλ, যেখানে v তরঙ্গের বেগ m/s-এ, f কম্পাঙ্ক Hz-এ আর λ তরঙ্গদৈর্ঘ্য m-এ। সূত্রটা আসে কারণ তরঙ্গ এক পর্যায়কাল T = 1/f সময়ে এক তরঙ্গদৈর্ঘ্য যায়।
কম্পাঙ্ক বাড়লে তরঙ্গদৈর্ঘ্য কমে কেন?
বেগ ঠিক করে মাধ্যম। v একই থেকে f বাড়লে λ = v/f কমতেই হবে। উৎস ঘনঘন তরঙ্গ ছাড়ে বলে প্রতিটি তরঙ্গ ছোট দৈর্ঘ্যে ঢোকে।
অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গকে সাইন বক্র হিসেবে আঁকা হয় কেন?
বক্রটা মাধ্যমের ছবি নয়, প্রতিটি কণার সাম্য অবস্থান থেকে সরণ বনাম অবস্থানের লেখচিত্র। প্রতিটি কণা উৎসের মসৃণ দোলনটাই নকল করে বলে লেখচিত্র সাইনের মতো হয়।
নতুন মাধ্যমে ঢুকলে তরঙ্গের কম্পাঙ্ক কি বদলায়?
না। কম্পাঙ্ক ঠিক করে উৎস, তাই তা একই থাকে। মাধ্যম বদলালে বেগ বদলায়, আর সেই অনুপাতে তরঙ্গদৈর্ঘ্য বদলায়, ফলে v = fλ সত্য থাকে।
এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা
অ্যানিমেশনে ধারণা পরিষ্কার হলো, এবার পরীক্ষার প্রস্তুতি: সিলেবাস, সাজেশন, বই আর ভর্তি পরীক্ষার গাইড নিচে।
SSC
এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান: সিলেবাস ও প্রস্তুতি
SSC
এসএসসি সাধারণ বিজ্ঞান
HSC
এইচএসসি পদার্থবিজ্ঞান: সিলেবাস ও প্রস্তুতি
পাঠ্যবই
নবম-দশম শ্রেণির পদার্থবিজ্ঞান বই
ভর্তি
ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতি
ভর্তি
ঢাবি বিজ্ঞান ইউনিট ভর্তি ২০২৬-২৭
English
Composition: The Uses of Electricity (ইংরেজিতে)
বাংলা
প্রতিবেদন: বিজ্ঞান মেলা
English
Paragraph: Science in Everyday Life (ইংরেজিতে)
SSC
এসএসসি সাজেশন
HSC
এইচএসসি সাজেশন
ভর্তি
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার গাইড
SSC
এসএসসি সিলেবাস
HSC
এইচএসসি সিলেবাস
বিদেশে পড়াশোনা
জার্মানিতে উচ্চশিক্ষা
টেস্ট
Digital SAT Math guide (ইংরেজিতে)
স্কলারশিপ
বিদেশে পড়াশোনার স্কলারশিপ
IELTS
IELTS vocabulary: science and research (ইংরেজিতে)
টুল
GPA calculator (ইংরেজিতে)
ক্যারিয়ার
Civil engineer resume example (ইংরেজিতে)
আরও পদার্থবিজ্ঞান অ্যানিমেশন
SSC · HSC
আলোর প্রতিসরণ
আলোর প্রতিসরণ কাকে বলে, প্রতিসরণের সূত্র, সংকট কোণ ও পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন — সহজ ভাষায় ব্যাখ্যা, ইন্টারঅ্যাকটিভ অ্যানিমেশন ও গাণিতিক উদাহরণসহ।
SSC · HSC
ওহমের সূত্র
ওহমের সূত্র কাকে বলে, বিবৃতি ও ব্যাখ্যা, V-I লেখচিত্র — বিভব পার্থক্য ও রোধ বদলে তড়িৎ প্রবাহ দেখো। শ্রেণি ও সমান্তরাল সমবায়, গাণিতিক উদাহরণসহ।
HSC
প্রাসের গতি
প্রাস কাকে বলে? কোণ ও আদিবেগ বদলে প্রাসের গতিপথ দেখো — বিচরণকাল, সর্বাধিক উচ্চতা ও আনুভূমিক পাল্লার সূত্র, গাণিতিক উদাহরণসহ।
SSC · HSC
সরল দোলক
সরল দোলক কাকে বলে, দোলনকালের সূত্র T=2π√(L/g) ও দোলকের সূত্রসমূহ — দৈর্ঘ্য বদলে দেখো। অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয়ের গাণিতিক উদাহরণসহ।
SSC · HSC
তড়িৎ ক্ষেত্র
তড়িৎ ক্ষেত্র কাকে বলে, তড়িৎ তীব্রতার সূত্র ও একক, বলরেখার বৈশিষ্ট্য — আধান বসিয়ে বলরেখা দেখো। কুলম্বের সূত্রের গাণিতিক উদাহরণসহ।
HSC
তরঙ্গের ব্যতিচার
তরঙ্গের উপরিপাতন নীতি ও ব্যতিচার কাকে বলে, গঠনমূলক ও ধ্বংসাত্মক ব্যতিচারের শর্ত, ডোরার প্রস্থ — দুই উৎস সরিয়ে নিজে দেখো, গাণিতিক উদাহরণসহ।
SSC · HSC
পড়ন্ত বস্তু ও পড়ন্ত বস্তুর সূত্র
পড়ন্ত বস্তুর তিনটি সূত্র কী, কে আবিষ্কার করেন, অভিকর্ষজ ত্বরণ ৯.৮ বলতে কী বোঝায়: মুদ্রা আর পালক ফেলে নিজে দেখো, সূত্র ও গাণিতিক সমস্যাসহ।
SSC · HSC
লেন্সে প্রতিবিম্ব গঠন
উত্তল লেন্স ও অবতল লেন্স কাকে বলে, প্রতিবিম্ব কীভাবে গঠিত হয়, লেন্সের সূত্র 1/u + 1/v = 1/f, বিবর্ধন ও লেন্সের ক্ষমতা: বস্তু টেনে সরিয়ে রশ্মি চিত্র নিজে দেখো।
SSC · HSC
নিউটনের গতির সূত্র
নিউটনের গতির তিনটি সূত্র, জড়তা, ভরবেগ, F = ma, ঘাত বল আর ক্রিয়া-প্রতিক্রিয়া: ট্রলি ঠেলে নিজে দেখো, সহজ উদাহরণ, সূত্র ও গাণিতিক সমস্যাসহ (SSC, HSC)।
SSC · HSC
গোলীয় দর্পণে প্রতিবিম্ব গঠন
অবতল দর্পণ ও উত্তল দর্পণ কাকে বলে, মেরু, বক্রতার কেন্দ্র, প্রধান ফোকাস, দর্পণের সূত্র 1/u + 1/v = 1/f ও বিবর্ধন: বস্তু টেনে সরিয়ে প্রতিবিম্ব গঠন নিজে দেখো।
SSC · HSC
তড়িৎচুম্বকীয় আবেশ ও ফ্যারাডের সূত্র
তড়িৎচুম্বকীয় আবেশ কাকে বলে, ফ্যারাডের সূত্র ও লেঞ্জের সূত্র কী বলে: চুম্বক টেনে কুণ্ডলীর ভেতর দিয়ে নিয়ে নিজে দেখো, গ্যালভানোমিটারের কাঁটা কেন দোলে, সূত্র ও অঙ্কসহ।
SSC · HSC
ভরবেগের সংরক্ষণ ও সংঘর্ষ
ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র কী, স্থিতিস্থাপক ও অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের পার্থক্য কী: দুটো গাড়ি সংঘর্ষ করিয়ে নিজে দেখো, পুনরুদ্ধার সহগ e বদলে ভরবেগ ও গতিশক্তির বার-লেখচিত্র মিলিয়ে দেখো, সূত্র ও অঙ্কসহ।
SSC · HSC
কাজ, ক্ষমতা ও শক্তি
কাজ কাকে বলে, গতিশক্তি ও বিভবশক্তির সূত্র কী, ক্ষমতা কীভাবে মাপা হয়: গড়িয়ে পড়া কার্টের সিমুলেশনে শক্তির রূপান্তর নিজে দেখো, সূত্র ও গাণিতিক সমস্যাসহ।
SSC · HSC
নততল
নততলে ওজন কীভাবে দুই উপাংশে ভাগ হয়, স্থিতি কোণ কী, ঘর্ষণ কীভাবে ব্লককে ধরে রাখে বা পিছলে দেয়: কোণ বদলে ব্লক নিজে ছেড়ে দিয়ে বল-চিত্র ও সূত্র দেখো।
SSC · HSC
বৃত্তাকার গতি
সুতায় ঘোরা বলের সিমুলেশনে বৃত্তাকার গতি, কেন্দ্রমুখী বল F=mv²/r, কৌণিক বেগ, পর্যায়কাল দেখো। সুতা কাটলে বল কোথায় যায়? ব্যাংকিং ও গাণিতিক সমাধানসহ।
SSC · HSC
লিভার ও ভ্রামক
সিসম্যর সিমুলেশনে বলের ভ্রামক M = F × d, ভ্রামকের নীতি, লিভারের তিন শ্রেণি ও যান্ত্রিক সুবিধা নিজে হাতে পরীক্ষা করো। সমাধান ও সৃজনশীল প্রশ্নসহ।
SSC · HSC
ভরকেন্দ্র
দণ্ডে আর পাতে ভর সরিয়ে ভরকেন্দ্র x = Σmx/Σm বের করো। অবলম্বন কোথায় রাখলে দণ্ড ভারসাম্যে থাকে, বাস কখন উল্টে যায়, সুস্থির-অস্থির-নিরপেক্ষ সাম্যাবস্থা: সিমুলেশন ও সমাধানসহ।
SSC · HSC
স্প্রিং-ভর ও সরল ছন্দিত স্পন্দন
স্প্রিংয়ে ঝোলানো ভরের সরল ছন্দিত স্পন্দন নিজে চালিয়ে দেখো। হুকের সূত্র, T = 2π√(m/k), শক্তির রূপান্তর, শ্রেণি ও সমান্তরাল স্প্রিং, সমাধান ও সৃজনশীল প্রশ্নসহ।
SSC · HSC
ভেক্টর যোগ: ত্রিভুজ ও সামান্তরিক সূত্র
দুটি ভেক্টরের লব্ধি, ত্রিভুজ ও সামান্তরিক সূত্র, উপাংশ, নদীতে নৌকা আর বৃষ্টিতে ছাতার আপেক্ষিক বেগ নিজে টেনে পরীক্ষা করো। সমাধান ও সৃজনশীল প্রশ্নসহ।
SSC · HSC
আপেক্ষিক বেগ: ট্রেন ও নদী পারাপার
দুই ট্রেন আর নদী পার হওয়া সাঁতারুকে নিজে চালিয়ে দেখো। আপেক্ষিক দ্রুতি, ট্রেন পার হওয়ার সময়, মুখের কোণ, ভাটিতে সরণ, সবচেয়ে কম সময় বনাম সবচেয়ে ছোট পথ, সমাধানসহ।
HSC
কেপলারের সূত্র ও উপবৃত্তাকার কক্ষপথ
উৎকেন্দ্রতা স্লাইডার টেনে কক্ষপথ লম্বা হতে দেখো। সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফলের সেক্টর, পর্যায়কালের সূত্র T² ∝ a³ আর মুক্তিবেগ, সমাধানসহ।
HSC
নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র, g ও কৃত্রিম উপগ্রহ
দুটি বস্তুর টান, ব্যস্তবর্গ সূত্রের লেখচিত্র, পৃথিবীর ওপরে-নিচে g আর উপগ্রহের কক্ষপথ নিজের হাতে চালিয়ে দেখো। কক্ষীয় বেগ, পর্যায়কাল, মুক্তিবেগ আর সমাধান করা অঙ্কসহ।
HSC
তার ও নলে স্থির তরঙ্গ
সিমুলেশনে তার টানো আর খোলা-বন্ধ নলে ফুঁ দাও। নোড, অ্যান্টিনোড, সমমেল দেখো এবং দৈর্ঘ্য, টান ও তাপমাত্রা কীভাবে সুর ঠিক করে তা শেখো, সমাধান করা অঙ্কসহ।
HSC
অনুনাদ নল ও শব্দের দ্রুতি
অনুনাদ নলে পানির স্তর সরিয়ে নিজেই জোর শব্দের জায়গা খুঁজুন। L১ = λ/৪ − e আর L২ = ৩λ/৪ − e দেখুন, v = 2f(L₂ − L₁) দিয়ে শব্দের দ্রুতি বের করুন, সমাধানসহ অঙ্ক অনুশীলন করুন।
HSC
স্বরকম্প: কাছাকাছি দুই সুরের স্পন্দন
প্রায় সমান কম্পাঙ্কের দুই তরঙ্গ যোগ করে শব্দের জোর-আস্তে স্পন্দন দেখুন। এনভেলপ আঁকা, স্বরকম্প কম্পাঙ্ক |f₁ − f₂| পড়া, শব্দ শোনা আর গিটার সুর মেলানোর পদ্ধতি শিখুন, সমাধানসহ।
HSC
ডপলার প্রভাব: চলমান উৎস, চলমান শ্রোতা ও সনিক বুম
শব্দের উৎসকে ধীরে-জোরে চালাও আর দেখো সামনে তরঙ্গমুখ কীভাবে ঠাসাঠাসি হয়, পেছনে কীভাবে ছড়িয়ে পড়ে। ডপলারের সূত্র, অ্যাম্বুলেন্স ও ট্রেনের অঙ্ক এবং সনিক বুম শেখো।
SSC · HSC
প্রিজম, আলোর বিচ্ছুরণ ও রামধনু
সাদা আলো প্রিজমে ফেলো, প্রিজম কোণ আর আপতন কোণ বদলাও, আর দেখো বর্ণালি কীভাবে তৈরি হয়। বিচ্যুতি, ন্যূনতম বিচ্যুতি, বিচ্ছুরণ ক্ষমতা এবং বৃষ্টির ফোঁটায় রামধনু সৃষ্টির অঙ্কসহ ব্যাখ্যা।
HSC
কির্শফের সূত্র: সংযোগ সূত্র ও বদ্ধ পথ সূত্র
দুটি ব্যাটারি আর তিনটি রোধের দুই-লুপ বর্তনী নিজে সাজাও। সংযোগ বিন্দুতে প্রবাহ ভাগ হওয়া দেখো, বিভবের যোগফল শূন্য হতে দেখো আর কির্শফের সূত্রের অঙ্ক ধাপে ধাপে করতে শেখো।
HSC
হুইটস্টোন ব্রিজ ও মিটার ব্রিজ
হুইটস্টোন ব্রিজের সাম্য নষ্ট করে গ্যালভানোমিটারের কাঁটা নড়তে দেখো। P/Q = R/S হলে কাঁটা শূন্যে আসে। মিটার ব্রিজে জকি সরিয়ে অজানা রোধ মাপো, গাণিতিক উদাহরণসহ।
HSC
একক চিড়ে অপবর্তন
চিড়ের প্রস্থ ও তরঙ্গদৈর্ঘ্য বদলে দেখো আলো কীভাবে ছড়ায়। তীব্রতার সূত্র I = I₀(sin β/β)², অন্ধকার পট্টির শর্ত a sin θ = mλ আর কেন্দ্রীয় পট্টির প্রস্থ 2λD/a, সমাধানসহ।
SSC · HSC
চোখের ত্রুটি ও তার প্রতিকার
স্বাভাবিক, ক্ষীণদৃষ্টি, দীর্ঘদৃষ্টি ও বার্ধক্যের চোখ বদলে বদলে দেখো। প্রতিবিম্ব কেন রেটিনার সামনে বা পেছনে পড়ে, আর কোন লেন্স কত ডায়োপ্টারে তা ঠিক করে, সিমুলেশনে হাতে-কলমে শেখো।
HSC
আলোর সমবর্তন: ম্যালাসের সূত্র ও ব্রুস্টারের সূত্র
পোলারাইজারের পেছনে অ্যানালাইজার ঘুরিয়ে গ্রাফে I = I₀cos²θ দেখো, তারপর কাচে আলো ফেলে ব্রুস্টার কোণ খুঁজে বের করো। পোলারয়েড সানগ্লাস, তিন ফিল্টারের ধাঁধা ও সমাধান করা অঙ্কসহ।
HSC
ক্যাপাসিটরের আহিতকরণ ও নিরাহিতকরণ: আরসি সময় ধ্রুবক
রোধের মধ্য দিয়ে ক্যাপাসিটর আহিত ও নিরাহিত করো। E, R, C বদলে V = E(1 − e^(−t/RC)) আর প্রবাহের বক্রেখা আঁকা দেখো, ৬৩% সময় ধ্রুবক আর সঞ্চিত শক্তি বের করো।
SSC · HSC
চৌম্বক ক্ষেত্ররেখা: দণ্ডচুম্বক, তড়িৎবাহী সরল তার ও সলিনয়েড
দণ্ডচুম্বক, সরল তার ও সলিনয়েডের চৌম্বক ক্ষেত্ররেখা দেখো। কম্পাস টানো, প্রবাহের দিক উল্টাও আর শেখো B = μ₀I/2πr, B = μ₀nI ও ডান হাতের মুষ্টি নিয়ম।
HSC
এসি জেনারেটর
চুম্বকের দুই মেরুর মাঝে কুণ্ডলী ঘুরিয়ে এসি জেনারেটরের সাইন তরঙ্গ নিজের চোখে দেখো। N, A, B আর rpm বদলে E₀ = NBAω ও কার্যকর মান বের করো, জানো কেন বাংলাদেশে মেইন ৫০ Hz।
SSC · HSC
ট্রান্সফর্মার
ট্রান্সফর্মারের প্রাইমারি ও সেকেন্ডারি পাক বদলে দেখো ভোল্টেজ কীভাবে বাড়ে-কমে। Vs = Vp·Ns/Np, ক্ষমতার সংরক্ষণ, বাস্তব দক্ষতা আর উচ্চ ভোল্টেজে বিদ্যুৎ পাঠানোর কারণ বোঝো।
SSC · HSC
তাপের সঞ্চালন: পরিবহন, পরিচলন ও বিকিরণ
তামা, অ্যালুমিনিয়াম, কাচ বা কাঠের দণ্ড গরম করে Q/t = kAΔT/L দেখো, বিকারে পরিচলন স্রোত ঘুরতে দেখো, আর T⁴ মেনে বিকিরিত ক্ষমতা কীভাবে বাড়ে তা যাচাই করো। সারণি ও সমাধান করা অঙ্কসহ।
HSC
আলোক-তড়িৎ ক্রিয়া: আইনস্টাইনের সমীকরণ ও নিবৃত্তি বিভব
ভ্যাকুয়াম নলে সোডিয়াম, দস্তা বা তামার পাতে যেকোনো তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলো ফেলো। সূচন কম্পাঙ্কের নিচে ইলেকট্রন বের হয় না কেন, K = hf − φ কীভাবে নিবৃত্তি বিভব ঠিক করে, আর উজ্জ্বলতা কেন শুধু প্রবাহ বদলায় তা নিজে দেখো।
SSC · HSC
মোটর ক্রিয়া: তড়িৎবাহী তারের ওপর বল ও ডিসি মোটর
চৌম্বক ক্ষেত্রে তড়িৎবাহী তার রাখলে সেটা কীভাবে ধাক্কা খায় নিজের চোখে দেখো। B, I, L আর কোণ বদলাও, ফ্লেমিংয়ের বাম হাতের নিয়ম মিলিয়ে নাও, তারপর বিভক্ত-বলয় কম্যুটেটরসহ ডিসি মোটর ঘুরিয়ে টর্কের লেখচিত্র দেখো।
HSC
গ্যাসের অণু ও গতিতত্ত্ব: চাপ, তাপমাত্রা ও দ্রুতি
বাক্সের ভেতরে গ্যাসের অণুদের ছোটাছুটি দেখো। তাপমাত্রা বাড়াও, গ্যাস বদলাও, আয়তন চেপে ধরো, আর দেখো দেয়ালে ধাক্কা গুনে পাওয়া চাপ PV = NkT-এর সঙ্গে মিলে যাচ্ছে। ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান বক্ররেখার সঙ্গে দ্রুতি মেলাও এবং গড়বর্গমূল দ্রুতির অঙ্ক করো।
HSC
অর্ধপরিবাহী ডায়োড: p–n সন্ধি, I–V বক্ররেখা ও রেক্টিফায়ার
p–n সন্ধিতে বায়াস দিয়ে দেখো নিঃশেষিত স্তর কীভাবে সরু বা চওড়া হয়, বাহক কীভাবে পার হয় আর শকলির I–V বক্ররেখা কেমন হয়। সিলিকন ও জার্মেনিয়ামের তুলনা, ভাঙন আর অর্ধতরঙ্গ রেক্টিফায়ার হাতে-কলমে।
SSC · HSC
তেজস্ক্রিয় ক্ষয়: অর্ধায়ু, ক্ষয় সূত্র ও বিকিরণের ভেদন ক্ষমতা
২৪০টি নিউক্লিয়াসকে এলোমেলোভাবে ক্ষয় হতে দেখো, N = N₀e^(−λt) সূত্র মিলিয়ে নাও, লেখচিত্র থেকে অর্ধায়ু মাপো, আর দেখো আলফা, বিটা ও গামা কাগজ, অ্যালুমিনিয়াম ও সীসা কতটা ভেদ করে।
HSC
বোর পরমাণু মডেল: কক্ষপথ, শক্তিস্তর ও হাইড্রোজেনের বর্ণালি
হাইড্রোজেনের ইলেকট্রনকে n = ১ থেকে ৬ কক্ষপথে লাফ দেওয়াও, 1/λ = R(1/n₁² − 1/n₂²) থেকে ফোটনের রং বের করো আর শক্তিস্তরের চিত্র ও বর্ণালির পট্টিতে লাইম্যান, বামার, পাশেন শ্রেণি দেখো।
অন্য বিষয়ের অ্যানিমেশন
রসায়ন
পরমাণুর গঠন
রসায়ন
এসিড, ক্ষারক ও pH স্কেল
রসায়ন
ইলেকট্রন বিন্যাস
রসায়ন
গ্যাসের সূত্র: বয়েল, চার্লস ও আদর্শ গ্যাস সমীকরণ
রসায়ন
আয়নিক বন্ধন কীভাবে গঠিত হয়
রসায়ন
তড়িৎ বিশ্লেষণ ও ফ্যারাডের সূত্র
রসায়ন
সমযোজী বন্ধন
রসায়ন
পর্যায়বৃত্ত ধর্ম
রসায়ন
বিক্রিয়ার হার ও সংঘর্ষ তত্ত্ব
রসায়ন
পদার্থের অবস্থা: কঠিন, তরল, গ্যাসীয় ও তাপ–তাপমাত্রা লেখচিত্র
রসায়ন
পরমাণুর অরবিটাল: s, p, d-এর আকৃতি, কোয়ান্টাম সংখ্যা ও নোড
রসায়ন
আণবিক আকৃতি ও ভিএসইপিআর তত্ত্ব: বন্ধন জোড়, মুক্তজোড় ও বন্ধন কোণ
রসায়ন
মোল ধারণা: মোলার ভর, অ্যাভোগেড্রো সংখ্যা ও মোলার আয়তন
রসায়ন
ব্যাপন ও নিঃসরণ: গ্রাহামের সূত্র
রসায়ন
রাসায়নিক সমীকরণ সমতাকরণ: পদ্ধতি, উদাহরণ ও অনুশীলন
রসায়ন
রাসায়নিক সাম্যাবস্থা: সাম্যধ্রুবক Kc ও লা শাতেলিয়ের নীতি
রসায়ন
টাইট্রেশন: অম্ল-ক্ষারের ঘনমাত্রা বের করার পদ্ধতি
রসায়ন
গ্যালভানিক কোষ: ড্যানিয়েল কোষ, EMF ও নার্নস্ট সমীকরণ
রসায়ন
জারণ-বিজারণ বিক্রিয়া: জারণ সংখ্যা, ইলেকট্রন স্থানান্তর ও অর্ধ-সমীকরণ
রসায়ন
হাইড্রোকার্বন: অ্যালকেন, অ্যালকিন, অ্যালকাইন ও কাঠামোগত সমাণু ত্রিমাত্রায়
রসায়ন
কার্যকরী মূলক: অ্যালকোহল, অ্যালডিহাইড, কিটোন, অ্যাসিড, এস্টার ও অ্যামিন
রসায়ন
পলিমারকরণ: যোজন ও ঘনীভবন পলিমার, পলিথিন ও নাইলন
রসায়ন
মিশ্রণ আলাদা করার পদ্ধতি: ছাঁকন, পাতন, ক্রোমাটোগ্রাফি, স্ফটিকীকরণ
রসায়ন
কেলাস জালক: SC, BCC ও FCC একক কোষ, প্যাকিং দক্ষতা ও ঘনত্ব
রসায়ন
তেজস্ক্রিয়তা: আলফা, বিটা, গামা ক্ষয় ও অর্ধায়ু
জীববিজ্ঞান
মাইটোসিস কোষ বিভাজন
জীববিজ্ঞান
ব্যাপন ও অভিস্রবণ
জীববিজ্ঞান
সালোকসংশ্লেষণ
জীববিজ্ঞান
মানব হৃৎপিণ্ডের গঠন ও কাজ
জীববিজ্ঞান
মেন্ডেলের বংশগতি সূত্র
জীববিজ্ঞান
ডিএনএ রেপ্লিকেশন
জীববিজ্ঞান
কোষীয় শ্বসন
জীববিজ্ঞান
এনজাইম ক্রিয়া
জীববিজ্ঞান
স্নায়ু উদ্দীপনার পরিবহন ও অ্যাকশন পটেনশিয়াল
জীববিজ্ঞান
নেফ্রন ও মূত্র তৈরির প্রক্রিয়া
জীববিজ্ঞান
মিয়োসিস কোষ বিভাজন
জীববিজ্ঞান
পরিপাকতন্ত্র
জীববিজ্ঞান
শ্বাসক্রিয়ার কৌশল: প্রশ্বাস ও নিঃশ্বাস
জীববিজ্ঞান
প্রোটিন সংশ্লেষণ
জীববিজ্ঞান
রক্ত সংবহন: দ্বি-সংবহন ও কার্ডিয়াক আউটপুট
জীববিজ্ঞান
কোষের গঠন ও অঙ্গাণু: উদ্ভিদ কোষ বনাম প্রাণী কোষ
জীববিজ্ঞান
প্রতিবর্ত ক্রিয়া ও প্রতিবর্ত চাপ
জীববিজ্ঞান
মানুষের চোখ: গঠন, প্রতিবিম্ব ও উপযোজন
জীববিজ্ঞান
পেশি সংকোচন ও স্লাইডিং ফিলামেন্ট মডেল
জীববিজ্ঞান
উদ্ভিদে পরিবহন: জাইলেম, ফ্লোয়েম ও বাষ্পমোচন
জীববিজ্ঞান
খাদ্যশৃঙ্খল ও খাদ্যজাল: শক্তির প্রবাহ ও ১০ % নিয়ম
জীববিজ্ঞান
জনসংখ্যা বৃদ্ধি: সূচকীয় ও লজিস্টিক রেখা
জীববিজ্ঞান
প্রাকৃতিক নির্বাচন: পেপার্ড মথ ও কালিঝুলি মাখা গাছ
জীববিজ্ঞান
রোগপ্রতিরোধ: প্রাথমিক ও গৌণ অ্যান্টিবডি সাড়া
জীববিজ্ঞান
পরাগায়ন ও নিষেক
গণিত
পিথাগোরাসের উপপাদ্য
গণিত
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও একক বৃত্ত
গণিত
দ্বিঘাত সমীকরণ ও দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র
গণিত
বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য
গণিত
দূরত্ব ও উচ্চতা: উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ
গণিত
সম্ভাবনা: পরীক্ষালব্ধ বনাম তাত্ত্বিক সম্ভাবনা
গণিত
সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা
গণিত
গড়, মধ্যক ও প্রচুরক
গণিত
সেট ও ভেনচিত্র
গণিত
সরল সহসমীকরণ ও সরলরেখার লেখচিত্র
গণিত
sin, cos, tan-এর লেখচিত্র
গণিত
পূর্ণবর্গ পদ্ধতি ও দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান
গণিত
বৃত্তের ক্ষেত্রফল: সূত্র, প্রমাণ ও সমাধান
গণিত
ঘনবস্তুর আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল: ঘনক, আয়তঘন, বেলন, কোণক, গোলক
গণিত
সদৃশ ত্রিভুজ: স্কেল ফ্যাক্টর, AA, SSS, SAS শর্ত ও ছায়া থেকে উচ্চতা
গণিত
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: দূরত্ব, মধ্যবিন্দু, ঢাল, বিভক্তিকরণ সূত্র ও সঞ্চারপথ
গণিত
শাঙ্কব ছেদ: বৃত্ত, উপবৃত্ত, পরাবৃত্ত ও অধিবৃত্ত
গণিত
ফাংশনের রূপান্তর: সরানো, টানা ও উল্টানো
গণিত
অন্তরীকরণ: স্পর্শকের ঢাল ও ছেদক থেকে স্পর্শক
গণিত
রিম্যান যোগফল ও সমাকলন: বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল
গণিত
সীমা ও ε–δ সংজ্ঞা: ছবিতে বোঝা
গণিত
ত্রিমাত্রিক ভেক্টর: যোগ, ডট গুণ ও ক্রস গুণ
গণিত
ম্যাট্রিক্স রূপান্তর: ঘূর্ণন, প্রতিফলন, শিয়ার ও নির্ণায়ক
গণিত
জটিল সংখ্যা: আরগান্ড সমতলে যোগ, গুণ, ঘাত ও মূল
গণিত