প্রাস: বিচরণকাল, সর্বাধিক উচ্চতা ও পাল্লার অ্যানিমেশন | শিক্ষা ওয়েব

মঞ্চে টেনে তাক করো — দিক হলো কোণ, দৈর্ঘ্য হলো বেগ

গতিপথবেগউপাংশ vₓউপাংশ vᵧআগের নিক্ষেপ

গতি

নিয়ন্ত্রণ

আদিবেগ, v₀২০ m/s

নিক্ষেপণ কোণ, θ৪৫ °

নিক্ষেপ বিন্দুর উচ্চতা, h₀০ m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g (m/s²)

বেগ ভেক্টর দেখাওআনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ দেখাওআগের নিক্ষেপগুলো রাখো

পরিমাপ

সময়, t: ০.০০s
আনুভূমিক দূরত্ব, x: ০.০m
উচ্চতা, y: ০.০m
লব্ধি বেগ, v: ২০.০m/s
আনুভূমিক বেগ, vₓ: ১৪.১m/s
উল্লম্ব বেগ, vᵧ: ১৪.১m/s
সর্বাধিক উচ্চতা, H: ১০.২m
আনুভূমিক পাল্লা, R: ৪০.৮m
বিচরণকাল, T: ২.৮৯s

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

আদিবেগ ও নিক্ষেপণ কোণের স্লাইডার সরাও, অথবা মঞ্চে মাউস/আঙুল টেনে সরাসরি তাক করো — টানার দিক হলো কোণ, টানার দৈর্ঘ্য হলো বেগ।
“আগের নিক্ষেপগুলো রাখো” চালু রেখে ৩০° আর ৬০° কোণে দুবার ছুড়ে দেখো — পাল্লা একই হবে।
গ্রহ বদলে দেখো: চাঁদে g কম, তাই একই নিক্ষেপ অনেক দূরে ও অনেক উঁচুতে যায়।
সবুজ তীর (vₓ) পুরো পথে একই থাকে; লাল তীর (vᵧ) শীর্ষবিন্দুতে শূন্য হয়ে দিক বদলায়।
গতি ০.২৫× করে ধীরে দেখো, আর যেকোনো মুহূর্তে থামিয়ে পরিমাপ প্যানেলের মানগুলো খাতায় মিলিয়ে নাও।

ছক্কা, ছাদের বল আর ফোয়ারার পানি — সবই প্রাস

ক্রিকেট খেলায় ব্যাটসম্যান যখন বল উড়িয়ে ছক্কা মারে, খেয়াল করেছ বলটা সোজা রেখায় যায় না? প্রথমে উপরে ওঠে, একটা সময় থেমে যাওয়ার মতো মনে হয়, তারপর বাঁকা হয়ে মাঠের বাইরে গিয়ে পড়ে। এই বাঁকা পথটাই আজকের গল্পের নায়ক।

আবার ধরো, তুমি নিচ থেকে ছাদে দাঁড়ানো বন্ধুর দিকে একটা বল ছুড়ে দিলে। সোজা উপরে ছুড়লে বল তোমার মাথাতেই ফিরে আসবে, আর একদম সোজাসুজি সামনে ছুড়লে বল ছাদ পর্যন্ত উঠবেই না। তাই তুমি নিজের অজান্তেই একটা কোণে ছোড়ো — একটু উপরে, একটু সামনে। এই “কোণ বাছাই” আসলে প্রাসের পদার্থবিজ্ঞান।

পার্কের ফোয়ারার দিকে তাকাও — পানির প্রতিটা ধারা একটা সুন্দর বাঁকা খিলান বানায়। প্রতিটা পানির ফোঁটা আসলে একেকটা ছোট্ট প্রাস। বল, তীর, লাফ দেওয়া ব্যাঙ, ছুড়ে দেওয়া কাগজের বল — সবাই একই নিয়ম মানে। নিয়মটা বুঝে গেলে তুমি আগেই বলে দিতে পারবে বস্তুটা কত উঁচুতে উঠবে, কত দূরে পড়বে আর কতক্ষণ বাতাসে থাকবে।

একদম শুরু থেকে: প্রাস আসলে দুটো আলাদা গতি

প্রাস বোঝার সবচেয়ে বড় কৌশল হলো গতিটাকে দুই ভাগে ভেঙে ফেলা — একটা আনুভূমিক (ডানে-বামে), আরেকটা উল্লম্ব (উপরে-নিচে)। মজার ব্যাপার হলো, এই দুটো গতি একে অপরের খবরই রাখে না। প্রত্যেকে নিজের মতো চলে, আর দুটো মিলে তৈরি হয় বাঁকা পথ।

আনুভূমিক দিকে কী ঘটে? বল ছুড়ে দেওয়ার পর সামনে ঠেলার মতো আর কেউ নেই, আবার পেছনে টানার মতোও কেউ নেই (বাতাসের বাধা আপাতত ভুলে যাও)। নিউটনের প্রথম সূত্র বলে, বল না থাকলে বেগ বদলায় না। তাই আনুভূমিক বেগ পুরো পথে একই থাকে — প্রতি সেকেন্ডে বল সামনে একই দূরত্ব এগোয়।

উল্লম্ব দিকে গল্প আলাদা। এখানে পৃথিবী সারাক্ষণ বলকে নিচে টানছে। তাই উপরে ওঠার বেগ প্রতি সেকেন্ডে প্রায় ৯.৮ m/s করে কমতে থাকে, একসময় শূন্য হয় (এটাই শীর্ষবিন্দু), তারপর বল নিচে পড়তে শুরু করে আর নামার বেগ প্রতি সেকেন্ডে ৯.৮ m/s করে বাড়তে থাকে।

এবার দুটো মিলাও: সামনে সমান তালে এগোনো + উপরে উঠে আবার নেমে আসা। সময়ের সাথে সামনে যাওয়া বাড়ে সমানভাবে, কিন্তু উচ্চতা বদলায় সময়ের বর্গের মতো। এমন দুটো জিনিস মিললে যে বাঁকা রেখা হয়, গণিতে তার নাম পরাবৃত্ত (parabola)। এজন্যই প্রাসের পথ সবসময় পরাবৃত্তাকার।

একটা দারুণ পরীক্ষা ভাবো: একই উচ্চতা থেকে একটা বল তুমি হাত থেকে শুধু ছেড়ে দিলে, আর একই মুহূর্তে আরেকটা বল জোরে পাশের দিকে ছুড়ে দিলে। কোনটা আগে মাটিতে পড়বে? উত্তর — দুটোই একসাথে! কারণ পড়ার ব্যাপারটা শুধু উল্লম্ব গতির, আর উল্লম্ব দিকে দুটো বলই শূন্য বেগ থেকে একই g নিয়ে পড়ছে। পাশের দিকের বেগ শুধু বলটাকে দূরে নিয়ে যায়, পড়াকে দ্রুত বা ধীর করে না।

প্রাসের গুরুত্বপূর্ণ শব্দগুলো

সূত্রে ঢোকার আগে শব্দগুলো পরিষ্কার করে নিই। পরীক্ষায় “কাকে বলে” প্রশ্ন এগুলো থেকেই আসে।

শব্দ	প্রতীক	সহজ ভাষায় অর্থ	একক
প্রাস	—	তির্যকভাবে ছোড়া বস্তু, যা শুধু অভিকর্ষের প্রভাবে চলে	—
আদিবেগ	v₀	ছোড়ার মুহূর্তে বস্তুর বেগ	m/s
নিক্ষেপণ কোণ	θ	আদিবেগ আনুভূমিকের সাথে যে কোণ করে	ডিগ্রি (°)
বিচরণকাল	T	ছোড়া থেকে মাটিতে পড়া পর্যন্ত মোট সময়	s
সর্বাধিক উচ্চতা	H	প্রাস সবচেয়ে উপরে যতটুকু ওঠে	m
আনুভূমিক পাল্লা	R	ছোড়ার বিন্দু থেকে পড়ার বিন্দু পর্যন্ত আনুভূমিক দূরত্ব	m
গতিপথ	—	প্রাস যে বাঁকা পথে চলে; এটি একটি পরাবৃত্ত	—
অভিকর্ষজ ত্বরণ	g	পৃথিবী প্রতি সেকেন্ডে বেগ যতটা বাড়ায়/কমায় (≈ ৯.৮)	m/s²

সূত্রগুলো ধাপে ধাপে বের করি

মুখস্থ না করে সূত্রগুলো নিজে বের করতে পারলে পরীক্ষায় ভুলের ভয় থাকে না। ধরো ভূমি থেকে v₀ বেগে θ কোণে একটা বস্তু ছোড়া হলো, আর বাতাসের বাধা নেই। উপরের দিক ধনাত্মক ধরছি।

ধাপ ১: বেগকে দুই ভাগে ভাঙো

আদিবেগ v₀ একটা তির্যক তীর। একে আনুভূমিক আর উল্লম্ব উপাংশে ভাঙলে ত্রিকোণমিতি থেকে পাই:

vₓ = v₀cosθআনুভূমিক উপাংশ — সারা পথে ধ্রুব

vᵧ₀ = v₀sinθউল্লম্ব উপাংশের শুরুর মান

vᵧ = v₀sinθ − gtt সময় পরে উল্লম্ব বেগ

ধাপ ২: শীর্ষে পৌঁছাতে কত সময়?

শীর্ষবিন্দুতে বস্তু আর উপরে ওঠে না, তাই সেখানে উল্লম্ব বেগ শূন্য। vᵧ = 0 বসালে v₀sinθ − gt = 0, অর্থাৎ শীর্ষে ওঠার সময় t = v₀sinθ/g।

ওঠা আর নামা একই অভিকর্ষে, একই উচ্চতা পার হয়ে ঘটে — তাই নামতেও ঠিক একই সময় লাগে। দুটো যোগ করলেই বিচরণকাল।

t(শীর্ষ) = v₀sinθ / g

T = 2v₀sinθ / gবিচরণকাল

ধাপ ৩: সর্বাধিক উচ্চতা

উল্লম্ব দিকে v² = u² − 2gh সমীকরণটা ব্যবহার করো। শীর্ষে শেষবেগ v = 0 এবং আদিবেগ u = v₀sinθ, তাই 0 = v₀²sin²θ − 2gH।

H = v₀²sin²θ / 2gসর্বাধিক উচ্চতা

ধাপ ৪: আনুভূমিক পাল্লা

আনুভূমিক দিকে বেগ ধ্রুব, তাই দূরত্ব = বেগ × সময়। পুরো বিচরণকাল T ধরে vₓ বেগে চললে R = v₀cosθ × 2v₀sinθ/g। আর 2sinθcosθ = sin2θ — এই ত্রিকোণমিতিক অভেদটা বসালেই সুন্দর সূত্রটা পাই।

R = v₀²sin2θ / gআনুভূমিক পাল্লা

ধাপ ৫: গতিপথের সমীকরণ — কেন পরাবৃত্ত

x = v₀cosθ·t থেকে t = x/(v₀cosθ)। এটা y = v₀sinθ·t − ½gt² সমীকরণে বসালে t উধাও হয়ে যায়, থাকে শুধু x আর y।

ফলাফল y = ax − bx² ধরনের, যেখানে a আর b ধ্রুবক। x-এর দ্বিঘাত সমীকরণ মানেই পরাবৃত্ত — এটাই প্রমাণ যে প্রাসের পথ পরাবৃত্তাকার।

y = x·tanθ − gx² / (2v₀²cos²θ)গতিপথের সমীকরণ

ধাপ ৬: কেন ৪৫° কোণে পাল্লা সর্বাধিক

R = v₀²sin2θ/g সূত্রে v₀ আর g ঠিক থাকলে পাল্লা শুধু sin2θ-এর উপর নির্ভর করে। sin-এর সবচেয়ে বড় মান ১, যা আসে 2θ = ৯০° হলে, অর্থাৎ θ = ৪৫°।

সহজ ভাষায়: খুব খাড়া ছুড়লে বল অনেক সময় বাতাসে থাকে কিন্তু সামনে এগোয় কম; খুব চ্যাপ্টা ছুড়লে সামনে দ্রুত যায় কিন্তু তাড়াতাড়ি মাটিতে পড়ে যায়। ৪৫° হলো এই দুইয়ের সবচেয়ে ভালো আপস।

Rmax = v₀² / gθ = 45° হলে

ধাপ ৭: পূরক কোণে একই পাল্লা

θ আর (৯০° − θ) কোণ দুটোর জন্য sin2θ আর sin(১৮০° − 2θ) সমান, কারণ sin(১৮০° − x) = sin x। তাই ২০° আর ৭০°, কিংবা ৩০° আর ৬০° কোণে ছুড়লে বল একই জায়গায় পড়ে — তবে বড় কোণেরটা বেশি উঁচুতে ওঠে আর বেশি সময় নেয়।

ধাপ ৮: উঁচু জায়গা থেকে আনুভূমিকভাবে ছুড়লে

ছাদ থেকে একটা বল সোজা সামনে (θ = ০°) ছুড়লে উল্লম্ব আদিবেগ শূন্য। তখন পড়ার সময় ঠিক ছেড়ে দেওয়া বলের মতোই: h = ½gt²। আর এই সময়ে বল সামনে যায় u × t।

t = √(2h / g)পড়ার সময়

x = u·√(2h / g)মাটিতে পড়ার আনুভূমিক দূরত্ব

সিমুলেশনে নিজে পরীক্ষা করে দেখো

উপরের অ্যানিমেশনটা শুধু দেখার জিনিস না, এটা তোমার ছোট্ট ল্যাবরেটরি। নিচের পরীক্ষাগুলো একটা একটা করে করো আর প্রতিবার আগে অনুমান করো কী হবে — তারপর মিলিয়ে দেখো।

পরীক্ষা ১: বেগ ২০ m/s রেখে কোণ ১৫°, ৩০°, ৪৫°, ৬০°, ৭৫° করে ছোড়ো। কোন কোণে পাল্লা সবচেয়ে বেশি?
পরীক্ষা ২: “আগের নিক্ষেপগুলো রাখো” চালু করে ৩০° আর ৬০° পাশাপাশি দেখো — দুটো পথ একই বিন্দুতে নামে।
পরীক্ষা ৩: কোণ ঠিক রেখে বেগ দ্বিগুণ করো (১০ থেকে ২০ m/s)। পাল্লা দ্বিগুণ না চারগুণ হলো? সূত্রে v₀² আছে বলে চারগুণ হওয়ার কথা।
পরীক্ষা ৪: পৃথিবী থেকে চাঁদে যাও। একই নিক্ষেপ কতগুণ দূরে যায়? বৃহস্পতিতে কী ঘটে?
পরীক্ষা ৫: উচ্চতা h₀ বাড়িয়ে দাও। এবার দেখবে ৪৫° আর সেরা কোণ থাকে না — উঁচু থেকে ছুড়লে একটু কম কোণেই বেশি দূরে যায়।
পরীক্ষা ৬: অ্যানিমেশন থামিয়ে শীর্ষবিন্দুতে লাল তীর (vᵧ) খোঁজো — সেখানে তীরটা নেই, কিন্তু সবুজ তীর (vₓ) ঠিকই আছে।

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান

এবার হাতে-কলমে। প্রতিটা সমাধান ধাপে ধাপে লেখা, আর সংখ্যাগুলো সিমুলেশনে বসিয়ে তুমি নিজেই যাচাই করতে পারবে। সব জায়গায় g = ৯.৮ m/s² ধরা হয়েছে।

সমস্যা ১: ২০ m/s বেগে ৪৫° কোণে ছোড়া বল

প্রশ্ন: একটা বল ২০ m/s বেগে আনুভূমিকের সাথে ৪৫° কোণে ছোড়া হলো। বিচরণকাল, সর্বাধিক উচ্চতা ও পাল্লা কত?

প্রথমে উপাংশ: vₓ = ২০ × cos৪৫° = ১৪.১৪ m/s এবং vᵧ₀ = ২০ × sin৪৫° = ১৪.১৪ m/s।

বিচরণকাল T = 2 × ১৪.১৪ / ৯.৮ = ২.৮৯ s। শীর্ষে পৌঁছাতে লাগে এর অর্ধেক, ১.৪৪ s।

সর্বাধিক উচ্চতা H = (১৪.১৪)² / (2 × ৯.৮) = ১০.২০ m, আর পাল্লা R = ২০² × sin৯০° / ৯.৮ = ৪০.৮২ m। যেহেতু কোণ ৪৫°, এটাই এই বেগে সর্বোচ্চ পাল্লা।

সমস্যা ২: ৩০° আর ৬০° — পূরক কোণের তুলনা

প্রশ্ন: একই ২০ m/s বেগে একবার ৩০° আর একবার ৬০° কোণে ছোড়া হলো। কোনটা বেশি দূরে যাবে?

৩০°-এ: R = ৩৫.৩৫ m, H = ৫.১০ m, T = ২.০৪ s। ৬০°-এ: R = ৩৫.৩৫ m, H = ১৫.৩১ m, T = ৩.৫৩ s।

দেখলে তো, পাল্লা হুবহু সমান! পার্থক্যটা উচ্চতা আর সময়ে — ৬০°-এর বল তিনগুণ উঁচুতে ওঠে আর অনেক বেশি সময় বাতাসে থাকে। ফিল্ডার ধরার সুযোগ বেশি পায় কোন বলে, বলো তো?

সমস্যা ৩: ছাদ থেকে সোজা সামনে ছোড়া বল

প্রশ্ন: ২০ m উঁচু ছাদ থেকে একটা বল ১০ m/s বেগে আনুভূমিকভাবে ছোড়া হলো। বলটা কতক্ষণে, কত দূরে মাটিতে পড়বে?

পড়ার সময় t = √(2 × ২০ / ৯.৮) = ২.০২ s। এই সময়ে সামনে যায় x = ১০ × ২.০২ = ২০.২০ m।

মাটি ছোঁয়ার মুহূর্তে উল্লম্ব বেগ gt = ১৯.৮ m/s আর আনুভূমিক বেগ তখনও ১০ m/s, তাই লব্ধি বেগ √(১০² + ১৯.৮²) = ২২.২ m/s।

সমস্যা ৪: নির্দিষ্ট পাল্লার জন্য কোণ বের করো

প্রশ্ন: ২০ m/s বেগে ছুড়ে ঠিক ৩০ m দূরের একটা বালতিতে বল ফেলতে চাও। কত কোণে ছুড়বে?

R = v₀²sin2θ/g থেকে sin2θ = Rg/v₀² = ৩০ × ৯.৮ / ২০² = ০.৭৩৫। তাহলে 2θ = ৪৭.৩°, অর্থাৎ θ = ২৩.৭°।

কিন্তু গল্প এখানেই শেষ না — পূরক কোণ ৬৬.৩°-তেও ঠিক একই পাল্লা পাওয়া যায়। তাই উত্তর দুটো: ২৩.৭° (নিচু, দ্রুত) অথবা ৬৬.৩° (উঁচু, ধীর)।

সমস্যা ৫: একই নিক্ষেপ চাঁদে

প্রশ্ন: সমস্যা ১-এর বলটা চাঁদে একইভাবে ছোড়া হলো (চাঁদে g = ১.৬২ m/s²)। এবার পাল্লা কত?

R = ২০² / ১.৬২ = ২৪৬.৯১ m, H = ৬১.৭৩ m, T = ১৭.৪৬ s। পৃথিবীর চেয়ে প্রায় ৬.০ গুণ বেশি!

কারণ তিনটা সূত্রেই g হরে আছে — অভিকর্ষ যত দুর্বল, প্রাস তত দূরে, তত উঁচুতে যায় আর তত বেশি সময় ভাসে। সিমুলেশনে “চাঁদ” বেছে নিজেই দেখো।

কোণ বদলালে কী বদলায়: এক নজরে তালিকা

নিচের সারণিতে আদিবেগ ২০ m/s আর g = ৯.৮ m/s² ধরে পাঁচটা কোণের হিসাব। ১৫° আর ৭৫°, ৩০° আর ৬০° জোড়াগুলোর পাল্লা মিলিয়ে দেখো।

কোণ বাড়লে উচ্চতা আর বিচরণকাল সবসময় বাড়ে।
পাল্লা ৪৫° পর্যন্ত বাড়ে, তারপর কমে — আর পূরক কোণে সমান থাকে।

নিক্ষেপণ কোণ	পাল্লা R	সর্বাধিক উচ্চতা H	বিচরণকাল T
১৫°	২০.৪ m	১.৪ m	১.০৬ s
৩০°	৩৫.৩ m	৫.১ m	২.০৪ s
৪৫°	৪০.৮ m	১০.২ m	২.৮৯ s
৬০°	৩৫.৩ m	১৫.৩ m	৩.৫৩ s
৭৫°	২০.৪ m	১৯.০ m	৩.৯৪ s

যে ভুলগুলো সবাই করে

প্রাসের অধ্যায়ে কয়েকটা ভুল বারবার দেখা যায়। এগুলো চিনে রাখলে MCQ-তে সহজে নম্বর কাটবে না।

ভুল: “শীর্ষবিন্দুতে বেগ শূন্য।” ঠিক: শুধু উল্লম্ব বেগ শূন্য; আনুভূমিক বেগ v₀cosθ তখনও আছে।
ভুল: “শীর্ষবিন্দুতে ত্বরণ শূন্য।” ঠিক: ত্বরণ পুরো পথেই g, নিচের দিকে — শীর্ষেও।
ভুল: “ভারী বল কম দূরে যায়।” ঠিক: বাতাসের বাধা না থাকলে ভর কোনো সূত্রেই নেই।
ভুল: sin2θ-কে 2sinθ লেখা। sin2θ = 2sinθcosθ, আর sin৯০° = ১ কিন্তু 2sin৪৫° ≈ ১.৪১৪।
ভুল: উঁচু জায়গা থেকে ছোড়া হলেও T = 2v₀sinθ/g ব্যবহার করা। ওই সূত্র শুধু একই উচ্চতায় ফেরার জন্য।

বাস্তব জীবনে প্রাস

খেলার মাঠ প্রাসে ভরা। ফুটবলে কর্নার কিক, বাস্কেটবলে থ্রো, জ্যাভেলিন বা শট পুট — খেলোয়াড়রা অনুশীলন করে করে ঠিক কোণটা শিখে নেয়। শট পুটে ছোড়া হয় কাঁধের উচ্চতা থেকে, তাই সেরা কোণ ৪৫°-এর একটু কম হয় — যেটা তুমি সিমুলেশনে h₀ বাড়িয়ে দেখেছ।

দমকলকর্মীরা পাইপের নল কোন কোণে ধরবেন, তা ঠিক করেন পানির ধারার পাল্লা মাথায় রেখে। ফোয়ারার নকশাকারীরাও পানির বেগ আর নলের কোণ মিলিয়ে সুন্দর খিলান বানান।

বাস্তবে বাতাসের বাধা থাকে। সে বস্তুকে দুই দিকেই ধীর করে, তাই আসল পথ পুরো পরাবৃত্ত হয় না — নামার অংশটা একটু খাড়া হয়, পাল্লা কমে যায়, আর সেরা কোণ ৪৫°-এর একটু নিচে নেমে আসে। হালকা, বড় আকারের বস্তুতে (যেমন ব্যাডমিন্টনের শাটল) এই প্রভাব সবচেয়ে বেশি। পাঠ্যবইয়ের সূত্রগুলো তাই “বাধাহীন” আদর্শ অবস্থার জন্য।

পরীক্ষার কর্নার: সৃজনশীল প্রশ্নের ধরন

HSC পদার্থবিজ্ঞানে প্রাস থেকে সৃজনশীল প্রশ্ন সাধারণত একটা খেলার বা বাস্তব দৃশ্য দিয়ে শুরু হয়। চার ধরনের প্রশ্ন কীভাবে আসে, দেখে নাও:

জ্ঞানমূলক

যেমন: “প্রাস কাকে বলে?” বা “বিচরণকাল কাকে বলে?” — উপরের শব্দ-সারণির সংজ্ঞাগুলো নিখুঁতভাবে লিখতে পারলেই হবে।

অনুধাবনমূলক

যেমন: “প্রাসের গতিপথ পরাবৃত্তাকার কেন?” উত্তরে গতিপথের সমীকরণ y = ax − bx² দেখিয়ে বলো এটি দ্বিঘাত। অথবা “শীর্ষবিন্দুতে বেগ শূন্য নয় কেন?” — আনুভূমিক উপাংশের কথা বলো।

প্রয়োগমূলক

উদ্দীপকের বেগ আর কোণ দিয়ে T, H বা R হিসাব — ঠিক উপরের সমস্যা ১-এর মতো। একক লিখতে ভুলবে না।

উচ্চতর দক্ষতামূলক

যেমন: “বল কি দেয়াল পার হবে?” — দেয়ালের দূরত্ব x বসিয়ে গতিপথের সমীকরণ থেকে y বের করো, তারপর দেয়ালের উচ্চতার সাথে তুলনা করো। অথবা দুই খেলোয়াড়ের দুই কোণের নিক্ষেপ তুলনা করে সিদ্ধান্ত দাও কে বেশি দূরে ছুড়েছে।

এক নজরে পুনরালোচনা

পরীক্ষার আগের রাতে শুধু এই অংশটা পড়লেও মূল কথাগুলো মনে পড়বে।

প্রাস = তির্যকভাবে ছোড়া বস্তু, শুধু অভিকর্ষের অধীনে; পথ পরাবৃত্ত।
vₓ = v₀cosθ ধ্রুব; vᵧ = v₀sinθ − gt বদলায়; ত্বরণ সবসময় g নিচের দিকে।
T = 2v₀sinθ/g, H = v₀²sin²θ/2g, R = v₀²sin2θ/g।
৪৫°-এ পাল্লা সর্বাধিক (v₀²/g); পূরক কোণে পাল্লা সমান।
উঁচু থেকে আনুভূমিক নিক্ষেপে t = √(2h/g), x = u·t।
g কমলে (চাঁদে) T, H, R সবই বাড়ে; ভর কোনো সূত্রে নেই।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

প্রাস কাকে বলে?

কোনো বস্তুকে আনুভূমিকের সাথে তির্যকভাবে নিক্ষেপ করলে সেটি শুধু অভিকর্ষের প্রভাবে যে পরাবৃত্তাকার পথে চলে, তাকে প্রাস বলে। যেমন ছোড়া ক্রিকেট বল বা কামানের গোলা।

কত কোণে নিক্ষেপ করলে পাল্লা সর্বাধিক হয়?

R = v₀²sin2θ/g সূত্রে sin2θ-এর সর্বোচ্চ মান ১, যা θ = ৪৫°-এ পাওয়া যায়। তাই ভূমি থেকে ভূমিতে নিক্ষেপে ৪৫° কোণে পাল্লা সর্বাধিক, Rmax = v₀²/g।

প্রাসের গতিপথ কেমন?

গতিপথ একটি পরাবৃত্ত, কারণ y = x·tanθ − gx²/(2v₀²cos²θ) সমীকরণে y হলো x-এর দ্বিঘাত ফাংশন।

প্রাসের আনুভূমিক বেগ কি বদলায়?

না। বায়ুর বাধা না থাকলে আনুভূমিক দিকে কোনো বল কাজ করে না, তাই vₓ = v₀cosθ সারা পথে ধ্রুব থাকে; শুধু উল্লম্ব বেগ বদলায়।

বিচরণকালের সূত্র কী?

একই উচ্চতায় ফিরে এলে বিচরণকাল T = 2v₀sinθ/g। শীর্ষে উঠতে লাগে v₀sinθ/g, নামতেও ঠিক ততটাই।

শীর্ষবিন্দুতে প্রাসের বেগ ও ত্বরণ কত?

শীর্ষে উল্লম্ব বেগ শূন্য, তাই বেগ = আনুভূমিক উপাংশ v₀cosθ। ত্বরণ তখনও g, খাড়া নিচের দিকে।

কত কোণে পাল্লা ও সর্বাধিক উচ্চতা সমান হয়?

R = H বসালে tanθ = ৪ পাওয়া যায়, অর্থাৎ θ ≈ ৭৬°।

প্রাসের গতিতে ভরের কোনো প্রভাব আছে কি?

বাতাসের বাধা না থাকলে নেই। T, H, R কোনো সূত্রেই ভর নেই — ভারী বা হালকা বল একই বেগ ও কোণে একই পথে চলে।

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

Digital SAT Math guide (ইংরেজিতে)

স্কলারশিপ

বিদেশে পড়াশোনার স্কলারশিপ

IELTS

IELTS vocabulary: science and research (ইংরেজিতে)

টুল

GPA calculator (ইংরেজিতে)

ক্যারিয়ার

গণিত

প্রাসের গতি নিজে ছুড়ে দেখো

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

ছক্কা, ছাদের বল আর ফোয়ারার পানি — সবই প্রাস

একদম শুরু থেকে: প্রাস আসলে দুটো আলাদা গতি

প্রাসের গুরুত্বপূর্ণ শব্দগুলো

সূত্রগুলো ধাপে ধাপে বের করি

ধাপ ১: বেগকে দুই ভাগে ভাঙো

ধাপ ২: শীর্ষে পৌঁছাতে কত সময়?

ধাপ ৩: সর্বাধিক উচ্চতা

ধাপ ৪: আনুভূমিক পাল্লা

ধাপ ৫: গতিপথের সমীকরণ — কেন পরাবৃত্ত

ধাপ ৬: কেন ৪৫° কোণে পাল্লা সর্বাধিক

ধাপ ৭: পূরক কোণে একই পাল্লা

ধাপ ৮: উঁচু জায়গা থেকে আনুভূমিকভাবে ছুড়লে

সিমুলেশনে নিজে পরীক্ষা করে দেখো

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান

সমস্যা ১: ২০ m/s বেগে ৪৫° কোণে ছোড়া বল

সমস্যা ২: ৩০° আর ৬০° — পূরক কোণের তুলনা

সমস্যা ৩: ছাদ থেকে সোজা সামনে ছোড়া বল

সমস্যা ৪: নির্দিষ্ট পাল্লার জন্য কোণ বের করো

সমস্যা ৫: একই নিক্ষেপ চাঁদে

কোণ বদলালে কী বদলায়: এক নজরে তালিকা

যে ভুলগুলো সবাই করে

বাস্তব জীবনে প্রাস

পরীক্ষার কর্নার: সৃজনশীল প্রশ্নের ধরন

জ্ঞানমূলক

অনুধাবনমূলক

প্রয়োগমূলক

উচ্চতর দক্ষতামূলক

এক নজরে পুনরালোচনা

সচরাচর জিজ্ঞাসা

প্রাস কাকে বলে?

কত কোণে নিক্ষেপ করলে পাল্লা সর্বাধিক হয়?

প্রাসের গতিপথ কেমন?

প্রাসের আনুভূমিক বেগ কি বদলায়?

বিচরণকালের সূত্র কী?

শীর্ষবিন্দুতে প্রাসের বেগ ও ত্বরণ কত?

কত কোণে পাল্লা ও সর্বাধিক উচ্চতা সমান হয়?

প্রাসের গতিতে ভরের কোনো প্রভাব আছে কি?

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

এইচএসসি পদার্থবিজ্ঞান: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

নবম-দশম শ্রেণির পদার্থবিজ্ঞান বই

ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতি

ঢাবি বিজ্ঞান ইউনিট ভর্তি ২০২৬-২৭

Composition: The Uses of Electricity (ইংরেজিতে)

প্রতিবেদন: বিজ্ঞান মেলা

Paragraph: Science in Everyday Life (ইংরেজিতে)

এসএসসি সাজেশন

এইচএসসি সাজেশন

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার গাইড

এসএসসি সিলেবাস

এইচএসসি সিলেবাস

জার্মানিতে উচ্চশিক্ষা

Digital SAT Math guide (ইংরেজিতে)

বিদেশে পড়াশোনার স্কলারশিপ

IELTS vocabulary: science and research (ইংরেজিতে)

GPA calculator (ইংরেজিতে)

Civil engineer resume example (ইংরেজিতে)

আরও পদার্থবিজ্ঞান অ্যানিমেশন

আলোর প্রতিসরণ

ওহমের সূত্র

সরল দোলক

তড়িৎ ক্ষেত্র

তরঙ্গের ব্যতিচার

পড়ন্ত বস্তু ও পড়ন্ত বস্তুর সূত্র

লেন্সে প্রতিবিম্ব গঠন

নিউটনের গতির সূত্র

গোলীয় দর্পণে প্রতিবিম্ব গঠন

তড়িৎচুম্বকীয় আবেশ ও ফ্যারাডের সূত্র

ভরবেগের সংরক্ষণ ও সংঘর্ষ

কাজ, ক্ষমতা ও শক্তি

নততল

বৃত্তাকার গতি

অনুপ্রস্থ ও অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ

লিভার ও ভ্রামক

ভরকেন্দ্র

স্প্রিং-ভর ও সরল ছন্দিত স্পন্দন

ভেক্টর যোগ: ত্রিভুজ ও সামান্তরিক সূত্র

আপেক্ষিক বেগ: ট্রেন ও নদী পারাপার