ওহমের সূত্রে না কুলালে: দুটি সহজ নিয়মে যেকোনো বর্তনী সমাধান করো

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. ডিফল্ট মান নিয়ে শুরু করো: ১২ V আর ৬ V-এর দুটি ব্যাটারি, রোধ ৪ Ω, ৩ Ω ও ৬ Ω। তিনটি তীর দেখাচ্ছে I₁ = ১.৩৩ A, I₂ = -০.২২ A, I₃ = ১.১১ A।
2. I₂-এর দিকে তাকাও। মানটা ঋণাত্মক, তাই তীর নিচের দিকে আর চার্জের বিন্দুগুলোও উল্টো দিকে চলছে। দুর্বল ব্যাটারিটাকে শক্তিশালী ব্যাটারি পেছন দিক থেকে ঠেলছে।
3. প্যানেলের প্রথম সারিটা দেখো, সেটা সংযোগ সূত্র। ওপরের সংযোগ বিন্দুতে ঢোকা দুই প্রবাহ যোগ করে I₃ বাদ দেওয়া হয়েছে। যে অবস্থানেই স্লাইডার রাখো, যোগফল শূন্য।
4. এরপর তিনটি লুপের সারি দেখো। প্রতিটিতে ব্যাটারির ভোল্টেজ থেকে বিভব পতনগুলো বিয়োগ করলে শূন্য হয়। E₂ ধীরে ধীরে বাড়াও: I₂ কমে শূন্য হয়, তারপর চিহ্ন বদলে ফেলে।
5. E₂ শূন্য করো। ডান ব্যাটারি উধাও, বর্তনী এখন একটা ব্যাটারি আর দুটি সমান্তরাল রোধ। নিচের তৃতীয় উদাহরণের সঙ্গে রিডিং মিলিয়ে নাও।
6. “ইলেকট্রন প্রবাহ” বেছে দেখো চার্জগুলো তীরের উল্টো দিকে চলে। তীর আর যোগফল বদলায় না, কারণ সেগুলো প্রচলিত প্রবাহ ধরে হিসাব করা।

একটা সূত্রে কেন কুলায় না

ওহমের সূত্র V = IR একটা রোধের জন্য একদম ঠিক। শ্রেণি আর সমান্তরাল সমবায়ের সূত্র দিয়ে একটু জটিল বর্তনীও হয়ে যায়। কিন্তু সিমুলেশনের বর্তনীটা দেখো। মাঝের রোধ R₃ দুটি ব্যাটারি ভাগ করে ব্যবহার করছে। সে কারও সঙ্গে শ্রেণিতেও নেই, সমান্তরালেও নেই। তাই “তুল্য রোধ” বের করে বর্তনী ছোট করার কৌশল এখানে খাটে না।

জার্মান পদার্থবিদ গুস্তাভ কির্শফ ১৮৪৫ সালে দুটি নিয়ম দিলেন, যেগুলো যত জটিল জালই হোক সবখানে কাজ করে। নিয়ম দুটি নতুন কোনো পদার্থবিদ্যা নয়। তুমি যা এমনিতেই মানো, সেটাকেই হিসাব করার মতো রূপ দেওয়া: চার্জ কোথাও জমে না, আর শক্তি শূন্য থেকে তৈরি হয় না।

পরীক্ষায় এগুলো আসে “প্রতিটি শাখার প্রবাহ নির্ণয় করো” ধরনের অঙ্কে, সাধারণত দুটি কোষ আর কয়েকটি রোধ নিয়ে। সমীকরণ সাজাতে পারলে বাকিটা স্কুলের বীজগণিত।

দুটি নিয়ম সহজ কথায়

সংযোগ সূত্র (তড়িৎ প্রবাহ সূত্র, KCL): বর্তনীর যেকোনো সংযোগ বিন্দুতে যত প্রবাহ ঢোকে, ঠিক ততই বেরিয়ে যায়। যেখানে তিন বা তার বেশি তার মেলে, সেটাই সংযোগ বিন্দু।

বদ্ধ পথ সূত্র (ভোল্টেজ সূত্র, KVL): যেকোনো বদ্ধ লুপ ধরে একবার ঘুরে এসে সব বিভব বৃদ্ধি আর পতন যোগ করলে যোগফল শূন্য। তুমি একই বিন্দুতে ফিরে এসেছ, তাই বিভবও আগের মানেই ফিরতে হবে।

সংযোগ সূত্র, সংখ্যা বসিয়ে

একটা সংযোগ বিন্দুতে ৫ A আর ৩ A ঢুকছে। বেরোচ্ছে ২ A আর আরও একটা অজানা প্রবাহ। ঢুকছে মোট ৫ + ৩ = ৮ A, তাই বেরোতেও হবে ৮ A। জানা বহির্গমন ২ A আর ১.৫ A, যোগ করলে ৩.৫ A। অতএব অজানা প্রবাহ ৮ − ৩.৫ = ৪.৫ A।

সিমুলেশনে ওপরের সংযোগ বিন্দুতে I₁ আর I₂ আসছে, I₃ যাচ্ছে। সূত্রটা তাই I₁ + I₂ = I₃, অর্থাৎ I₁ + I₂ − I₃ = 0। ডিফল্ট মানে ১.৩৩ + (-০.২২) − ১.১১ = 0।

খেয়াল করো, প্রবাহ আসলে কোন দিকে যায় তা আগে জানতে হয়নি। প্রতিটি প্রবাহের একটা দিক ধরে নাও, সূত্র লেখো, বাকিটা বীজগণিত বলে দেবে।

লুপ সূত্র আর চিহ্নের নিয়ম

নম্বর কাটা যায় সবচেয়ে বেশি চিহ্নে ভুল করে, তাই একটা পাকা অভ্যাস বানাও। লুপ ধরে হাঁটার একটা দিক ঠিক করো। তারপর যে উপাদানের ওপর দিয়ে যাচ্ছ, নিচের ছকে তার চিহ্ন দেখে নাও।

আগে একটা সরল লুপে হাতেখড়ি: ১২ V ব্যাটারি আর শ্রেণিতে ৩ Ω ও ৫ Ω। প্রবাহ ১২ ÷ (৩ + ৫) = ১.৫০ A। বিভব পতন ১.৫০ × ৩ = ৪.৫০ V আর ১.৫০ × ৫ = ৭.৫০ V। ঘুরে এসে: +১২ − ৪.৫০ − ৭.৫০ = 0। ব্যাটারি যতটা বিভব দিয়েছে, রোধ দুটো ঠিক ততটাই খরচ করেছে।

সব অঙ্কে চলে এমন পদ্ধতি

কির্শফের যেকোনো অঙ্কে এই ধাপগুলো মেনে চলো। এক মিনিটের কাজ, আর প্রতিবার একই।

• প্রতিটি শাখার প্রবাহের নাম দাও (I₁, I₂, I₃) আর প্রত্যেকটায় একটা তীর আঁকো। যেমন খুশি ধরো, ভুল ধরলে কোনো ক্ষতি নেই।
• একটা সংযোগ বিন্দুর জন্য সংযোগ সূত্র লেখো। দুই সংযোগ বিন্দুর ক্ষেত্রে দ্বিতীয় সমীকরণটা প্রথমটারই পুনরাবৃত্তি, তাই একটাই যথেষ্ট।
• এমন কয়েকটি স্বাধীন লুপ বেছে নাও যাতে প্রতিটি শাখা অন্তত একবার পড়ে। চিহ্নের ছক মেনে প্রতিটির জন্য লুপ সূত্র লেখো।
• এখন যতগুলো অজানা প্রবাহ, ততগুলো সমীকরণ। প্রতিস্থাপন বা নির্ণায়ক দিয়ে সমাধান করো।
• উত্তরের চিহ্ন দেখো। ধনাত্মক হলে তোমার ধরা দিক ঠিক ছিল। ঋণাত্মক হলে আসল প্রবাহ তোমার তীরের উল্টো দিকে, মান ঠিকই আছে।
• যে লুপটা ব্যবহার করোনি, তাতে বসিয়ে মিলিয়ে দেখো। যোগফল শূন্য না হলে কোথাও ভুল আছে।

সিমুলেশনের বর্তনী, হাতে সমাধান

ডিফল্ট মান E₁ = ১২ V, E₂ = ৬ V, R₁ = ৪ Ω, R₂ = ৩ Ω, R₃ = ৬ Ω। ধরে নিচ্ছি I₁ আর I₂ ব্যাটারির ভেতর দিয়ে ওপরের দিকে যায়, আর I₃ মাঝের শাখা দিয়ে নিচে নামে।

ঋণাত্মক প্রবাহের মানে কী

I₂ এসেছে -০.২২ A। এটা ভুল নয়। মানে ডান শাখায় আসল প্রবাহ ৬ V ব্যাটারির ভেতর দিয়ে নিচের দিকে, ধনাত্মক প্লেট থেকে ঋণাত্মক প্লেটে, ০.২২ A মানের প্রবাহ চলছে। ১২ V ব্যাটারি বেশি শক্তিশালী, সে দুর্বল ব্যাটারির ভেতর দিয়ে প্রবাহকে উল্টো দিকে ঠেলছে। ব্যাটারি চার্জ হওয়ার ঠিক এটাই নিয়ম।

ক্ষমতার হিসাবেও একই কথা। ১ নম্বর ব্যাটারি দিচ্ছে ১৬.০০ W। ২ নম্বরের E₂ × I₂ = -১.৩৩ W, ঋণাত্মক চিহ্নের মানে সে দিচ্ছে না, শুষে নিচ্ছে ১.৩৩ W। দুই ব্যাটারি মিলে সরবরাহ করছে ১৪.৬৭ W।

এই শক্তি যাচ্ছে কোথায়? রোধে তাপ হয়ে: R₁-এ ৭.১১ W, R₂-এ ০.১৫ W, R₃-এ ৭.৪১ W, মোট ১৪.৬৭ W। সরবরাহ আর তাপ সমান। লুপ সূত্রের শক্তির সংরক্ষণ এখানে অন্য দিক থেকে দেখা গেল।

আরও কয়েকটি গাণিতিক উদাহরণ

উদাহরণ ক (প্রতিসম বর্তনী): দুটি সমান ১০ V ব্যাটারি, বাইরের রোধ দুটি প্রত্যেকে ৫ Ω, মাঝের রোধ ১০ Ω। প্রতিসমতার জন্য I₁ = I₂, তাই I₃ = 2I₁। লুপ সূত্র দেয় ৫ I₁ + ১০ × 2I₁ = ১০, অতএব I₁ = I₂ = ০.৪০ A আর I₃ = ০.৮০ A। ওপরের সংযোগ বিন্দু নিচেরটার চেয়ে ৮.০০ V বেশি বিভবে।

উদাহরণ খ (একটাই ব্যাটারি): ২ নম্বর ব্যাটারি সরিয়ে নাও: E₁ = ১২ V, R₁ = ৪ Ω, R₂ = ৩ Ω, R₃ = ৬ Ω, আর E₂ = 0। এখন R₂ আর R₃ সমান্তরালে, তুল্য রোধ ২.০০ Ω। মোট রোধ ৪ + ২.০০ = ৬.০০ Ω, তাই I₁ = ২.০০ A। সংযোগ বিন্দুর ভোল্টেজ ২.০০ × ২.০০ = ৪.০০ V, সুতরাং I₃ = ০.৬৭ A আর I₂ = −১.৩৩ A। কির্শফের সূত্র আর শ্রেণি-সমান্তরালের পদ্ধতি একই উত্তর দেয়, আর ঋণাত্মক চিহ্ন শুধু বলছে R₂-এর প্রবাহ নিচের দিকে।

দ্বিতীয় পথ: সংযোগ বিন্দুর বিভব

এই বর্তনী আরেকভাবেও সমাধান করা যায়: ওপরের সংযোগ বিন্দুর বিভব ধরে নাও V। তখন ওহমের সূত্র থেকে প্রতিটি শাখার প্রবাহ পাওয়া যায়, আর সংযোগ সূত্র থেকে শুধু V-এর একটা সমীকরণ।

এখানে পরিবাহিতা যোগ করলে 1/৪ + 1/৩ + 1/৬ = ০.৭৫ S, আর ব্যাটারির পদ যোগ করলে ১২/৪ + ৬/৩ = ৫.০০ A। অতএব V = ৫.০০ ÷ ০.৭৫ = ৬.৬৭ V, এবং I₃ = V ÷ ৬ = ১.১১ A। একই উত্তর, তিনটির বদলে একটি সমীকরণে। যে বর্তনীতে অনেকগুলো সমান্তরাল শাখা কিন্তু সংযোগ বিন্দু মাত্র দুটি, সেখানে এটা কাজে লাগে।

সাধারণ ভুল

এই চারটি ভুলে সবচেয়ে বেশি নম্বর যায়।

• নিজের আঁকা তীরকে সত্যি দিক ভেবে বসা। ওটা অনুমান, উত্তরের চিহ্নই তাকে শুধরে দেয়।
• লুপে হাঁটার সময় E আর IR-এর চিহ্ন গুলিয়ে ফেলা। ব্যাটারি আর রোধ দুটোই দিক অনুযায়ী বিভব বাড়ায় বা কমায়।
• সংযোগ সূত্রে তিনটি প্রবাহকেই ঢুকছে লেখা। একটা ঋণাত্মক না হলে তিনটি একসঙ্গে ঢুকতে পারে না।
• ভাগাভাগির রোধে যে মিলিত প্রবাহ চলে তা ভুলে যাওয়া। লুপের সমীকরণে R₃-এর সঙ্গে গুণ হবে I₃, I₁ বা I₂ নয়।

পরীক্ষার কোণ

নম্বর সাধারণত এভাবে ভাগ হয়: সূত্র বা নিয়মের বিবৃতি, নামাঙ্কিত চিত্রসহ সঠিক সমীকরণ, সমাধান, আর দিক ও একক। তীরসহ পরিষ্কার চিত্রের জন্যই আলাদা নম্বর আছে।

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নে চাওয়া হয় সংযোগ সূত্র ও লুপ সূত্রের বিবৃতি এবং প্রতিটির পেছনের সংরক্ষণ নীতি (চার্জ ও শক্তি)। গাণিতিক প্রশ্নে সাধারণত দুটি কোষ আর তিনটি রোধ। হুইটস্টোন ব্রিজ এলে মনে রেখো সেটাও আসলে কির্শফের অঙ্ক, আর এই সিরিজের পরের অ্যানিমেশনে সেটা নিয়ে খেলা যাবে।

পরীক্ষার আগে ঝালিয়ে নেওয়ার তালিকা

পরীক্ষার আগে জোরে জোরে বলে দেখো।

• সংযোগ সূত্র: ঢোকা প্রবাহ = বেরোনো প্রবাহ, কারণ চার্জ সংরক্ষিত।
• লুপ সূত্র: বদ্ধ লুপে বিভব পরিবর্তনের যোগফল শূন্য, কারণ শক্তি সংরক্ষিত।
• রোধের ভেতর দিয়ে প্রবাহের দিকে গেলে −IR, উল্টো দিকে গেলে +IR।
• কোষের ভেতর দিয়ে − থেকে + এ গেলে +E, + থেকে − এ গেলে −E।
• যতগুলো অজানা প্রবাহ, ততগুলো স্বাধীন সমীকরণ লাগে।
• ঋণাত্মক উত্তর মানে সঠিক উত্তর, শুধু তীর উল্টো দিকে আঁকা হয়েছিল।
• আরেকটা লুপে বসিয়ে ফলাফল মিলিয়ে দেখো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা