সেট ও ভেনচিত্র: সংযোগ, ছেদ, পূরক, ডি মরগানের সূত্র | শিক্ষা ওয়েব

সেট Aসেট Bরাঙানো অঞ্চল (ফল)প্রক্রিয়া বদলালেই সংশ্লিষ্ট অঞ্চলে রং ভরে যায়

নিয়ন্ত্রণ

কী দেখতে চাও

সেটের সংখ্যা

প্রক্রিয়া বেছে নাও

পরিমাপ

প্রক্রিয়ার নাম: সংযোগ সেট
প্রতীকে: A ∪ B
রাঙানো অঞ্চল: ৩ / ৪

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

“প্রক্রিয়া ও ছায়া” মোডে একটি একটি করে প্রক্রিয়া বেছে নাও (A ∪ B, A ∩ B, A − B, A′ …): সংশ্লিষ্ট অঞ্চলে রং ভরে যায়। প্রতিবার নিজেকে জিজ্ঞেস করো, কোন কোন অঞ্চল রাঙবে।
“তিনটি সেট” বেছে নাও: ছবিতে আটটি অঞ্চল আসে। A ∩ B ∩ C, (A ∩ B) − C আর A − (B ∪ C) পাশাপাশি দেখো, কোনটা কোন অঞ্চলে পড়ে।
“সংখ্যা বসাও” মোডে ১ থেকে ১২ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো নিজের নিজের অঞ্চলে বসে যায়। A আর B বদলাও (জোড়, ৩-এর গুণিতক, মৌলিক, ১২-এর গুণনীয়ক …) আর ডান পাশের তালিকা পদ্ধতির ফল মেলাও।
“গণনা সূত্র” মোডে n(A), n(B), n(A ∩ B) স্লাইড করো: বৃত্তের ক্ষেত্রফল আর ওভারল্যাপ মাপমতো বদলায়, আর n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) লাইভ হিসাব হয়। অসম্ভব মান দিলে সিমুলেশন সেটাকে ঠিক করে দেয়।
“ডি মরগানের সূত্র” মোডে ডান পাশের টিক খোলো আর বন্ধ করো: বাঁ আর ডান ছবি একই অঞ্চল রাঙায়, তাই দুই পাশ সমান।

ক্রিকেট, ফুটবল আর চল্লিশজনের একটা ক্লাস

ক্লাসে ৪০ জন ছাত্রছাত্রী। ২৫ জন ক্রিকেট খেলে, ১৮ জন ফুটবল খেলে, আর ৮ জন দুটোই খেলে। প্রশ্ন: ক্লাসে কতজন অন্তত একটা খেলা খেলে? অনেকে ঝটপট ২৫ আর ১৮ যোগ করে ৪৩ বলে ফেলে। কিন্তু ৪৩ তো ৪০-এর চেয়ে বেশি, ক্লাসের মোট ছাত্রছাত্রীর চেয়েও বেশি! গোলমালটা কোথায়?

গোলমাল হলো, যে ৮ জন দুটোই খেলে, তাদের তুমি দুইবার গুনে ফেলেছ: একবার ক্রিকেটের দলে, একবার ফুটবলের দলে। একজন মানুষ তো একজনই। তাই ৪৩ থেকে দুইবার গোনা ৮ জনকে একবার বাদ দিতে হবে: ৪৩ − ৮ = ৩৫। অর্থাৎ ৩৫ জন অন্তত একটা খেলা খেলে, আর বাকি ৫ জন কোনোটাই খেলে না।

এই দুইবার গোনার ঝামেলা কাটানোর সবচেয়ে সহজ উপায় একটা ছবি আঁকা: একটা বড় আয়তক্ষেত্র (পুরো ক্লাস), তার ভেতরে দুটো বৃত্ত যারা একটু ওভারল্যাপ করে। মাঝের ওভারল্যাপ অংশটাই “দুটোই খেলে” দল। এই ছবির নাম ভেনচিত্র, আর এই পাতার সিমুলেশনটা ঠিক সেই ছবিই এঁকে দেয়, তবে অঞ্চল রাঙানো আর সংখ্যা গোনা নিজের হাতে করার সুযোগসহ।

ছবিটা কাজে লাগলে হিসাব অনেক সোজা হয়ে যায়: শুধু ক্রিকেট ১৭ জন, শুধু ফুটবল ১০ জন, দুটোই ৮ জন, কোনোটাই না ৫ জন। চারটা অঞ্চলের যোগফল ঠিক ৪০। এই চারটা অঞ্চলই সেট অধ্যায়ের প্রাণ।

একদম শুরু থেকে: সেট কী, সদস্য কী

সেট হলো সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত বস্তুর সংগ্রহ। “সুনির্দিষ্ট” কথাটা জরুরি: তুমি যেকোনো বস্তু নিয়ে নিশ্চিতভাবে বলতে পারবে সে সেটে আছে কি নেই। “তোমার ক্লাসের জোড় রোল নম্বরের ছাত্রছাত্রী” একটা সেট, কারণ প্রত্যেকের রোল দেখলেই বলা যায়। কিন্তু “ক্লাসের সুন্দর ছেলেরা” সেট নয়, কারণ সুন্দর কে, তা নিয়ে একমত হওয়া যায় না।

সেটের প্রতিটি বস্তুকে বলে সদস্য বা উপাদান। ৪ সংখ্যাটি জোড় সংখ্যার সেটের সদস্য, এটা লেখা হয় 4 ∈ A, পড়া হয় “৪ হলো A-এর সদস্য”। ৫ সদস্য নয়, তাই 5 ∉ A। সেটের নাম সাধারণত বড় হাতের অক্ষরে (A, B, C) আর সদস্যদের নাম ছোট হাতের অক্ষরে লেখা হয়। সদস্যের ক্রম বা পুনরাবৃত্তিতে সেট বদলায় না: {১, ২, ৩} আর {৩, ১, ২, ২} একই সেট।

সার্বিক সেট U হলো সেই বড় সেট, যার ভেতর থেকে আমরা আলোচনার সব সেট নিই। এই পাতায় U = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২}। সার্বিক সেট প্রসঙ্গের ওপর নির্ভর করে: স্বাভাবিক সংখ্যা নিয়ে কাজ করলে U হতে পারে সব স্বাভাবিক সংখ্যা, আর ক্লাসের গল্পে U হলো পুরো ক্লাস। ভেনচিত্রে U-কে আঁকা হয় আয়তক্ষেত্র দিয়ে, আর প্রতিটি সেট সেই আয়তক্ষেত্রের ভেতরের একটা বৃত্ত।

ভেনচিত্রের অঞ্চল পড়তে শেখাই আসল দক্ষতা। দুটো সেটের ছবিতে চারটা অঞ্চল: শুধু A, শুধু B, দুটোতেই (মাঝের ওভারল্যাপ), আর কোনোটাতেই না (বৃত্তের বাইরে, তবু আয়তক্ষেত্রের ভেতরে)। তিনটা সেটের ছবিতে আটটা অঞ্চল। প্রতিটি প্রক্রিয়া আসলে এই অঞ্চলগুলোর কোনগুলো রাঙাতে হবে তার একটা নিয়ম।

গুরুত্বপূর্ণ শব্দগুলো

পরীক্ষায় জ্ঞানমূলক প্রশ্ন আসে এই শব্দগুলো থেকে। প্রতীকসহ মুখস্থ না করে, ছবির সাথে মিলিয়ে নাও।

শব্দ	প্রতীক	সহজ ভাষায় অর্থ
সেট	A, B, C	সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত বস্তুর সংগ্রহ
সদস্য	∈, ∉	সেটের ভেতরের প্রতিটি বস্তু; 4 ∈ A মানে ৪ হলো A-এর সদস্য
সার্বিক সেট	U	আলোচনার সব সেটকে ধারণ করে এমন বড় সেট
উপসেট	⊂	A-এর প্রতিটি সদস্য যদি B-তেও থাকে, তবে A হলো B-এর উপসেট
ফাঁকা সেট	∅	যে সেটে কোনো সদস্যই নেই; এটি প্রতিটি সেটের উপসেট
সংযোগ সেট	∪	A অথবা B (বা দুটোতেই) আছে এমন সব সদস্যের সেট
ছেদ সেট	∩	A এবং B দুটোতেই আছে এমন সদস্যের সেট
অন্তর সেট	A − B	A-তে আছে কিন্তু B-তে নেই এমন সদস্যের সেট
পূরক সেট	A′	U-তে আছে কিন্তু A-তে নেই এমন সদস্যের সেট, অর্থাৎ U − A
শক্তি সেট	P(A)	A-এর সবগুলো উপসেটের সেট; n সদস্যের সেটের শক্তি সেটে ২ⁿ টি সদস্য

সেট লেখার দুটি পদ্ধতি: তালিকা আর সেট গঠন

তালিকা পদ্ধতিতে সদস্যগুলো একে একে কোঁকড়া বন্ধনীর ভেতরে লেখা হয়: A = {২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২}। সেট গঠন পদ্ধতিতে সদস্য না লিখে শর্ত লেখা হয়: A = {x ∈ U : x জোড় সংখ্যা}, পড়া হয় “A হলো U-এর সেই সব x-এর সেট, যেখানে x জোড়”। দুটো একই সেটের দুটো লেখার ধরন।

কখন কোনটা ভালো? সদস্য কম হলে তালিকা পদ্ধতি পরিষ্কার। সদস্য অসংখ্য হলে (সব জোড় সংখ্যা) অথবা শর্তটাই আসল কথা হলে সেট গঠন পদ্ধতি সুবিধাজনক। এই পাতার সিমুলেশনে তুমি শর্ত বেছে নাও (সেট গঠন পদ্ধতি), আর পাশের পরিমাপ প্যানেলে তার তালিকা পদ্ধতির রূপ আপনা-আপনি দেখা যায়।

আরও কয়েকটা শর্ত আর তাদের তালিকা: ১২-এর গুণনীয়কের সেট = {১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২} (মোট ৬টি), পূর্ণবর্গ সংখ্যার সেট = {১, ৪, ৯}, বিজোড় সংখ্যার সেট = {১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১}। একই সেটকে লেখার ধরন বদলালে সেট বদলায় না, শুধু চোখে দেখার সুবিধা বদলায়।

উপসেট, ফাঁকা সেট আর শক্তি সেট

A-এর প্রতিটি সদস্য B-তেও থাকলে A হলো B-এর উপসেট, লেখা A ⊂ B। যেমন {৪, ৮, ১২} হলো জোড় সংখ্যার সেট {২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২}-এর উপসেট। প্রতিটি সেট নিজের উপসেট, আর ফাঁকা সেট ∅ প্রতিটি সেটের উপসেট। যে উপসেট মূল সেটের সমান নয়, তাকে বলে প্রকৃত উপসেট।

শক্তি সেট P(A) হলো A-এর সবগুলো উপসেটের সেট। {a, b, c}-এর উপসেটগুলো: ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}। মোট ৮টি। নিয়মটা সহজ: প্রতিটি সদস্য উপসেটে থাকতে পারে বা না-ও পারে, মানে প্রতিটির জন্য দুটো পছন্দ। তাই n সদস্যের সেটের উপসেট ২ × ২ × … (n বার) = ২ⁿ টি। ৪ সদস্যের সেটের শক্তি সেটে ১৬টি, ৫ সদস্যের সেটে ৩২টি আর ১০ সদস্যের সেটে ১,০২৪টি সদস্য।

n(P(A)) = 2ⁿA-এর সদস্য সংখ্যা n হলে উপসেটের সংখ্যা

প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ − 1মূল সেটটিকে বাদ দিলে

প্রতিটি প্রক্রিয়া আর তার অঞ্চল

এবার মূল কাজ। নিচের উদাহরণগুলোতে U = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২}, A = {২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২} (জোড় সংখ্যা), B = {৩, ৬, ৯, ১২} (৩-এর গুণিতক)। সিমুলেশনের “সংখ্যা বসাও” মোডে ঠিক এই মানগুলোই শুরুতে থাকে, তাই পাতা আর ছবি মিলিয়ে দেখতে পারবে।

সংযোগ সেট A ∪ B

A ∪ B-তে ঢোকে যে সদস্য A-তে আছে অথবা B-তে আছে অথবা দুটোতেই আছে। ছবিতে দুটো বৃত্তের পুরো এলাকা রাঙে। A ∪ B = {২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১০, ১২}, সদস্য সংখ্যা ৮।

এখানে “অথবা” মানে অন্তর্ভুক্তিমূলক অথবা: দুটোতেই থাকলেও সে ঢুকবে। দৈনন্দিন ভাষার “চা অথবা কফি” অনেক সময় এক-বিকল্প বোঝায়, কিন্তু গণিতে ∪ দুটোকেই নেয়।

ছেদ সেট A ∩ B

A ∩ B-তে থাকে শুধু সেই সদস্য, যে A-তে এবং B-তে দুটোতেই আছে। ছবিতে কেবল মাঝের ওভারল্যাপ রাঙে। A ∩ B = {৬, ১২}, সদস্য সংখ্যা ২। মনে করো, যে সংখ্যা জোড় এবং ৩-এর গুণিতক, সে ৬-এর গুণিতক: ৬ আর ১২।

দুটো সেটের কোনো সাধারণ সদস্য না থাকলে ছেদ ফাঁকা সেট, তখন সেট দুটোকে বলে নিচ্ছেদ বা বিচ্ছিন্ন সেট। ছবিতে বৃত্ত দুটো পরস্পরকে স্পর্শও করে না।

অন্তর সেট A − B এবং B − A

A − B-তে থাকে যারা A-তে আছে কিন্তু B-তে নেই: {২, ৪, ৮, ১০}, সদস্য ৪টি। ছবিতে A-এর বৃত্ত থেকে ওভারল্যাপ কেটে বাদ দিলে যে চাঁদ-আকৃতির অংশ থাকে, সেটাই। উল্টো দিকে B − A = {৩, ৯}, সদস্য ২টি।

A − B আর B − A সাধারণত আলাদা সেট। অন্তর সেটে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ, যোগের মতো উল্টে লিখলে চলে না।

পূরক সেট A′ এবং (A ∪ B)′

A′ হলো U-এর সেই সদস্যদের সেট, যারা A-তে নেই: A′ = {১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১}, সদস্য ৬টি। ছবিতে A-এর বৃত্তের বাইরের পুরো অংশ রাঙে, আয়তক্ষেত্রের ভেতর পর্যন্ত। তাই পূরক বের করতে U জানা আবশ্যক।

(A ∪ B)′ রাঙায় দুটো বৃত্তের বাইরের অংশ, মানে যারা A-তেও নেই B-তেও নেই: {১, ৫, ৭, ১১}, সদস্য ৪টি। (A ∩ B)′ রাঙায় ওভারল্যাপ বাদে বাকি সব: {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১}, সদস্য ১০টি।

প্রতিসম অন্তর A △ B

A △ B-তে থাকে যারা ঠিক একটি সেটে আছে, দুটোতে নয়। সংজ্ঞা: (A − B) ∪ (B − A), অর্থাৎ ওভারল্যাপ বাদে দুই বৃত্তের বাকি অংশ। A △ B = {২, ৩, ৪, ৮, ৯, ১০}, সদস্য ৬টি। এটি NCERT-এ “প্রতিসম অন্তর” নামে আছে; NCTB সিলেবাসে প্রয়োজনে সংজ্ঞা দিয়ে দেওয়া হয়।

তিনটি সেট একই ছবিতে

তিনটি বৃত্তের ভেনচিত্রে আটটা অঞ্চল তৈরি হয়। সিমুলেশনে “তিনটি সেট” বেছে C = মৌলিক সংখ্যা = {২, ৩, ৫, ৭, ১১} নাও। তখন A ∩ B ∩ C = ∅: এমন কোনো সংখ্যা নেই যে একই সাথে জোড়, ৩-এর গুণিতক আর মৌলিক। এটা ফাঁকা সেটের একটা চমৎকার উদাহরণ; ছবিতে মাঝের অঞ্চলটা ফাঁকা থাকে।

A ∪ B ∪ C = {২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২} (১১টি, শুধু ১ বাদ)। (A ∩ B) − C = {৬, ১২}, কারণ ৬ আর ১২ জোড় ও ৩-এর গুণিতক কিন্তু মৌলিক নয়। A − (B ∪ C) = {৪, ৮, ১০}, মানে জোড় সংখ্যা যারা ৩-এর গুণিতকও নয়, মৌলিকও নয়। আর A ∩ (B ∪ C) = {২, ৬, ১২}।

ওভারল্যাপগুলোও দেখো: A ∩ C = {২}, B ∩ C = {৩}, আর তিনটার ছেদ ∅। এই সংখ্যাগুলোই পরে তিন সেটের গণনা সূত্রে কাজে লাগবে।

ডি মরগানের সূত্র

ডি মরগানের সূত্র বলে, পূরক নেওয়া মানে “এবং” আর “অথবা” বদলে যাওয়া। কথায়: দুটো সেটের সংযোগের পূরক = প্রতিটির পূরকের ছেদ, আর ছেদের পূরক = প্রতিটির পূরকের সংযোগ।

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′প্রথম সূত্র: কোনোটাতেই নেই = A-তে নেই এবং B-তে নেই

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′দ্বিতীয় সূত্র: দুটোতেই নেই এমনটা নয় = অন্তত একটাতে নেই

ছবিতে প্রমাণ

সিমুলেশনের “ডি মরগানের সূত্র” মোডে প্রথম সূত্র বেছে নাও। বাঁ ছবিতে (A ∪ B)′ রাঙে দুই বৃত্তের বাইরের অঞ্চল। ডান ছবিতে A′ রাঙায় A-এর বাইরে সব, B′ রাঙায় B-এর বাইরে সব, আর তাদের ছেদ রাঙে ঠিক সেই বাইরের অঞ্চল। দুই ছবি এক।

ছবিতে প্রমাণ দেখলেই কিন্তু সূত্র মুখস্থ হয় না; কথায় ভাবো। “A ∪ B-তে নেই” মানে A-তে নেই আর B-তেও নেই, কারণ একটাতেও থাকলে সে A ∪ B-তে ঢুকে যেত।

সংখ্যা দিয়ে যাচাই

বাঁ পাশ: (A ∪ B)′ = {১, ৫, ৭, ১১}। ডান পাশ: A′ ∩ B′ = {১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১} ∩ {১, ২, ৪, ৫, ৭, ৮, ১০, ১১} = {১, ৫, ৭, ১১}। দুটো এক। দ্বিতীয় সূত্রে (A ∩ B)′ = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১} আর A′ ∪ B′ = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১}, এখানেও এক।

ভেনচিত্র দিয়ে গোনা: সংযোগের সূত্র

দুটো সেটের সদস্য গুনতে গেলে ওভারল্যাপ দুইবার গোনা হয়, তাই একবার বাদ দিতে হয়। এটাই সূত্র। ক্লাসের গল্পের মতোই।

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)দুই সেটের সংযোগের সদস্য সংখ্যা

n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)শুধু A-তে যতজন

n(A △ B) = n(A) + n(B) − 2n(A ∩ B)ঠিক একটিতে যতজন

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)তিন সেটের সূত্র

তিন সেটের সূত্রে যোগ-বিয়োগ কেন

তিনটা যোগ করলে দুই-সেটের ওভারল্যাপগুলো দুইবার গোনা হয়, তাই তিনটা ওভারল্যাপ বাদ দিই। কিন্তু তিন সেটের সাধারণ অংশ প্রথমে তিনবার গোনা হয়েছিল আর তিনটা বিয়োগে তিনবারই কাটা পড়ে, ফলে সে একবারও থাকে না। তাই শেষে তাকে একবার যোগ করে ফেরত আনতে হয়।

সিমুলেশনের সংখ্যা বসানো তিন সেটে: n(A) = ৬, n(B) = ৪, n(C) = ৫, n(A ∩ B) = ২, n(B ∩ C) = ১, n(A ∩ C) = ১, n(A ∩ B ∩ C) = ০। যোগফল ৬ + ৪ + ৫ − ২ − ১ − ১ + ০ = ১১, যা সরাসরি গোনা ১১টির সাথে মেলে।

সিমুলেশনে এই পরীক্ষাগুলো করে দেখো

প্রতিটি পরীক্ষার আগে একটা অনুমান করো, তারপর ছবি দেখে মেলাও।

“গণনা সূত্র” মোডে শুরুর মান n(U) = ৩০, n(A) = ১৪, n(B) = ১১, n(A ∩ B) = ৫। হিসাব করে n(A ∪ B) অনুমান করো, তারপর পরিমাপ প্যানেলে ২০ দেখো। বৃত্তের বাইরে ১০টি।
n(A ∩ B)-কে সবচেয়ে ছোট করো: বৃত্ত দুটো সরে যায়, ওভারল্যাপ কমে শূন্য হলে আলাদা হয়ে যায়। তখন n(A ∪ B) = n(A) + n(B)।
n(A ∩ B)-কে সবচেয়ে বড় করো (n(A) আর n(B)-র ছোটটির সমান): ছোট বৃত্তটা বড়টার ভেতরে ঢুকে যায়, মানে B ⊂ A।
n(U) কমাতে থাকো যতক্ষণ না n(A) আর n(B) মিলে U-এর চেয়ে বেড়ে যায়: সিমুলেশন ওভারল্যাপের নিচের সীমা বাড়িয়ে দেয় আর অবস্থা ঘরে সতর্কবার্তা আসে। কারণ A ∪ B কখনো U-এর চেয়ে বড় হতে পারে না।
“প্রক্রিয়া ও ছায়া” মোডে A − B আর B − A পালা করে বেছে নাও। দুটো অঞ্চল আলাদা, প্রমাণ হয় অন্তর সেটে ক্রম লাগে।
“সংখ্যা বসাও” মোডে A = জোড় আর B = বিজোড় করো। ওভারল্যাপ ফাঁকা, কারণ কোনো সংখ্যা একসাথে জোড় ও বিজোড় নয়। A ∪ B পুরো U।
ডি মরগানের মোডে ডান পাশের টিক ঘনঘন খোলো-বন্ধ করো আর দেখো দুই ছবি আলাদা হওয়ার কোনো সুযোগই পায় না।

সমাধান করা অঙ্ক

প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের মতো একই প্রোগ্রামে হিসাব করা, তাই ছবির সাথে হুবহু মিলবে।

অঙ্ক ১: তালিকা পদ্ধতিতে ফল

U = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২}, A = {২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২}, B = {৩, ৬, ৯, ১২} হলে A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A, A′ আর A △ B নির্ণয় করো।

A ∪ B = {২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১০, ১২}; A ∩ B = {৬, ১২}; A − B = {২, ৪, ৮, ১০}; B − A = {৩, ৯}; A′ = {১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১}; A △ B = {২, ৩, ৪, ৮, ৯, ১০}।

যাচাই: n(A ∪ B) = ৬ + ৪ − ২ = ৮, যা তালিকার সদস্য সংখ্যার সমান।

অঙ্ক ২: জরিপের গণনা

৬০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ৩৫ জন গণিত পছন্দ করে, ২৮ জন ইংরেজি পছন্দ করে, আর ১২ জন দুটোই। কতজন অন্তত একটি বিষয় পছন্দ করে, কতজন কোনোটিই না, আর কতজন শুধু গণিত?

n(M ∪ E) = ৩৫ + ২৮ − ১২ = ৫১। কোনোটিই না: ৬০ − ৫১ = ৯। শুধু গণিত: ৩৫ − ১২ = ২৩। শুধু ইংরেজি: ২৮ − ১২ = ১৬।

অঙ্ক ৩: উল্টো দিক থেকে সাধারণ সদস্য

৫০ জনের একটি দলে ৩০ জন চা পান করে, ২৫ জন কফি পান করে, আর ৫ জন কোনোটিই করে না। কতজন দুটোই পান করে?

অন্তত একটি পান করে ৫০ − ৫ = ৪৫ জন। সূত্র থেকে n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = ৩০ + ২৫ − ৪৫ = ১০।

অঙ্ক ৪: তিন সেটের গণনা

একটি ক্লাবে n(A) = ৫০, n(B) = ৪০, n(C) = ৩০; n(A ∩ B) = ১৫, n(B ∩ C) = ১০, n(A ∩ C) = ১২; n(A ∩ B ∩ C) = ৬। n(A ∪ B ∪ C) কত?

৫০ + ৪০ + ৩০ − ১৫ − ১০ − ১২ + ৬ = ৮৯।

অঙ্ক ৫: শক্তি সেট

A = {a, b, c} হলে P(A)-র সদস্যগুলো লেখো। ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}; মোট ৮টি। প্রকৃত উপসেট ৮-এর থেকে একটি কম। ৪ সদস্যের সেটের প্রকৃত উপসেট ১৫টি।

অঙ্ক ৬: ডি মরগান যাচাই

দেখাও যে (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, যেখানে A = {২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২}, B = {৩, ৬, ৯, ১২}, U = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২}। A ∪ B = {২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১০, ১২}, তাই (A ∪ B)′ = {১, ৫, ৭, ১১}। আবার A′ ∩ B′ = {১, ৫, ৭, ১১}। দুটো সমান, সূত্র যাচাই হলো।

সাধারণ ভুলগুলো

পরীক্ষার খাতায় এই ভুলগুলোই সবচেয়ে বেশি নম্বর কাটায়।

n(A) আর n(B) যোগ করে n(A ∪ B) বলে ফেলা, ওভারল্যাপ বাদ না দিয়ে। ক্রিকেট-ফুটবলের গল্পটা মনে করো।
A − B আর B − A-কে এক ভাবা। এরা সাধারণত আলাদা, ছবিতে আলাদা চাঁদ।
U না জেনে পূরক বের করার চেষ্টা। A′ মানে “U-এর যা A-তে নেই”, তাই U ছাড়া অর্থহীন।
∈ আর ⊂ গুলিয়ে ফেলা। 4 ∈ A (সদস্য), কিন্তু {4} ⊂ A (উপসেট)। বাঁ দিকে বস্তু হলে ∈, সেট হলে ⊂।
∅, {∅} আর {0}-কে এক ধরা। ∅-তে কোনো সদস্য নেই; {∅}-তে একটি সদস্য আছে (ফাঁকা সেটটি); {0}-তে একটি সদস্য আছে (শূন্য)।
ডি মরগানে প্রতীক না বদলে শুধু পূরকের দাগ বসানো। (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′ ভুল; ∪ বদলে ∩ হবে।
অন্তর সেটের ক্রম গুলিয়ে ফেলা বা “অথবা”-কে সবসময় একটি-মাত্র বিকল্প ভাবা।

বাস্তব জীবনে ভেনচিত্র কোথায় কাজে লাগে

গুগলে “চা AND কফি” লিখলে সার্চ ইঞ্জিন ছেদ খোঁজে, “চা OR কফি” লিখলে সংযোগ, আর “চা NOT কফি” লিখলে অন্তর। ডেটাবেসের SQL কোয়েরিতে JOIN আর UNION ঠিক এই প্রক্রিয়াগুলোরই কম্পিউটার-রূপ।

অনলাইন কেনাকাটার ফিল্টারে “ব্র্যান্ড A অথবা B”, “দাম ৫০০-র নিচে” একসাথে টিক দিলে ভেতরে সংযোগ আর ছেদ চলে। জরিপ, ভোটের পরিসংখ্যান, রোগের লক্ষণ মেলানো, লাইব্রেরির বইয়ের বিষয়-তালিকা, সবখানে একই ছবি।

সম্ভাব্যতায় ঘটনাকে সেট ধরা হয়: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ঠিক এই পাতার গণনা সূত্রের সম্ভাবনা-রূপ। ডিজিটাল সার্কিটে AND, OR, NOT গেট আসলে ছেদ, সংযোগ আর পূরক।

পরীক্ষার কর্নার: SSC ও সৃজনশীল প্রশ্ন

এসএসসি গণিতের “সেট ও ফাংশন” অধ্যায়ে সংজ্ঞা (জ্ঞানমূলক), ভেনচিত্র আঁকা আর সূত্র যাচাই (অনুধাবন), সংযোগ-ছেদ-পূরকের হিসাব (প্রয়োগ), আর সমস্যাভিত্তিক গণনা (উচ্চতর দক্ষতা) নিয়মিত আসে। ডি মরগানের সূত্র যাচাই করতে বলা হলে বাঁ পাশ আর ডান পাশ আলাদা করে বের করে মিলিয়ে দেখাতে হয়।

একটি নমুনা সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক: একটি ক্লাসের ৪০ জন ছাত্রছাত্রীর মধ্যে ২৫ জন ক্রিকেট ও ১৮ জন ফুটবল খেলে। ৮ জন দুটোই খেলে।

ক) ছেদ সেট কাকে বলে? খ) ভেনচিত্রে দেখাও। গ) কতজন অন্তত একটি খেলা খেলে? ঘ) কতজন ঠিক একটি খেলা খেলে, আর কতজন কোনোটিই না, বিশ্লেষণ করো।

গ-এর উত্তর: ৩৫ জন। ঘ-এর উত্তর: ঠিক একটি খেলে n(A △ B) = ২৭ জন, কোনোটিই না ৫ জন।

রিভিশন: শেষ মুহূর্তের সারসংক্ষেপ

পরীক্ষার আগের রাতে এই তালিকা আর উপরের সারণি একবার চোখ বুলিয়ে নিলেই যথেষ্ট।

সেট = সুনির্দিষ্ট বস্তুর সংগ্রহ; সদস্য ∈, অসদস্য ∉; সার্বিক সেট U।
তালিকা পদ্ধতি = সদস্য লেখা; সেট গঠন পদ্ধতি = শর্ত লেখা।
A ∪ B = অন্তত একটিতে; A ∩ B = দুটোতেই; A − B = A-তে কিন্তু B-তে নয়; A′ = U − A।
A △ B = (A − B) ∪ (B − A) = ঠিক একটিতে।
ডি মরগান: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ এবং (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′।
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B); তিন সেটে শেষে + n(A ∩ B ∩ C)।
n সদস্যের সেটের শক্তি সেটে ২ⁿ টি সদস্য; প্রকৃত উপসেট ২ⁿ − ১টি।
ছবি আঁকো, অঞ্চলে সংখ্যা বসাও, তারপর যোগ-বিয়োগ করো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

ভেনচিত্র কী?

ভেনচিত্র প্রতিটি সেটকে একটি বৃত্ত দিয়ে আঁকে, আর সার্বিক সেট U-কে আঁকে সবকটি বৃত্তকে ঘিরে থাকা একটি আয়তক্ষেত্র দিয়ে। বৃত্ত যেখানে মিশেছে সেখানে দুটো সেটেরই সদস্য থাকে, আর বৃত্তের বাইরে আছে যারা কোনো সেটেই নেই। অঞ্চল রাঙিয়ে সংযোগ, ছেদ, অন্তর ও পূরক এক নজরে বোঝা যায়।

সংযোগ সেট আর ছেদ সেটের পার্থক্য কী?

সংযোগ সেট A ∪ B-তে থাকে অন্তত একটি সেটের সদস্য, ছেদ সেট A ∩ B-তে থাকে শুধু দুটোরই সাধারণ সদস্য। উদাহরণে A = {২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২} ও B = {৩, ৬, ৯, ১২} হলে A ∪ B-তে ৮টি আর A ∩ B-তে ২টি সদস্য।

অন্তর সেট A − B কাকে বলে?

A − B হলো সেই সদস্যদের সেট, যারা A-তে আছে কিন্তু B-তে নেই। উদাহরণে {২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২} − {৩, ৬, ৯, ১২} = {২, ৪, ৮, ১০}। ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: B − A = {৩, ৯}, যা আলাদা সেট।

পূরক সেট বের করতে সার্বিক সেট কেন লাগে?

পূরক সেট A′ মানে U-এর সেই সদস্যরা, যারা A-তে নেই। U না জানলে “নেই” মানে কোথা থেকে বাদ পড়ল, তা বলা যায় না। তাই একই A-এর পূরক U বদলালে বদলে যায়।

ডি মরগানের সূত্র দুটি কী কী?

প্রথম: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′। দ্বিতীয়: (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′। পূরকের ভেতরে ঢুকলে ∪ আর ∩ পরস্পর জায়গা বদলায়। সিমুলেশনে দুই পাশের ছবি একই অঞ্চল রাঙায়।

n(A ∪ B) বের করার সূত্র কী?

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)। ওভারল্যাপে থাকা সদস্য দুইবার গোনা হয় বলে একবার বাদ দিতে হয়। উদাহরণে ১৪ + ১১ − ৫ = ২০।

ফাঁকা সেট কী এবং এটি কি সবার উপসেট?

ফাঁকা সেট ∅ হলো যে সেটে কোনো সদস্যই নেই। হ্যাঁ, এটি প্রতিটি সেটের উপসেট, কারণ ∅-র এমন কোনো সদস্য নেই যে মূল সেটে পড়বে না। এটিকে {∅} বা {0}-র সাথে গুলিয়ে ফেলা চলবে না।

শক্তি সেটে কতগুলো সদস্য থাকে?

n সদস্যের সেটের শক্তি সেটে ২ⁿ টি সদস্য থাকে, কারণ প্রতিটি সদস্য উপসেটে থাকবে কি থাকবে না, এই দুটো পছন্দ। ৩ সদস্যে ৮টি, ৪ সদস্যে ১৬টি, ১০ সদস্যে ১,০২৪টি।

সেট গঠন পদ্ধতি আর তালিকা পদ্ধতির পার্থক্য কী?

তালিকা পদ্ধতিতে সদস্যগুলো একে একে কোঁকড়া বন্ধনীতে লেখা হয়, আর সেট গঠন পদ্ধতিতে সদস্যদের সাধারণ শর্তটি লেখা হয়, যেমন {x : x জোড় সংখ্যা}। একই সেট, লেখার দুই ধরন।

প্রতিসম অন্তর A △ B কী?

A △ B হলো ঠিক একটি সেটে থাকা সদস্যদের সেট, অর্থাৎ (A − B) ∪ (B − A)। উদাহরণে A △ B = {২, ৩, ৪, ৮, ৯, ১০}, আর n(A △ B) = n(A) + n(B) − ২n(A ∩ B)।

দুটো সেটের ছেদ ফাঁকা হলে কী বলা হয়?

তখন সেট দুটোকে বিচ্ছিন্ন সেট বলা হয়, আর n(A ∪ B) = n(A) + n(B)। যেমন জোড় আর বিজোড় সংখ্যার সেটে সাধারণ সদস্য নেই, তাই সংযোগে পুরো U।

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

Cover letter examples (ইংরেজিতে)

আরও গণিত অ্যানিমেশন

Class 8 · SSC

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্য কাকে বলে, সূত্র c² = a² + b², অষ্টম ও নবম-দশম শ্রেণির প্রমাণ, বিপরীত উপপাদ্য, পিথাগোরীয় ত্রয়ী ও সমাধানসহ অঙ্ক: ত্রিভুজ টেনে নিজে দেখো।

SSC · HSC

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও একক বৃত্ত

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কাকে বলে, sin cos tan-এর মান ০° থেকে ৩৬০°, আদর্শ কোণের টেবিল, চতুর্ভাগের চিহ্ন ও সূত্র: একক বৃত্তে বিন্দু ঘুরিয়ে নিজে দেখো, সমাধানসহ।

SSC · HSC

দ্বিঘাত সমীকরণ ও দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র

দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে, উৎপাদক ও বর্গপূর্ণকরণ পদ্ধতি, শ্রীধর আচার্যের সূত্র, নিশ্চায়ক দিয়ে মূলের প্রকৃতি, শীর্ষবিন্দু ও পরাবৃত্তের লেখচিত্র অ্যানিমেশনে।

SSC

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য সহজে: কেন্দ্রস্থ ও বৃত্তস্থ কোণ, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, বৃত্তীয় চতুর্ভুজ, জ্যা ও স্পর্শক। SSC-র প্রমাণ আর সমাধানসহ অঙ্ক, বিন্দু টেনে নিজে দেখো।

SSC

দূরত্ব ও উচ্চতা: উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ কাকে বলে, দূরত্ব ও উচ্চতার সূত্র কীভাবে কাজ করে, আর দুই দফা পর্যবেক্ষণে না মেপেই টাওয়ারের উচ্চতা বের করা যায় কীভাবে — ইন্টারঅ্যাকটিভ সিমুলেশন ও সমাধানসহ।

SSC

সম্ভাবনা: পরীক্ষালব্ধ বনাম তাত্ত্বিক সম্ভাবনা

ভেনচিত্র হাতে-কলমে: সেটের প্রক্রিয়ায় অঞ্চল রাঙিয়ে বুঝে নাও

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

ক্রিকেট, ফুটবল আর চল্লিশজনের একটা ক্লাস

একদম শুরু থেকে: সেট কী, সদস্য কী

গুরুত্বপূর্ণ শব্দগুলো

সেট লেখার দুটি পদ্ধতি: তালিকা আর সেট গঠন

উপসেট, ফাঁকা সেট আর শক্তি সেট

প্রতিটি প্রক্রিয়া আর তার অঞ্চল

সংযোগ সেট A ∪ B

ছেদ সেট A ∩ B

অন্তর সেট A − B এবং B − A

পূরক সেট A′ এবং (A ∪ B)′

প্রতিসম অন্তর A △ B

তিনটি সেট একই ছবিতে

ডি মরগানের সূত্র

ছবিতে প্রমাণ

সংখ্যা দিয়ে যাচাই

ভেনচিত্র দিয়ে গোনা: সংযোগের সূত্র

তিন সেটের সূত্রে যোগ-বিয়োগ কেন

সিমুলেশনে এই পরীক্ষাগুলো করে দেখো

সমাধান করা অঙ্ক

অঙ্ক ১: তালিকা পদ্ধতিতে ফল

অঙ্ক ২: জরিপের গণনা

অঙ্ক ৩: উল্টো দিক থেকে সাধারণ সদস্য

অঙ্ক ৪: তিন সেটের গণনা

অঙ্ক ৫: শক্তি সেট

অঙ্ক ৬: ডি মরগান যাচাই

সাধারণ ভুলগুলো

বাস্তব জীবনে ভেনচিত্র কোথায় কাজে লাগে

পরীক্ষার কর্নার: SSC ও সৃজনশীল প্রশ্ন

একটি নমুনা সৃজনশীল প্রশ্ন

রিভিশন: শেষ মুহূর্তের সারসংক্ষেপ

সচরাচর জিজ্ঞাসা

ভেনচিত্র কী?

সংযোগ সেট আর ছেদ সেটের পার্থক্য কী?

অন্তর সেট A − B কাকে বলে?

পূরক সেট বের করতে সার্বিক সেট কেন লাগে?

ডি মরগানের সূত্র দুটি কী কী?

n(A ∪ B) বের করার সূত্র কী?

ফাঁকা সেট কী এবং এটি কি সবার উপসেট?

শক্তি সেটে কতগুলো সদস্য থাকে?

সেট গঠন পদ্ধতি আর তালিকা পদ্ধতির পার্থক্য কী?

প্রতিসম অন্তর A △ B কী?

দুটো সেটের ছেদ ফাঁকা হলে কী বলা হয়?

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

নবম-দশম শ্রেণির গণিত বই

এসএসসি গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

এসএসসি উচ্চতর গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

এইচএসসি উচ্চতর গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত বই

ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতি

জাবি গাণিতিক ও পদার্থবিষয়ক অনুষদ ভর্তি

Paragraph: Artificial Intelligence (ইংরেজিতে)

রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা

এসএসসি সাজেশন

এইচএসসি সাজেশন

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার গাইড

এসএসসি সিলেবাস

এইচএসসি সিলেবাস

GRE Quantitative Reasoning guide (ইংরেজিতে)

Digital SAT Math guide (ইংরেজিতে)

বিদেশে পড়াশোনার স্কলারশিপ

Compound interest calculator (ইংরেজিতে)

Data scientist resume example (ইংরেজিতে)

Cover letter examples (ইংরেজিতে)

আরও গণিত অ্যানিমেশন

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও একক বৃত্ত

দ্বিঘাত সমীকরণ ও দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য

দূরত্ব ও উচ্চতা: উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ

সম্ভাবনা: পরীক্ষালব্ধ বনাম তাত্ত্বিক সম্ভাবনা

সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা

গড়, মধ্যক ও প্রচুরক

সরল সহসমীকরণ ও সরলরেখার লেখচিত্র

sin, cos, tan-এর লেখচিত্র

পূর্ণবর্গ পদ্ধতি ও দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান

বৃত্তের ক্ষেত্রফল: সূত্র, প্রমাণ ও সমাধান

ঘনবস্তুর আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল: ঘনক, আয়তঘন, বেলন, কোণক, গোলক

সদৃশ ত্রিভুজ: স্কেল ফ্যাক্টর, AA, SSS, SAS শর্ত ও ছায়া থেকে উচ্চতা