স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: জ্যামিতিকে গ্রিডে বসাও, বাকিটা বীজগণিত

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. “দূরত্ব, মধ্যবিন্দু, ঢাল” মোড দিয়ে শুরু করো। গ্রিডে A আর B নামে দুটো বিন্দু আছে (শুরুতে (-৪, -২) ও (৪, ৪))। যেকোনোটাকে টানো; বিন্দু পূর্ণসংখ্যার ঘরে বসে যায়। ড্যাশ-করা বাহু আর সমকোণের চিহ্নে দূরত্বের সূত্রের আড়ালে লুকিয়ে থাকা সমকোণী ত্রিভুজটা দেখা যায়।
2. সংখ্যাগুলো পড়ো। Δx আর Δy হলো দুই বাহু, “দূরত্বের বর্গ” হলো Δx² + Δy², আর দূরত্ব তার বর্গমূল। শুরুতে AB = ১০.০০০। সবুজ বিন্দু M মধ্যবিন্দু, এখানে (০, ১)।
3. A আর B-কে একই সমতলে (একই y) আনলে ঢাল ০ দেখাবে। একই খাড়া রেখায় (একই x) আনলে ঢাল “অসংজ্ঞায়িত”, কারণ খাড়া রেখার ঢাল হয় না। মাঝামাঝি অবস্থানে ঢাল = উল্লম্ব পরিবর্তন ÷ আনুভূমিক পরিবর্তন।
4. “অনুপাতে বিভক্তিকরণ” মোডে যাও। দুটো স্লাইডার m আর n ঠিক করে (শুরুতে ২ ও ৩)। রেখাংশ ৫টা সমান ধাপে ভাগ হয় আর P বসে A থেকে ২ ধাপ দূরে, (-০.৮০, ০.৪০)-এ। রিডিংয়ে AP ÷ PB আর m ÷ n মিলিয়ে দেখো; দুটো সমান।
5. “বহির্বিভক্তি” টিক দিলে P রেখাংশের বাইরে চলে যায়। এবার m = n করো: বহির্বিন্দুটা উধাও হয়ে যায়, কারণ তখন শূন্য দিয়ে ভাগ করতে হতো।
6. শেষে “সঞ্চারপথ (সমদূরবর্তী)” মোডে যাও। সবুজ রেখাটা A ও B থেকে সমান দূরের সব বিন্দুর সেট। কমলা বিন্দু P-কে রেখার এপার-ওপার টানো: PA আর PB তখনই সমান যখন P ঠিক রেখার ওপর, আর সিদ্ধান্তে বলে কোন দিক কাছে।

গ্রিডের ওপর একটা রোবট

ভাবো একটা মেঝে বর্গাকার টাইলে মোড়া, আর তার ওপর একটা রোবট। তুমি বললে “চার টাইল ডানে, তিন টাইল ওপরে”, রোবট ঠিক জানে কোথায় থামবে। এবার কঠিন প্রশ্ন: শুরুর বিন্দু থেকে শেষ বিন্দু সোজা কত দূর, টাইল বেয়ে নয়? বা ঠিক মাঝখানের বিন্দুটা কোথায়? বা এক-তৃতীয়াংশ পথের বিন্দুটা?

স্কেল ছাড়াই স্থানাঙ্ক জ্যামিতি এসবের উত্তর দেয়। ১৬০০ সালের দিকে রেনে দেকার্তের বড় ধারণাটা ছিল প্রতিটি বিন্দুকে দুটো সংখ্যা দিয়ে চেনানো। বিন্দু যখন সংখ্যার জোড়া, তখন রেখা একটা সমীকরণ, বৃত্ত একটা সমীকরণ, আর জ্যামিতির ধাঁধা এমন হিসাব হয়ে যায় যা ক্যালকুলেটর শেষ করে দিতে পারে।

শূন্য থেকে স্থানাঙ্ক: অক্ষ, মূলবিন্দু ও চতুর্ভাগ

একটা আনুভূমিক সংখ্যারেখা আঁকো, x-অক্ষ, আর একটা খাড়া রেখা, y-অক্ষ। এরা যেখানে কাটে সেটা মূলবিন্দু, অর্থাৎ (0, 0)। সমতলের প্রতিটি বিন্দুর একটা ক্রমজোড় (x, y): x বলে x-অক্ষ বরাবর কতটা যেতে হবে (ডানে ধনাত্মক, বাঁয়ে ঋণাত্মক), আর y বলে ওপরে বা নিচে কতটা।

ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। (3, 2) মানে তিন ধাপ ডানে আর দুই ধাপ ওপরে। (2, 3) সম্পূর্ণ অন্য জায়গা। দুই অক্ষ সমতলকে চার ভাগে কাটে, যাদের নম্বর ডান-ওপর থেকে ঘড়ির কাঁটার উল্টো দিকে।

দূরত্বের সূত্র: ছদ্মবেশে পিথাগোরাস

A(x₁, y₁) থেকে B(x₂, y₂)-এর সোজা দূরত্ব বের করতে কিছু মাপতে হয় না। বরং A থেকে B-তে দুই চালে যাও: প্রথমে পাশে Δx = x₂ − x₁, তারপর ওপরে বা নিচে Δy = y₂ − y₁। এই দুই চাল একটা সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু, আর সোজা রেখা AB তার অতিভুজ।

সিমুলেশনে ড্যাশ-করা বাহু আর সমকোণের চিহ্ন দিয়ে ত্রিভুজটা আঁকা আছে। পিথাগোরাস বলে অতিভুজের বর্গ = দুই বাহুর বর্গের যোগফল, তাই বর্গমূল নিলেই দূরত্ব। বর্গ করায় ঋণাত্মক চিহ্ন চলে যায়, তাই কোনটাকে A বলছ সেটা বিষয় নয়।

মধ্যবিন্দু: শুধু স্থানাঙ্কের গড়

AB-র মধ্যবিন্দু M ঠিক মাঝখানের বিন্দু। x-এ মাঝখান মানে দুই x-এর গড়, y-এ মাঝখান মানে দুই y-এর গড়। এর বেশি কিছু নেই।

সিমুলেশনে A বা B টানলে সবুজ বিন্দু M সরে যায়। শুরুতে সেটা (০, ১)-এ: x-গুলো যোগ করে অর্ধেক, y-গুলো যোগ করে অর্ধেক।

ঢাল: রেখাটা কতটা খাড়া?

A আর B দিয়ে যাওয়া রেখার ঢাল m হলো উল্লম্ব পরিবর্তন ÷ আনুভূমিক পরিবর্তন: ডানে এক একক গেলে রেখা কতটা ওঠে। ডানে ওপরে উঠলে ঢাল ধনাত্মক, নিচে নামলে ঋণাত্মক, সমতল রেখার ঢাল ০, আর খাড়া রেখার ঢাল নেই কারণ আনুভূমিক পরিবর্তন ০ আর ০ দিয়ে ভাগ চলে না।

ঢাল থেকে দুই রেখার সম্পর্কও বোঝা যায়। সমান্তরাল রেখার ঢাল সমান। লম্ব রেখার ঢালের গুণফল −১, যেমন ২ আর −১/২।

বিভক্তিকরণ সূত্র: রেখাংশকে অনুপাতে কাটা

কখনো ঠিক মাঝখান চাই না। জরিপকারী সীমানার এক-তৃতীয়াংশ পথে একটা খুঁটি পুঁততে চান। খেলার ডিজাইনার চান শত্রু ফটক থেকে মিনারের দুই-পঞ্চমাংশ পথে হাজির হোক। এটাই রেখাংশ AB-কে m : n অনুপাতে ভাগ করা।

ভাবো AB কাটা হয়েছে m + n সমান ধাপে। বিন্দু P, A থেকে m ধাপ আর B থেকে n ধাপ দূরে। ধাপগুলো সমান বলে P হলো A আর B-র ভারযুক্ত গড়: B-র ভার m, A-র ভার n, তারপর m + n দিয়ে ভাগ। সিমুলেশন ধাপগুলোর দাগ এঁকে দেয়, যাতে গুনে দেখা যায়।

সঞ্চারপথ: দুই বিন্দু থেকে সমান দূরের সব বিন্দু

সঞ্চারপথ হলো একটা শর্ত মানে এমন সব বিন্দুর পথ। শর্ত ধরো “A থেকে আর B থেকে সমান দূরে”। কয়েকটা বিন্দু পরখ করো: মধ্যবিন্দু M মানে। M-এর ঠিক ওপরের বিন্দুও মানে, নিচেরটাও। সবগুলো জুড়লে M দিয়ে AB-এর ওপর লম্ব একটা সরলরেখা পাওয়া যায়: লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

সিমুলেশনে কমলা বিন্দু P টানো। PA আর PB দূরত্ব দেখাচ্ছে। দুটো সমান হলে P ঠিক সবুজ রেখার ওপর, আর সিদ্ধান্ত সবুজ হয়। রেখার এক পাশে P, A-র কাছে; অন্য পাশে B-র কাছে। ছোট সবুজ বিন্দু Q রেখা বেয়ে চলে, যেখানেই যাক QA আর QB সমান থাকে।

সমীকরণ পেতে PA² = PB² লিখে বিস্তার করো। x² আর y² কাটাকাটি হয়ে যায়, বাকি থাকে একটা সরলরেখা: Δx · x + Δy · y = (|B|² − |A|²) ÷ 2, যেখানে |B|² মানে x₂² + y₂²। রিডিংয়ে তোমার বিন্দুর জন্য সমীকরণটা লেখা থাকে।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

পাঁচটা ছোট পরীক্ষা সূত্রগুলোকে হাতে-কলমে বুঝিয়ে দেবে। শুধু পড়ো না, বিন্দু আর স্লাইডার নাড়াও।

• B-কে এমন জায়গায় টানো যাতে Δx = ৩ আর Δy = ৪। দূরত্ব ঠিক ৫। এবার Δx = ৫, Δy = ১২ করলে ১৩।
• A ও B-কে একই আনুভূমিক রেখায় আনো। দূরত্ব শুধু |Δx| আর ঢাল ০। খাড়া রেখায় আনলে ঢাল অসংজ্ঞায়িত।
• “অনুপাতে বিভক্তিকরণ”-এ m = n করো। P মধ্যবিন্দুতে বসে। m বাড়াও আর দেখো P ক্রমে B-র দিকে সরছে।
• “বহির্বিভক্তি” টিক দিয়ে m = ৩, n = ২ করো। P লাফ দিয়ে B-র ওপারে যায়। AP ÷ PB তবু m ÷ n, কিন্তু P রেখাংশের বাইরে।
• “সঞ্চারপথ”-এ P-কে কোনাকুনি টানো আর PA, PB দেখো। লম্বসমদ্বিখণ্ডক কাটে এমন প্রতিটি রেখায় ঠিক একটা বিন্দুতেই দুটো সমান।

সমাধান করা অঙ্ক

নিচের প্রতিটি উত্তর সিমুলেশনের একই ফাংশন দিয়ে হিসাব করা।

সচরাচর ভুল

এই ভুলগুলোতে প্রতি বছর নম্বর কাটা যায়। খাতা জমা দেওয়ার আগে মিলিয়ে নাও।

• ঋণাত্মক পার্থক্যের বর্গ করতে ভুলে যাওয়া। (−৪)² হলো ১৬, −১৬ নয়, ৪-ও নয়।
• দূরত্বের সূত্রে x আর y-এর বিয়োগ আলাদা ক্রমে করা। বর্গে চিহ্ন চাপা পড়ে, তবু প্রতিটি জোড়া নিজের মধ্যে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে।
• বিভক্তিকরণ সূত্রে ভার উল্টে ফেলা। B-র সঙ্গে m আর A-র সঙ্গে n, উল্টো নয়।
• বহির্বিভক্তিতে m = n হলে m − n দিয়ে ভাগ করা। এমন কোনো বিন্দু নেই।
• ঢালকে আনুভূমিক ÷ উল্লম্ব লেখা, বা খাড়া রেখার ঢাল ০ বলা। এটা অসংজ্ঞায়িত; সমতল রেখার ঢাল ০।

বাস্তব জীবনে স্থানাঙ্ক

প্রতিটি ম্যাপ অ্যাপ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি। তোমার ফোন অবস্থানকে সংখ্যার জোড়ায় বদলায়, জোড়াগুলোর দূরত্ব মাপে আর “মাঝামাঝি দেখা করি” সাজেশনের জন্য মধ্যবিন্দু বের করে। ভিডিও গেমে প্রতিটি চরিত্র স্থানাঙ্ক, আর সংঘর্ষ ধরা মানে সেকেন্ডে হাজারবার দূরত্বের সূত্র চালানো।

প্রকৌশলীরা সেতু আর রাস্তা স্থানাঙ্ক গ্রিডে নকশা করেন, স্থপতিরা দেয়াল-দরজার অবস্থানও তাই করেন। বিভক্তিকরণ সূত্র সীমানার এক-তৃতীয়াংশ পথে খুঁটি বসায়, আর সঞ্চারপথের ধারণা ঠিক করে দুই গ্রামের সমান দূরে নতুন স্কুল কোথায় হবে।

কম্পিউটার গ্রাফিক্স, রোবটিক্স, এমনকি আবহাওয়ার পূর্বাভাসও একই ধারণায় চলে: জগৎটাকে সংখ্যা দিয়ে বর্ণনা করো, তারপর হিসাব করো।

পরীক্ষার কোণ

নবম থেকে একাদশ শ্রেণির স্থানাঙ্কের প্রশ্ন বেশির ভাগই পাঁচ ধরনের। লেখা শুরুর আগে ধরনটা চিনে নাও।

• দূরত্ব: AB বের করা, বা দূরত্ব তুলনা করে ত্রিভুজ সমদ্বিবাহু, সমবাহু বা সমকোণী প্রমাণ করা।
• মধ্যবিন্দু: মধ্যবিন্দু বের করা, বা হারানো প্রান্ত অথবা প্যারামিটার নির্ণয়।
• ঢাল: সমান্তরাল, লম্ব বা সমরেখ বিন্দু যাচাই।
• বিভক্তিকরণ সূত্র: অনুপাতে ভাগ, অনুপাত নির্ণয়, বা অক্ষ রেখাকে কোথায় কাটে।
• সঞ্চারপথ: দুই বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সমীকরণ।

দ্রুত পুনরালোচনা

এই পাতা থেকে কিছু মনে রাখতে হলে এই লাইনগুলো রাখো।

• দূরত্ব মানে Δx আর Δy বাহুর ওপর পিথাগোরাস।
• মধ্যবিন্দু গড়; বিভক্তিকরণ বিন্দু ভারযুক্ত গড়।
• সমান্তরাল: ঢাল সমান। লম্ব: গুণফল −১।

সচরাচর জিজ্ঞাসা