পূর্ণবর্গ পদ্ধতি: টালি এঁকে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান | শিক্ষা ওয়েব

Q: পূর্ণবর্গ পদ্ধতি কাকে বলে?

x² + bx + c-কে (x + b/2)² এবং একটি ধ্রুবক আকারে লেখাকে পূর্ণবর্গ পদ্ধতি বলে। (b/2)² যোগ-বিয়োগ করে x-এর পদগুলোকে পূর্ণবর্গ বানানো হয়। x² + ৬x + ৫-এর ফল (x + ৩)² − ৪।

Q: কেন (b/2)² যোগ করা হয়?

কারণ x² বর্গের চারপাশে b/2 চওড়া দুটি অর্ধেক ফালি জড়ালে যে কোণটা ফাঁকা থাকে, তার ক্ষেত্রফল (b/2)²। ওটা যোগ করলে বর্গ ঠিক পূর্ণ হয়।

Q: a ≠ ১ হলে কী করব?

আগে সব পদকে a দিয়ে ভাগ করো। ২x² + ৮x − ১০-এর ক্ষেত্রে হয় x² + ৪x − ৫। পূর্ণবর্গ করার পর a দিয়ে গুণ করলে ২(x + ২)² − ১৮ পাবে।

Q: উৎপাদকে বিশ্লেষণের চেয়ে কখন এটা ভালো?

যখন মূল পূর্ণসংখ্যা নয়, যখন শীর্ষবিন্দু দরকার, বা যখন রাশিটা পূর্ণসংখ্যায় উৎপাদকে ভাঙে না। উৎপাদক কেবল তখনই কাজ করে যখন উৎপাদকগুলো চোখে পড়ে।

Q: এভাবে দ্বিঘাত সূত্র কীভাবে প্রমাণ হয়?

অক্ষর দিয়ে একবার করো। a দিয়ে ভাগ, দুই পাশে (b/2a)² যোগ, তারপর বর্গমূল নিলেই x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a পাওয়া যায়।

Q: দ্বিঘাত সমীকরণের কি বাস্তব মূল না-ও থাকতে পারে?

হ্যাঁ। কোণ (b/2a)² যদি c/a-এর চেয়ে ছোট হয়, ডান পাশ ঋণাত্মক হয় আর বর্গ তার সমান হতে পারে না। x² + ৪x + ৯ একটি উদাহরণ, Δ = −২০।

Q: পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কীভাবে বের করব?

পূর্ণবর্গ করো। a(x + h)² + k আকারে শীর্ষবিন্দু (−h, k)। x² + ৬x + ৫-এর শীর্ষবিন্দু (−৩, −৪)।

x² বর্গbx ফালিলাল টালি = ঋণাত্মকফাঁকা কোণধ্রুবক পদ

পূর্ণবর্গের হিসাব

১. x-এর সহগের অর্ধেকb / 2a = ৬ / ২ = ৩; (৩)² = ৯
২. পূর্ণবর্গ আকারেx² + ৬x + ৫ = (x + ৩)² − ৯ + ৫ = (x + ৩)² − ৪
৩. শীর্ষবিন্দু(−৩, −৪)
৪. মূলΔ = ৬² − 4×১×৫ = ১৬; x = −৫, −১

গতি

নিয়ন্ত্রণ

x-এর সহগ, b৬

ধ্রুবক পদ, c৫

ধাপ (০ থেকে ৪)০

x²-এর সহগ a ≠ ১ রাখোহিসাব ধাপে ধাপে দেখাও

পরিমাপ

সমীকরণ: x² + ৬x + ৫ = 0
x-এর সহগের অর্ধেক: ৩
ফাঁকা কোণের ক্ষেত্রফল: ৯
পূর্ণবর্গ আকার: (x + ৩)² − ৪
শীর্ষবিন্দু: (−৩, −৪)
নিশ্চায়ক, Δ: ১৬
মূল: −৫, −১
মূলের ধরন: দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

কিছু ছোঁয়ার আগে টালিগুলো দেখো। সিমুলেশন খুলেই x² + ৬x + ৫ দেখাবে। বড় নীল বর্গটি x², পাশের ফালিটি ৬x, আর সবুজ ব্লকটি ধ্রুবক পদ ৫। ▶ চাপলে ফালিটি আধাআধি কেটে এক অংশ বর্গের নিচে চলে যায় আর একটি ফাঁকা কোণ দেখা দেয়।
“ধাপ” স্লাইডারটা ০ থেকে ৪-এ টেনে নিজের হাতে এগোও। ধাপ ১-এ ফালি দুভাগ হয়, ধাপ ২-এ ৯ ক্ষেত্রফলের ফাঁকা কোণ ভরাট হয়, ধাপ ৩-এ পূর্ণবর্গ (x + ৩)² তৈরি হয়, আর ধাপ ৪-এ ছোট লেখচিত্রে মূল −৫, −১ চোখে পড়ে।
b ঋণাত্মক করে দেখো। ফালিটা লাল হয়ে যায়, মানে ঋণাত্মক টালি। কিন্তু কোণের ক্ষেত্রফল ধনাত্মকই থাকে, কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গ ধনাত্মক। বিজোড় b নিলে অর্ধেক ফালির মাপ ভগ্নাংশ হয়।
c বদলাও। লেখচিত্রের নিচের ছোট দুটি বর্গ লক্ষ করো। কমলা (b/2)² বর্গ ধ্রুবকের চেয়ে বড় হলে পরাবৃত্ত x-অক্ষকে কাটে। ছোট হলে বক্ররেখা অক্ষের উপরে ভাসে আর লেখা আসে “বাস্তব মূল নেই”।
“x²-এর সহগ a ≠ ১ রাখো” টিক দিলে সহগ a যুক্ত হয়। টালি তখন a দিয়ে ভাগ করার পরের রাশির, পরীক্ষার খাতায় প্রথম লাইনটাও ঠিক এটাই।
“হিসাব ধাপে ধাপে দেখাও” চালু রাখো। নিচে তোমার সংখ্যা দিয়েই অর্ধেক, কোণ, পূর্ণবর্গ, শীর্ষবিন্দু আর মূলের হিসাব আসবে।

আল-খোয়ারিজমি সত্যিই বর্গ পূর্ণ করেছিলেন

প্রায় ৮২০ সালে বাগদাদে পণ্ডিত আল-খোয়ারিজমি যে বই লেখেন, তার নাম থেকেই “অ্যালজেবরা” শব্দটা এসেছে। বইয়ের শুরুর দিকের একটি অঙ্ক: একটি বর্গ আর ১০টি মূল মিলে ৩৯। এখনকার প্রতীকে x² + ১০x = ৩৯। তাঁর হাতে অক্ষর বা ঋণাত্মক সংখ্যা ছিল না, তাই তিনি ছবি এঁকে সমাধান করতেন।

x বাহুর একটি বর্গ আঁকো। একপাশে আর নিচে ৫ চওড়া দুটি ফালি জুড়ে দাও, কারণ ১০-এর অর্ধেক ৫। তিন টুকরো মিলে ক্ষেত্রফল ৩৯, কিন্তু কোণে একটা ছোট বর্গ বাদ পড়ে আছে, বাহু ৫, ক্ষেত্রফল ২৫। ওটা ছবিতে বসালে ৩৯-এর সাথেও যোগ করতে হবে। বড় বর্গের ক্ষেত্রফল হলো ৬৪, তাই বাহু ৮।

বাহুটি x + ৫, তাই x = ৮ − ৫ = ৩। মিলিয়ে দেখো: ৩² + ১০×৩ = ৩৯। ঋণাত্মক উত্তর −১৩ তখন নেওয়া হতো না, কারণ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না, কিন্তু আমরা এখন সেটাও রাখি। এই পাতা সেই ছবিটাকেই চালু করে দিয়েছে।

একদম শুরু থেকে: পূর্ণবর্গ রাশি

পূর্ণবর্গ মানে কিছু একটাকে নিজের সাথে গুণ। আগে সংখ্যায়: ২৫ = ৫ × ৫। বীজগণিতে (x + ৩)-কে নিজের সাথে গুণ করলে x² + ৩x + ৩x + ৯ = x² + ৬x + ৯। মাঝের দুটি ৩x মিলে একটি ৬x হয়ে যায়।

উত্তরটা ভালো করে দেখলে একটা নিয়ম ধরা পড়ে। মাঝের সহগ বন্ধনীর সংখ্যার দ্বিগুণ, আর শেষ পদ সেই সংখ্যার বর্গ। উল্টোদিক থেকে ভাবলেই পূর্ণবর্গ পদ্ধতির রেসিপি: x-এর সহগের অর্ধেকের বর্গ যোগ করলেই রাশিটা পূর্ণবর্গ হয়।

বর্গ	বিস্তৃত রূপ
(x + ১)²	x² + ২x + ১
(x + ২)²	x² + ৪x + ৪
(x + ৩)²	x² + ৬x + ৯
(x + ৪)²	x² + ৮x + ১৬
(x + ৫)²	x² + ১০x + ২৫

যেসব পরিভাষা দরকার

টেবিলটা হাতের কাছে রাখো। সৃজনশীলের জ্ঞানমূলক প্রশ্ন আসে এখান থেকেই।

পরিভাষা	অর্থ
দ্বিঘাত সমীকরণ	ax² + bx + c = 0 আকারের সমীকরণ, যেখানে a ≠ 0
মূল	x-এর যে মান সমীকরণকে সিদ্ধ করে, একে সমাধানও বলে
পূর্ণবর্গ	(x + h)² আকারের রাশি
পূর্ণবর্গ পদ্ধতি	x² + bx + c-কে (x + b/2)² এবং একটি ধ্রুবক আকারে লেখা
শীর্ষবিন্দু	পরাবৃত্তের বাঁক নেওয়ার বিন্দু, সবচেয়ে নিচু বা সবচেয়ে উঁচু বিন্দু
শীর্ষবিন্দু আকার	a(x + h)² + k, যেখানে শীর্ষবিন্দু (−h, k)
নিশ্চায়ক	Δ = b² − 4ac, যা বলে কয়টি বাস্তব মূল আছে
প্রতিসাম্য অক্ষ	শীর্ষবিন্দুগামী খাড়া রেখা x = −b/2a

টালির ছবি: সিমুলেশনে কী দেখছ

x-কে একটি অজানা দৈর্ঘ্য ভাবো। x বাহুর বর্গের ক্ষেত্রফল x², নীল টালি। x লম্বা আর ১ চওড়া ফালির ক্ষেত্রফল x। এমন b-টি ফালি পাশাপাশি রাখলে হয় bx ক্ষেত্রফলের একটি ফালি, দ্বিতীয় রঙের। ধ্রুবক c হলো c-টি একক বর্গের সবুজ ব্লক।

টালি ধনাত্মক হলে গাঢ় রঙের, ঋণাত্মক হলে লাল। b ঋণাত্মক হলে পুরো ফালি লাল হয়। ফালির দৈর্ঘ্য একই থাকে, রং শুধু চিহ্নটা মনে করিয়ে দেয়।

ফালি আধাআধি করো

ফালির ক্ষেত্রফল ৬x, মানে চওড়া ৬, লম্বা x। লম্বালম্বি কেটে ৩ চওড়া দুটি ফালি বানাও। একটি বর্গের ডানে লাগাও, অন্যটি নিচে। ▶ চাপলে দ্বিতীয় অংশটাকে ঘুরে আসতে দেখবে।

ফাঁকা কোণ

এখন L-আকৃতির ডান-নিচে একটা খাঁজ। সেটি ৩ বাহুর বর্গ, ক্ষেত্রফল ৩² = ৯। ভরাট করলে ছবিটা x + ৩ বাহুর পূর্ণবর্গ হয়।

ভরাট করতে ৯ লাগল, তাই অভেদে সেটা ফেরত দিতে হবে: x² + ৬x = (x + ৩)² − ৯।

ধ্রুবক কোথায় যায়

ধ্রুবক ৫ কখনো বর্গের অংশ ছিল না, সে পাশে পাশে চলে। শেষে x² + ৬x + ৫ = (x + ৩)² − ৯ + ৫ = (x + ৩)² − ৪। সিমুলেশনের ডানের ছোট দুটি বর্গ কোণ আর ধ্রুবকের তুলনা দেখায়: কোনটা বড়, তাই ঠিক করে পরাবৃত্ত অক্ষের নিচে নামবে কি না।

বীজগণিতে ধাপে ধাপে

রেসিপিটা পাঁচ লাইনে লিখে ফেলি। উদাহরণ x² + ৬x + ৫ = ০, সিমুলেশনের শুরুর সমীকরণ।

ধাপ ১: x²-এর সহগ ১ বানাও

a ≠ ১ হলে পুরো সমীকরণকে a দিয়ে ভাগ করো। ছাত্রছাত্রীরা এই লাইনটাই সবচেয়ে বেশি ভোলে। আমাদের উদাহরণে a = ১, তাই কিছু বদলায় না। পরের উদাহরণে a = ২, সেখানে সত্যি সত্যি ভাগ করব।

ধাপ ২: x-এর সহগের অর্ধেকের বর্গ

৬-এর অর্ধেক ৩, তার বর্গ ৯। এটাই ফাঁকা কোণের ক্ষেত্রফল।

(b/2)² = (৩)² = ৯যে সংখ্যা যোগ ও বিয়োগ করব

ধাপ ৩: যোগ এবং বিয়োগ করো

শুধু ৯ যোগ করলে মান বদলে যায়, তাই যোগ-বিয়োগ দুটোই করি। তখন প্রথম তিন পদ পূর্ণবর্গ।

x² + ৬x + ৫ = (x² + ৬x + ৯) − ৯ + ৫মান অপরিবর্তিত

ধাপ ৪: বন্ধনীটাকে বর্গ লেখো

বন্ধনীর ভেতরটা x + ৩-এর বর্গ, তাই রাশিটা দাঁড়ায় (x + ৩)² − ৪।

x² + ৬x + ৫ = (x + ৩)² − ৪শীর্ষবিন্দু আকার

ধাপ ৫: সমাধান করো বা শীর্ষবিন্দু পড়ো

x² + ৬x + ৫ = ০ সমাধান করতে ধ্রুবক ডানে সরাও: (x + ৩)² = ৯ − ৫ = ২²। দুই পাশে বর্গমূল নাও, প্লাস-মাইনাস দুটোই ধরো, তারপর ৩ বিয়োগ করো: x = −৫, −১। শীর্ষবিন্দু (−৩, −৪), অর্থাৎ বক্ররেখার সবচেয়ে নিচু বিন্দু।

দ্বিঘাত সূত্রটা কোথা থেকে এলো

বিখ্যাত সূত্রটা জাদু নয়। এটা অক্ষর দিয়ে একবার করে ফেলা পূর্ণবর্গ পদ্ধতি, যাতে আর কখনো করতে না হয়। নিচের ছয় লাইন দেখো, প্রতিটি আগেরটা থেকে একটি চালে এসেছে।

ax² + bx + c = 0যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ, a ≠ ০

x² + (b/a)x + c/a = 0a দিয়ে ভাগ

x² + (b/a)x + (b/2a)² = (b/2a)² − c/aদুই পাশে (b/2a)² যোগ

(x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a²বাম পাশ পূর্ণবর্গ, ডান পাশ একত্র করা

x + b/2a = ± √(b² − 4ac) / 2aবর্গমূল নিয়ে দুই চিহ্নই ধরা

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2ab/2a সরিয়ে 2a হরে বসানো: সূত্র তৈরি

সিমুলেশনে নিজে চেষ্টা করো

পাঁচটি পরীক্ষা। প্রতিটিতে এক মিনিটের কম লাগে, আর প্রতিটিই পরীক্ষায় আসে।

রিসেট করে c স্লাইডার ৯-এ আনো। কোণ আর ধ্রুবক সমান হয়ে যায়, Δ = ০, আর একটাই মূল −৩। পরাবৃত্ত x-অক্ষকে শুধু ছুঁয়ে যায়।
c বাড়িয়ে ১৩ করো। ধ্রুবক এবার কোণের চেয়ে বড়। Δ = −১৬, বক্ররেখা অক্ষের উপরে ভাসে, মূলের ঘরে লেখা আসে “বাস্তব মূল নেই”।
b = −৬ করো। ফালি লাল হয়, বন্ধনী হয় (x − ৩)²। শীর্ষবিন্দু ডানে সরে x = ৩-এ যায়।
b = ০ করো। কাটার মতো ফালি নেই, কোণও নেই, আর x² + c = ০ আগে থেকেই বর্গ। এটা সহজতম বিশেষ ক্ষেত্র।
a-এর টগল চালু করে a = ২ দাও। a দিয়ে ভাগের পর টালি নতুন করে আঁকা হয়, কিন্তু রিডিংয়ে মূল সমীকরণই থাকে। ভাগ করলে মূল বদলায় না, তবে শীর্ষবিন্দুর উচ্চতা আবার a দিয়ে গুণ হয়ে ফিরে আসে।

সমাধান করা উদাহরণ

নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের একই কোড দিয়ে হিসাব করা, তাই পর্দায় প্রতিটি লাইন মিলিয়ে নিতে পারো।

উদাহরণ ১: x² + ৬x + ৫ = ০ সমাধান করো

৬-এর অর্ধেক ৩, বর্গ ৯। তাই x² + ৬x + ৫ = (x + ৩)² − ৯ + ৫ = (x + ৩)² − ৪। শূন্যের সমান ধরলে (x + ৩)² = ২², অর্থাৎ x + ৩ = ± ২। অতএব x = −৫ অথবা x = −১।

উদাহরণ ২: মাঝের পদ ঋণাত্মক

x² − ৮x + ৭ = ০ সমাধান করো। −৮-এর অর্ধেক −৪, বন্ধনীতে সেই অর্ধেকের চিহ্নই বসে: (x − ৪)²। কোণ ১৬, তাই x² − ৮x + ৭ = (x − ৪)² − ৯। তারপর (x − ৪)² = ৩², আর x = ১ অথবা x = ৭।

উদাহরণ ৩: বাস্তব মূল নেই

x² + ৪x + ৯ = ০ সমাধান করো। কোণ ৪, আর x² + ৪x + ৯ = (x + ২)² + ৫। বর্গ কখনো ঋণাত্মক হয় না, অথচ (x + ২)² ঋণাত্মক সংখ্যার সমান হতে হচ্ছে: অসম্ভব। বাস্তব মূল নেই, Δ = −২০ও তা-ই বলছে। শীর্ষবিন্দু (−২, ৫) অক্ষের উপরে।

উদাহরণ ৪: x²-এর সহগ ১ নয়

২x² + ৮x − ১০ = ০ সমাধান করো। আগে ২ দিয়ে ভাগ: x² + ৪x − ৫ = ০। কোণ ৪, তাই x² + ৪x − ৫ = (x + ২)² − ৯। এরপর (x + ২)² = ৩², অতএব x = −৫ অথবা x = ১। শীর্ষবিন্দু আকারে ২x² + ৮x − ১০ = ২(x + ২)² − ১৮।

উদাহরণ ৫: মূল পূর্ণসংখ্যা নয়

x² + ৫x + ৩ = ০ সমাধান করো। ৫-এর অর্ধেক ৫/২, বর্গ ২৫/৪। তাই x² + ৫x + ৩ = (x + ৫/২)² − ১৩/৪। শূন্য ধরলে (x + ৫/২)² = ২৫/৪ − ৩, আর x = (−৫ ± √১৩) / ২। দশমিকে x ≈ −৪.৩০ অথবা x ≈ −০.৭০। প্রশ্নে দশমিক না চাইলে করণী আকারেই রাখো।

উদাহরণ ৬: সর্বনিম্ন মান

x² − ৬x + ১৩-এর ক্ষুদ্রতম মান কত? পূর্ণবর্গ করে পাই x² − ৬x + ১৩ = (x − ৩)² + ৪। বর্গ কখনো শূন্যের নিচে নামে না, তাই ক্ষুদ্রতম মান ৪, যা x = ৩-এ পাওয়া যায়।

উদাহরণ ৭: k-এর মান

k-এর কোন মানের জন্য x² + kx + ৯ = ০ সমীকরণের মূল দুটি সমান? মূল সমান মানে কোণ ধ্রুবকের সমান: (k/2)² = ৯, অতএব k = ± ৬।

b = ৬ হলে দ্বিঘাত রাশি	Δ = b² − 4ac	মূলের ধরন	মূল
x² + ৬x + ৫	১৬	দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল	−৫, −১
x² + ৬x + ৯	০	দুটি সমান মূল	−৩
x² + ৬x + ১৩	−১৬	বাস্তব মূল নেই	—

সচরাচর ভুল

নম্বর কাটা যায় এই জায়গাগুলোয়। প্রতিটির দ্রুত সমাধান পাশে দেওয়া।

a দিয়ে ভাগ করতে ভুলে যাওয়া। a ≠ ১ হলে ধ্রুবকসহ পুরো সমীকরণ ভাগ করো, নইলে কোণ ভুল আসবে।
চিহ্ন ভুল বসানো। বন্ধনী x + b/2, x − b/2 নয়। b ঋণাত্মক হলে বন্ধনী হয় (x − কিছু)², আর মূল হয় x = + কিছু ± ব্যবধান।
কোণ যোগ করে বিয়োগ করতে ভুলে যাওয়া। সমীকরণের এক পাশে (b/2)² যোগ করলে অন্য পাশেও করতে হবে।
b/2-এর বদলে b-এর বর্গ নেওয়া। কোণ (b/2)², b² নয়।
বর্গমূল নেওয়ার সময় ± ফেলে দেওয়া। দুটি চিহ্নই একটি করে মূল দেয়, একটি হারালে অর্ধেক উত্তর হারাবে।
ডান পাশ ঋণাত্মক হলেও মূল লিখে ফেলা। বর্গ ঋণাত্মক সংখ্যার সমান হলে বাস্তব মূল নেই।

একটি সমীকরণের বাইরেও এর কাজ

শীর্ষবিন্দু আকারই আসল লাভ। x² + ৬x + ৫-এর শীর্ষবিন্দু (−৩, −৪), শুধু (x + ৩)² − ৪ পড়েই বলা যায়। ধনাত্মক সহগে পরাবৃত্ত উপরে খোলে, তখন এটা সর্বনিম্ন মান। ঋণাত্মক সহগে নিচে খোলে, তখন সর্বোচ্চ মান।

নির্দিষ্ট বেড়ায় সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল

এক কৃষকের ৪০ মিটার বেড়া, আয়তক্ষেত্রের এক বাহু x। ক্ষেত্রফল x(২০ − x) = −x² + ২০x। পূর্ণবর্গ করে পাই −(x − ১০)² + ১০০, তাই সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার, x = ১০-এ। অর্থাৎ ক্ষেত্রটা বর্গাকার।

বৃত্তের সমীকরণ

একই চাল x² + y² + Dx + Ey + F = ০-কে বৃত্তে বদলে দেয়। x² + y² − ৬x + ৪y − ১২ = 0-এর জন্য x ও y দুটিতেই পূর্ণবর্গ করো: (x + ৩)² + (y − ২)² = ২৫। কেন্দ্র (৩, −২), ব্যাসার্ধ ৫।

ক্যালকুলাস ও পদার্থবিজ্ঞান

1/(x² + bx + c)-এর সমাকলনে পূর্ণবর্গ লাগে। ছোড়া বলের উচ্চতা h = −৫t² + ২০t + ১ বন্ধনী শূন্য হলে সর্বোচ্চ হয়। যেখানেই কিছু উঠে আর নামে, সেখানেই একটা শীর্ষবিন্দু।

পরীক্ষার কোণ

SSC গণিত, উচ্চতর গণিত আর HSC-তে দ্বিঘাত সমীকরণ বারবার আসে। সৃজনশীলে প্রায়ই “পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করো” বা “সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করো” থাকে। নম্বর যায় লেখার গোছানো ধাপে।

a ≠ ১ হলে “a দিয়ে ভাগ” আলাদা লাইনে লেখো।
কাজে লাগানোর আগে কোণ (b/2a)² স্পষ্ট করে লেখো।
“= (x + …)² − …” লাইনটা অবশ্যই দেখাও। এই লাইনেই পদ্ধতির নম্বর।
দশমিক না চাইলে মূল করণীতে রাখো, চাইলে কত ঘর পর্যন্ত তা লেখো।
মূলের প্রকৃতি জানতে চাইলে সমাধানের আগে নিশ্চায়ক Δ লেখো।

দ্রুত পুনরাবৃত্তি

পরীক্ষার আগে দেয়ালে সেঁটে রাখার মতো সারকথা।

পূর্ণবর্গ: (x + h)² = x² + 2hx + h²।
x² + bx পূর্ণবর্গ করতে (b/2)² যোগ করো।
x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c।
ax² + bx + c-এর শীর্ষবিন্দু: (−b/2a, c − b²/4a)।
মূল: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a।
Δ > ০ হলে দুটি বাস্তব মূল, Δ = ০ হলে সমান দুটি মূল, Δ < ০ হলে বাস্তব মূল নেই।
b ঋণাত্মক হলে ফালি লাল, বন্ধনীতে বিয়োগ চিহ্ন, কিন্তু কোণ একই।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

পূর্ণবর্গ পদ্ধতি কাকে বলে?

x² + bx + c-কে (x + b/2)² এবং একটি ধ্রুবক আকারে লেখাকে পূর্ণবর্গ পদ্ধতি বলে। (b/2)² যোগ-বিয়োগ করে x-এর পদগুলোকে পূর্ণবর্গ বানানো হয়। x² + ৬x + ৫-এর ফল (x + ৩)² − ৪।

কেন (b/2)² যোগ করা হয়?

কারণ x² বর্গের চারপাশে b/2 চওড়া দুটি অর্ধেক ফালি জড়ালে যে কোণটা ফাঁকা থাকে, তার ক্ষেত্রফল (b/2)²। ওটা যোগ করলে বর্গ ঠিক পূর্ণ হয়।

a ≠ ১ হলে কী করব?

আগে সব পদকে a দিয়ে ভাগ করো। ২x² + ৮x − ১০-এর ক্ষেত্রে হয় x² + ৪x − ৫। পূর্ণবর্গ করার পর a দিয়ে গুণ করলে ২(x + ২)² − ১৮ পাবে।

উৎপাদকে বিশ্লেষণের চেয়ে কখন এটা ভালো?

যখন মূল পূর্ণসংখ্যা নয়, যখন শীর্ষবিন্দু দরকার, বা যখন রাশিটা পূর্ণসংখ্যায় উৎপাদকে ভাঙে না। উৎপাদক কেবল তখনই কাজ করে যখন উৎপাদকগুলো চোখে পড়ে।

এভাবে দ্বিঘাত সূত্র কীভাবে প্রমাণ হয়?

অক্ষর দিয়ে একবার করো। a দিয়ে ভাগ, দুই পাশে (b/2a)² যোগ, তারপর বর্গমূল নিলেই x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a পাওয়া যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের কি বাস্তব মূল না-ও থাকতে পারে?

হ্যাঁ। কোণ (b/2a)² যদি c/a-এর চেয়ে ছোট হয়, ডান পাশ ঋণাত্মক হয় আর বর্গ তার সমান হতে পারে না। x² + ৪x + ৯ একটি উদাহরণ, Δ = −২০।

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কীভাবে বের করব?

পূর্ণবর্গ করো। a(x + h)² + k আকারে শীর্ষবিন্দু (−h, k)। x² + ৬x + ৫-এর শীর্ষবিন্দু (−৩, −৪)।

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

Cover letter examples (ইংরেজিতে)

আরও গণিত অ্যানিমেশন

Class 8 · SSC

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্য কাকে বলে, সূত্র c² = a² + b², অষ্টম ও নবম-দশম শ্রেণির প্রমাণ, বিপরীত উপপাদ্য, পিথাগোরীয় ত্রয়ী ও সমাধানসহ অঙ্ক: ত্রিভুজ টেনে নিজে দেখো।

SSC · HSC

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও একক বৃত্ত

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কাকে বলে, sin cos tan-এর মান ০° থেকে ৩৬০°, আদর্শ কোণের টেবিল, চতুর্ভাগের চিহ্ন ও সূত্র: একক বৃত্তে বিন্দু ঘুরিয়ে নিজে দেখো, সমাধানসহ।

SSC · HSC

দ্বিঘাত সমীকরণ ও দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র

দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে, উৎপাদক ও বর্গপূর্ণকরণ পদ্ধতি, শ্রীধর আচার্যের সূত্র, নিশ্চায়ক দিয়ে মূলের প্রকৃতি, শীর্ষবিন্দু ও পরাবৃত্তের লেখচিত্র অ্যানিমেশনে।

SSC

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য সহজে: কেন্দ্রস্থ ও বৃত্তস্থ কোণ, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, বৃত্তীয় চতুর্ভুজ, জ্যা ও স্পর্শক। SSC-র প্রমাণ আর সমাধানসহ অঙ্ক, বিন্দু টেনে নিজে দেখো।

SSC

দূরত্ব ও উচ্চতা: উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ কাকে বলে, দূরত্ব ও উচ্চতার সূত্র কীভাবে কাজ করে, আর দুই দফা পর্যবেক্ষণে না মেপেই টাওয়ারের উচ্চতা বের করা যায় কীভাবে — ইন্টারঅ্যাকটিভ সিমুলেশন ও সমাধানসহ।

SSC

সম্ভাবনা: পরীক্ষালব্ধ বনাম তাত্ত্বিক সম্ভাবনা

একটি একটি টালি বসিয়ে দ্বিঘাত রাশিকে পূর্ণবর্গ বানাও

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

আল-খোয়ারিজমি সত্যিই বর্গ পূর্ণ করেছিলেন

একদম শুরু থেকে: পূর্ণবর্গ রাশি

যেসব পরিভাষা দরকার

টালির ছবি: সিমুলেশনে কী দেখছ

ফালি আধাআধি করো

ফাঁকা কোণ

ধ্রুবক কোথায় যায়

বীজগণিতে ধাপে ধাপে

ধাপ ১: x²-এর সহগ ১ বানাও

ধাপ ২: x-এর সহগের অর্ধেকের বর্গ

ধাপ ৩: যোগ এবং বিয়োগ করো

ধাপ ৪: বন্ধনীটাকে বর্গ লেখো

ধাপ ৫: সমাধান করো বা শীর্ষবিন্দু পড়ো

দ্বিঘাত সূত্রটা কোথা থেকে এলো

সিমুলেশনে নিজে চেষ্টা করো

সমাধান করা উদাহরণ

উদাহরণ ১: x² + ৬x + ৫ = ০ সমাধান করো

উদাহরণ ২: মাঝের পদ ঋণাত্মক

উদাহরণ ৩: বাস্তব মূল নেই

উদাহরণ ৪: x²-এর সহগ ১ নয়

উদাহরণ ৫: মূল পূর্ণসংখ্যা নয়

উদাহরণ ৬: সর্বনিম্ন মান

উদাহরণ ৭: k-এর মান

সচরাচর ভুল

একটি সমীকরণের বাইরেও এর কাজ

নির্দিষ্ট বেড়ায় সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল

বৃত্তের সমীকরণ

ক্যালকুলাস ও পদার্থবিজ্ঞান

পরীক্ষার কোণ

দ্রুত পুনরাবৃত্তি

সচরাচর জিজ্ঞাসা

পূর্ণবর্গ পদ্ধতি কাকে বলে?

কেন (b/2)² যোগ করা হয়?

a ≠ ১ হলে কী করব?

উৎপাদকে বিশ্লেষণের চেয়ে কখন এটা ভালো?

এভাবে দ্বিঘাত সূত্র কীভাবে প্রমাণ হয়?

দ্বিঘাত সমীকরণের কি বাস্তব মূল না-ও থাকতে পারে?

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কীভাবে বের করব?

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

এসএসসি গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

নবম-দশম শ্রেণির গণিত বই

এসএসসি উচ্চতর গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

এইচএসসি উচ্চতর গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত বই

ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতি

জাবি গাণিতিক ও পদার্থবিষয়ক অনুষদ ভর্তি

Paragraph: Artificial Intelligence (ইংরেজিতে)

রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা

এসএসসি সাজেশন

এইচএসসি সাজেশন

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার গাইড

এসএসসি সিলেবাস

এইচএসসি সিলেবাস

GRE Quantitative Reasoning guide (ইংরেজিতে)

Digital SAT Math guide (ইংরেজিতে)

বিদেশে পড়াশোনার স্কলারশিপ

Compound interest calculator (ইংরেজিতে)

Data scientist resume example (ইংরেজিতে)

Cover letter examples (ইংরেজিতে)

আরও গণিত অ্যানিমেশন

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও একক বৃত্ত

দ্বিঘাত সমীকরণ ও দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য

দূরত্ব ও উচ্চতা: উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ

সম্ভাবনা: পরীক্ষালব্ধ বনাম তাত্ত্বিক সম্ভাবনা

সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা

গড়, মধ্যক ও প্রচুরক

সেট ও ভেনচিত্র

সরল সহসমীকরণ ও সরলরেখার লেখচিত্র

sin, cos, tan-এর লেখচিত্র

বৃত্তের ক্ষেত্রফল: সূত্র, প্রমাণ ও সমাধান

ঘনবস্তুর আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল: ঘনক, আয়তঘন, বেলন, কোণক, গোলক

সদৃশ ত্রিভুজ: স্কেল ফ্যাক্টর, AA, SSS, SAS শর্ত ও ছায়া থেকে উচ্চতা

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: দূরত্ব, মধ্যবিন্দু, ঢাল, বিভক্তিকরণ সূত্র ও সঞ্চারপথ

শাঙ্কব ছেদ: বৃত্ত, উপবৃত্ত, পরাবৃত্ত ও অধিবৃত্ত

ফাংশনের রূপান্তর: সরানো, টানা ও উল্টানো

অন্তরীকরণ: স্পর্শকের ঢাল ও ছেদক থেকে স্পর্শক