পাশের ট্রেনটা ধীরে চলে কেন, আর সাঁতারু কীভাবে নদীকে হারায়?

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. “দুই ট্রেন” দৃশ্য দিয়ে শুরু করো। ডিফল্টে A চলছে ২০ m/s আর B ১৫ m/s, উল্টো দিকে। আপেক্ষিক দ্রুতি দেখাচ্ছে ৩৫ m/s, মানে ১২৬ km/h।
2. দিক বদলে “একই দিকে” করো। আপেক্ষিক দ্রুতি নেমে দুই দ্রুতির বিয়োগফলে আসবে। B-কে A-র চেয়ে ধীর করলে পার হওয়ার সময় হয়ে যায় “কখনো না”।
3. “ট্রেন A-র চোখে” বেছে নাও। A পর্দায় থেমে যাবে, মাইলফলকগুলো পিছনে সরতে থাকবে। B তখন ঠিক আপেক্ষিক বেগেই চলে।
4. এবার “নদী পার হওয়া” দৃশ্য খোলো। কোণ শূন্য রেখে সরণ দেখো: সোজা ওপারের দিকে মুখ করলেও সোজা ওপারে নামা যায় না।
5. লক্ষ্য হিসেবে “সবচেয়ে ছোট পথ” দাও। সাঁতারু sin θ = u/v কোণে উজানের দিকে হেলে যায়, আর নামার বিন্দু সবুজ ড্যাশ-রেখার ওপর মিলে যায়।
6. স্রোতের দ্রুতি সাঁতারুর দ্রুতির চেয়ে বাড়িয়ে দাও। সোজা পার হওয়া তখন “সম্ভব নয়”, আর রিডিংয়ে দেখবে সবচেয়ে কম কতটা সরে যেতে হবে।

পাশের ট্রেনটা পিছনে গড়াচ্ছে মনে হয় কেন

স্টেশনে ট্রেনে বসে আছ। পাশের লাইনের ট্রেনটা নড়ে উঠল, আর এক মুহূর্তের জন্য মনে হলো তোমারটাই বুঝি পিছনে গড়াচ্ছে। তারপর প্ল্যাটফর্মের দিকে তাকালে দেখো সেটা স্থির, আর অনুভূতিটা ভেঙে যায়। আসলে কী হয়েছিল? তোমার দেখার জায়গাটা ছাড়া আর কিছুই নড়েনি।

এই ছোট ধাক্কাটাই পুরো অধ্যায়। গতি কখনো শূন্যের সাপেক্ষে মাপা হয় না। কিছু একটার সাপেক্ষে মাপতে হয়: মাটি, একটা ট্রেন, নদীর পানি। সেই কিছু একটা বদলালেই একই যাত্রার দ্রুতি বদলে যায়। পদার্থবিজ্ঞান একে বলে আপেক্ষিক বেগ।

পরীক্ষায় কেন দরকার? কারণ দুই ধরনের অঙ্ক ঘুরেফিরে আসে। একটায় দুটি ট্রেন পরস্পরকে পার হয়, আর বলতে হয় কত সময় লাগল। আরেকটায় সাঁতারু বা নৌকা নদী পার হয়, আর বের করতে হয় সময়, সরণ বা কোণ। দেখতে আলাদা, ভেতরে একই বিয়োগ।

বেগ নির্ভর করে কে দেখছে তার ওপর

দুটি বস্তু A আর B নাও, দুটোই মাটির সাপেক্ষে মাপা। B-র সাপেক্ষে A-র বেগ হলো v(A, B-র সাপেক্ষে) = v(A) − v(B)। কথায়: A যা করছে তা নাও, তারপর B যা করছে তা বাদ দাও। তুমি যদি B-র সঙ্গে চলো, তোমার চোখে B-র কোনো গতি নেই, তাই বাকি সবকিছু থেকেও B-র গতিটুকু কমে যায়।

সরলরেখায় দিকের বদলে চিহ্ন বসে। ডানদিক ধনাত্মক ধরো। ডানে ২০ m/s চলা ট্রেনের বেগ +২০, বাঁয়ে ১৫ m/s চলা ট্রেনের বেগ −১৫। তাহলে B থেকে দেখা A-র বেগ ২০ − (−১৫) = ৩৫ m/s। চিহ্নই কাজ করে দিল, তাই “যোগ করব নাকি বিয়োগ” আন্দাজ না করে সবসময় চিহ্ন লেখো।

প্রতিসাম্যটা খেয়াল করো। A থেকে দেখা B-র বেগ ঠিক উল্টো, −৩৫ m/s। দ্রুতি একই, দিক উল্টো। এটাই স্বাভাবিক: অন্য ট্রেনটা যদি তোমার দিকে ৩৫ m/s-এ আসে, তুমিও তার দিকে ৩৫ m/s-এ যাচ্ছ।

যে শব্দগুলো জানতেই হবে

এই অধ্যায়ের প্রায় প্রতিটি প্রশ্নে শব্দগুলো আসে। অর্থ আর একক একসঙ্গে শিখে রাখো।

দুই ট্রেন: একই দিকে নাকি উল্টো দিকে

নিয়মটা এক লাইনে। উল্টো দিকে চললে দ্রুতি যোগ হয়। একই দিকে চললে দ্রুতি বিয়োগ হয়। ব্যস। এটা ওপরের সূত্র থেকেই আসে: দুই বেগের চিহ্ন হয় এক, নয় আলাদা।

অনুভূতির সঙ্গে মেলে কি? হাইওয়েতে উল্টো দিক থেকে আসা বাসের পাশ দিয়ে যাওয়ার সময় বাসটা বিদ্যুতের মতো ছুটে যায়। আর তোমার দিকেই চলা ধীর ট্রাককে ওভারটেক করতে গেলে মনে হয় অনন্তকাল ধরে পাশাপাশি হামাগুড়ি দিচ্ছ। ট্রাকটা ধীর মনে হয় কারণ তুমি প্রায় ওর সমান গতিতেই চলছ।

সারণিতে চার জোড়া দ্রুতি আছে। প্রতিটি সংখ্যা কোডে হিসাব করা, সিমুলেশন যে সূত্র চালায় সেই সূত্রেই, তাই যেকোনো জোড়া স্লাইডারে বসালেই রিডিং মিলে যাবে। তৃতীয় সারিটা দেখো: একই দিকে সমান দ্রুতির দুই ট্রেনের আপেক্ষিক দ্রুতি শূন্য। কেউ কাউকে পার হয় না, সিমুলেশন বলে “কখনো না”।

ডিফল্টে A = ২০ m/s, B = ১৫ m/s, উল্টো দিকে। আপেক্ষিক দ্রুতি ২০ + ১৫ = ৩৫ m/s। অনুভূতির জন্য রূপান্তর করো: ৩৫ m/s মানে ১২৬ km/h। ক্রসিংয়ে দুই ট্রেনকে তাই এত ভয়ংকর দ্রুত লাগে।

পার হওয়ার সময়: দৈর্ঘ্য যোগ করো

পার হতে কত সময় লাগে? সামনের মাথা দুটো যখন মুখোমুখি হয় সেখান থেকে ধরো, শেষ অংশ দুটো যখন পরস্পরকে ছেড়ে যায় সেই পর্যন্ত। এই সময়ে ট্রেন দুটিকে একটা আরেকটার গা ঘেঁষে সরে যেতে হবে দুই দৈর্ঘ্যের যোগফল পরিমাণ। তাই সময় = মোট দৈর্ঘ্য ÷ আপেক্ষিক দ্রুতি।

দৈর্ঘ্য যোগ কেন? কল্পনা করো তুমি ট্রেন A-তে দাঁড়িয়ে। ট্রেন B আপেক্ষিক দ্রুতিতে তোমাকে পেরোচ্ছে। তার পুরো দৈর্ঘ্য আর তোমার নিজের ট্রেনের পুরো দৈর্ঘ্য পেরিয়ে গেলে তবেই পার হওয়া শেষ। সেটাই L₁ + L₂, প্রতি ট্রেনের জন্য একটি।

ডিফল্ট জোড়ায় মোট দৈর্ঘ্য ১৫০ + ১০০ m, আপেক্ষিক দ্রুতি ৩৫ m/s, তাই পার হতে ৭.১৪ s লাগে। “পুরোপুরি পার হতে সময়” রিডিংয়ের সঙ্গে মিলিয়ে নাও। দুই লাইনের মাঝের ছায়া-ফিতেটা ঠিক সেই অংশ দেখায় যেখানে বগি দুটো পাশাপাশি।

একই সূত্র প্ল্যাটফর্ম, সেতু বা খুঁটি পার হওয়ার বেলাতেও খাটে। প্ল্যাটফর্ম নড়ে না, তাই আপেক্ষিক দ্রুতি শুধু ট্রেনের নিজের দ্রুতি। খুঁটির দৈর্ঘ্য নেই, তাই শুধু ট্রেনের দৈর্ঘ্য ধরো। একই ধারণা, তিন রকম পোশাকে।

ট্রেন A-তে বসে দেখো: দুনিয়া ঘুরে যায়

সিমুলেশনে “ট্রেন A-র চোখে” দৃশ্যটা বাছো। A পর্দায় থেমে যায়। মাটিতে গাঁথা মাইলফলকগুলো এখন A-র দ্রুতিতে পিছনে সরতে থাকে। ট্রেন B চলে আপেক্ষিক বেগে।

এই কৌশলেই অঙ্ক সহজ হয়। দুটো চলন্ত ট্রেন সামলানোর বদলে নিজেকে একটার সঙ্গে আঠা দিয়ে লাগিয়ে নাও, আর সবকিছু থেকে সেটার বেগ বিয়োগ করো। এখন একটা ট্রেন স্থির, আরেকটার একটাই দ্রুতি। দুই বস্তুর সমস্যা এক বস্তুর সমস্যা হয়ে গেল।

“একই দিকে” অবস্থায় চেষ্টা করো। মাটির চোখে দুটো ট্রেনই ডানে যাচ্ছে, একটা একটু দ্রুত। A-র চোখে শুধু B চলছে, ধীরে, যেন পেছন থেকে হামাগুড়ি দিয়ে উঠছে। B-র নিচের তির সেই বেগ দেখায়, আর “এই চোখে B-র বেগ” রিডিংয়ে চিহ্নসহ মানটা আছে।

সাঁতারুর বেগ একসঙ্গে দুটো

এবার নদী। যে সাঁতারু স্থির পানিতে v দ্রুতিতে সাঁতরাতে পারে, সে ঝাঁপ দিল, আর নদী নিজে u দ্রুতিতে বইছে। পানি সাঁতারুকে টেনে নিয়ে যায়, সাঁতারু পানির ভেতর দিয়ে ঠেলে এগোয়। পাড় থেকে দেখলে দুটো চলনই একসঙ্গে ঘটে, তাই বেগ দুটো ভেক্টর হিসেবে যোগ হয়।

সাঁতারু সোজা ওপারের রেখা থেকে উজানের দিকে θ কোণে মুখ করল। তার নিজের বেগকে দুই ভাগ করো। নদী পার হওয়ার দিকে v cos θ। নদীর বরাবর উজানমুখী v sin θ। স্রোত ভাটিতে u যোগ করে। তাই নদী পারাপারের দিকে দ্রুতি v cos θ, আর পাড় বরাবর দ্রুতি u − v sin θ।

দুই দিক কখনো একে অন্যের পথে আসে না। পার হওয়ার সময় নির্ভর করে শুধু পারাপারের উপাংশের ওপর, কারণ ওপারের দিকে কত দ্রুত এগোচ্ছ তাতে স্রোতের কোনো ভূমিকা নেই। সরণ নির্ভর করে তুমি কত সময় নিলে আর পাড় বরাবর কত দ্রুত ভেসে গেলে তার ওপর।

সিমুলেশনের নিচের ডান কোণের ভেক্টর ত্রিভুজে এটাই দেখানো আছে: সবুজ তির পানিতে সাঁতারুর বেগ, নীল তির স্রোত, আর শুরু থেকে নীল তিরের মাথা পর্যন্ত লাল তির মাটির সাপেক্ষে আসল বেগ।

সবচেয়ে কম সময় নাকি সবচেয়ে ছোট পথ

এ দুটো আলাদা লক্ষ্য, আর দুটোর জন্য কোণও আলাদা। সবচেয়ে কম সময়ের জন্য চাই সবচেয়ে বড় আড়াআড়ি উপাংশ, তাই সোজা ওপারের দিকে মুখ করো, θ = 0। স্রোত যত জোরেই হোক সময় W ÷ v। খরচ হলো সরণ: স্রোত তোমাকে ভাটিতে টেনে নেবে।

সবচেয়ে ছোট পথের জন্য শুরুর ঠিক উল্টো বিন্দুতে নামতে হবে, মানে সরণ শূন্য। তার জন্য স্রোতকে কাটতে হবে: u − v sin θ = 0, অর্থাৎ sin θ = u ÷ v। উজানের দিকে মুখ করো। দাম দিতে হয় সময়ে, কারণ এখন চেষ্টার একটা অংশ ওপারের দিকে যাচ্ছে না।

ডিফল্ট নদী নাও: প্রস্থ ১০০ m, সাঁতারু ৪ m/s, স্রোত ২ m/s। সোজা ওপারে মুখ করলে ২৫.০ s লাগে আর ভাটিতে ৫০.০ m সরে নামে। সরণ-শূন্য কোণ উজানে ৩০.০ ডিগ্রি, সময় ২৮.৯ s, কারণ ওপারের দিকে কাজের দ্রুতি √(৪² − ২²) = ৩.৪৬ m/s।

নিচের সারণি ওই নদীতে কোণ বদলে দেখায়। উজানের দিকে যত হেলবে, সময় শুধু বাড়তেই থাকে। সরণ কমে সরণ-শূন্য কোণে শূন্যে পৌঁছায়; তার পরেও হেললে তুমি উজানের দিকে ছাড়িয়ে যাও, তখন সরণ ঋণাত্মক। মাটির সাপেক্ষে দ্রুতি লাল তিরের দৈর্ঘ্য।

সাঁতারু যখন স্রোতের চেয়ে দুর্বল

স্রোত যদি সাঁতারুর চেয়ে জোরালো হয়, u > v? তাহলে sin θ = u ÷ v এক-এর চেয়ে বড় হতো, যা অসম্ভব। কোনো কোণেই সরণ কাটানো যায় না। সাঁতারু সবসময় শুরুর বিন্দুর ভাটিতে নামবে। “সরাসরি ওপারের কোণ” রিডিং বলে “সম্ভব নয়”, আর সিমুলেশন তার বদলে সবচেয়ে কম সরণটা দেখায়।

সবচেয়ে কম সরণ বের করার সুন্দর কৌশল আছে: লব্ধি ত্রিভুজের নিয়ম মেনে যতটা সম্ভব সোজা ওপারের কাছাকাছি হতে হবে। সেরা কোণে sin θ = v ÷ u, আর সবচেয়ে কম সরণ W√(u² − v²) ÷ v। একটু পরের শেষ অঙ্কে দেখবে, তবু সে নদীর প্রস্থের চেয়েও বেশি দূরে ভাটিতে নামে।

চেষ্টা করো: সাঁতারুকে ১ m/s, স্রোতকে ৩ m/s করো, “সবচেয়ে ছোট পথ” বেছে নাও, আর দেখো লাল পথ ভাটির দিকে কতটা হেলে আছে, অথচ সাঁতারু স্রোতের উল্টো দিকে প্রায় পাশ ফিরে আছে।

সমাধান করা অঙ্ক

সাতটি অঙ্ক, সহজ থেকে শুরু করে যেটা মানুষকে ধোঁকা দেয় সেটা পর্যন্ত। প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের সূত্রেই হিসাব করা, তাই স্লাইডারে বসিয়ে সবগুলো মিলিয়ে দেখতে পারবে।

যে ভুলে নম্বর কাটা যায়

পরীক্ষার আগে তালিকাটা একবার দেখে নাও। প্রতিটি ভুলে কেউ না কেউ সত্যিই নম্বর হারিয়েছে।

• দৈর্ঘ্য মিটারে থাকলে km/h থেকে m/s-এ না বদলানো। ৩.৬ দিয়ে ভাগ করো, নয়তো সবকিছু km-এ রাখো।
• একই দিকে ওভারটেকে দ্রুতি যোগ করা। একই দিক মানে বিয়োগ।
• দুই ট্রেনের পার হওয়ায় শুধু একটির দৈর্ঘ্য ধরা। দুটোরই লাগে।
• খুঁটি পার হওয়ায় দৈর্ঘ্য যোগ করা। খুঁটির দৈর্ঘ্য নেই।
• নদীর অঙ্কে অক্ষ গুলিয়ে ফেলা: সময় আসে শুধু আড়াআড়ি উপাংশ থেকে।
• v < u হলে sin θ = u ÷ v লেখা। ওই কোণ নেই।
• θ মাপা পাড় থেকে, সোজা ওপারের রেখা থেকে নয়। উত্তরে কোন রেখা থেকে মেপেছ তা লেখো।

আর কোথায় আপেক্ষিক বেগ দেখা যায়

চলন্ত বাস থেকে বৃষ্টিকে তেরছা মনে হয়, যদিও সে সোজা নিচে পড়ছে: তোমার সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগ বৃষ্টির নিজের বেগ বিয়োগ বাসের বেগ। বিমানচালকেরা সাঁতারুর মতো একই ত্রিভুজ ব্যবহার করেন, স্রোতের জায়গায় থাকে বাতাস, আর পথ ধরে রাখতে বিমানের নাক বাতাসের দিকে হেলিয়ে রাখেন।

রাস্তায় মুখোমুখি সংঘর্ষের ভয়াবহতাও এখান থেকেই বোঝা যায়। প্রত্যেকে ১৫ m/s-এ উল্টো দিক থেকে এলে সংঘর্ষের দ্রুতি ৩০ m/s, কারণ আঘাতের দ্রুতিই আপেক্ষিক দ্রুতি। জ্যোতির্বিজ্ঞানে এই ধারণা আসে, আর পরে আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতায়, যেখানে খুব বেশি দ্রুতিতে সরল বিয়োগ আর খাটে না।

সচরাচর জিজ্ঞাসা