দ্বিঘাত সমীকরণ: নিশ্চায়ক, মূলের সূত্র ও লেখচিত্র | শিক্ষা ওয়েব

Q: দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে?

যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত ২, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। আদর্শ রূপ ax² + bx + c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0।

Q: দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র কী?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a। এটি শ্রীধর আচার্যের সূত্র নামে পরিচিত এবং বর্গপূর্ণকরণ পদ্ধতি থেকে প্রমাণ করা যায়।

Q: নিশ্চায়ক কাকে বলে?

ax² + bx + c = 0-এর b² − 4ac রাশিকে নিশ্চায়ক বলে। এর চিহ্ন দেখে সমাধান না করেই মূলের প্রকৃতি নিশ্চিত করা যায়।

Q: নিশ্চায়ক শূন্য হলে মূল কেমন হয়?

D = ০ হলে মূল দুটি বাস্তব ও সমান, দুটিই −b/2a। লেখচিত্রে পরাবৃত্ত x-অক্ষকে শীর্ষবিন্দুতে শুধু স্পর্শ করে।

Q: নিশ্চায়ক ঋণাত্মক হলে কী হয়?

তখন কোনো বাস্তব মূল নেই, কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল বাস্তব নয়। পরাবৃত্ত x-অক্ষকে ছোঁয় না। HSC-তে বলা হয় মূল দুটি জটিল ও অনুবন্ধী।

Q: মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

ax² + bx + c = 0-এর মূল α, β হলে α + β = −b/a এবং αβ = c/a।

Q: মূল দেওয়া থাকলে সমীকরণ কীভাবে গঠন করব?

x² − (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = ০ লেখো। যেমন মূল ২ ও ৩ হলে x² − ৫x + ৬ = ০।

Q: পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কীভাবে বের করব?

h = −b/2a বের করো, তারপর x = h বসিয়ে k = y বের করো। শীর্ষবিন্দু (h, k), আর প্রতিসাম্য অক্ষ x = h।

Q: a = 0 হলে কী হয়?

x² পদ থাকে না, সমীকরণটি একঘাত bx + c = 0 হয়ে যায় আর লেখচিত্র সরলরেখা। তাই দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞায় a ≠ 0 শর্ত দেওয়া থাকে।

Q: বর্গপূর্ণকরণ কেন শিখব, সূত্র তো আছেই?

সূত্রটাই বর্গপূর্ণকরণ থেকে এসেছে, আর শীর্ষবিন্দু রূপ, বৃত্ত ও কণিকের সমীকরণ, সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন মানের প্রশ্নে এই কৌশল সরাসরি লাগে।

শীর্ষবিন্দু টেনে সরাও

লেখচিত্রমূল (x-অক্ষে ছেদ)প্রতিসাম্য অক্ষশীর্ষবিন্দুy-অক্ষের ছেদবিন্দু

বর্গপূর্ণকরণ: আদর্শ রূপ থেকে শীর্ষবিন্দু রূপ

১. শুরুর ফাংশনy = x² − ২x − ৩

গতি

নিয়ন্ত্রণ

সমীকরণের রূপ

x²-এর সহগ, a১.০

x-এর সহগ, b-২.০

ধ্রুবক পদ, c-৩.০

বক্ররেখা বরাবর চলন্ত বিন্দুবর্গপূর্ণকরণ ধাপে ধাপে দেখাও

পরিমাপ

শীর্ষবিন্দু (h, k): (১, −৪)
প্রতিসাম্য অক্ষ: x = ১
নিশ্চায়ক, D = b² − 4ac: ১৬
মূলের প্রকৃতি: দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল
মূল নির্ণয়ের সূত্রে মূল: x = (২ ± √১৬) / ২ = ৩, −১
y-অক্ষের ছেদবিন্দু: (0, −৩)
পরাবৃত্তের মুখ: উপরের দিকে (a > 0)
মূলদ্বয়ের যোগফল, −b/a: ২
মূলদ্বয়ের গুণফল, c/a: −৩
চলন্ত বিন্দু (x, y): (০, −৩)

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

কিছু না ছুঁয়ে আগে দেখো: পর্দায় আছে x² − ২x − ৩। পরাবৃত্ত x-অক্ষকে −১ ও ৩ বিন্দুতে কাটছে, সবুজ বিন্দু দুটিই মূল।
a-এর স্লাইডার বাঁদিকে টেনে ঋণাত্মক করো: পরাবৃত্তের মুখ উল্টে নিচের দিকে হয়ে যায়। একদম ০-তে আনলে লেখচিত্র সরলরেখা হয়ে যায়।
c বাড়িয়ে পরাবৃত্তটাকে উপরে তোলো আর পরিমাপ প্যানেলে নিশ্চায়ক D দেখো: x-অক্ষ ছোঁয়ার মুহূর্তে D = ০, আর উপরে উঠে গেলে D ঋণাত্মক, বাস্তব মূল নেই।
কমলা শীর্ষবিন্দুটি আঙুল বা মাউস দিয়ে টেনে সরাও, অথবা “শীর্ষবিন্দু রূপ” বেছে h ও k স্লাইডার দিয়ে সরাও। প্রতিসাম্য অক্ষও সাথে সাথে সরে যায়।
“বর্গপূর্ণকরণ ধাপে ধাপে দেখাও” চালু রাখো: নিচে তোমার বেছে নেওয়া সংখ্যা দিয়েই পাঁচটি ধাপ একে একে আসে, শেষ ধাপে শীর্ষবিন্দু রূপ।
“উৎপাদক রূপ” বেছে α ও β স্লাইডার দিয়ে মূল দুটি সরাসরি বসাও, তারপর পরিমাপে মূলদ্বয়ের যোগফল −b/a আর গুণফল c/a মিলিয়ে দেখো।

বল ছুড়ে মারো, ঝরনার পানি দেখো: সবখানেই একটা বাঁকা পথ

মাঠে দাঁড়িয়ে একটা ক্রিকেট বল উপরের দিকে একটু সামনে ছুড়ে দাও। বলটা উঠতে উঠতে ধীর হয়, একটা সর্বোচ্চ বিন্দুতে গিয়ে এক মুহূর্ত থামে, তারপর আবার নেমে আসে। পুরো পথটা আঁকলে দেখবে একটা সুন্দর উল্টো U-এর মতো আকার। গণিতে এই আকারের নাম পরাবৃত্ত, আর এই পরাবৃত্তের পেছনের সমীকরণটাই দ্বিঘাত সমীকরণ।

পার্কের ঝরনার পানির ধারা, বাসার ছাদে বসানো ডিশ অ্যান্টেনার বাটি, টর্চের ভেতরের আয়না, কিছু সেতুর ধনুকের মতো বাঁক: সবগুলো একই পরিবারের সদস্য। এরা সবাই y = ax² + bx + c ধরনের একটি সম্পর্ক মেনে চলে।

দোকানদারও না জেনে এই গণিত ব্যবহার করেন। দাম খুব কম রাখলে লাভ কম, দাম খুব বেশি রাখলে ক্রেতা আসে না, লাভ আবার কম। মাঝখানে কোথাও একটা দাম আছে যেখানে লাভ সবচেয়ে বেশি। লাভ বনাম দামের লেখচিত্রও একটা পরাবৃত্ত, আর সবচেয়ে বেশি লাভের দামটা হলো সেই পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু।

এই পাতায় তুমি উপরের সিমুলেশনে a, b, c বদলে নিজের চোখে দেখবে কীভাবে পরাবৃত্ত নড়ে, কখন x-অক্ষকে দুই জায়গায় কাটে, কখন শুধু ছুঁয়ে যায় আর কখন একেবারেই ছোঁয় না। তারপর শিখবে সমীকরণটা তিনভাবে সমাধান করতে, আর SSC-HSC পরীক্ষার ধরনে অনেকগুলো অঙ্ক কষবে।

একদম শুরু থেকে: দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে

“ঘাত” মানে একটা চলক কতবার নিজের সাথে গুণ হয়েছে। x হলো এক ঘাত, x² দুই ঘাত, x³ তিন ঘাত। কোনো সমীকরণে চলকের সবচেয়ে বড় ঘাত যদি ২ হয়, তাহলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। “দ্বি” মানে দুই। যেমন x² − ৫x + ৬ = ০ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, কারণ এখানে সবচেয়ে বড় ঘাত x²।

এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ হলো ax² + bx + c = 0। এখানে a হলো x²-এর সহগ, b হলো x-এর সহগ আর c হলো ধ্রুবক পদ। a, b, c বাস্তব সংখ্যা, আর একটা শর্ত খুব জরুরি: a ≠ 0। কারণ a = 0 হলে x² পদটাই হারিয়ে যায়, সমীকরণটা হয়ে যায় bx + c = 0, যা একটা সরল (একঘাত) সমীকরণ।

b বা c শূন্য হতে পারে, তাতে সমস্যা নেই। x² − 9 = 0 (এখানে b = 0) এবং x² − 4x = 0 (এখানে c = 0) দুটোই দ্বিঘাত সমীকরণ। শুধু a শূন্য হতে পারে না। সিমুলেশনে a-এর স্লাইডার ০-তে আনলে দেখবে পরাবৃত্ত সোজা হয়ে সরলরেখা হয়ে গেছে, আর উপরে লেখা উঠবে যে এটা আর দ্বিঘাত নয়।

সমীকরণ আর ফাংশনের পার্থক্যটাও বুঝে নাও। ax² + bx + c = 0 একটা সমীকরণ: এটা একটা প্রশ্ন, “x-এর কোন মানে বাম পক্ষ শূন্য হয়?” আর y = ax² + bx + c একটা ফাংশন: প্রতিটি x-এর জন্য একটা করে y দেয়। ফাংশনের লেখচিত্র আঁকলে যে পরাবৃত্ত পাই, সেটা x-অক্ষকে (যেখানে y = 0) যেসব বিন্দুতে ছেদ করে, সেই x-গুলোই সমীকরণের মূল।

মূল বা সমাধান মানে এমন সংখ্যা যা x-এর জায়গায় বসালে সমীকরণ সত্য হয়। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বোচ্চ দুটি মূল থাকে। কখনো দুটি আলাদা মূল, কখনো দুটি মূল সমান (মানে আসলে একটাই মান), আর কখনো কোনো বাস্তব মূলই থাকে না। কোনটা হবে, সেটা বলে দেয় নিশ্চায়ক, একটু পরেই সেটা শিখবে।

দরকারি শব্দগুলো এক জায়গায়

সৃজনশীলের জ্ঞানমূলক প্রশ্ন সাধারণত এই শব্দগুলোর সংজ্ঞা থেকেই আসে, তাই টেবিলটা ভালো করে দেখে নাও।

পরিভাষা	প্রতীক	অর্থ
দ্বিঘাত সমীকরণ	ax² + bx + c = 0	চলকের সর্বোচ্চ ঘাত ২, আর a ≠ 0
সহগ	a, b	চলকের সাথে গুণ হয়ে থাকা সংখ্যা
ধ্রুবক পদ	c	যে পদে কোনো চলক নেই
মূল (সমাধান, বীজ)	α, β	যে মান বসালে সমীকরণ সত্য হয়
নিশ্চায়ক	D = b² − 4ac	মূল কেমন হবে তা নিশ্চিত করে দেয়
পরাবৃত্ত	—	y = ax² + bx + c-এর লেখচিত্র, U বা উল্টো U আকৃতি
শীর্ষবিন্দু	(h, k)	পরাবৃত্তের সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ বিন্দু
প্রতিসাম্য অক্ষ	x = h	শীর্ষবিন্দু দিয়ে যাওয়া খাড়া রেখা, যা পরাবৃত্তকে দুই সমান ভাগে ভাগ করে
বর্গপূর্ণকরণ	(x + p)²	সমীকরণকে একটি পূর্ণবর্গের রূপে সাজানোর কৌশল
y-অক্ষের ছেদবিন্দু	(0, c)	x = 0 বসালে লেখচিত্র y-অক্ষকে যেখানে কাটে

প্রথম পদ্ধতি: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান

SSC গণিতে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের প্রথম আর সবচেয়ে দ্রুত পদ্ধতি হলো উৎপাদকে বিশ্লেষণ। মূল ধারণাটা খুব সহজ: দুটি সংখ্যার গুণফল শূন্য হলে অন্তত একটি সংখ্যা অবশ্যই শূন্য। 3 × 0 = 0, 0 × 7 = 0, কিন্তু 3 × 7 কখনো শূন্য নয়।

তাই যদি ax² + bx + c-কে দুটি একঘাত রাশির গুণফল হিসেবে লিখতে পারো, যেমন (x − p)(x − q) = 0, তাহলে হয় x − p = 0 নয়তো x − q = 0। মানে x = p অথবা x = q। দ্বিঘাত সমীকরণটা ভেঙে দুটো ছোট সরল সমীকরণ হয়ে গেল।

a = 1 হলে উৎপাদক খোঁজার কৌশল: এমন দুটি সংখ্যা খোঁজো যাদের গুণফল c আর যোগফল b। তারপর মাঝের পদ bx-কে ওই দুই সংখ্যা দিয়ে ভেঙে লেখো (মধ্যপদ বিভাজন)। a ≠ 1 হলে গুণফল হবে a × c, যোগফল b।

এই পদ্ধতির সীমাবদ্ধতাও আছে। মূল যদি ভগ্নাংশ বা অমূলদ হয় (যেমন 2 + √3), তাহলে পূর্ণসংখ্যার উৎপাদক খুঁজে পাবে না। তখন বর্গপূর্ণকরণ বা সূত্র লাগবে। সিমুলেশনের “উৎপাদক রূপ” তাই শুধু বাস্তব মূল থাকলেই কাজ করে।

ax² + bx + c = a(x − α)(x − β)α, β হলো মূল

pq = 0 ⇒ p = 0 অথবা q = 0শূন্য গুণফলের নিয়ম

দ্বিতীয় পদ্ধতি: বর্গপূর্ণকরণ

বর্গপূর্ণকরণ মানে সমীকরণটাকে এমনভাবে সাজানো যাতে এক পাশে একটা পূর্ণবর্গ (x + p)² থাকে। কেন? কারণ (x + p)² = r হলে সহজেই বর্গমূল নিয়ে x + p = ±√r লেখা যায়, তারপর x বের করা এক লাইনের কাজ।

মূল কৌশলটা এসেছে (x + p)² = x² + 2px + p² সূত্র থেকে। খেয়াল করো, x-এর সহগ 2p, আর শেষ পদ p²। মানে x-এর সহগের অর্ধেক নিয়ে বর্গ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেটা যোগ করলেই পূর্ণবর্গ তৈরি হয়। x² + 6x-এর সাথে (6/2)² = 9 যোগ করলে পাই x² + 6x + 9 = (x + 3)²।

ধাপগুলো সবসময় এক: (১) a দিয়ে পুরো সমীকরণ ভাগ করো যাতে x²-এর সহগ ১ হয়; (২) ধ্রুবক পদটা ডান পাশে পাঠাও; (৩) দুই পাশে (x-এর সহগের অর্ধেক)² যোগ করো; (৪) বাম পাশকে (x + p)² আকারে লেখো; (৫) বর্গমূল নাও, মনে রেখে ± চিহ্ন দিতে হবে।

এই পদ্ধতি সব দ্বিঘাত সমীকরণেই কাজ করে, উৎপাদক পাওয়া যাক বা না যাক। আর এর চেয়েও বড় কথা, এটাই দ্বিঘাত সূত্রের জন্মস্থান। সাধারণ ax² + bx + c = 0-এ ঠিক এই ধাপগুলো চালালেই শ্রীধর আচার্যের সূত্র বেরিয়ে আসে। সিমুলেশনের নিচে তোমার বেছে নেওয়া সংখ্যা দিয়েই ধাপগুলো একে একে দেখানো হয়।

তৃতীয় পদ্ধতি: দ্বিঘাত সূত্র প্রমাণসহ (শ্রীধর আচার্যের সূত্র)

ভারতীয় গণিতবিদ শ্রীধর আচার্য (আনুমানিক ৮৭০–৯৩০ খ্রিস্টাব্দ) বর্গপূর্ণকরণের ধারণা দিয়ে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের নিয়ম দিয়েছিলেন, তাই আমাদের পাঠ্যবইয়ে সূত্রটিকে শ্রীধর আচার্যের সূত্র বলা হয়। নিচে সাধারণ সমীকরণ ax² + bx + c = 0-এ বর্গপূর্ণকরণ চালিয়ে সূত্রটি প্রমাণ করা হলো। প্রতিটা লাইন আগের লাইন থেকে আসে, মুখস্থ না করে বুঝে নাও।

প্রথম লাইনে a দিয়ে ভাগ করা হয়েছে (a ≠ 0 বলেই ভাগ করা যায়)। দ্বিতীয় লাইনে c/a ডান পাশে গেছে। তৃতীয় লাইনে দুই পাশে (b/2a)² যোগ করা হয়েছে, কারণ x-এর সহগ b/a-এর অর্ধেক হলো b/2a। চতুর্থ লাইনে বাম পাশ পূর্ণবর্গ হয়েছে আর ডান পাশকে এক হর 4a²-এর নিচে আনা হয়েছে।

শেষে দুই পাশের বর্গমূল নিলে ± চিহ্ন আসে, কারণ একটা ধনাত্মক সংখ্যার দুটি বর্গমূল থাকে (যেমন 9-এর বর্গমূল +3 এবং −3)। তারপর b/2a ডান পাশে পাঠালেই সূত্র। খেয়াল করো, বর্গমূলের নিচের রাশি b² − 4ac, এটাই নিশ্চায়ক। এটা ঋণাত্মক হলে বর্গমূল বাস্তব সংখ্যা হয় না, তাই তখন বাস্তব মূলও থাকে না।

ax² + bx + c = 0a ≠ 0

x² + (b/a)x + c/a = 0a দিয়ে ভাগ

x² + (b/a)x = −c/aধ্রুবক ডান পাশে

x² + (b/a)x + (b/2a)² = (b/2a)² − c/aদুই পাশে (b/2a)² যোগ

(x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a²পূর্ণবর্গ

x + b/2a = ±√(b² − 4ac) / 2aবর্গমূল, ± সহ

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2aশ্রীধর আচার্যের সূত্র

নিশ্চায়ক: না কষেই মূলের প্রকৃতি বলে দেওয়া

সূত্রের বর্গমূলের নিচের রাশি b² − 4ac-কে নিশ্চায়ক বলে, লেখা হয় D দিয়ে। নামটা খুব মানানসই: এটা নিশ্চিত করে দেয় মূল কেমন হবে। পুরো সমাধান না করেই শুধু D-এর চিহ্ন দেখে বলা যায় মূল কয়টি আর কী ধরনের।

D > 0 হলে √D একটা ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, তাই + আর − দিয়ে দুটি আলাদা বাস্তব মূল পাই। লেখচিত্রে পরাবৃত্ত x-অক্ষকে দুটি আলাদা বিন্দুতে ছেদ করে। D যদি আবার পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় (যেমন 16, 25) আর a, b, c মূলদ হয়, তাহলে মূল দুটিও মূলদ, মানে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে। পূর্ণবর্গ না হলে মূল দুটি অমূলদ।

D = 0 হলে √D = 0, তাই + আর − একই উত্তর দেয়: x = −b/2a। বলা হয় মূল দুটি বাস্তব ও সমান। লেখচিত্রে পরাবৃত্ত x-অক্ষকে ঠিক শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে, কাটে না।

D < 0 হলে ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল লাগে, যা বাস্তব সংখ্যা নয়। তাই কোনো বাস্তব মূল নেই, পরাবৃত্ত x-অক্ষকে ছোঁয়ই না। SSC-তে এটুকু বললেই যথেষ্ট। HSC উচ্চতর গণিতে জটিল সংখ্যা শেখার পর বলা হয় মূল দুটি জটিল (অবাস্তব) ও পরস্পর অনুবন্ধী।

নিশ্চায়কের মান	মূলের প্রকৃতি	লেখচিত্রে যা দেখবে
D > 0, পূর্ণবর্গ	বাস্তব, অসমান ও মূলদ	x-অক্ষকে দুটি বিন্দুতে ছেদ
D > 0, পূর্ণবর্গ নয়	বাস্তব, অসমান ও অমূলদ	x-অক্ষকে দুটি বিন্দুতে ছেদ
D = 0	বাস্তব ও সমান	x-অক্ষকে শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ
D < 0	বাস্তব মূল নেই (জটিল মূল)	x-অক্ষকে ছোঁয় না

মূল ও সহগের সম্পর্ক: যোগফল আর গুণফল

ax² + bx + c = 0-এর মূল দুটি α ও β হলে, সূত্র থেকে দুটি মূল যোগ করলে ± অংশ কেটে যায়, থাকে α + β = −b/a। আর গুণ করলে (a + b)(a − b) = a² − b² সূত্রে পাই αβ = c/a। এই দুটি সম্পর্ক SSC উচ্চতর গণিত ও HSC-তে খুব ঘন ঘন আসে।

এর সুবিধা হলো মূল দুটি আলাদা করে বের না করেই তাদের নিয়ে অনেক প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যায়। যেমন α² + β² = (α + β)² − 2αβ, অথবা 1/α + 1/β = (α + β)/αβ। মূল অমূলদ হলে এই পথে হিসাব অনেক সহজ হয়।

উল্টো দিকেও কাজ হয়। মূল দুটি জানা থাকলে সমীকরণ গঠন করা যায়: x² − (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0। কারণ (x − α)(x − β) গুণ করলে ঠিক x² − (α + β)x + αβ পাওয়া যায়।

α + β = −b/aমূলদ্বয়ের যোগফল

αβ = c/aমূলদ্বয়ের গুণফল

x² − (α + β)x + αβ = 0মূল থেকে সমীকরণ গঠন

লেখচিত্র: পরাবৃত্ত, শীর্ষবিন্দু আর প্রতিসাম্য অক্ষ

y = ax² + bx + c-এর লেখচিত্র সবসময় একটি পরাবৃত্ত। a > 0 হলে এর মুখ উপরের দিকে (U আকৃতি), তখন শীর্ষবিন্দু হলো সর্বনিম্ন বিন্দু, আর ফাংশনের একটা ক্ষুদ্রতম মান থাকে। a < 0 হলে মুখ নিচের দিকে (উল্টো U), শীর্ষবিন্দু সর্বোচ্চ বিন্দু, আর ফাংশনের একটা বৃহত্তম মান থাকে।

|a| যত বড়, পরাবৃত্ত তত সরু আর খাড়া; |a| যত ছোট, তত চওড়া আর চ্যাপ্টা। সিমুলেশনে a-কে ৩ থেকে ০.৫-এ নামিয়ে দেখো, পরাবৃত্ত কেমন ছড়িয়ে যায়।

শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k), যেখানে h = −b/2a আর k = c − b²/4a (অথবা x = h বসিয়ে y বের করো)। শীর্ষবিন্দু দিয়ে যাওয়া খাড়া রেখা x = h হলো প্রতিসাম্য অক্ষ। এই রেখা বরাবর ভাঁজ করলে পরাবৃত্তের দুই বাহু ঠিক মিলে যায়। তাই দুটি মূল থাকলে তারা অক্ষ থেকে সমান দূরে থাকে, আর h হলো মূল দুটির গড়।

বর্গপূর্ণকরণ করে লেখা y = a(x − h)² + k রূপটিকে শীর্ষবিন্দু রূপ বলে। (x − h)² কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই a > 0 হলে y-এর মান সবচেয়ে কম হয় যখন x = h, আর সেই মান k। এক নজরে শীর্ষবিন্দু পড়ে ফেলার এটাই সবচেয়ে সহজ রূপ।

b-এর প্রভাব একটু মজার: b বদলালে শীর্ষবিন্দু একটা বাঁকা পথে সরে, পুরো পরাবৃত্ত পাশে সরে না। আর c সবসময় y-অক্ষের ছেদবিন্দু, কারণ x = 0 বসালে y = c। শুরুর লেখচিত্রে এটা (০, −৩)।

h = −b / 2a, k = c − b² / 4aশীর্ষবিন্দু (h, k)

y = a(x − h)² + kশীর্ষবিন্দু রূপ

x = hপ্রতিসাম্য অক্ষের সমীকরণ

x	y = x² − ২x − ৩	অক্ষ থেকে দূরত্ব, x − h
−২	৫	−৩
−১	০	−২
০	−৩	−১
১	−৪	০
২	−৩	১
৩	০	২
৪	৫	৩

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

প্রতিটি পরীক্ষা এক-দুই মিনিটের। আগে অনুমান করো কী হবে, তারপর মিলিয়ে দেখো।

পরীক্ষা ১: c দিয়ে পরাবৃত্ত উপর-নিচ করো

আদর্শ রূপে থেকে শুধু c-এর স্লাইডার বাড়াও। পুরো পরাবৃত্তটা উপরে উঠছে, আকার বদলাচ্ছে না। মূল দুটি কাছে আসছে, একসময় মিলে একটা হয়ে যায় (D = ০), তারপর হারিয়ে যায় (D < ০)।

কোন c-তে ঠিক স্পর্শ করে? b² − 4ac = 0 থেকে c = b²/4a। শুরুর a ও b-এর জন্য হিসাব করে স্লাইডারে মিলিয়ে নাও।

পরীক্ষা ২: a দিয়ে সরু, চওড়া আর উল্টো

a-কে ৩ থেকে ধীরে ধীরে কমাও। পরাবৃত্ত চওড়া হচ্ছে, ০-এর কাছে গিয়ে প্রায় সোজা, ঠিক ০-তে সরলরেখা, তারপর ঋণাত্মক হলে মুখ নিচের দিকে।

লক্ষ করো, a = ০-এ শীর্ষবিন্দু আর প্রতিসাম্য অক্ষ উধাও, কারণ সরলরেখার কোনো শীর্ষ নেই। তখন মূল একটাই: x = −c/b।

পরীক্ষা ৩: শীর্ষবিন্দু টেনে আনো

কমলা শীর্ষবিন্দুটা ধরে x-অক্ষের উপরে তোলো (a > 0 থাকা অবস্থায়)। মূল দুটি মিলিয়ে গিয়ে “বাস্তব মূল নেই” লেখা আসে। আবার নিচে নামাও, মূল ফিরে আসে।

টানার সময় b আর c কীভাবে বদলায় দেখো: শীর্ষবিন্দু রূপ থেকে b = −2ah আর c = ah² + k।

পরীক্ষা ৪: উৎপাদক রূপে মূল বসিয়ে সমীকরণ বানাও

“উৎপাদক রূপ” বেছে α = ২, β = ৫ বসাও। a = ১ হলে সমীকরণ দাঁড়ায় x² − ৭x + ১০ = ০। পরিমাপে যোগফল ৭ আর গুণফল ১০ মিলিয়ে দেখো।

এবার a = ২ করো: মূল একই থাকে, কিন্তু পরাবৃত্ত সরু হয়। একই মূলের অসংখ্য দ্বিঘাত সমীকরণ হয়, শুধু a আলাদা।

পরীক্ষা ৫: চলন্ত বিন্দু দিয়ে প্রতিসাম্য দেখো

চলন্ত বিন্দু চালু রাখো আর পরিমাপে (x, y) দেখো। বিন্দু যখন অক্ষের দুই পাশে সমান দূরে থাকে, y একই থাকে। বিন্দু শীর্ষবিন্দু পার হওয়ার সময় y কমা থেকে বাড়ায় (বা বাড়া থেকে কমায়) মোড় নেয়।

সমাধানকৃত উদাহরণ (সব সংখ্যা হিসাব করে বসানো)

নিচের প্রতিটি অঙ্ক পরীক্ষার ধাপ মেনে সাজানো। প্রথমটা সিমুলেশনের শুরুর লেখচিত্র, তাই পর্দার পরিমাপের সাথে মিলিয়ে দেখতে পারবে।

উদাহরণ ১: y = x² − ২x − ৩-এর সব বৈশিষ্ট্য

এখানে a = ১, b = −২, c = −৩। নিশ্চায়ক D = b² − 4ac = ৪ − (−১২) = ১৬ > ০ এবং পূর্ণবর্গ, তাই মূল দুটি বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

সূত্রে x = (২ ± √১৬) / ২ = (২ ± ৪) / ২, তাই x = ৩ অথবা x = −১। উৎপাদক রূপ y = (x + ১)(x − ৩)।

শীর্ষবিন্দু h = −b/2a = ১, k = −৪; প্রতিসাম্য অক্ষ x = ১; a > ০ বলে মুখ উপরে আর সর্বনিম্ন মান −৪। y-অক্ষের ছেদবিন্দু (০, −৩)। যোগফল −b/a = ২, গুণফল c/a = −৩।

উদাহরণ ২: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে x² − ৫x + ৬ = ০ সমাধান

এমন দুটি সংখ্যা চাই যাদের গুণফল ৬ আর যোগফল −৫। সংখ্যা দুটি −২ ও −৩। তাই মধ্যপদ ভেঙে লিখি x² − ২x − ৩x + ৬ = ০।

সাজিয়ে পাই (x − ২)(x − ৩) = ০। সুতরাং x = ২ অথবা x = ৩। যাচাই: মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল সমীকরণের −b/a ও c/a-এর সাথে মেলে।

উদাহরণ ৩: বর্গপূর্ণকরণে ২x² + ৮x − ১০ = ০ সমাধান

২ দিয়ে ভাগ করে পাই x² + ৪x − ৫ = ০, অর্থাৎ x² + ৪x = ৫। x-এর সহগের অর্ধেক ২, তার বর্গ ৪; দুই পাশে যোগ করি: x² + ৪x + ৪ = ৫ + ৪।

তাহলে (x + ২)² = ৯, বর্গমূল নিয়ে x + ২ = ±৩। সুতরাং x = ১ অথবা x = −৫।

উদাহরণ ৪: সূত্র দিয়ে x² − ৪x + ১ = ০ (অমূলদ মূল)

D = ১২, পূর্ণবর্গ নয়, তাই মূল অমূলদ। x = (৪ ± √১২) / ২ = ২ ± √৩।

দশমিকে √১২ ≈ ৩.৪৬, তাই x ≈ ৩.৭৩ অথবা x ≈ ০.২৭। এই সমীকরণ পূর্ণসংখ্যার উৎপাদকে ভাঙে না, তাই সূত্রই এখানে সঠিক পথ।

উদাহরণ ৫: নিশ্চায়ক দিয়ে মূলের প্রকৃতি ও সমান মূলের শর্ত

নিচের তিনটি সমীকরণের মূল কেমন, সমাধান না করেই D দিয়ে বলা যায়:

২x² − ৬x + ৩ = ০: D = ৩৬ − ২৪ = ১২ > ০, পূর্ণবর্গ নয়, তাই মূল বাস্তব, অসমান ও অমূলদ। ৪x² − ১২x + ৯ = ০: D = ১৪৪ − ১৪৪ = ০, তাই মূল বাস্তব ও সমান। x² + x + ১ = ০: D = ১ − ৪ = −৩ < ০, তাই বাস্তব মূল নেই।

x² + kx + ১৬ = ০-এর মূল দুটি সমান হলে k কত? সমান মূলের শর্ত D = ০: k² − ৬৪ = ০, তাই k = ±৮।

উদাহরণ ৬: ৩x² − ৭x + ২ = ০-এর মূল α, β হলে α² + β² ও 1/α + 1/β

α + β = −b/a = ৭/৩ এবং αβ = c/a = ২/৩।

α² + β² = (α + β)² − 2αβ = ৪৯/৯ − ১২/৯ = ৩৭/৯ ≈ ৪.১১। আর 1/α + 1/β = (α + β)/αβ = ৭/২ = ৩.৫।

যাচাই: সূত্রে মূল দুটি ২ ও প্রায় ০.৩৩৩; এদের বর্গের যোগফলও একই দাঁড়ায়।

উদাহরণ ৭: যে সমীকরণের মূল ৪ ও −৩

যোগফল = ১, গুণফল = −১২। সূত্র x² − (যোগফল)x + গুণফল = ০ বসিয়ে সমীকরণ: x² − x − ১২ = ০।

উদাহরণ ৮: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল থেকে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ৩ মিটার বেশি, ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গমিটার। প্রস্থ x ধরলে x(x + ৩) = ৪০, অর্থাৎ x² + ৩x − ৪০ = ০।

D = ১৬৯, √D = ১৩, তাই x = (−৩ ± ১৩) / ২ = ৫ অথবা −৮। দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই প্রস্থ ৫ মিটার আর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার। যাচাই: ৫ × ৮ = ৪০।

উদাহরণ ৯: উপরে ছোড়া বলের উচ্চতা

একটি বল ২০ m/s বেগে সোজা উপরে ছোড়া হলো। g ≈ ১০ m/s² ধরলে t সেকেন্ড পরে উচ্চতা h = ২০t − ৫t²। কখন বলটি ১৫ মিটার উচ্চতায় থাকবে?

২০t − ৫t² = ১৫ সাজিয়ে পাই ৫t² − ২০t + ১৫ = ০, ৫ দিয়ে ভাগ করে t² − ৪t + ৩ = ০। তাই t = ১ s (উঠার পথে) এবং t = ৩ s (নামার পথে)। দুটি উত্তরই অর্থবহ।

সর্বোচ্চ উচ্চতা শীর্ষবিন্দুতে: t = ২ s-এ h = ২০ m। আর h = ০ হয় t = ০ ও t = ৪ s-এ, মানে বলটি ৪ সেকেন্ড পর হাতে ফেরে।

উদাহরণ ১০: সর্বোচ্চ লাভের দাম

একটি পণ্যের দাম x টাকা হলে দৈনিক লাভ P = −২x² + ৪০x − ১৫০ (হাজার টাকায়)। a < ০, তাই পরাবৃত্তের মুখ নিচে আর শীর্ষবিন্দুতেই সর্বোচ্চ লাভ।

x = −b/2a = ১০ টাকায় লাভ সর্বোচ্চ, P = ৫০ হাজার টাকা। লাভ শূন্য (লাভ-ক্ষতি সমান) হয় যখন x² − ২০x + ৭৫ = ০, অর্থাৎ x = ৫ বা ১৫ টাকায়; এর বাইরে দাম রাখলে লোকসান।

উদাহরণ ১১: y = ২x² − ১২x + ১৩-কে শীর্ষবিন্দু রূপে লেখা

x-যুক্ত পদ থেকে ২ বের করি: y = ২(x² − ৬x) + ১৩। বন্ধনীর ভেতরে x-এর সহগের অর্ধেক −৩, বর্গ ৯; যোগ-বিয়োগ করে সাজালে y = ২(x − ৩)² − ৫।

তাই শীর্ষবিন্দু (৩, −৫), সর্বনিম্ন মান −৫। D = ৪০ > ০, মূল x ≈ ৪.৫৮ ও ১.৪২, দুটিই অক্ষ x = ৩ থেকে সমান দূরে।

যে ভুলগুলো সবাই করে

এই ভুলগুলোতে পরীক্ষায় অনেক নম্বর কাটা যায়, তাই আগে থেকেই সাবধান হও।

সূত্রে −b লিখতে গিয়ে চিহ্ন ভুল করা: b = −২ হলে −b = +২, −২ নয়।
b² − 4ac হিসাবের সময় c ঋণাত্মক হলে −4ac যে যোগ হয়ে যায়, সেটা ভুলে যাওয়া।
বর্গমূল নেওয়ার সময় ± না দিয়ে শুধু ধনাত্মক মূল লেখা, ফলে একটা মূল হারিয়ে যায়।
সূত্রে পুরো লবকে 2a দিয়ে ভাগ না করে শুধু √ অংশকে ভাগ করা।
x² = 5x-এর দুই পাশ x দিয়ে ভাগ করে ফেলা: এতে x = ০ মূলটা হারিয়ে যায়। বরং x(x − 5) = ০ লেখো।
সমীকরণকে আগে ax² + bx + c = 0 আকারে না এনেই a, b, c পড়ে ফেলা।
বাস্তব সমস্যায় অর্থহীন মূল (ঋণাত্মক দৈর্ঘ্য, ঋণাত্মক সময়) বাদ না দেওয়া।
শীর্ষবিন্দুর x-কে b/2a লেখা, আসলে −b/2a।

বাস্তব জীবনে দ্বিঘাত সমীকরণ

পরাবৃত্ত আর দ্বিঘাত সমীকরণ আমাদের চারপাশে লুকিয়ে আছে:

ক্রিকেট বল, ফুটবলের কিক বা ছোড়া পাথরের পথ: বাতাসের বাধা বাদ দিলে এটা পরাবৃত্ত।
ডিশ অ্যান্টেনা ও টর্চের আয়না পরাবৃত্তাকার, কারণ পরাবৃত্ত সমান্তরাল রশ্মিকে এক বিন্দুতে (ফোকাসে) জড়ো করে।
ব্যবসায় সর্বোচ্চ লাভ বা সর্বনিম্ন খরচের হিসাব: লেখচিত্রের শীর্ষবিন্দু।
জমি, ঘর বা ফ্রেমের দৈর্ঘ্য-প্রস্থ ক্ষেত্রফল থেকে বের করা।
গাড়ির ব্রেক কষার দূরত্ব গতির বর্গের সাথে বাড়ে, তাই দ্বিগুণ গতিতে প্রায় চারগুণ দূরত্ব লাগে।
ঝুলন্ত সেতুর তার ও কিছু খিলানের আকার প্রায় পরাবৃত্ত।

পরীক্ষার কর্নার: SSC ও HSC

SSC গণিতে দ্বিঘাত সমীকরণ আসে উৎপাদকে বিশ্লেষণ আর বাস্তব সমস্যা (ক্ষেত্রফল, বয়স, সংখ্যা) হিসেবে। SSC উচ্চতর গণিতে আসে শ্রীধর আচার্যের সূত্র, নিশ্চায়ক আর মূলের প্রকৃতি। HSC উচ্চতর গণিতের বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ অধ্যায়ে মূল-সহগ সম্পর্ক, জটিল মূল আর সমীকরণ গঠন আরও গভীরে পড়ানো হয়।

সৃজনশীলে সাধারণত একটা উদ্দীপকে সমীকরণ বা একটা বাস্তব ঘটনা দেওয়া থাকে। (ক) অংশে নিশ্চায়ক বের করা বা মূলের প্রকৃতি বলা, (খ) অংশে সমাধান বা সমান মূলের শর্ত থেকে অজানা মান বের করা, (গ) অংশে মূল-সহগ সম্পর্ক দিয়ে নতুন সমীকরণ গঠন বা লেখচিত্র আঁকা আসে।

বহুনির্বাচনিতে দ্রুত উত্তরের জন্য মনে রাখো: মূলদ্বয়ের যোগফল −b/a, গুণফল c/a; D = ০ মানে সমান মূল; a ও c বিপরীত চিহ্নের হলে D অবশ্যই ধনাত্মক (কারণ −4ac তখন ধনাত্মক), তাই দুটি বাস্তব মূল নিশ্চিত।

এক পাতায় রিভিশন

পরীক্ষার আগের রাতে শুধু এটুকু দেখে নাও:

আদর্শ রূপ: ax² + bx + c = 0, শর্ত a ≠ 0।
তিন পদ্ধতি: উৎপাদকে বিশ্লেষণ, বর্গপূর্ণকরণ, সূত্র।
সূত্র: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a।
নিশ্চায়ক D = b² − 4ac: > ০ দুটি বাস্তব, = ০ সমান, < ০ বাস্তব মূল নেই।
α + β = −b/a, αβ = c/a; সমীকরণ গঠন x² − (α + β)x + αβ = 0।
লেখচিত্র পরাবৃত্ত; a > ০ মুখ উপরে, a < ০ মুখ নিচে।
শীর্ষবিন্দু (−b/2a, c − b²/4a); প্রতিসাম্য অক্ষ x = −b/2a; y-ছেদবিন্দু (০, c)।
শীর্ষবিন্দু রূপ y = a(x − h)² + k।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে?

যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত ২, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। আদর্শ রূপ ax² + bx + c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0।

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র কী?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a। এটি শ্রীধর আচার্যের সূত্র নামে পরিচিত এবং বর্গপূর্ণকরণ পদ্ধতি থেকে প্রমাণ করা যায়।

নিশ্চায়ক কাকে বলে?

ax² + bx + c = 0-এর b² − 4ac রাশিকে নিশ্চায়ক বলে। এর চিহ্ন দেখে সমাধান না করেই মূলের প্রকৃতি নিশ্চিত করা যায়।

নিশ্চায়ক শূন্য হলে মূল কেমন হয়?

D = ০ হলে মূল দুটি বাস্তব ও সমান, দুটিই −b/2a। লেখচিত্রে পরাবৃত্ত x-অক্ষকে শীর্ষবিন্দুতে শুধু স্পর্শ করে।

নিশ্চায়ক ঋণাত্মক হলে কী হয়?

তখন কোনো বাস্তব মূল নেই, কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল বাস্তব নয়। পরাবৃত্ত x-অক্ষকে ছোঁয় না। HSC-তে বলা হয় মূল দুটি জটিল ও অনুবন্ধী।

মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

ax² + bx + c = 0-এর মূল α, β হলে α + β = −b/a এবং αβ = c/a।

মূল দেওয়া থাকলে সমীকরণ কীভাবে গঠন করব?

x² − (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = ০ লেখো। যেমন মূল ২ ও ৩ হলে x² − ৫x + ৬ = ০।

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কীভাবে বের করব?

h = −b/2a বের করো, তারপর x = h বসিয়ে k = y বের করো। শীর্ষবিন্দু (h, k), আর প্রতিসাম্য অক্ষ x = h।

a = 0 হলে কী হয়?

x² পদ থাকে না, সমীকরণটি একঘাত bx + c = 0 হয়ে যায় আর লেখচিত্র সরলরেখা। তাই দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞায় a ≠ 0 শর্ত দেওয়া থাকে।

বর্গপূর্ণকরণ কেন শিখব, সূত্র তো আছেই?

সূত্রটাই বর্গপূর্ণকরণ থেকে এসেছে, আর শীর্ষবিন্দু রূপ, বৃত্ত ও কণিকের সমীকরণ, সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন মানের প্রশ্নে এই কৌশল সরাসরি লাগে।

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

Data scientist resume example (ইংরেজিতে)

দ্বিঘাত সমীকরণ: a, b, c বদলাও আর পরাবৃত্তকে নড়তে দেখো

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

বল ছুড়ে মারো, ঝরনার পানি দেখো: সবখানেই একটা বাঁকা পথ

একদম শুরু থেকে: দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে

দরকারি শব্দগুলো এক জায়গায়

প্রথম পদ্ধতি: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান

দ্বিতীয় পদ্ধতি: বর্গপূর্ণকরণ

তৃতীয় পদ্ধতি: দ্বিঘাত সূত্র প্রমাণসহ (শ্রীধর আচার্যের সূত্র)

নিশ্চায়ক: না কষেই মূলের প্রকৃতি বলে দেওয়া

মূল ও সহগের সম্পর্ক: যোগফল আর গুণফল

লেখচিত্র: পরাবৃত্ত, শীর্ষবিন্দু আর প্রতিসাম্য অক্ষ

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

পরীক্ষা ১: c দিয়ে পরাবৃত্ত উপর-নিচ করো

পরীক্ষা ২: a দিয়ে সরু, চওড়া আর উল্টো

পরীক্ষা ৩: শীর্ষবিন্দু টেনে আনো

পরীক্ষা ৪: উৎপাদক রূপে মূল বসিয়ে সমীকরণ বানাও

পরীক্ষা ৫: চলন্ত বিন্দু দিয়ে প্রতিসাম্য দেখো

সমাধানকৃত উদাহরণ (সব সংখ্যা হিসাব করে বসানো)

উদাহরণ ১: y = x² − ২x − ৩-এর সব বৈশিষ্ট্য

উদাহরণ ২: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে x² − ৫x + ৬ = ০ সমাধান

উদাহরণ ৩: বর্গপূর্ণকরণে ২x² + ৮x − ১০ = ০ সমাধান

উদাহরণ ৪: সূত্র দিয়ে x² − ৪x + ১ = ০ (অমূলদ মূল)

উদাহরণ ৫: নিশ্চায়ক দিয়ে মূলের প্রকৃতি ও সমান মূলের শর্ত

উদাহরণ ৬: ৩x² − ৭x + ২ = ০-এর মূল α, β হলে α² + β² ও 1/α + 1/β

উদাহরণ ৭: যে সমীকরণের মূল ৪ ও −৩

উদাহরণ ৮: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল থেকে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ

উদাহরণ ৯: উপরে ছোড়া বলের উচ্চতা

উদাহরণ ১০: সর্বোচ্চ লাভের দাম

উদাহরণ ১১: y = ২x² − ১২x + ১৩-কে শীর্ষবিন্দু রূপে লেখা

যে ভুলগুলো সবাই করে

বাস্তব জীবনে দ্বিঘাত সমীকরণ

পরীক্ষার কর্নার: SSC ও HSC

এক পাতায় রিভিশন

সচরাচর জিজ্ঞাসা

দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে?

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র কী?

নিশ্চায়ক কাকে বলে?

নিশ্চায়ক শূন্য হলে মূল কেমন হয়?

নিশ্চায়ক ঋণাত্মক হলে কী হয়?

মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

মূল দেওয়া থাকলে সমীকরণ কীভাবে গঠন করব?

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কীভাবে বের করব?

a = 0 হলে কী হয়?

বর্গপূর্ণকরণ কেন শিখব, সূত্র তো আছেই?

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত বই

চুয়েট ভর্তি ২০২৬-২৭

এসএসসি গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

এসএসসি উচ্চতর গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

এইচএসসি উচ্চতর গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

নবম-দশম শ্রেণির গণিত বই

ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতি

জাবি গাণিতিক ও পদার্থবিষয়ক অনুষদ ভর্তি

Paragraph: Artificial Intelligence (ইংরেজিতে)

রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা

এসএসসি সাজেশন

এইচএসসি সাজেশন

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার গাইড

এসএসসি সিলেবাস

এইচএসসি সিলেবাস

GRE Quantitative Reasoning guide (ইংরেজিতে)

Digital SAT Math guide (ইংরেজিতে)

বিদেশে পড়াশোনার স্কলারশিপ

Compound interest calculator (ইংরেজিতে)

Data scientist resume example (ইংরেজিতে)

Cover letter examples (ইংরেজিতে)

আরও গণিত অ্যানিমেশন

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও একক বৃত্ত

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য

দূরত্ব ও উচ্চতা: উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ

সম্ভাবনা: পরীক্ষালব্ধ বনাম তাত্ত্বিক সম্ভাবনা

সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা

গড়, মধ্যক ও প্রচুরক

সেট ও ভেনচিত্র

সরল সহসমীকরণ ও সরলরেখার লেখচিত্র

sin, cos, tan-এর লেখচিত্র

পূর্ণবর্গ পদ্ধতি ও দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান

বৃত্তের ক্ষেত্রফল: সূত্র, প্রমাণ ও সমাধান

ঘনবস্তুর আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল: ঘনক, আয়তঘন, বেলন, কোণক, গোলক